函数概念的产生及其历史演变
函数概念发展的历史过程
函数概念发展的历史过程函数的概念在数学上被广泛应用，它是描述自变量和因变量之间关系的一种数学工具。
在数学的发展历史上，函数的概念经历了漫长的发展过程，从最初的平面几何到现代的抽象代数，函数的概念不断得到丰富和深化。
本文将从古希腊时期的几何学开始，对函数的概念发展历史进行全面梳理。
古希腊时期的函数概念古希腊的几何学家在研究曲线的运动过程中，开始对函数的概念进行初步的探讨。
在古希腊时期，数学家们主要从几何的角度来研究函数，如阿基米德、亚历山大的庞德等人。
他们主要关注几何图形的变化规律，即自变量和因变量之间的关系。
在这一时期，函数的概念主要是从曲线的运动、几何图形的变化中产生，并没有形成系统的数学理论。
17世纪的微积分学在17世纪，微积分学的发展推动了函数概念的进一步深化。
牛顿和莱布尼兹等数学家发展了微积分学，首次明确地提出了函数的概念，并将其作为研究曲线和图形的基本工具。
微积分学将函数的概念与导数、积分等概念结合起来，形成了现代函数论的雏形。
在这一时期，函数的概念逐渐从几何的范畴中脱离出来，成为了一种独立的数学对象。
19世纪的分析学19世纪是函数概念发展的一个重要时期，分析学的兴起推动了函数概念的进一步发展。
在这一时期，柯西、魏尔斯特拉斯等数学家对函数的性质进行了深入研究，提出了连续性、可导性等概念，逐渐建立起了现代函数论的基本框架。
函数的概念开始从简单的数学工具演变为一种抽象的数学对象，其研究不再局限于几何或微积分学的范畴，而是成为了一种独立的数学分支。
20世纪的抽象代数与拓扑学20世纪是函数概念发展的一个新阶段，随着抽象代数和拓扑学的兴起，函数的研究逐渐从实数域扩展到了更一般的数学结构。
在这一时期，泛函分析、代数拓扑等新的数学分支涌现出来，为函数概念的进一步深化提供了新的视角。
函数不再局限于实数域或复数域，而是被推广到了更一般的数学结构上，如度量空间、拓扑空间等。
函数概念在数学应用中的发展除了在纯数学理论中的发展，函数的概念在数学应用中也得到了广泛的应用。
函数概念的产生及其历史演变
《函数》整体学习指导函数的概念和基本性质（单调性、奇偶性）解读：该部分学习意在通过对函数基本概念的理解（函数的概念）、巩固（分段函数）和加深（映射的概念）（教材中先函数后映射遵循概念发展的历史过程）；基本性质的学习（为什要只重点研究函数的这几个性质？水浒传里有108将，但是只对武松、鲁智深、林冲等十几个人着力刻画，这是文学家的方法，也是数学家的方法。
函数（Function）本部分学习的目的是通过学习形成函数研究的一般方法和套路。
基本初等函数（指数、对数、幂函数）解读：该部分学习是在形成函数研究的一般方法之后对方法的有力尝试，在尝试中不断加深对函数研究一般方法的认识和理解。
数学内部发展（函数的零点、二分法求方程近似解）（数学发展的两条主线都涉及了）社会现实需要（解决社会与生活中的实际问题）第一节：函数概念的起源及其历史演变我们要参观的景点：（The scenery we’ll visit）1. 函数的概念是什么？（What？）2. 为什么要建立函数的概念？（Why ?）3. 函数的概念是如何建立的？函数概念的建立经历了怎样的历史演变过程？（How？）景点一：函数的概念是什么？函数的概念是如何建立的？函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。
案例1：圆的面积S与圆半径r的关系；案例2：锐角α与锐角β互余，α与β的关系；案例3：气体的质量一定时，它的体积V与它的密度ρ之间的关系；【思考1】上述的每一个问题在变化过程中，谁是常量，谁是变量？都涉及几个变量？【思考2】两个变量之间的关系是通过什么来刻画的？【思考3】综合思考1和思考2的解答，总结上述例子变量间关系的共同特点？【早期函数概念】十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。
