方程组各种类型题目的解法
简单方程组的解法与分类
简单方程组的解法与分类方程组是数学中常见的问题形式，它由多个方程组成，其中每个方程都包含未知数。
解方程组的过程是找到满足所有方程的未知数的值。
在数学中，方程组可以分为简单和复杂两种类型。
本文将讨论简单方程组的解法与分类。
一、一元一次方程组一元一次方程组是最简单的方程组形式，它由一个未知数和一个方程组成。
例如，2x + 3 = 7就是一个一元一次方程组。
解这种方程组的方法是通过运算将未知数的系数和常数项移项，然后进行化简得到最终的解。
二、二元一次方程组二元一次方程组是由两个未知数和两个方程组成。
例如，2x + 3y = 7和3x - y = 1就是一个二元一次方程组。
解这种方程组的方法有多种，其中一种常用的方法是消元法。
消元法的基本思想是通过运算将方程组中的某个未知数的系数相等，然后将两个方程相减或相加，从而消去这个未知数，得到另一个未知数的值。
接着将该值代入其中一个方程，求解另一个未知数的值。
三、三元一次方程组三元一次方程组是由三个未知数和三个方程组成。
例如，2x + 3y - z = 7，3x - y + 2z = 1和x + 2y + z = 5就是一个三元一次方程组。
解这种方程组的方法也有多种，其中一种常用的方法是高斯消元法。
高斯消元法的基本思想是通过运算将方程组中的某个未知数的系数变为1，然后将该未知数的系数乘以其他方程中对应未知数的系数，再将两个方程相减或相加，从而消去这个未知数。
接着将该值代入其中一个方程，求解另外两个未知数的值。
四、非线性方程组除了线性方程组外，还存在非线性方程组。
非线性方程组的特点是方程中的未知数之间存在乘方、开方、对数等非线性关系。
解非线性方程组的方法比较复杂，通常需要运用数值计算方法或近似解法。
其中一种常用的方法是牛顿法。
牛顿法的基本思想是通过迭代逼近的方式，不断改进解的近似值，直到满足方程组的要求。
五、方程组的分类根据方程组的解的情况，可以将方程组分为无解、唯一解和无穷多解三种情况。
(完整版)二元一次方程组的同解错解参数等问题(最新整理)
请解答:已知关于
x、y
的方程组
y y
kx b
3k 1
x
2
分别求出 k,b 为何值时, 方程组的解为:
⑴有唯一解; ⑵有无数多个解; ⑶无解?
5x y 7 ① 例 2. 选择一组 a,c 值使方程组 ax 2 y c
1.有无数多解， 2.无解， 3.有唯一的解
与
x 2y 5 5x by 1
（3） （4）
。
有相同的解，
2、错解 由方程组的错解问题，求参数的值。
ax by 2
x 3
x 2
例：解方程组 cx 7 y 8
时，本应解出
y
2
由于看错了系数
c,从而得到解
y
2
试求 a+b+c 的值。
方法：是正确的解代入任何一个方程当中都对，再把看错的解代入没有看错的方程中去从而求出参数的 值。
4. 已知方程组
4
x
by
2
① ②
x 3
由于甲看错了方程①中的
a
得到方程组的解为
y
1
;
x 5
乙看错了方程②中的
b
得到方程组的解为
y
4
,若按正确的
a、b
计算,求原方程组的解.
5..关于
x、y
的二元一次方程组
x x
y y
5k 9k
的解也是二元一次方程
2x
3y
6
的解,则
k
的值？
6.
