Bernoulli方程的又一解法及两点结论
伯努利方程伯努利Bernoulli
则 dz (1 n) yn dy ，
dx
dx
代入上式 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x), dx
求出通解后，将 z y1n 代入即得
y1n z
e ( (1n)P( x)dx Q( x)(1 n)e (1n)P( x)dxdx C ).
例 10
解 两端除以 y，得 1 dy 4 y x2 , y dx x
即 du f (u) u .
dx
x
可分离变量的方程
当
f (u) u
0时,
得
du f (u) u
ln C1 x ,
即 x Ce(u) ,
（ (u) du ）
f (u) u
将 u y 代入, x
得通解
x
(
Ce
y) x
,
当 u0 , 使 f (u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解,
所求曲线为 y 3(2ex x2 2x 2).
思考题1
求微分方程
y
cos
y
cos sin 2 y
y
x
sin
y
的通解.
思考题解答
dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y,
dy
cos y
dx tan y x sin 2 y,
dy
x elncos y sin2 y e lncos ydy C
积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为:
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
例8
解 P( x) 1 , Q( x) sin x ,
x
x
y
e
1 x
dx
bernoulli方程
bernoulli方程Bernoulli方程又称Bernoulli微分方程，是17世纪著名比利时数学家Daniel Bernoulli提出的一个重要并且广泛应用的微分方程。
它出现在流体动力学，热力学，物理学及生物学中，也常常用于工程学中。
Bernoulli方程的形式如下：$$p+frac{1}{2}rho v^2+rho gz=C$$其中：p：压力；ρ：流体密度；V：流体速度；Z：流体远离陆地的高度；G：重力加速度；C：常数。
Bernoulli方程提供了一种描述流体动力学的有效方法，它基本上可以用来预测压强，流量，流速等参数在流体中的变化。
它的基本原理是利用流体的动量守恒规律，换言之，任何物质的运动方程式，动量必须保持守恒。
Bernoulli方程实际上是流体动量保持守恒的一种数学表达式，用机械能的方法来描述流体的流动。
Bernoulli方程由动量守恒定律和物理基本定律推导，根据物理基本定律，任何两点之间的压强及压强差均受可压缩性流体的密度影响，而压强就是物体在单位时间内受到的力，用物理学术语来讲就是物体受到的势。
Bernoulli方程反映出任何可压缩性流体在流动中压强与流速之间的关系，即当流动形成不变时，压强与流速之间是一种线性关系。
在许多实际应用场合，Bernoulli方程可以提供一个比较简单的解决方案。
例如，在机械工程领域，它用来解决气动机械装置的内部流动，以及液压机械装置的内部流动；在建筑工程领域，它用来预测风力的发展以及室内的温度场；在生物学领域，它用来分析血管内的血流等。
Bernoulli方程的应用非常广泛，它可以帮助我们了解流体动力学中的理论知识，并分析流体运动的状况，为我们研究和设计各种机械设备提供了有力的支持，在工程和科学的实践中，它被广泛应用。
然而，Bernoulli方程也存在一些局限性。
它只适用于狭义的可压缩流体，即流体的可压缩性必须低于某个临界值，否则该方程就不再适用，其结果可能会出现偏差，这在实际应用中也要注意。
广义Bernoulli方程及其解法
短篇园地广义B ernou lli 方程及其解法Ξ邹泽民 (梧州师专数学系 广西贺州 542800)摘要 本文将一阶微分方程中的B ernou lli 方程d y d x =P (x )y +Q (x )y n 推广到一类一阶非线性方程d y d x =Q (x )f (y )+P (x )f (y ) ∫1f (y )d y (其中1f (y )可积)并得到其初等解法。
关键词 广义B ernou lli 方程 变量代换 一阶线性方程通解在一阶微分方程中,有一些类型的非线性微分方程可经适当的初等变量代换化为线性微分方程,最典型的范例就是B ernou lli 方程的解法。
于是借助于初等变换方法我们可以得到更一般的一类一阶非线性微分方程的解法。
1 广义B ernou lli 方程设函数1f ()可积,形如d y d x =Q (x )f (y )+P (x )f (y ) ∫1f (y )d y(1)的一阶非线性微分方程称为广义Bernou lli 方程。