函数-函数概念,对应是本质
本源探究微课程—函数概念，对应是本质南昌本源探究微课组随着数学的不断发展，函数概念历史演变经历了四个主要阶段：（1）函数概念萌芽：变量作为数学名词是约翰 贝努力首先应用的，函数这一名词是德国哲学家兼数学家莱布尼兹首先采用的；（2）函数概念-变量依赖说：1748年，欧拉在约翰 贝努力的基础上首次用“解析式”来定义函数，欧拉二次定义函数，第二个定义与现代函数定义很接近，在函数的表达上不拘于用解析式来表达，破除了用公式表达函数的局限性，他认为函数不一定用公式来表达，他曾把画在坐标系上的曲线也叫函数．（3）函数概念-变量对应说：1823年，柯西的函数定义把函数概念与、连续、解析式等纠缠不清的关系给予澄清，也避免了“变化”一词，但是对于函数概念的本质—对应思想强调不够；此后黎曼和狄里克雷认识到这一点，给出了较精确的定义，彻底抛弃了解析式的束缚，特别强调和突出对应思想，使之具有更加丰富的内涵，被公认为函数的现代定义．（4）函数概念-集合对应说：20世纪初，德国数学家康托提出的集合论被世人广泛接受后，用集合对应关系来表示函数概念渐渐地占据了数学家的思维，通过集合论的概念把函数的对应关系、定义域、值域进一步具体化，函数便明确地定义为集合的对应关系，再进一步发展为现代函数定义的集合关系说．【例１】观察以下各小问中的两组数据，选用代数式、图表或图象描述两组变量的关系．（1）设弹簧伸长量为x ,作用于弹簧上拉力为y ，某弹簧的伸长量为1、1.5、2、2.5、3、3.5所对应的拉力分别为2、3、4、5、6、7；（2）设年份为x ,平均身高为y ，小明同学从2015年至2020年这六年的平均身高分别是161、163、168、171、172、173.（3）设学号为x ,分数为y ，学号为1-6 的学生在某次测验的成绩分别是82、85、75、66、85、94；仔细观察可以看出，每一小问中两组数据有一种对应关系，把两组数据分别看成两个集合，也即是两个集合的元素之间有一种对应关系．【解析】（1）弹簧伸长量x 构成集合{1,1.5,2,2.5,3,3.5}A ，弹簧拉力y 的构成集合{2,3,4,5,6,7}B ，两组数据中每一个伸长量x 唯一对应一个拉力y ，对应关系为2y x ，从图象分析，是一条直线，是一一对应；（2）设年份为x 构成集合{2015,2016,2017,2018,2019,2020}A ,小明同学这六年的平均身高y 的构成集合{161,163,168,171,172,173}B ，对应关系是找每一年份的身高，无法用代数式表示对应关系，可以用表格来表示这种对应关系：，也可以用图象表示其中对应关系，从图象分析，是一系列离散的点集，仍是一一对应关系；（3）设学号x 构成集合{1,2,3,4,5,6}A ,某测验的成绩分数y 的构成集合{82,85,75,66,85,94}B ，对应关系是找学号对应学生的分数，用不同学号的学生有考分一样的，无法用代数式表示对应关系，可以用图表来表示这种对应关系：也可以用表格或图象表示其中对应关系，从图象分析，也是些离散点集，只是有二对一的对应关系；所举三个例子可以看出，抽象出两个数集中元素之间有某种对应关系，按照规则，前一集合中的每一个元素在后一集合中都有唯一的元素与之对应（一对一或多对一），对应关系可以是语言文字描述解析式、图象、表格或等。
函数概念的发展历程
函数概念的发展历程
17世纪，科学家们致力于运动的研究，如计算天体的位置，远距离航海中对经度和纬度的测量，炮弹的速度对于高度和射程的影响等.诸如此类的问题，都需要探究两个变量之间的关系，并根据这种关系对事物的变化规律做出判断，如根据炮弹的发射角和初速度推测它能达到的高度和射程.这正是函数概念产生和发展的背景.