若
4x
3y
6z
0,
x
2y
7z0 xyz来自0,求代数式5x2 2y2 z2 2x2 3y2 10z2
综合算式专项练习整式方程组的解法
综合算式专项练习整式方程组的解法解法一：消元法整式方程组是由多个整式方程组成的方程组，通常使用消元法来求解。
首先，我们考虑一个简单的整式方程组：1. 3x + 2y = 82. 2x - y = 4我们可以使用消元法来求解该方程组。
首先我们可以通过第二个方程将y表示为x的表达式，然后将其代入第一个方程，从而得到只含有x的方程。
具体步骤如下：1. 将第二个方程中的y表示为2x-4，得到新的方程：3x + 2(2x-4) = 8化简得： 3x + 4x - 8 = 8合并同类项得：7x - 8 = 8移项得： 7x = 16解得： x = 16/72. 将x的值代入第二个方程，得到y的值：2(16/7) - y = 4化简得： 32/7 - y = 4移项得： -y = 4 - 32/7合并同类项得： -y = 12/7解得： y = -12/7因此，该方程组的解为：x = 16/7，y = -12/7。
类似地，对于含有多个方程的整式方程组，我们可以通过多次消元得到一个只含有一个未知数的方程，然后求解得到该未知数的值，再逐步回代得到其他未知数的值。
解法二：代入法除了消元法外，我们还可以使用代入法来求解整式方程组。
代入法的基本思想是将一个方程的解代入到另一个方程中，从而减少未知数的个数。
我们以一个含有三个方程的整式方程组为例：1. 2x + y + z = 72. x - y + 2z = 33. 3x + 2y - z = 1首先，我们可以从第一个方程中求解出x的值：x = (7 - y - z) / 2然后，将x的表达式代入到第二个方程中，得到只含有y和z的方程：(7 - y - z) / 2 - y + 2z = 3进一步化简得：7 - y - z - 2y + 4z = 6合并同类项得：-3y + 3z - z = -1合并同类项得：-3y + 2z = -1我们可以继续使用代入法求解出y的值：y = (2z + 1) / 3再将y的表达式代入到第三个方程中，得到只含有z的方程：3x + 2(2z + 1) / 3 - z = 1化简得：9x + 4z + 2 - 3z = 3合并同类项得：9x + z = 1最后，我们可以解出z的值：z = 1 - 9x将z的表达式代入到y的表达式中，解出y的值：y = (2(1 - 9x) + 1) / 3最后，将x、y、z的值代入到第一个方程中，检验解的正确性。
线性方程组解法归纳总结
线性方程组解法归纳总结在数学领域中，线性方程组是一类常见的方程组，它由一组线性方程组成。
解决线性方程组是代数学的基础知识之一，广泛应用于各个领域。
本文将对线性方程组的解法进行归纳总结。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的基本方法之一。
其基本思想是通过逐步消元，将线性方程组转化为一个上三角形方程组，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，即将系数矩阵和常数向量合并成一个矩阵。
2. 选取一个非零的主元（通常选取主对角线上的元素），通过初等行变换将其它行的对应位置元素消为零。
3. 重复上述步骤，逐步将系数矩阵转化为上三角形矩阵。
4. 通过回代法，从最后一行开始求解未知数，逐步得到线性方程组的解。
高斯消元法的优点是理论基础牢固，适用于各种规模的线性方程组。
然而，该方法有时会遇到主元为零或部分主元为零的情况，需要进行特殊处理。
二、克拉默法则克拉默法则是一种用行列式求解线性方程组的方法。
它利用方程组的系数矩阵和常数向量的行列式来求解未知数。
具体步骤如下：1. 求出系数矩阵的行列式，若行列式为零则方程组无解。
2. 对于每个未知数，将系数矩阵中对应的列替换为常数向量，再求出替换后矩阵的行列式。
3. 用未知数的行列式值除以系数矩阵的行列式值，即可得到该未知数的解。
克拉默法则的优点是计算简单，适用于求解小规模的线性方程组。
然而，由于需要计算多次行列式，对于大规模的线性方程组来说效率较低。
三、矩阵法矩阵法是一种将线性方程组转化为矩阵运算的方法。
通过矩阵的逆运算或者伴随矩阵求解线性方程组。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵的形式，其中系数矩阵为A，未知数矩阵为X，常数向量矩阵为B。
即AX=B。
2. 若系数矩阵A可逆，则使用逆矩阵求解，即X=A^(-1)B。
3. 若系数矩阵A不可逆，则使用伴随矩阵求解，即X=A^T(ATA)^(-1)B。
矩阵法的优点是适用于各种规模的线性方程组，且运算速度较快。
线性方程组的解法例题线性方程组的解法
