阿罗的不可能定理
简述阿罗不可能定理
简述阿罗不可能定理阿罗不可能定理，简称阿罗定理。
是指在给定正整数n，如果存在正整数N，使得对于每个自然数x， y∈n，都有n-N xy=0。
我相信，这样的定理在我们中学阶段应该都接触过吧。
阿罗不可能定理是数学史上一个很有名的事实。
但它真的有这么神奇吗？要想解决这个问题，我们首先来了解阿罗不可能定理的由来。
阿罗不可能定理是数学界最基本的定理之一，阿罗于1644年发表《数论》。
他的任务是证明所有的数都能被写成两个素数的和。
他证明了所有的正整数都能被写成两个质数的和。
如何证明的呢？一开始他仅仅考虑质数，但是随着质数个数的增加，这种做法变得越来越繁琐。
因此他便证明出：所有的偶数都可以被表示为两个质数的和。
此时人们已经无法再接受“质数比合数多”这种说法了，阿罗想必也很清楚这一点。
因此，人们通常所说的“阿罗不可能定理”其实只是指“所有的奇数都可以被表示为两个质数的和”。
当然这并没有什么错，关键在于证明方法有错。
那是不是说阿罗在证明的时候犯了错误呢？这倒不是，如果你看过《数论》这本书，就会发现阿罗在证明的时候没有采用任何的穷举法，而是使用了穷举法中的“加法原则”，即“对每个大于1的偶数N，都有N-1个小于N的偶数N-1等于N”。
但是在证明的过程中，阿罗却使用了一种非常不精确的方法。
比如，当N是两位数时，他认为这个数一定可以表示成“ 3+5”，而当N是三位数时，他又认为这个数一定可以表示成“ 3+7”。
这样做的后果就是，其实这个数完全可以表示成N-1+N，因此无论怎么表达，阿罗的证明都是正确的。
但是阿罗却将其证明成N-1+N，从而造成了阿罗的证明无效。
如果你将阿罗不可能定理放到《数论》这门课程中去讲，还可以告诉学生，证明一个定理一定要保持精确，否则你的证明会产生意想不到的结果。
同样的例子还有许多。
在证明的过程中，我们需要尽量减少计算量。
在解答的时候，也需要做好充足的准备，否则一个小小的疏忽，就有可能造成证明失败。
arrow不可能定理
arrow不可能定理【最新版】目录1.Arrow 不可能定理的概念2.Arrow 不可能定理的证明3.Arrow 不可能定理的意义4.Arrow 不可能定理的应用正文1.Arrow 不可能定理的概念Arrow 不可能定理，又称阿罗不可能定理，是由美国经济学家肯尼斯·阿罗（Kenneth Arrow）于 1951 年提出的一个著名经济学原理。
该定理指出，在特定条件下，一个经济体系中不可能存在一种完全满足特定性质的社会选择规则。
简单来说，阿罗不可能定理表明，在具有一定条件的社会选择问题中，不存在一种公平、有效的投票方式。
2.Arrow 不可能定理的证明阿罗不可能定理的证明主要基于四个条件，即完备性、可传递性、独立性和公正性。
完备性指的是对于所有可能的候选方案，选民总能表达出其偏好；可传递性是指如果选民 A 更喜欢方案 B，选民 B 更喜欢方案 C，那么选民 A 就应该更喜欢方案 C；独立性是指选民的偏好不应该受到其他因素的影响；公正性是指每个选民的投票权重应该相同。
在满足完备性、可传递性和独立性这三个条件的情况下，阿罗证明了不存在一种公正的社会选择规则。
这是因为在满足这三个条件的情况下，会出现循环投票现象，导致无法确定最终的优胜方案。
为了解决这个问题，阿罗添加了公正性这个条件，但在这种情况下，又无法满足完备性和可传递性。
因此，阿罗不可能定理揭示了在特定条件下，社会选择问题无法找到一种既公平又有效的解决方案。
3.Arrow 不可能定理的意义阿罗不可能定理对经济学、政治学和社会学等领域产生了深远的影响。
它使我们认识到，在一个多元化的社会中，要找到一种让所有人都满意的决策方式是非常困难的。
同时，它也为政策制定者提供了一个理论依据，帮助我们理解在特定情况下，为何难以达成共识。
此外，阿罗不可能定理还为后续的社会选择理论研究提供了一个重要的起点。
4.Arrow 不可能定理的应用尽管阿罗不可能定理表明在特定条件下无法找到一种既公平又有效的社会选择规则，但它仍然具有重要的实践意义。
阿罗不可能性定理
