简单的三元一次方程组的解法
三元一次方程组的解法
三元一次方程组的解法
三元一次方程组是一种重要的数学工具，常用于解决实际问题。
它的解法备受人们的关注，被广泛运用于数学分析、工程设计等领域。
三元一次方程组是由三个未知数和三个方程所组成，它们存在三
个相互抵消的关系，其中最重要两个是线性方程和非线性方程。
它们
经过改写得出一个普通的式子，写出三元一次方程组的一般形式：ax + by + cz = d
ex + fy + gz = h
ix + jy + kz = l
其中a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k和l都是实数，而x、y 和z是未知数，此式称为三元一次方程组的一般形式。
三元一次方程的解法主要由以下步骤组成：首先，确定每个方程
的变量，即确定未知数x、y和z；其次，将每个方程两边部分展开，
形成部分格式；接着，可以将每组关系整理在同一行，也可以将关系
分别整理到各自的行中；最后，利用消元法、逆矩阵法以及其他求解
方法，求出未知数的值，这样就可以得到方程的解了。
在三元一次方程的解法中，需要用到复杂的矩阵计算，通过矩阵
的乘法和消元法实现求解，大大减少了我们的计算复杂度，又可以有
效地提升求解效率，并且对实际问题的解决也有极大地帮助。
因此可以看出，三元一次方程组具有重要的应用价值，不仅可以
用它来解决线性方程和非线性方程，而且还可以应用于例如工程设计、概率论和统计学等各门学科，因此，学习如何解决三元一次方程组，
对我们也是非常有必要的。
三元一次方程组的解法公式
三元一次方程组的解法公式
三元一次方程组是数学中比较重要的一类方程组，在很多领域，如科学、工程、经济学等都有着重要的应用。
它是由三个未知数和三个等号组成的等式组，用来求解三个未知数的值。
三元一次方程组的解法公式是：
若a、b、c均不为0，则方程组的解为：
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}，y=\frac{a\cdot x+c}{b}$$
若a=0，则方程组的解为：
$$x=\frac{c}{b},y=\frac{c}{a}$$
若b=0，则方程组的解为：
$$x=\frac{-c}{a}, y=\frac{a\cdot x+c}{b}$$
若c=0，则方程组的解为：
$$x=0,y=\frac{-b}{a}$$
若a=b=0，则方程组的解为：
$$x=y=\frac{-c}{a}$$
若a=b=c=0，则方程组无解。
三元一次方程组的解法公式很容易理解，但实际的求解过程中，还是可能出现一些麻烦。
比如，当a=b=c＝0时，方程组就没有解，就不能使用上面的公式进行求解。
此外，有时候，三元一次方程组的解法公式求出来的解可能不太容易理解，比如当a、b、c都不为0时，求出来的解可能会比较复杂，需要大量的计算，而且解的形式也可能是不确定的。
因此，在求解三元一次方程组的时候，除了要正确使用上面的解法公式，还要注意检查方程组的系数是否满足要求，以及求出来的解是否符合预期，这样才能得到正确的结果。
如何解三元一次方程组
如何解三元一次方程组解三元一次方程组的一种常见方法是使用消元法。
下面是一个示例：假设我们有以下三元一次方程组：1. 2x + 3y + 4z = 102. 3x + 2y + z = 53. x + y + 2z = 7首先，我们可以使用第一条方程来消去x的系数。
将第一条方程乘以3，将第二条方程乘以2，然后将它们相减，得到一个新的方程：6x + 9y + 12z = 30-6x - 4y - 2z = -10---------------------5y + 10z = 20 (新方程1)接下来，我们可以使用第一条方程来消去y的系数。
将第一条方程乘以2，将第三条方程乘以3，然后将它们相减，得到另一个新的方程：4x + 6y + 8z = 20-3x - 3y - 6z = -21---------------------x + 2z = -1 (新方程2)现在，我们有两个新方程：5y + 10z = 20 (新方程1)x + 2z = -1 (新方程2)我们可以使用这两个方程来解决y和z的值。
首先，将新方程2中的x用新方程1中的y和z表示。
将新方程2中的x替换为-2z-1，得到：-2z - 1 + 2z = -10 = 0我们可以看到，这个方程恒成立，说明y和z的值可以是任意数。
因此，我们无法得到唯一的解。
总结起来，这个三元一次方程组有无穷多个解。
可以用参数化的方式表示解，如：x = -2z - 1y = t (其中t为任意实数)z = s (其中s为任意实数)这只是解三元一次方程组的一种方法，还有其他方法，如代入法、矩阵法等。
具体使用哪种方法取决于具体的方程组和个人偏好。
三元一次方程组的一般形式和加减消元法求解过程