线性方程组的解法例题线性方程组的解法第二章线性方程组的解法n阶线性方程组的一般形式为:a11x1,a12x2, ,a1nxn b1 ax,ax, ,ax b 2112222nn2(2.0.1)an1x1,an2x2, ,annxn bnAx b用矩阵表示为: 其中A称为系数矩阵，x称为解向量，b称为常数向量(简称方程组自由项)，它们分别为:x1 b1 a11a12a1nx b aa2122a2n x 2 b 21，， Axn bn an1an2ann如果矩阵A非奇异，即A的行列式值det(A) 0，则根据克莱姆(Cramer)规则，方程组有唯一解:Di,i 1,2, ,n xi D其中D det(A)，Di表示D中等i列换b后所得的行列式值。
但克莱姆规则不适用于求解线性代数方程组，因为计算工作量大得难以容忍。
实际用于求解线性代数方程组的计算方法主要有两种:一是消去法，它属于直接解法;二是迭代解法。
消去法的优点是可以预先估计计算工作量，并且根据消去法的基本原理，可以得到矩阵运算(如矩阵求逆等)的求解方法。
但是，由于实际计算过程总存在有误差，由消去法得到的结果并不是绝对精确的，存在数值计算的稳定性问题。
迭代解法的优点是简单，便于编制计算机程序。
在迭代解法中，必须考虑迭收敛速度快慢的问题。
?2.1 线性方程组的直接计算求解线性代数方程组的直接解法主要是消去法(或称消元2法)。
消去法的基本思想是通过初等行变换:将一个方程乘以某个常数，以及将两个方程相加或相减，减少方程中的未知数数目，最终使每个方程中含一个未知数，从而得到所需要的解。
2.1.1 三角形方程组的计算对下三角形方程组:a11x1 b1ax,ax b 2112222(2.1.1)an1x1,an2x2, ,annxn bn可以通过前代的方法求解:先从第1个方程求出x1，代入第2个方程求出x2，依次类推，可以逐次前代求出所有xi(i 1,2, ,n)，计算公式如下:b1x1 a11i～1bi～ aij xj(2.1.2)j 13xi , i 2, 3, , n aii对上三角形方程组:a11x1,a12x2, ,a1nxn b1ax, ,ax b 2222nn2annxn bn(2.1.3)可以通过回代的方法求解:先从第n个方程求出xn，代入第n～1个方程求出xn～1，依次类推，可以逐次回代求出所有xi(i n,n～1, ,1)，计算公式如下:bnxn annnbi～ aij xj(2.1.4)j i,1xi , i n～1, n～2, , 1 aii2n 前代法和回代法的计算量都是次四则运算。
各类方程组的解法
各类方程组的解法 The pony was revised in January 2021一、一元一次方程步骤：系数化整、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1。
1、系数化整：分子分母带有小数或分数的系数化成整数，方法是分子分母同时乘一个数使得系数变成整数；2、去分母：将包含的分母去掉，方法是等式两边同时乘所有分母的最小公倍数；3、去括号：根据去括号法则将括号去掉；4、移项：过等号要变号，将含未知数的放等号左边，常数放等号右边；5、合并同类项：根据合并同类项法则将同类项合并：6、系数化1：将未知数的系数化成1，方法是等式两边同时除以未知数的系数。
注：不一定严格按照步骤，例如移项的同时可以合并同类项，a(A)=b（a、b是已知数，A是含未知数的一次二项式）型方程可以先将括号前的系数化成1，第5步系数为1时省略1且第6步不需要写。
二、二元一次方程（组）一个二元一次方程有无数个解，它表示平面内一条直线，直线上每个点的坐标都是方程的解。
由两个二元一次方程联立成的二元一次方程组代表空间内两条直线，其公共点坐标就是方程组的解。
当然，若两直线平行则方程组无解，若两直线重合则方程组有无数个解。
当方程组形式复杂时先根据一元一次方程的解法化简成一般形式，然后求解。
1、代入消元法：⑴将任意一个方程变形成“y=带x的式子”或者“x=带y的式子”的形式，代入另一个方程，变成一个一元一次方程；⑵解一元一次方程；⑶将解代入任意一个原方程解出另一个未知数的值，并写出解。
2、加减消元法：⑴方程两边同时乘一个合适的数使得有同一个未知数的系数的绝对值相等（若已有系数的绝对值相等则这一步跳过）；⑵两个方程左右加或减变成一元一次方程（系数相等用减，系数互为相反数用加）；⑶解一元一次方程；⑷将解代入任意一个方程解出另一个未知数的值，并写出解。
3、图像解法：根据图像与方程的关系，在同一个平面直角坐标系中画出两个方程代表的直线，找出公共点的横坐标与纵坐标（不推荐此方法，因为当解为分数时看不出，这只能表示一种关系）。
3.3(2)二元一次方程组的解法(加减消元)及典型例题
m = 1 +2n
1 2 2 5
所以原方程组的解：
m =5 n=2
即m 的值是5，n 的值是4.
