§10.2 统计及统计案例

(2)如果确实属于这类问题,要科学地抽取样本,样本容量要适当,不可太
小;
(3)根据数据列出2×2列联表;
×6+3.6=10.8(千亿元).
方法 5 独立性检验的思想方法
1.独立性检验的思想来自于统计上的假设检验思想,它与反证法类似,它 们都是先假设结论不成立,然后根据是否能推出“矛盾”来判定结论是 否成立.但二者“矛盾”的含义不同,反证法中的“矛盾”是指不符合 逻辑的事件发生;而假设检验中的“矛盾”是指不符合逻辑的小概率事 件发生,即在结论不成立的假设下推出有利于结论成立的小概率事件的 发生. 2.独立性检验的一般步骤: (1)独立性检验原理只能解决两个对象,每个对象有两类属性的问题,所 以对于一个实际问题,我们要首先确定能否用独立性检验的思想加以解 决;
95, ∵[0,50]的频率为0.004×50=0.2,(50,100]的频率为0.008×50=0.4,
∴中位数为50+ 0.5 0.2 ×50=87.5.
0.4
(3)由题意知在空气质量指数为(50,100]和(150,200]的监测天数中分别 抽取4天和1天, 在所抽取的5天中,将空气质量指数为(50,100]的4天分别记为a,b,c,d; 将空气质量指数为(150,200]的1天记为e, 从中任取2天的基本事件为(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d), (c,e),(d,e),共10个,
例4 (2015重庆,17,13分)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增
长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:
^^ ^
(1)求y关于t的回归方程 y = b t+ a ;
(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款.
附:回归方程 y^ = b^ t+ a^ 中,
(
i1
n
yi

yi
)2
.R2越大,模型的拟合效果越好;R2越小,
( yi y)2
i1
模型的拟合效果越差.
4.相关系数r.|r|→1,表示两个变量的线性相关性越强.
|r|→0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关性.
通常|r|≥0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性.
考点五 独立性检验 1.分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的 变量称为分类变量. 2.列联表:列出两个分类变量的频数表,称为列联表.假设有两个分类变 量X和Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为 2×2列联表)如下:
n
2.样本相关系数r=
xi yi nx y
i1

n

i1
xi2

2
nx

n

i1
yi2

n
2
y

.
如果|r|>r0.05,那么表明有95%的把握认为x与y具有线性相关关系.如果|r|
≤r0.05,那么求回归直线方程没有意义.
n
^
3.相关指数:R2=1-
解析 (1)∵0.004×50= 20 ,∴n=100,
n
∵20+40+m+10+5=100,∴m=25.
40 =0.008; 25 =0.005; 10 =0.002; 5 =0.001.
100 50
100 50
100 50
100 50
由此完成频率分布直方图,如图:
(2)由频率分布直方图得该组数据的平均数为 25×0.004×50+75×0.008×50+125×0.005×50+175×0.002×50+225×0.001× 50=
(4)如果总体容量N能被样本容量n整除,则抽样间隔k= N ,如果总体容量
n
N不能被样本容量n整除,可随机地从总体中剔除余数个个体,然后再按 系统抽样的方法抽样. 2.分层抽样适用于由差异明显的几部分组成的总体,抽取的步骤是: (1)按某种特征将总体分成若干部分. (2)按比例确定每层抽取的个体数.
可构造一个随机变量K2=
n(ad bc)2
,其中n=a+b+c+d为
(a b)(c d )(a c)(b d )
样本容量.
3.独立性检验
利用独立性假设、随机变量K2来确定是否有一定把握认为“两个分类
变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.
两个分类变量X和Y是否有关系的判断标准:
(3)各层按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取个体. (4)综合每层抽取的个体,组成样本. 例1 (2016广东肇庆三模,3)一个总体中有100个个体,随机编号为0,1,2, …,99.依编号顺序平均分成10个小组,组号依次为一,二,三,…,十.现用系 统抽样方法抽取一个容量为10的样本,如果在第一组随机抽取的号码为 m,那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同.若m=6, 则在第七组中抽取的号码是 ( A ) A.63 B.64 C.65 D.66
关系,这条直线叫做回归直线,直线方程叫做回归直线方程.
求回归直线方程的步骤:
n
n
(1)整理数据,计算出 i1 xi2
, xiyi, x , y . i1
^^
(2)计算回归系数 a , b ,公式为