定理1 广义B ernou lli 方程d y d x =Q (x )f (y )+P (x )f (y ) ∫1f (y )d y 的通解为5(y )=∫1f (y )d y =e ∫P (x )d x [Q (x )e -∫P (x )d xd x +c ]证明 由函数1f (y )可积,令5(y )=∫1f (y )d y又f (y )≠0由(1)可变形为1f (y )d y d x =Q (x )+P (x ) ∫1f (x )d yd (∫1f (y )d y )d x =P (x ) ∫1f (y )d y +Q (x )再令u =5(y )=∫1f (y )d y即d ud x=P (x )u +Q (x )为关于未知函数u 的一阶线性非齐次方程,其通解为u =5(y )=∫1f (y )d y =e ∫P (x )d x [Q (x )e -∫P (x )d xd x +c ]若函数f (y )分别取几类特殊函数时,(1)便有下列几种常见的特殊形式方程,分别有 推论 Bernou lli 方程型d y d x =Q (x )y n +P (x )y n∫1ynd y(2)则有11当n =0时,方程(2)即为一阶线性非齐次方程,通解为y =e∫P (x )d x[∫Q (x )e -∫P (x )d xd x +c ]92V o l 14,N o 12M ar .,2001 高等数学研究STUD IES I N COLL EGE M A TH E M A T I CS Ξ21当n =1时,方程(2)即为d y d x =Q (x )y +P (x )y ln y ,通解为ln y =e∫P (x )d x[Q (x )e -∫P (x )d xd x +c ]31当n ≠0时,且n ≠1时,方程(2)的通解为y1-n=(1-n )e ∫P (x )d x [∫Q (x )e -∫P (x )d xd x +c ] 事实上,此时f (y )=y n定理2 方程d y d x =Q (x )a ny+P (x )(3)通解为a -ny=a -n ∫P (x )d x[c -n ln a ∫Q (x )a n ∫P (x )d xd x ]证明 由方程d y d x =Q (x )a ny +P (x )变形为a -ny d y d x =Q (x )+P (x )a -ny即-1n ln a d (a -ny )d x =Q (x )+P (x )a -nyd (a -ny )d x=-n ln aQ (x )-n ln aP (x )a -ny令a -ny =u 即d ud x =-n ln aQ (x )-n ln aP (x )u 通解为 u =a -ny=e -n ln a ∫P (x )d x[-n ln a ∫Q (x )e n ln a ∫P (x )d x d x +c ]=a-n ∫P (x )d x[c -n ln a ∫Q (x )a n ∫P x (d xd x ]事实上,若方程(1)中的f (y )=a ny时方程即为d y d x =Q (x )a ny +P (x )a ny∫1anyd y也即d y d x =Q (x )a ny -1n ln aP (x )为方程(3)的类型。
试论Bernoulli方程的几种解法
∫ ∫ ∫ 5) y =
[ (1 -
n ) Q (x ) e (1- n) dx P (x ) dx +
c
]
1 1-
n
e-
P (x ) dx
例1
求方程 y ′-
6 x
y
=
-
xy 2 的通解.
解: 1) 作变量替换.
令 z=
y 1-
2=
y-
1, 则原方程变为: z ′+
6 x
z
=
x , 这是一个一阶线性微分方程.
Ed ition)
V o l. 2 Sep t.
N o. 3 2003
Ξ
试论 B e rnou lli 方程的几种解法
冯变英1 张春枝2
(1. 运城学院数学系, 山西 运城 044000; 2. 山西省综合技术学院工贸分院, 山西 太原 030021)
〔摘要〕 文章系统总结了 B e rno u lli 方程的三种解法. 1) 普遍采用的变替换法; 2) 提出了用常 数变易法求解的新观点; 3) 针对特殊的 B e rno u lli 方程的分离变量法.
n) P
(x ) Z ,
dz z
=
-
(1-
n) P (x ) dx , ln z = -
(1 -
n) P (x ) dx + ∫ c1 , z = ce- (1- n) . P (x ) dx
3) 设 z = c (x ) e- (1- ∫ n) P (x ) dx 是方程 z ′+ (1- n) P (x ) z = (1- n)Q (x ) 的通解, 代入方程中
解法1作变?替换将其化为一阶线性微分方程来求解1作变?替换将方程两边同乘以yn则
bernoulli不等式的推导过程
bernoulli不等式的推导过程bernoulli不等式的推导过程：设x>-1,且x≠0,n是不小于2的整数,则(1+x)^n≥1+nx。
证明：先证明对所有正整数不等式成立。
用数学归纳法：当n=1，上个式子成立，设对n-1，有：(1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立。