7、如果∣y + 3x - 2∣+∣5x + 2y -2∣= 0，求 x 、y 的值. 解：由题意知, y + 3x – 2 = 0 ① 5x + 2y – 2 = 0 ② 由①得：y = 2 – 3x ③ 把③代入② 得： 5x + 2（2 – 3x）- 2 = 0 5x + 4 – 6x – 2 = 0 5x – 6x = 2 - 4 -x = -2 即x 的值是2，y 的值是-4. 把x = 2 代入③，得： y= 2 - 3×2 y= -4 所以原方程组的解： ∴ x=2 y = -4
1 3y 2 3y 6
把（3）代人（2）得
5
解法二：由（1）得：3 y=1-2x (3) 把（3）代人（2）得5x-(1-2x)=6 解法三：(1)+(2)得 : 7x=7 x=1
y 1 3
把x=1代入(1)得 2+3y=1
x 1 1 y 3
试 一 试 ， 有 谁 能 用 三 种 方 法 解 ？
有相
这样可以通过第一个方程组求出x和y的值，再将 这两个值代入第二个方程，求关于a和b的二元 一次方程组。
9、 关于x、y的方程组 解满足3x＋2y＝19，求原方程组的解。
解：
的
分别把m＝1代入到 x＝7m、y＝－m中， 得： x＝7 ，y＝－1 ∴原方程组的解为：
①＋②，得： 2x＝14m x＝7m
6、若方程5x 求m 、n 的值.
m-2n+4y 3n-m =
第5章_线性方程组的解法
k 1
326
0
0
0
a(n) nn
bn(n
)
a1(11)
a(1) 12
a(2) 22
... ... ...
a(1) 1n
a(2) 2n ...
a(n) nn
x1
x2
... xn
bb12((12))
...
bn(n)
回代:
xn
b(n) n
/
a
(n nn
11
3种常用范数：
2-范数（长度）
n
1-范数
x ( 2
xi2 )1/2
i 1
∞-范数
n
x 1
xi
i 1
x
max
1 i n
xi
12
矩阵的范数： 对于给定的n阶方阵A，将比值 Ax / x 的上确界 称为矩阵A的范数
直接由定义知，对于任意向量x，有：|| A x ||≤|| A || || x || 基本性质：
det
a11
an1
a1i1
ani1
b1
bn
a1i1
a1n
ani1 ann
（1）计算n+1个n阶行列式. （计算一个n阶行列式就需要做(n-1)n!次乘法. 要计算n+1个n阶行列式,共 需做(n2-1)n!次乘法）. （2）做n次除法才能算出xi(i=1,… n). （3）用此法，需作乘除法的运算： N=(n2-1)n!+n 例如,当n=10(即求解一个含10个未知量的方程组), 次数共为32659210次； 当n＝100，1033次/秒的计算机要算10120年
a(1) 13
a(2) 23
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方程组各种类型题目的解法
1、如果⎩⎨⎧=-=+.