三元一次方程组的一般形式和加减消元法求解过程方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，这就构成了一个三元一次方程组．三元一次方程组的一般形式为：a1x+b1y+c1z=d1①a2x+b2y+c2z=d2②a3x+b3y+c3z=d3 ③可以采用类似二元一次方程组的加减消元的方法求解．将①式乘以c2，②式乘以c1，可得：a1c2x+b1c2y+c1c2z =d1c2④a2c1x+b2c1y+c1c2z =d2c1 ⑤④式减⑤式得：(a1c2- a2c1)x+(b1c2- b2c1)y =d1c2- d2c1⑥将②式乘以c3，③式乘以c2，可得：a2c3x+b2c3y+c2c3z =d2c3⑦a3c2x+b3c2y+c2c3z =d3c2⑧⑦式减⑧式得：(a2c3- a3c2)x+(b2c3- b3c2)y =d2c3- d3c2⑨由⑥⑨两式可得二元一次方程组：(a1c2- a2c1)x+(b1c2- b2c1)y =d1c2- d2c1(a2c3- a3c2)x+(b2c3- b3c2)y =d2c3- d3c2这样就将一个三元一次方程组转化成了一个二元一次方程组．解这个二元一次方程组可得：x＝d1b2c3− d1b3c2− d2b1c3+ d2b3c1+ d3b1c2− d3b2c1 a1b2c3− a1b3c2− a2b1c3+ a2b3c1+ a3b1c2− a3b2c1y＝a1d2c3− a1d3c2− a2d1c3+ a2d3c1+ a3d1c2− a3d2c1 a1b2c3− a1b3c2− a2b1c3+ a2b3c1+ a3b1c2− a3b2c1再将以上x、y的解代入①或②或③式中可解得：z＝a1b2d3− a1b3d2− a2b1d3+ a2b3d1+ a3b1d2− a3b2d1 a1b2c3− a1b3c2− a2b1c3+ a2b3c1+ a3b1c2− a3b2c1即方程组的解为：x＝d1b2c3− d1b3c2− d2b1c3+ d2b3c1+ d3b1c2− d3b2c1 a1b2c3− a1b3c2− a2b1c3+ a2b3c1+ a3b1c2− a3b2c1y＝a1d2c3− a1d3c2− a2d1c3+ a2d3c1+ a3d1c2− a3d2c1 a1b2c3− a1b3c2− a2b1c3+ a2b3c1+ a3b1c2− a3b2c1.z＝a1b2d3− a1b3d2− a2b1d3+ a2b3d1+ a3b1d2− a3b2d1 a1b2c3− a1b3c2− a2b1c3+ a2b3c1+ a3b1c2− a3b2c1可以看出，三元一次方程组和二元一次方程组一样，当知道了每个方程中未知数的系数和等号右边的常数项时，方程解可以由这些数直接计算得到．因此我们可以用分离系数的方法求解三元一次方程组．。
三元一次方程组解法举例
6. 写出方程组的解，并检验解的正确性。
代入法应用举例
例如，对于三元一次方程组
$\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 6 \ x - y + 2z = 3 \ 3x + 2y - z = 8 \end{array} \right.$可以使用代入法求解
解法选择策略与注意事项
选择策略
在面对三元一次方程组时，首先观察方程组 的系数特点，如果系数简单且易于代入，可 以选择代入法；如果存在明显可消元的变量 ，可以尝试消元法；对于复杂方程组，建议 采用矩阵法进行求解。
注意事项
在使用代入法和消元法时，要注意选择合适 的变量进行代入或消元，避免计算过于复杂 ；在使用矩阵法时，需要确保理解矩阵运算 的基本原理，正确构建系数矩阵和常数矩阵 ，以保证求解的准确性。
三元一次方程组解法 举例
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目录
• 三元一次方程组概述 • 三元一次方程组解法——代入法 • 三元一次方程组解法——消元法 • 三元一次方程组解法——矩阵法 • 三种解法的比较与总结
01
三元一次方程组概述
三元一次方程组的定义
定义
三元一次方程组是指包含三个未知数的一次方程所组成的方程组。
杂的方程组，可以通过计算机进行高效求解。
• 缺点：需要一定的线性代数基础知识，对于初学者可能难以
03
理解。
适用范围的讨论
代入法
适用于变量系数较为简单 ，易于进行代入计算的情 况。
消元法
适用于方程组中存在较为 明显的可消元变量的情况 。
矩阵法
三元一次方程组的解
三元一次方程组的解三元一次方程组是指含有三个未知数的一次方程组，我们可以通过一定的方法来求解这些方程的解。
下面就让我来为大家详细介绍一下三元一次方程组的解法。
一、初等变换法初等变换法是指通过对方程组进行加法、减法、乘法等基本运算，来得到方程组的解。
这种方法相对简单，适用于一些比较简单的方程组。