于是得到三个社会偏好次序——（a ＞ b ）、（b ＞ c ）、（c ＞ a ），其投票结果显示“社会偏 好”有如下事实：社会偏好a胜于b、偏好b胜于c、 偏好c胜于a。显而易见，这种所谓的“社会偏好次 序”包含有内在的矛盾，即社会偏好a胜于c,而又 认为a不如c！所以按照投票的大多数规则，不能得 出合理的社会偏好次序。 阿罗不可能定理说明，依靠简单多数的投票原则， 要在各种个人偏好中选择出一个共同一致的顺序， 是不可能的。这样，一个合理的公共产品决定只能 来自于一个可以胜任的公共权利机关，要想借助于 投票过程来达到协调一致的集体选择结果，一般是 不可能的。
4、阿罗不可能性定理-推理
阿罗认为：有关社会选择的两个公理和民主决策方式所需要的 四个条件是不相适应的。 （1）社会选择的两个公理
①连贯性（connectedness）； ②传递性（transitivity）；
（2）民主决策方式所需满足的四个条件 ①集体理性：即如果所有个人的偏好具备完备性、传递性和自反性，则 任何决策机制所导出的集体偏好也必须具备这些特性 ②无限制性：公众决策机制不得排斥任何形式的个人偏好，只要该偏好 具备完备性、传递性和自反性 ③帕累托较优性：如果每个人都认为方案A比方案B优越，那么集体偏 好也必须认为A比B优越 。 ④偏好独立性：集体偏好对A和B之间的排名只取决于人们对这两选择 之间的排名，而跟人们对其他选择的排名无关 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
公平的四种观点
平均主义 ：社会的所有成员得到同等数量 的商品。 罗尔斯主义：使境况最遭的人的效用最大化。 功利主义：使社会所有成员的总效用最大。 市场主导：市场结果是最公平的。
最后再总结一下，阿罗的不可 能性定理是指：如果众多的社 会成员具有不同的偏好，而社 会又有多种备选方案，那么在 民主的制度下不可能得到令所 有的人都满意的结果。
简述阿罗不可能定理
简述阿罗不可能定理
阿罗不可能定理是一个由著名数学家艾伦·阿罗制定的定理，它是用来证明一个系统是不可能完全准确表述某一时刻所处环境中所有相关事件发生的顺序的。
它是20世纪一个重要的数学定理，因此它被认为是在证明某些系统的实现中必须要遵守的一个重要的定理。
阿罗的不可能定理的核心是：任何一个系统中，即使不存在逻辑性错误，仍然不可能对一个定义的域作出完全准确的断言。
因为域中的相关事件的发生顺序的关系是连续的，系统也一定会存在着不确定性。
在这里，“不确定性”指的是系统在一个时刻内，不可能有完全无误地判断出三个以上事件发生的完美顺序。
在实际应用中，阿罗不可能定理也拓展到计算机科学领域，进而对计算机信息系统设计中也有着重要的影响。
它指出，只有在系统存在循环、虚拟性或者严格绝对的唯一性之后，系统才能够完全无误地判断出三个相关事件发生的顺序。
它的优势在于可以很好地减少系统的复杂性，提高信息系统的运行效率和可靠性。
总之，阿罗不可能定理对于当代的计算机科学以及信息系统设计具有重要的意义，只有在遵守此定理的基础上才能保证信息系统设计的正确性和合理性，为系统的有效管理和运行提供坚实的保证。
阿罗不可能定理通俗理解
阿罗不可能定理通俗理解阿罗不可能定理，也叫反馈控制理论不可能定理，是由美国数学家阿尔伯特·阿罗在20世纪60年代提出的一个定理。
它揭示了在反馈系统中有哪些因素是不可能同时出现的，这在工程和自然科学中有着广泛的应用。
在质量保证、自调整和稳定化的应用中，反馈系统是非常重要的一部分。
这个系统对于某些需求和行为模式进行调整和改善。
而阿罗不可能定理告诉我们哪些要素不可能同时出现，这是一个非常有用的指导。
下面，我将详细介绍阿罗不可能定理。
阿罗不可能定理，简而言之，指的是在一个反馈控制系统中，如果我们要达到某些性能要求，那么就不可能同时满足三个条件：快速响应、精确度高和无稳定误差。
这三个条件中，任意两个可以同时满足，但三个条件无法同时满足。
我们先来解释一下这三个条件：1. 快速响应：指的是系统在遭遇干扰时，能够尽快做出反应并加以纠正。
快速响应可以避免系统运行过程中出现大量的误差。