“function”一词最初由德国数学家莱布尼茨在1692年使用.在中国，清代数学家李善兰在1859年和英国传教士伟烈亚力合译的《代微积拾级》中首次将“function”译作“函数”.
莱布尼茨用“函数”表示随曲线的变化而改变的几何量，如坐标、切线等，1718年，他的学生，瑞士数学家约翰伯努利强调函数要用公式表示.后来，数学家认为这不是判断函数的标准，只是一些变量变化，另一些变量随着变化就可以了.所以，1755年，瑞士数学家欧拉将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数”.
随着对微积分研究的深入，18世纪末19世纪初，
人们对函数的认识向前推进了.德国数学家狄利克雷在1837年提出：“如果对于X的每一个值，Y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是X的函数，这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个X有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格的形式表示.例如，狄利克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；自变量取无理数时函数值为0.它只能用对应的语言予以表达.19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述.。
函数概念的产生及其历史演变
《第二章函数》整体学程指导集合作为近现代数学的“基本语言”被引入高中数学课程体系，利用它可以简洁、准确地表述一些数学对象。
本章是集合语言应用的一个重要载体，是学习完集合语言后应用语言表述数学问题、研究数学问题和解决数学问题的一次重要实践和有力尝试。
函数分为两个部分：函数的概念及基本性质（第二章）；指数函数、对数函数和幂函数（第三章）;函数的概念和基本性质（单调性、奇偶性）解读：该部分学习意在通过对函数基本概念的理解（函数的概念）、巩固（分段函数）和加深（映射的概念）（教材中先函数后映射遵循概念发展的历史过程）；基本性质的学习（为什要只重点研究函数的这几个性质？水浒传里有108将，但是只对武松、鲁智深、林冲等十几个人着力刻画，这是文学家的方法，也是数学家的方法。
函数（Function）本部分学习的目的是通过学习形成函数研究的一般方法和套路。
基本初等函数（指数、对数、幂函数）解读：该部分学习是在形成函数研究的一般方法之后对方法的有力尝试，在尝试中不断加深对函数研究一般方法的认识和理解。
数学内部发展（函数的零点、二分法求方程近似解）（数学发展的两条主线都涉及了）社会现实需要（解决社会与生活中的实际问题）第一节：函数概念的起源及其历史演变我们要参观的景点：（The scenery we’ll visit）1. 函数的概念是什么？（What？）2. 为什么要建立函数的概念？（Why ?）3. 函数的概念是如何建立的？函数概念的建立经历了怎样的历史演变过程？（How？）景点一：函数的概念是什么？函数的概念是如何建立的？函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。
案例1：圆的面积S与圆半径r的关系；案例2：锐角α与锐角β互余，α与β的关系；案例3：气体的质量一定时，它的体积V与它的密度ρ之间的关系；【思考1】上述的每一个问题在变化过程中，谁是常量，谁是变量？都涉及几个变量？【思考2】两个变量之间的关系是通过什么来刻画的？【思考3】综合思考1和思考2的解答，总结上述例子变量间关系的共同特点？【早期函数概念】十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。
函数概念的历史发展(完整版)
函数概念的历史发展（完整版）(文档可以直接使用，也可根据实际需要修改使用,可编辑欢迎下载）函数概念的历史发展众所周知，函数是数学中一个重要概念，它几乎渗透到每一个数学分支，因此考察函数概念的发展历史及其演变过程，无疑有助于我们学生更深刻、更全面地理解函数的本职，并且从中得到有益的方法论启示。