则(1+x)^n=(1+x)^(n-1)(1+x)>=[1+(n-1)x](1+x)=1+(n-1)x+x+(n-1)x^2=1+nx+nx^2-x^2>=1+nx就是对一切的自然数，当x>=-1，有(1+x)^n>=1+nx下面把伯努利不等式推广到实数幂形式：若r ≤0或r ≥1，有(1+x)^r ≥1 + rx若0 ≤r ≤1，有(1+x)^r ≤1 + rx这个不等式可以直接通过微分进行证明，方法如下：如果r=0，1，则结论是显然的如果r≠0，1，作辅助函数f(x)=(1+x)^r-(1+rx), 那么f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r, 则f'(x)=0 <==> x=0;下面分情况讨论：1. 0 < r < 1，则对于x > 0，f'(x) < 0；对于−1 < x < 0，f'(x) > 0。
严格递增，因此f(x)在x = 0处取最大值0，故得(1+x)^r ≤1+rx。
2. r < 0或r > 1，则对于x > 0，f'(x) > 0；对于−1 < x < 0，f'(x) < 0。
严格递减，因此f(x)在x = 0处取最小值0，故得(1+x)^r ≥1+rx证毕。
浅析气体动力学原理——伯努利方程例解
浅析气体动力学原理——伯努利方程例解气体动力学作为一门研究物体运动的科学，是研究物理学的重要组成部分。
在气体动力学中有许多定律，伯努利方程是其中最基础也最重要的定律之一。
本文将对伯努利方程的原理及其在例题中的解法进行浅析。
一、伯努利方程原理伯努利方程（Bernoulli equation），又称为贝纳方程，是气体动力学的基本方程，由拉丁物理学家Daniel Bernoulli于1738年发现，他发现在一个恒定的系统中，当沿着系统上流动的流体（一般情况下是气体）改变速度和高度，其内能总量是不变的，这一定律叫做伯努利定律。
伯努利方程可以概括为：P +γV +gh = k（γ是气体的比容系数，V是气体流速，h是气体高度，P是气体压强，g是重力加速度，k是常数）式中，其中P +γV体现了气体的动能，gh表示气体的位能，两者之和即为气体的总能量，而k则表示该总能量在系统中是恒定的。
二、伯努利方程在例题中的解法1.设有一个气体在一定的容器中，容器的高度是 h1，而此时气体的压强为P1，流速为V1，则由伯努利方程可知：P1 +γV1 +gh1 = k2.气体流出容器时，留下来的气体高度为h2，压强为P2，流速为V2，由伯努利方程可知：P2 +γV2 +gh2 = k3.上面两公式代入可得：P1 +γV1 +gh1 = P2 +γV2 +gh24.两边中的P1,V1,h1分别消去可得：P2 =γ(V2 - V1) +(h2 - h1)5.此可以看出，当流体从一个容器流出到另一容器时，流体的压强受其高度的变化以及流体的流速变化的影响。
三、结论伯努利方程是气体动力学中重要的基础定律，它描述了在一定系统中流体运动时总能量保持不变的定律。
本文通过一个具体的例子，讲解了伯努利方程的原理及其在例题中的解法，从而使我们对伯努利方程有了更深的理解。
不可压缩能量方程
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不可压缩能量方程
不可压缩流体动力学中，通常使用的是不可压缩能量方程，也称为Bernoulli 方程。
这是一个描述流体在恒定密度条件下沿着一条流线的能量守恒的方程。
Bernoulli 方程的一般形式如下：
21tan 2
P v gh cons t ρρ++= 其中：
• P 是流体的压力，
• ρ 是流体的密度，
• v 是流体的速度，
• g 是重力加速度，
• ℎh 是流体元素的高度。
这个方程的右侧是一个常数，它表示沿着流线的能量密度。
Bernoulli 方程的这种形式是在假设流体是不可压缩（密度恒定）以及没有外部工作或摩擦的情况下得到的。
Bernoulli 方程的应用范围包括水流、空气流动等各种不可压缩流体的情况。
需要注意的是，Bernoulli 方程是在理想条件下得到的，实际流体中可能存在一些摩擦和能量损失，因此在实际应用中需要谨慎使用。
五、伯努利方程
(1 n ) P ( x ) dx
dx C ).
求出通解后， 将 u y1 n 代入即得.
dy n P ( x ) y Q( x ) y dx
例3
令 u y1 n
du 1 1 dy 解: 令 u y , dx 2 y dx du 4 2 u x2 u 代入原方程 2 u dx x 2 du 2 x u dx x 2 解得 u
2 dx x
dy du 2u dx dx
x dx x 2 2 2 [ e x dx C ] x ( 2 C ) 2 2 x . C 即 y x4
2
例4
用适当的变量代换解下列微分方程:
dy n P ( x ) y Q( x ) y dx
解: 令 u
du y x dy 则 , dx dx 1 y 1 du y x ( ) 2 2 x x sin ( xy ) sin u dx
1 cos 2u 2
分离变量 sin 2 u du dx 两边积分 sin 2 u du dx
du x C ,
将 u x y 代回, 所求通解为
y ln( x y 1) C .
2 2
解: 化简得 y xy xe
y 1 ,u e来自 x2[ xe
x2
e dx C ]
x2
2 x 2 x 所求通解为 yu e ( C ). 2
2
dy n P ( x ) y Q( x ) y 令 u y1 n dx 例4 用适当的变量代换解下列微分方程:
化简得 2u sin 2u 4 x C , 将 u xy 代回, 所求通解为 2 xy sin( 2 xy ) 4 x C .