2. 精确度高：指的是系统的输出结果和期望的结果之间的误差较小。
精确度高意味着系统输出的结果比较准确。
3. 无稳定误差：指的是系统在达到稳定状态后，输出结果与期望结果的误差为零。
无稳定误差意味着系统具有足够的鲁棒性。
阿罗不可能定理的意义在于，我们必须根据实际需求做出合理的选择，并且要根据具体情况进行权衡与取舍。
如果我们强求同时满足这三个条件，系统的效果会非常不稳定，也会容易导致系统的失败。
因此，我们应该根据具体情况对条件进行权衡。
比如，如果我们要选择精确度和无稳定误差，那么我们就要放弃快速响应。
反之亦然，如果我们要选择快速响应和精确度，那么我们就要放弃无稳定误差。
总之，阿罗不可能定理为我们提供了一个非常有用的思考方式，能够引导我们在反馈系统设计中做出明智的选择。
我们应该根据具体需求，根据三个条件进行平衡，从而实现一个可靠、高效的反馈系统。
阿罗不可能定理
轻松学术语阿罗不可能定理（Arrow’s impossibility theorem）郭万超术语故事“不可能”——人类的无奈在人们的心目中，选举的意义恐怕就在于大家根据少数服从多数的原则通过投票推举出最受我们爱戴或信赖的人。
然而，通过选举能否真正达到这个目的呢？ 1972年，诺贝尔经济学奖获得者、美国经济学家肯尼斯·约瑟夫·阿罗(K. J. Arrow)采用数学方法于1951年深入研究了这个问题，并得出：当至少有三名候选人和两位选民时，大多数情况下这是不可能的，这就是鼎鼎大名的“阿罗不可能定理”。
这种“不可能”同样适用于其他将每个个人意愿的先后顺序排列成整个群体的偏好顺序的情况。
考虑这样一个社会，其中包括三个人，分别用1、2和3代表。
这三个人在三种方案a、b和c之间进行选择，以形成三人共同的，即社会的方案。
首先将个人选择看做每个人根据自己的喜好程度给各种备选方案从大到小的排序过程，每个人的喜好排序满足下列要求：1．对任意一对备选方案a、b，一个人喜欢a 胜于b、喜欢b胜于a和对两者同样喜欢这三种情况必有其一。
这被称为完全性。
2．任意一个备选方案至少和它自身一样好。
或者说，从同样的偏好标准出发，一个人不能既喜欢又不喜欢同一个备选方案。
这被称为反身性。
3．如果一个人喜欢a胜于b，喜欢b胜于c，那么他应该喜欢a胜于c。
这被称为传递性。
显而易见，对于一个正常人来说，这三个要求相当合情合理，绝无过分之处。
现在假定单个人对三种方案的喜好次序分别为(a，b，c)1、(b，c，a)2、(c，a，b)3，并按照这些喜好对每一对可能方案进行投票；社会的选择方案按“大多数规则”从这些单个人投票中得出。
首先对a和b两种方案进行投票。
根据上面假定的单个人喜好次序，3人的投票结果应为： (a，b)1、(b，a)2、(a，b)3，于是，按大多数规则，社会偏好次序就是(a，b)；其次考虑方案b和c。
我们有：(b，c)1、(b，c)2、(c，b)3，社会偏好次顺序为(b，c)；最后是a和c。
阿罗不可能定理通俗理解
阿罗不可能定理通俗理解
阿罗不可能定理，也称为计算不可能定理，是20世纪30年代由英国数学家阿罗提出的一条重要定理。
该定理指出，不存在通用的计算机程序能够解决所有问题。
那么这个定理的具体含义是什么呢？简单来说，就是存在某些问题是无法被计算机解决的，而这些问题通常被称为“不可计算问题”。
这些不可计算问题往往是关于某些数学对象的性质的问题，比如判定某个数是否是素数、判定某个图形是否可彩色等等。
虽然我们可以通过手工计算得到某些特定例子的解，但是我们无法找到一种通用的方法来解决所有这类问题。
这个定理的意义在于，它限制了计算机的能力，告诉我们有些问题是无法被计算机解决的，必须寻找其他方法来解决。
同时，这个定理也推动了计算机科学的发展，促使人们不断探索新的计算方法和算法，以更好地解决各种实际问题。
- 1 -。
阿波罗不可能定理
1951年阿罗指出的不可能性定理是福利经济学中的第一个不可能性定理，证明了在某些条件下阿罗社会福利函数是不存在的。