1 函数概念的产生阶段—变量说马克思曾认为，函数概念是源于代数中自罗马时代就已经开始的不定方程的研究，那时，伟大的数学家丢番图对不定方程的研究已有相当程度，据此，可以认为函数概念至少在那时已经萌芽。
实际上作为变量和函数的朴素概念，几乎和数学源于同一时期，因为数学家在研究物体的大小及位置关系时，自然会导致通常称为函数关系的那种从属关系。
但是，真正导致函数概念得以迅速发展则是在16世纪以后，特别是由于微积分的建立，伴随这一学科的产生、发展和完善，函数概念也经历了产生、发展和完善的演变过程。
哥白尼的天文学革命以后，运动成为文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，到了16世纪，对于运动的研究已变成自然科学的中心问题。
在这一时期，函数概念在不同科学家那里有着不同形式的描述。
在伽利略的《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数的思想，他用文字和比例的语言表述函数关系。
例如，他提出：“两个等体积圆柱体的面积之比，等于它们高度之比的平方根。
”“两个侧面积相等的正圆柱，其体积之比等于它们高度之比的反比。
”他又说：“从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比。
”这些描述非常清楚地表明伽利略已涉及并讨论变量和函数，但他并没有做出一般的抽象，并且也没有把文字叙述表示为符号形式。
几乎与此同时，许多数学家，如托里拆利、瓦里斯、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹等，从不同角度对函数进行了不同程度的研究.有的数学家是把一些具体的函数看成曲线进行研究,尽管当时还没有建立实连续的概念,但数学家却默认曲线都是连续的。
托里拆利就曾对曲线()0≥y ex进行过研究；而瓦里斯在他的《动学》中研究过正弦曲=xae线，并注意到了这一函数的周期性。
函数的起源与发展
函数的起源与发展函数是数学领域中的重要概念，起源于古希腊数学，发展至今已经成为现代数学的基石之一。
本文将探讨函数的起源及其发展历程。
一、起源：古希腊的函数概念函数的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧多克索斯（Euclid）的著作《几何原本》中。
他在书上首次提出了“比例”这一概念，将其应用于几何学中。
比例即表示两个量之间的关系，这种关系可以表示为一个方程。
欧多克索斯认为，比例是由特定规律决定的，这种规律可以用图形表示。
此后，亚历山大的赛尼库斯（Heron of Alexandria）提出了函数的概念。
他将比例的概念扩展到变量之间的关系，提出了函数的定义：“当一个量由其他量决定时，我们称这个量是其他量的函数。
”赛尼库斯以几何图像的方式表示函数，将其作为几何问题的解决方法。
二、发展：函数的发展与数学分析的崛起函数的概念在古希腊数学时代虽然已有初步的形成，但真正的发展要追溯到十七世纪的科学革命时期。
牛顿（Isaac Newton）和莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）两位伟大的数学家和物理学家几乎同时独立地发展了微积分学，从而为函数的研究奠定了基础。
牛顿和莱布尼茨将函数视为一种能够以无穷小的变化率来描述的数学对象。
他们引进了导数和积分的概念，并将其作为函数变化率和面积的度量。
他们的工作将函数的研究提升到了一个新的高度，使得函数成为数学分析的核心内容。
随着数学分析的发展，函数的研究也变得更加丰富和深入。
欧拉（Leonhard Euler）提出了指数函数和对数函数的概念，并发展了复变函数的理论。
拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）和柯西（Augustin-Louis Cauchy）等数学家也在函数的研究方面做出了重要贡献。
函数的研究不仅局限于实数领域，还拓展到复数、向量、矩阵等多个数学领域。
三、应用：函数在科学和工程中的重要性函数作为一种描述变化规律的数学工具，在科学和工程领域具有广泛的应用。
函数概念的形成与发展
函数概念的发展简史1、函数概念的萌芽时期（自然函数、代数函数时期）[1]函数思想是随着数学开始研究事物的运动变化而出现的。