下面是一个使用初等变换法解三元一次方程组的例子：$x + y + z = 10$$2x - y + 3z = 5$$3x + 4y - 2z = 7$先将第2个式子加到第3个式子上，得到：$x + y + z = 10$$2x - y + 3z = 5$$5x + 3y + z = 12$再将第1个式子乘以2，得到：$2x + 2y + 2z = 20$$2x - y + 3z = 5$$5x + 3y + z = 12$将第1个式子减去第2个式子，得到：$x + 3y - z = 15$$2x - y + 3z = 5$$5x + 3y + z = 12$将第2个式子乘以3，得到：$x + 3y - z = 15$$6x - 3y + 9z = 15$$5x + 3y + z = 12$将第2个式子乘以2，得到：$x + 3y - z = 15$$12x - 6y + 18z = 30$$5x + 3y + z = 12$将第2个式子减去第1个式子的3倍，得到：$x + 3y - z = 15$$3x - 15z = 3$$5x + 3y + z = 12$再将第3个式子减去第1个式子的5倍，得到：$x + 3y - z = 15$$3x - 15z = 3$$4y - 4z = -63$由第2个式子得：$x = 5z + 1$将上面的式子带入第1个和第3个式子中，得到：$20z + 16y = 79$$25z + 14y = 47$解得 $y=-\dfrac{1}{2}$，$z=\dfrac{9}{5}$，最终得到：$x=3$，$y=-\dfrac{1}{2}$，$z=\dfrac{9}{5}$二、高斯消元法高斯消元法是求解三元一次方程组的一种比较常用的方法，它的主要思想是通过消元的方式，将方程组化成为一个上三角矩阵，然后就可以通过回带的方法来解方程组。
3三元一次方程组解法举例
三元一次方程组解法举例一、学习内容熟练掌握简单的三元一次方程的解法。
二、例题分析第一阶梯[例1]解方程组提示：解一次方程的思想是什么？可以采取什么方法来实现？参考答案：解：把①代入②得5x+3(2x-7)+2z=2整现得11x+2z=23 ④④×2+③得25x=50，x=2把x=2代入①和③得y=-3，z=∴是原方程的解说明：解三元一次方程，可以先消去一个未知数化为二元一次方程来解，即三元转化二元转化一元，因此代入消元、加减消元法均可运用。
[例2]提示：此方程组是一个三元一次方程组，我们知道，解二元一次方程组的基本方法是代入法和加减法，事实上，在求解过程中，不管是代入或是加减，其目的是消元，把二元转化为一元，从而求解，类似，三元一次方程组的解法也可以设法将三元二元一元，观察方程组，①中含有两个未知数，可以变形为y=2x-7 ④，把④分别代入②，③，便于消去y，得到一个关于x，z的二元一次方程组，通过求解x，z便可求出y的值，从而达到解三元一次方程组的目的。
参考答案：解：由①得y=2x-7④将④分别代入②③得⑤-⑥得12x=48∴x=4把x=4代入⑤得4+z=3∴z=-1把x=4，z=-1代入②得4+2y+5(-1)=12y=2∴y=1说明：此题也可以用代入法求解x，z，一般来说，当方程组中某个未知数为1时，用“代入法”来求解比较简，当某个未知数的系数绝对值相等或成整数倍时用"加减法"消元比较容易，特别对多元一次方程组，两者可以结合起来。
第二阶梯[例1]提示：考虑用加减法，三个方程中，z的系数比较简单，设法先消去z，① + ③可以消去z，得到一个只含x，y的方程，进一步② + ③×2，也可以消去z得到一个只含x，y的方程，这样，就得到了一个关于x，y的二元一次方程组。
参考答案：① + ③得 5x + 5y = 25 ④② + ③×2得 5x + 7y = 31 ⑤解这个方程组⑤ - ④得∴把x = 2，y = 3代入①得3×2 + 2×3 + z = 13 ∴z = 1说明：此题是根据观察三个未知数的系数，先要考虑好消去哪个未知数，这是根据谁的系数简单，就消去谁，此题还可以利用① - ②×3，③ - ②×2消去x或① - ②×2，③ - ②×3消去y，都可以利用消元法求解方程组，可见消元法是解多元一次方程组基本方法。
三元一次方程组的公式解
____年____班 座號__________姓名______________三元一次方程組的公式解1. 克拉瑪公式：設111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 為三元一次方程組﹒當0∆≠時﹐此方程組恰有一組解﹐且其解為x =x∆∆﹐y =y ∆∆﹐z =z∆∆﹒類1、利用克拉瑪公式﹐解方程組2445613x y z x y z x y z +-=⎧⎪--=-⎨⎪-+=⎩﹒4716x =﹐98y =﹐1916z =類2、利用克拉瑪公式解方程組23125930x y z x y z x y z +-=-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩﹒3x =﹐2y =-﹐1z =類3、利用克拉瑪公式解方程組2343214323x y z x y z x y z --=⎧⎪+-=-⎨⎪+-=-⎩﹒2x =﹐3y =-﹐1z =類4 、設x ﹑y 為實數且()()225737950x y x y +++++=﹐則x y= (1)1 (2)1- (3)2 (4)2-﹒4三元一次方程組的幾何意義方程組111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 所表示的圖形為三個平面﹒1. 當0∆≠時﹐三個平面恰交於一點﹐且其交點坐標為(),,x y z =,,y x z ∆⎛⎫∆∆ ⎪∆∆∆⎝⎭.2.