实际上，阿罗证明的是阿罗一般性定理(General Possibility Theorem)，该定理证明了阿罗社会福利函数必须至少满座五个合理化的条件，即：1．符合逻辑的个人效用函数的任意性(free triple)；在所有状态中至少有三种选择，关于这三种选择，所有逻辑上可能的个人排序都是可以接受的。
2．社会价值和个人价值选择的正或非负关联性(positive or not negative association)；社会排序随着个人价值判断的变化而同方向变化，或者至少不是反方向变化。
因此，如果在每个人的排序中某个社会状态的排序上升或保持不变，而在这些排序中没有发生其他的变化，那么，我们就可以预期，该社会状态在社会排序中的排序也上升或至少没有下降。
3．无关选择的独立性(independence of irrelevant alternatives)；给定条件下社会所做出的选择只取决于该条件下个人对这些选择的排序。
换言之，如果我们考虑这样的两个个人选择集合，对每一个个人而言，他对于给定条件下特定选择的排序在任何时候都是一样，那么我们就可以要求，在该条件下，当个人的价值判断由第一个排序集合给出时，和当个人的价值判断由第二个排序集合给出时，社会所做出的选择应该是相同的。
4．非强迫性或公民的主权性(non-imposition or citizens’sovereignty)；如果有一组选择x和y，无论所有人的偏好是什么，社会都不会显示出y胜于x，即使所有人都认为y胜于x，社会的排序也仍然是x不差于y，这样的社会排序就是强加的。
该条件要求社会排序必须根据个人排序得出。
5．非独裁性(non-dictatorship)；如果对于每一组选择，某个人的偏好就是社会的偏好，而不管其他人的排序如何，这种制度就是独裁。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
阿罗的不可能定理阿罗的不可能定理（Arrow's Impossibility Theorem）[编辑]阿罗的不可能定理概述阿罗不可能定理是由1972年诺贝尔经济学奖的获得者之一阿罗首先陈述和证明的。
1951年肯尼斯·约瑟夫·阿罗（Kenneth J．Arrow)在他的现在已经成为经济学经典著作的《社会选择与个人价值》一书中，采用数学的公理化方法对通行的投票选举方式能否保证产生出合乎大多数人意愿的领导者或者说“将每个个体表达的先后次序综合成整个群体的偏好次序”进行了研究。
结果，他得出了一个惊人的结论：绝大多数情况下是——不可能的！更准确的表达则是：当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗公理的选举规则。
或者也可以说是：随着候选人和选民的增加，“程序民主”必将越来越远离“实质民主”。
从而给出了证明一个不可思议的定理：假如有一个非常民主的群体，或者说是一个希望在民主基础上作出自己的所有决策的社会，对它来说，群体中每一个成员的要求都是同等重要的。
一般地，对于最应该做的事情，群体的每一个成员都有自己的偏好。
为了决策，就要建立一个公正而一致的程序，能把个体的偏好结合起来，达成某种共识。
这就要进一步假设群体中的每一个成员都能够按自己的偏好对所需要的各种选择进行排序，对所有这些排序的汇聚就是群体的排序了。
[编辑]阿罗不可能定理的孕育和诞生阿罗不可能定理的证明并不难，但是需要严格的数学逻辑思维。
关于这个定理还有一段情节颇为曲折的故事。
阿罗在大学期间就迷上了数学逻辑：读四年级的时候，波兰大逻辑学家塔斯基(Tarski) 到阿罗所在的大学讲了一年的关系演算，阿罗在他那里接触到诸如传递性、排序等概念在此之前．阿罗对他所着迷的逻辑学还是全靠自学呢。
后来，阿罗考上研究生．在哈罗德·霍特林（Harold Hotelling)的指导下攻读数理经济学他发现，逻辑学在经济学中大有用武之地就拿消费者的最优决策来说吧，消费者从许多商品组合中选出其最偏好的组合、这正好与逻辑学上的排序概念吻合。
又如厂商理论总是假设厂商追求利润最大化，当考虑时间因素时，因为将来的价格是未知的厂商只能力图使基于期望价格的期望利润最大化。