而事实上，早期的数学是不研究事物的运动变化的。
古希腊科学家亚里士多德曾经认为，数学研究的是抽象的概念，而抽象的概念来自事物静止不动的属性。
例如，数学中的数、线、形等数学对象都不包括运动，运动变化是物理学研究的对象等等。
受其影响，直至14世纪，数学家们才逐渐开始研究物体的运动问题。
到了16世纪，由于实践的需要，自然科学开始转向对运动的研究，自然中各种变化和各种变化着的物理量之间的关系也就成为数学家关注的对象。
伽利略就是最早开展这方面研究的科学家之一，在他的著作里多处使用比例的语言表达了量与量之间的依赖关系。
例如，从静止状态自由下落的物体所经过的距离与所用时间的平方成正比，这正是函数概念所表达的思想意义。
16世纪法国数学家笛卡尔在研究曲线问题时，发现了量的变化及量与量之间的依赖关系，并在数学中引进了变量思想，在他的《几何学》中指出：所谓变量是指：“不知的和未定的量”，成为数学发展的里程碑，也为函数概念的产生奠定了思想基础。
直到17世纪下半期，牛顿—莱布尼兹的微积分问世时，数学上还没有明确的函数概念。
把“函数”（function）一词最早用作数学术语的是莱布尼兹，当时，莱布尼兹用“函数”（function）一词表示幂，如都叫函数。
后来又用函数表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量。
例如曲线上的点的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等等。
从这个定义看出，莱布尼兹利用几何概念，在几何的范围内揭示了某些量之间的依存关系。
可以说出现了函数概念的一点端倪，但函数的一般定义仍没有诞生。
原因在于：数学家们一直在同具体的函数打交道，对具体函数或求导，或积分，讨论各种各样的具体问题，并没有感到有定义一般函数概念的需要。
\2、函数概念的初步形成（解析函数时期）[2] 18世纪微积分的发展促进了函数概念“解析定义”的发展。
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《函数》整体学习指导解读：该部分学习意在通过对函数基本概念的理解（函数的概念丄、巩固（分段函数）和加深（映射的概念）（教材中先函数后映射遵循概念发展的历史过程）；基本性质的学习（为什要只重点研究函数的这几个性质？水浒传里有108将，但是只对武松、鲁智深、林冲等十几个人着力刻画，这是文学家的方法，也是数学家的方法。
函数（Function）本部分学习的目的是通过学习形成函数研究的一般方法和套路。
基本初等函数（指数、对数、幕函数）/ 解读：该部分学习是在形成函数研究的一般方法之后对方法的有力尝试，在尝试中不断加深对函数研究一般方法的认识和理解。
数学内部发展（函数的零点、二分法求方程近似解）函数的应用（数学发展的两条主线都涉及了）社会现实需要（解决社会与生活中的实际问题）第一节：函数概念的起源及其历史演变我们要参观的景点：（The seenery we ' II visit ）1.函数的概念是什么？（What？）2.为什么要建立函数的概念？（Why ?）3.函数的概念是如何建立的？函数概念的建立经历了怎样的历史演变过程?（How？）景点一：函数的概念是什么？函数的概念是如何建立的?函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。
案例1:圆的面积S与圆半径r的关系；案例2:锐角:与锐角1互余，:与1的关系；案例3:气体的质量一定时，它的体积V与它的密度之间的关系；【思考1】上述的每一个问题在变化过程中，谁是常量，谁是变量？都涉及几个变量？【思考2】两个变量之间的关系是通过什么来刻画的？【思考3】综合思考1和思考2的解答，总结上述例子变量间关系的共同特点？【早期函数概念】十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。
1673年前后笛卡尔在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念。
1718年约翰•贝努利对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量（是历史上第一个正式发表的明确的函数定义），贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“ x的函数”。