b^

n
xi
i1
n
yi

n x y ,
xi2 nx?2

i1
(3a^)写y 出 b^ 回x. 归直线方程 y^ = b^ x+ a^ .
当 N 不是整数时,先随机地从总体中剔除余数个个体,然后按上述步骤
n
进行.
考点二 频率分布直方图与茎叶图 1.频率分布直方图的特征 (1)各个小矩形的面积和为1.
(2)纵轴的含义为 频 组率 距 ,矩形的面积=组距× 频 组率 距=频率.
(3)样本数据的平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘矩形底边中点 横坐标之和. (4)众数为最高矩形的底边中点的横坐标. 2.茎叶图的优点 茎叶图的优点是可以保留原始数据,而且可以随时记录,这给数据的记 录和表示都带来了方便.
2.平均数: x= x1 x2 x3 xn ;
n
方差:s2= 1n [(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2];
标准差:s=
1 n [(x1

x)2

( x2

x)2

( xn

x)2 ] .
方差、标准差描述数据的离散程度.
例3 (2017湖北黄冈3月质检,7)已知数据x1,x2,x3,…,xn是某市n(n≥3,n∈
N*)个普通职工的年收入,设这n个数据的中位数为x,平均数为y,方差为z,
如果再加上世界首富的年收入xn+1,则这(n+1)个数据中,下列说法正确的
是 ( B )
A.年收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变
B.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大
C.年收入平均数大大增大,中位数可源自不变,方差也不变高考文数第十章 概率、统计及统计案例
§10.2 统计及统计案例
知识清单
考点一 抽样方法 1.三种抽样方法的比较
4.系统抽样的步骤
当 Nn 是整数时,(1)先将总体中每一个个体编号.(2)确定分段间隔k= Nn ,对
编号进行分段.(3)在第一段用抽签法确定第一个个体编号t(t≤k).(4)按
照一定的规则抽取样本,通常是抽取t,t+k,t+2k,……,t+(n-1)·k.
ti2 -n t2 =55-5×32=10,lty=
n

i1
tiyi-n t
y =120-5×3×7.2=12,
^
从而 b =
lty
= 12 =1.2, a^ = y - b^ t =7.2-1.2×3=3.6,
ltt 10
^
故所求回归方程为 y =1.2t+3.6.
^
(2)将t=6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为 y =1.2
(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n,m的值,并完 成频率分布直方图;
(2)由频率分布直方图,求该组数据的平均数与中位数; (3)在空气质量指数分别为(50,100]和(150,200]的监测数据中,用分层抽 样的方法抽取5天,从中任意选取2天,求事件A“两天空气质量等级都为 良”发生的概率.
n
^ ti yi nt y ^
^
b =
i1 n
, a = y - b t .
ti2 nt ?2
i1
解析 (1)列表计算如下:
t
2 i
这里n=5, t = 1n in1ti= 155 =3, y = 1n in1yi= 356 =7.2.
又ltt=
n

i1
方法 4 回归分析的应用
分析两个变量的相关关系时,我们可根据样本数据散点图确定两个变量
之间是否存在相关关系,还可利用最小二乘法求出回归直线方程.把样
本数据表示的点在直角坐标系中作出,构成的图叫散点图.从散点图上,
我们可以分析出两个变量是否存在相关关系.如果这些点大致分布在通
过散点图中心的一条直线附近,那么就说这两个变量之间具有线性相关
解析 若m=6,则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同, 而第7组中的编号依次为60,61,62,63,…,69,故在第7组中抽取的号码是63.
方法 2 频率分布直方图