我们知道、现代经济中的企业一般是由许多股东所共同拥有100个股东对将来的价格可能有100种不同的期望，相应地根据期望利润进行诸如投资之类的决策时便有100种方案。
那么，问题如何解决呢?一个自然的办法是由股东(按其占有股份多少)进行投票表决，得票最多的方案获胜这又是一个排序问题阿罗所受的逻辑训练使他自然而然地对这种关系的传递性进行考察结果轻而易举地举出了一个反例。
阿罗第一次对社会选择问题的严肃思考就这样成为他学习标准厂商理论的一个副产品不满足传递性的反例激起了阿罗的极大兴趣，但同时也成为他进一步研究的障碍因为他觉得这个悖论素未谋面但又似曾相识。
事实上这的确是一个十分古老的悖论，是由法国政治哲学家、概率理论家贡多赛在1785年提出的但是阿罗那时对贡多赛和其他原始材料一无所知，于是暂时放弃了进一步的研究。
这是1947年。
次年，在芝加哥考尔斯(Cowles)经济研究委员会，阿罗出于某种原因对选择政治学发生了浓厚的兴趣：他发现在某些条件下，“少数服从多数”的确可以成为一个合理的投票规则。
但是一个月后，他在《政治经济学杂志》里发现布莱克(Black)的一篇文章已捷足先登，这篇文章表达了同样的思想看来只好再一次半途而废了。
阿罗没有继续研究下去其实还有另一层的原因，就是他一直以严肃的经济学研究为己任，特别是致力于运用一般均衡理论来建立一个切实可行的模型作为经济计量分析的基础他认为在除此以外的“旁门左道’中深究下去会分散他的精力。
1949年夏天，阿罗担任兰德公司(Rand)的顾问。
这个为给美国空军提供咨询而建立起来的公司那时的研究范围十分广泛，包括当时尚属鲜为人知的对策论。
职员中有个名叫赫尔墨([[]Helmer]]) 的哲学家试图将对策论应用于国家关系的研究，但是有个问题令他感到十分棘手：当将局中人诠释为国家时，尽管个人的偏好是足够清楚的，但是由个人组成的集体的偏好是如何定义的呢?阿罗告诉他，经济学家已经考虑过这个问题，并且一个恰当的形式化描述已经由伯格森(Bergson)在1938年给出。
伯格森用一个叫做社会福利函数的映射来描述将个人偏好汇集成为社会偏好的问题，它将诸个人的效用组成的向量转化为一个社会效用虽然伯格森的叙述是基于基数效用概念的，但是阿罗告诉赫尔墨，不难用序数效用概念加以重新表述。
于是赫尔墨顺水推舟，请阿罗为他写一个详细的说明，当阿罗依嘱着手去做时，他立即意识到这个问题跟两年来一直困扰着他的问题实际上是一样的。
既然已经知道“少数服从多数“一般来说不能将个人的偏好汇集成社会的偏好，阿罗猜测也许会有其他方法。
几天的试探碰壁之后，阿罗怀疑这个问题会有一个不可能性的结果。
果然，他很快就发现了这样一个结果；几个星期以后，他又对这个结果作进一步加强。
阿罗不可能定理就这样呱呱坠地了。
从1947年萌发胚芽到1950年开花结果，阿罗不可能定理的问世可谓一波三折，千呼万唤始出来，而且颇有点无心插柳的意味。
但是，正是在这无心背后的对科学锲而不舍的追求，才使逻辑学在社会科学这块他乡异壤开出一朵千古留芳的奇葩这不能不说是耐人寻味的。
[编辑]阿罗的不可能定理的内容阿罗的不可能定理源自孔多塞的“投票悖论”，早在十八世纪法国思想家孔多塞就提出了著名的“投票悖论”：假设甲乙丙三人，面对ABC三个备选方案，有如图的偏好排序。
甲（a ＞ b ＞c）乙（b ＞ c ＞a）丙（c ＞ a ＞b）注：甲（a ＞ b ＞c）代表——甲偏好a胜于b，又偏好b胜于c。
1.若取“a”、“b”对决，那么按照偏好次序排列如下：甲（a ＞ b ）乙（b ＞ a ）丙（a ＞ b ）社会次序偏好为（a ＞ b ）2.若取“b”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：甲（b ＞ c ）乙（b ＞ c ）丙（c ＞ b ）社会次序偏好为（b ＞ c ）3.若取“a”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：甲（a ＞ c ）乙（c ＞ a ）丙（c ＞ a ）社会次序偏好为（c ＞ a ）于是我们得到三个社会偏好次序——（a ＞ b ）、（b ＞ c ）、（c ＞ a ），其投票结果显示“社会偏好”有如下事实：社会偏好a胜于b、偏好b胜于c、偏好c胜于a。