232,12y x y x 那么=-+-+3962242y x y x _______ 2、二元一次方程3x ＋2y ＝15的正整数解为____________
3、若|2a ＋3b －7|与（2a ＋5b －1）2互为相反数，则a ＝______，b ＝______
4、方程组2x －3y ＝4x －y ＝5的解为_______________
5、已知⎩⎨⎧==1
2y x －是方程组⎩⎨⎧=++=-274123ny x y mx 的解，则m 2－n 2的值为_____
6、若满足方程组⎩⎨⎧=-+=-6
)12(423y k kx y x 的x 、y 的值相等，则k ＝_____ 7、已知2a ＝3b ＝4c ，且a ＋b －c ＝12
1，则a ＝_____，b ＝____，c ＝____ 8、关于x ，y 的二元一次方程ax ＋b ＝y 的两个解是⎩⎨
⎧-==11y x ，⎩⎨⎧==1
2y x ，则这个二元一次方程是________ 9、由方程组⎩
⎨⎧=+-=+-0432032z y x z y x 可得，x ∶y ∶z 是__________ 10、关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-2
312y mx y x 没有解时，m 的值是____
11、若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+52243y b ax y x 与⎪⎩⎪⎨⎧=-=-5
243y x by x a 有相同的解，则a 、b 的值为__________ 12、在解方程组⎩⎨⎧bx+ay=10x -c y=14时，甲正确地解得⎩⎨⎧x=4y=-2，乙把c 写错而得到⎩
⎨⎧x=2y=4，若两人的运算过程均无错误，a 、b 、c 的值为多少？
13、现有二元、五元纸币若干张，价值36元，求二元、五元各几张？
14、一群学生前往位于青田县境内的滩坑电站建设工地进行社会实践活动，男生戴白色安全帽，女生戴红色安全帽.休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象，每位男生看到白色与红色的安全帽一样多，而每位女生看到白色的安全帽是红色的2倍.
问题：根据这些信息，请你推测这群学生共有多少人
15、如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式(其中每个代数式都表示一个数)，
使得每行的３个数、每列的３个数、斜对角的３个数之和均相等． (1)求x ，y 的值；
(2)在备用图中完成此方阵图．
16、如图所示个大小、形状完全相同的小长方形组合成一个周长为68的大长方形，则大长方形的面积为多少？
–2 3 4 2y –x –2 3 4 x y (第8题)
a b c
17、如图①，在第一个天平上，砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量；如图②，在第二个天平上，砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量．请你判断：1个砝码A与多少个砝码C的质量相等．
18、某旅行社拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动，收费标准如下：
甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动．已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人．经核算，若两校分别组团共需花费20 800元，若两校联合组团只需花费18 000元。
（1）两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗？为什么？
（2）两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？
19、汽车从A 地开往B地，如果在原计划时间的前一半时间每小时驶40千米，而后一半时间由每小时行驶50千米，可按时到达，但汽车以每小时40千米的速度行至离AB中点还差40千米时发生故障，停车半小时后，又以每小时55千米的速度前进，结果仍按时到达B地，求AB两地的距离及原计划行驶的时间。
20、甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？
21、今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？
22、有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数
23、有一批待加工的零件共420个，如果甲先做2天后乙加入工作，那么再做2天可以完成；如果乙先做2天后甲加入工作，那么再做3天可以完成，问：甲、乙两人每天各做零件多少个？
24、打折前,买60件A商品和30件B商品用了1080元,买50件A商品和10件B商品用了840元.打折后,买500件A商品和500件B商品用了9600元.问:比不打折少花多少钱?
25、某单位购买梨子、苹果、葡萄一共24箱，共用去426元，已知苹果每箱25元，梨子每箱20元，葡萄每箱16元，问该单位购买了几箱苹果？
26、山脚下有一池塘,泉水以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量不同）不停地向池塘内流淌.现池塘中有一定深度的水,若用一台A型抽水机抽水,则1小时正好能把池塘中的水抽完；若用两台A型抽水机抽水,则20分钟正好把池塘中的水抽完.问若用三台A型抽水机同时抽,则需要多少时间恰好把池塘中的水抽完?。