欧拉在《无穷分析引论》（1748）中给出的函数定义是："一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何方式组成的解析式。
”【总结】十七和十八世纪的数学家对函数问题的认识上有着共同的思考：函数就是解析式局限性：并不是所有的函数关系都能用表达式表示，没有解析式的能算作函数吗?« 2-1-1 194&-1999年我国人口数据【工作单2】函数概念的第二次抽象认识(变量的依赖说)案例1: 在现实生活中，我们可能会遇到下列问题：(D估计人门数竝变化趋势足我们制定一系列相关政策的侬据* 从人口统计年器中可以查得我国从1949年至1999年人口数据资料如表2-1 -1所示•你能根据这个表说岀我国人1 1的变化情况吗？1949【思考2】当年份确定时，相应年份的人口数是否确定？那么你能根据表格写出〜1999年年份与我国人口数的关系式吗？案例2：e臥：.••沁黒用一二“；卜r m淋u罔、< 1)i /r 6时的气温约是多少？全天的最肓、最低气温分别是多【思考(2)在什么时刻,气温为0匸？1】统计⑶在什么时段内■气温在0匸以t?图中有变量吗？有几个变量？是什么？【思考2】当时间确定时，相应的温度是否确定？你能写出温度随时间变化的关系式吗？【思考】综合上述思考题的解答，总结上述例子变量间关系的共同特点？欧拉在《微分学原理》（1755）序言中给出的定义是：”如果某个量依赖于另一个量，当后面这个量变化时，前面这个量也随之变化，则前面这个量称为后面这个量的函数。
总结：函数表示的是变量的一种依赖关系。
局限性：并不是所有变量之间都具有依赖性的，即在解析式中找不到x,y的对应关系的能算作函数吗？【工作单3】函数概念的第三次抽象认识（变量的对应说）案例：某市出租汽车的收费标准如下：在3km （含3km）路程按起步价11元收费，超过3km的路程按2.4元/ km收费，试问：某次乘坐出租汽车路程为 1.8km和2.7km 时，收费分别是多少？如果是4km呢？【思考1】上述问题有变量吗？有几个变量？分别是什么？【思考2】上述两个变量是否一定具有依赖关系？【思考】综合上述思考题的解答，总结上述例子变量间关系的特点？【十九世纪函数概念一一变量对应关系下的函数】1823年柯西从定义变量开始给出了函数的定义，同时指出，函数不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限，突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。
1837 年狄利克雷认为怎样去建立与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数•”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受•至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。
（初中学习的函数的定义）局限性：没有局限性了，只是集合语言的引入，显得更高端洋气上档次一些。
等到20 世纪康托尔创立的集合论在数学中占有重要地位之后，代集合语言作为近现数学的“基本语言”广泛的在数学的各个分支学科中占据着重要地位。
那么如何利用集合语言来包装函数的变量对应说，从而给出基于集合语言的定义呢？【思考1】变量对应说中的两个变量如何用集合语言包装？（集合的概念）两个非空数集强调：非空、数集（所谓函数函数，研究的肯定是数的集合）；【思考2】变量对应说中的变量对应关系如何用集合语言包装？（变量对应- 集合对应）强调：集合对应的本质仍然是两非空数集中元素的对应；【思考3】集合对应的本质仍是两非空数集中元素的对应，那么这种对应遵循什么规律？（1）非空数集A 中能否存在多余的元素？（2）非空数集B 中能否存在多余的元素？（3）对于非空数集A中的任意一个元素x，在非空数集B中能否有两个元素与之对应？【思考4】结合上述几个思考题，概括函数的本质属性，并给出函数的概念？（按照某种对应法则（可以为解析式、可以为表格、可以为图像）、在集合A中的每一个元素，在B 中都有唯一的元素与之对应）（看成是数值发生器）根据函数的定义进一步【思考5】（1）在非空数集B中的元素x，在非空数集A中是否可有两个或多个元素与之对应？（2）非空数集A和非空数集B是否可以为无限集？试举例说明。