显而易见，这种所谓的“社会偏好次序”包含有内在的矛盾，即社会偏好a胜于c,而又认为a不如c！所以按照投票的大多数规则，不能得出合理的社会偏好次序。
阿罗不可能定理说明，依靠简单多数的投票原则，要在各种个人偏好中选择出一个共同一致的顺序，是不可能的。
这样，一个合理的公共产品决定只能来自于一个可以胜任的公共权利机关，要想借助于投票过程来达到协调一致的集体选择结果，一般是不可能的。
[编辑]阿罗的不可能定理的推理及学者的评价为了简单起见，假定，每个个体至少有3个供排列的选项，可以用各种味道的饼干为选项的例子，如，香草饼干(V)、巧克力饼干(C)和草莓饼干(S)，每一个人要形成一个序列，表示出他对3种味道的喜爱程度，如V>S>C，表示这个人最喜欢香草饼干，其次是草莓饼干，最后是巧克力饼干。
设有甲乙丙三人作选择，他们的个人偏好为：甲：V>C>S乙：C>S>V丙：S>V>C表1 投票悖论用民主的多数表决方式，如果三个人都能充分表达自己的意见，则结果必然如下所示：首先，在V和C中选择，甲、丙喜欢V，乙喜欢C；然后，在C和S中选择，甲、乙喜欢C，丙喜欢S；最后，在V和S中选择，乙、丙喜欢S，甲喜欢V。
这样三个人的最终表决结果如下：V>C，C>S，S>V可见，利用少数服从多数的投票机制，将产生不出一个令所有人满意的结论，这就是著名的“投票悖论”(paradox of voting)。
这个投票悖论最早是由康德尔赛(Coudorcet，Marquis de)在l8世纪提出的，因而该悖论又称为“康德尔赛效应”，而利用数学对其进行论证的则是阿罗。
用数学语言来说，即：假设群体S上有m个个体成员，群体中出现的各种事件构成一个集合X，每个个体对每一事件都有自己的态度，即每个人都对集合X有一个偏好关系>i=1，2，…，m。
即可以按自己的偏好为事件排序。
定义群体的偏好为：其中P 是一种由每个个体偏好得出群体偏好的规则。
按这个规则从个体排序(偏好)得到群体排序(偏好)，而且这个排序符合民主社会的民主决策的各种要求。
注意这个排序是自反的，即如果A>B，那么，B<A；是可传递的，即如果A>B，B>C，则有A>C；并且还是完全的，即要么A>B，要么B>A，二者只有其一而且必有其一。
这首先要考察一下民主社会的民主决策的各种要求是什么，阿罗用4个公理(有时表述为5条，把公理1分为两条)表述出这些要求。
他用的是数学方法，符号化的公理和数理逻辑的证明方法，为了简单地说明问题，我们采用了自然语言解释。
公理1 个体可以有任何偏好；而且是民主选择——每个社会成员都可以自由地按自己的偏好进行选择(数学上称为原则U—无限制原则：>i，u=1，2，… ，m在x上的定义方式无任何限制)。
公理2 不相干的选择是互相独立的；(数学上称为原则I——独立性原则：对于X中的两个事件X和Y，对它们做出的偏好判断与X中的任何其他事件无关)。
公理3 社会价值与个体价值之间有正向关联；(数学上称为原则P—一致性原则：如果对X 中的两个事件X和Y，对于所有的i都有x <i Y，那么X < s Y。
这里x < i Y表示X > i Y不成立。
就是说，每人都有同样明确态度的两件事，社会也应该有同样的态度。
)公理4 没有独裁者——不存在能把个体偏好强加给社会的可能。
(数学上称为原则D——非独裁原则：不存在某个i，使得阿罗证明，满足这4条公理表述的要求的民主决策的规则是不存在的，就是著名的“阿罗不可能性定理”：如果X中的事件个数不小于3，那么就不存在任何遵循原则U，P，I，D的规则(称为“社会福利函数”)。
这表明满足所有一般条件的民主选择要么是强加的，要么就是独裁的结果。
换句话说，阿罗不可能性定理指出，多数规则(majorily rule)的一个根本缺陷就是在实际决策中往往导致循环投票。
在得多数票获胜的规则下，每个人均按照他的偏好来投票。
不难看出，大多数人是偏好X 胜于Y，同样大多数人也是偏好Y胜于Z。
按照逻辑上的一致性，这种偏好应当是可以传递的(transitivity)，即大多数人偏好X胜于Z。