當0∆=時﹐三平面的三個法向量共平面﹐此時三平面相交的情形有7種：類1、解方程組3234351x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩﹐並說明三平面的相交情形﹒無解﹐三平面兩兩相交於一直線﹐沒有共同交點類2、設三平面1:379E x y z--=-﹑2:3E x y z++=﹑3:320E x y z-+=﹐則三平面的相交情形為何﹖(1)三平面互相平行(2)三平面交於一直線(3)三平面兩兩交於一線﹐而這三直線互相平行(4) 2類3、說明下列各方程組所表示的平面相交的情形﹕(1)2306380250x y zx y zx y z+-=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩﹒(2)22134341x y zx y zx y z-+=⎧⎪--=⎨⎪++=⎩﹒(1)交於一點;(2)交於一點類1、三平面為212121ax y zx ay zx y az++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩﹐若此三平面相異﹐而兩兩交線互相平行﹐則a=____________﹒3-類2、試就m值﹐討論方程組()()26211m x y mx m y m⎧+-=⎪⎨-+=-⎪⎩的解﹒5m≠-且2m≠⇒恰一解﹐②5m=-⇒無解﹒③2m=⇒無限多組解﹐213x tty=⎧⎪⇒-⎨=⎪⎩﹐t為實數﹒;類3、方程組111kx y z x ky z x y kz ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩無解時﹐求k =？2-類4、分別求k 值﹐使方程組()()3453258k x y kx k y ⎧++=-⎪⎨++=⎪⎩(1)恰有一組解﹒ (2)無解﹒ (3)有無限多組解﹒(1)1k≠-﹐7-;(2)7k =-;(3)1k =-類5、試就a 值討論()()231132221ax y z x a y z x y a z ⎧++=-⎪+++=⎨⎪+++=-⎩三平面相交情形﹐並求﹐ (1)當5a ⇒≠-且1a ≠時﹐表三平面交於一點﹐ (2)1a= 表兩平面重合與另一平面平行﹐無解﹒(3)5a =- ∴解為一直線x t =﹐212t y -=﹐z t =﹐t 為實數﹒類1、設方程組2315x y z x y z x ay z b --=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩有無限多組解﹐求a ﹐b 的值﹒1a =﹐9b =類2、設方程組3223222x y z x y z x ky z -+=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩有無限多組解﹐求k 的值﹒12類3、設方程組3425157x y z x y z x y z k +-=-⎧⎪++=-⎨⎪+-=⎩有解﹐求實數k 的值18-類4、k 為一實數﹐三平面1:E x y z k -+=-﹑2:346E x ky z -+=-﹑3:34E kx y z -+=-﹐下列何者正確﹖ (1)2k ≠且5k ≠時三平面交於一點 (2)2k =時三平面交於一直線 (3)5k =時三 平面交於一直線 (4)5k =時三平面兩兩交於一直線﹐三交線 兩兩平行 (5)1k =1245類1、設方程組()111122223333:a x b y c z d L a x by c z d a x b y c z d++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 恰有一組解()4,5,6﹐且方程組()()()()111112222233333234:234234a b x b y c z d L a b x b y c z d a b x b y c z d +++=⎧⎪'+++=⎨⎪+++=⎩ 恰有一組解(),,αβγ﹐求α的值﹒故444288x x α'∆∆===⨯='∆∆﹒ 類2、111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩ 解為()1,2﹐則11122225302530ax by c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩ 的解為____________﹒ 32x =-﹐65y =- 類3、設3a b d e =﹐252cb fe =﹐733a d cf =﹐求2323ax by cdx ey f +=⎧⎨+=⎩的解﹒ 52x =﹐76y =類1、設a 為實數﹐已知方程組232240x y z axax y z x x y az +-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩恰有一組解﹐則a的值為____________﹒ 5a ≠且23a ≠-類1、若方程組0220x ky z x ky z y x y z +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩有0x y z ===以外的解﹐則(1)k =____________﹐(2)此方程組的解為____________﹒(1)2;(2)3x