（有限与无限应该是同步的，例子为：正整数集合与正偶数集合的对应关系）数学的表述和推理离不开符号，所以函数概念要为数学服务，也要用符号表示。
数学教育国际比较的观点：David Clarke （张家港常青藤和美国芝加哥）。
不同的函数可看成是不同的数值发生器（画出三个不同形状的数值发生器）。
根据函数的表示进一步思考：【思考6】1: f(x) =x2是函数么？f (2)是函数吗？f (x) = 1是函数吗？2: y=：f(x),x・D ; s = f(t),「D表示的是同一个函数吗？3:已知f(x)=x23，则f (y), f ), f (何睦)分别是什么？【现代函数概念一一集合论下的函数】维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了；1930年新的现代函数定义为，若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y二f (x).元素x称为自变元, 元素y称为因变元。
【小结】其实每个数学概念和公式的背后都有着它的故事：或许源于一个灵感；或许是几代人甚至是几个世纪人的共同努力使之完善的过程；更或许是中外数学家的一些共同思考。
应该指出的是，函数概念的整个历史进程中，经历了无数数学家“一次次的提出概念、一次次的推翻概念”的探究过程，不断的引发更多的数学家关于函数概念和函数本质问题上进行更深层次的思考。
我想，这是必然的一个现象，因为人类在探索自然规律的过程中必然有个中假设，虽然后来发现某些假设是错误的，但正是前人的失败才使后人的思考走上了正确的道函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结。
因此，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继续扩展.景点二：函数概念产生的历史背景数学知识的引进必定有它存在的正面价值，小学我们虽然没有引入函数概念，但是我们研究过：单价、数量和总价的关系，速度、时间和路程的关系，这些都是函数的影子；初中在一次函数章节里给出过y是x的函数的定义：在一个变化过程中的两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，我们就称y是x的函数。
但是同学们是否有过哲学角度的原点思考：任何事物的出现必定有它存在的正面价值，函数的概念也不例外。
为什么要学习函数？阅读下面材料，你就能发现问题的答案了！世界上的一切，都在不停的变化。
古希腊哲学家赫拉克里特说：人不能两次踏入同一条河流。
因为河水在流动，第二次踏入的已经不是上次的河流了。
赫拉克利特用生动的比喻说明一切都在不断的变化。
但他没有把概念说清楚。
什么叫同一条河流？昨天的黄河和今天的黄河是一条河还是两条河？早上的你和晚上的你是一个人还是两个人？当时有的哲学家走向另一个极端，认为事物实际上是静止不变的，变化和运动只是人的幻觉。
其中有个叫芝诺的诡辩家，为了论证运动是幻觉，还提出了飞矢不动的著名怪论。
飞快的箭怎么可能不动呢？芝诺的说法是：箭在每一瞬间都要占据确定的位置，所以每一瞬间都是静止的。
既然每一瞬间都是静止的，又怎么能够动呢？数学讲究严谨，概念要清楚。
要探讨动还是不动，就要先讲好什么叫动，什么叫不动。
什么叫动？一个物体，时刻t1在甲处，另一个时刻t2在与甲不同的乙处，我们就说它在时刻t1到t2之间动了。
如果对于两个时刻之间的任意时刻t它都在甲处，就说它在这段时间内没有动。
这样把时间和物体的位置对应起来，问题就清楚了。
原来，动和不动是涉及两个或更多时刻的位置的概念，只看一瞬间，动和不动都没有意义。
怪论的漏洞，源于对运动没有严谨的表述。
从上面两个例子可见，古人已经感觉到了事物的运动变化和保持相对稳定性质之间的矛盾，但由于尚未找到合理地刻画运动和变化的方法，就不能实事求是地认识运动和变化，或者否定运动的可能性，或者否认变化中的事物是同一事物。
直到17世纪，数学中出现了变量与函数的概念，人们才掌握了精确地描述和刻画运动与变化的工具。