ty t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩﹐t 為實數類2設方程組()()010220x y az a x y z a x y z ⎧++=⎪--+=⎨⎪-++=⎩ 除()0,0,0之外尚有其他解﹐求a 值﹒23-或2類1、從上圖(1)到圖(8)中﹐選出各聯立方程組所代表之平面的關係﹕(1)4210x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩﹒ (2)211x y x y =⎧⎪=⎨⎪+=⎩﹒ (3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=-+33232212z y x z y x z y x ﹒ (4)1325x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩﹒ (1)1;(2)5;(3)8;(4)4。
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x y z 26 x y 1 2 x z y 18
(1) (2) (3)
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答案
x=10 Y=9 你做对了吗？
Z=7
新乐市实验学校(1)｛｛解：②×3＋③ ，得
11x＋10z=35 ④
①与④组成方程组
解下列三元一次方程组 3x＋4z=7 ① 2x＋3y＋z=9 ② 5x－9y＋7z=8 ③
解三元一次方程组．
难点：
解三元一次方程组既简单应用。
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自主学习（5分钟）
1、结合课本 21 页问题理解三元一次方 程（组）的概念； 2、结合教材 页例1理解三元一次方程组的 解题思路及一般格式。
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自学检测（1分钟）
1．下列方程组中是三元一次方程组的是（ B ）
x 2 y 3, x 2 y 5, A. x 2 y 4, B. 3x z 7, 2 y 3z 6 2x y 7 x y 2, x2 y z 5, C. y z 1, D. x y 6, z t 3 y xy 7 2.三元一次方程组要满足什么条件呢？
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孙小然主备
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复习巩固（2分钟）
1、二元一次方程的定义是什么？二元一次方 程组的定义是怎样的？ 2、解二元一次方程组的基本思路是什么？ 基本方法有哪些？
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学习目标:
1 .明确什么是三元一次方程（组）; 2 .类比二元一次方程组的解法， 会解三元一次方程组。
重点：
解： 5 y z 12, ④ 把③代入①②得 6 y 5 z 22. ⑤ 解得
y 2, z 2.
x 8, ∴这个三元一次方程组的解为 y 2, z 2.
把y=2代入③，得x=8.
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随堂练习
独立完成练习（3分钟）学师学友互查
学生独立思考：
﹛
元一次方程组，也 是三元一次方程组 X=2 y=3 是三元一次方程组吗？ 解的表达形式！要 注意哦！ z=4
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学生展示3分钟
x y z 12, ① 解三元一次方程组： x 2 y 5z 22, ② x 4 y. ③
3、解三元一次方程组的一般步骤:
（1）化三一次方程组为二元一次方程组； （2）解二元一次方程组，并代入求出另一个未知数的值； （3）写出这个三元一次方程的解。
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小组思考应用三元一次方程解决 问题
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作业：
课本
师友当堂检测：
3x＋4z=7 11x＋10z=35 X=5 解得： Z=-2 1 把x＝5，z＝-2代入②，得y=
｛
因此，三元一次方程组的解为
｛
3 X=5
Y=1/3 Z=-2
新乐市实验学校
小组归纳:1.解三元一次方程组的基本思路:
2.解三元一次方程组的基本思想是消元；基本方法是
加减消元法和代入消元法
（1）方程组中含有三个未知数；
（2）每个方程中含有未知数的项的次数都是1；
（3）一共有三个方程
新乐市实验学校
概念：含有三个未知数，每个方程中含未知 数的项的次数都是1，并且一共有三个方程， 像这样的方程组叫做三元一次方程组． x y z 12, 例 x 2 y 5z 22, x 4 y. 是！它是最简的三