英国诺丁汉大学讲义如何估计随机效应模型
随机效应模型公式
随机效应模型公式随机效应模型（Random Effects Model）是一种广泛应用于统计学领域的模型，目的是通过变量之间的相关性来解释数据中的变异性。
在这篇文档中，我们将详细介绍随机效应模型的公式、参数和应用场景。
随机效应模型公式随机效应模型通常用于描述个体之间的变异性，其基本的公式如下：Y_ij = μ + b_i + ε_ij其中，Y_ij 表示第 i 个个体的第 j 个观测值，μ 表示整体均值，b_i 表示第 i 个个体的随机效应，ε_ij 表示第 i 个个体的第 j 个观测值的误差项。
需要注意的是，b_i 和ε_ij 都是随机变量。
随机效应模型参数在随机效应模型中，有两个主要的参数需要估计：固定效应和随机效应。
固定效应通常表示数据中普遍存在的变量，如某种药物治疗的效果、人口统计数据等。
这些因素对所有个体的影响都是相同的，不会随着个体的不同而发生变化。
随机效应则是描述个体之间异质性的参数，如个体的遗传背景、性别、年龄等因素。
这些因素对每个个体的影响都是独立的，不能直接归结为固定效应。
因此，随机效应模型的参数比传统模型复杂，需要选择合适的模型来估计。
常用的方法包括最大似然估计和贝叶斯估计等。
随机效应模型应用场景随机效应模型常用于存在大量个体的数据分析领域，在以下情况下可能产生良好的效果：1. 行为、心理学领域研究中，个体之间的差异很重要，例如可以使用一个熟悉的基本实验操作，并在大量个体中测量某些结局变量。
2. 经济学领域的研究中，数据通常是在不同国家或地区的恒定汇率水平上收集的。
此时，使用随机效应模型能够正确地考虑特定国家或地区之间的异质性。
3. 在精神病学领域的研究中，随机效应模型可以帮助研究人员在不同的病例和对照组之间绘制关于特定变量的比较图。
总结随机效应模型是一种用于描述个体之间变异性的模型，通过考虑不同个体之间的异质性来解释数据中的变异。
它包括固定效应和随机效应两个参数，可用于各种数据分析领域。
随机效应模型的统计方法
随机效应模型的统计方法随机效应模型的统计方法是一种广泛应用于社会科学、经济学等领域的统计模型。
随机效应模型可以用来分析在一个基本模型中存在个体差异的情况下，与每个个体相关的变量对因变量的影响。
本文将从问题提出、随机效应模型的基本概念和公式、模型估计、模型诊断以及模型解释等方面进行论述。
一、问题提出在实际研究中，我们常常遇到涉及到个体差异的数据集，例如同一组学生在不同时间点上的考试成绩、不同城市之间的经济增长率等。
在这些情况下，我们需要考虑个体之间的差异对变量之间的关系的影响。
但是如果我们直接将个体差异作为一个变量放入到回归模型中，将会导致参数估计的无偏性和一致性受到破坏。
这时候就需要使用到随机效应模型。
二、随机效应模型的基本概念和公式随机效应模型是一种包含了个体效应的多重线性回归模型。
在随机效应模型中，个体差异被看作是一个随机变量，其遵循一定的概率分布。
模型可以表示为:Y_{it} = X_{it}*\beta + a_i + e_{it}其中，Y_{it}表示因变量，X_{it}表示与因变量相关的自变量，\beta表示特定个体对于因变量的平均影响，a_i表示特定个体的随机效应，e_{it}表示随机误差项。
三、模型估计在随机效应模型中，个体效应a_i需要通过估计出来。
传统的估计方法有最小二乘法与固定效应法，但这两种方法都存在估计结果具有一定的偏差。
因此，我们常常使用最大似然估计法（MLE）来估计模型参数。
MLE估计是一种基于概率统计的方法，通过最大化模型的似然函数来对模型参数进行估计。
四、模型诊断在对随机效应模型进行估计之后，我们需要对模型的合理性进行诊断。
常用的诊断方法包括检验随机效应的显著性、检验个体效应是否存在异方差性和自相关性等。
通过对模型的诊断，我们可以判断模型是否满足统计学假设，并对模型进行改进和修正。
五、模型解释随机效应模型与固定效应模型相比，更适合用于分析个体差异的影响。
通过模型估计结果，我们可以得到不同个体之间的差异对于因变量的影响。
随机效应模型的估计方法
案例3
王勋 等，2013（1）：《金融抑制与经济结构转型》，《经济研究》
金融抑制的概念
金融抑制是指发展中国家政府所实行的压抑金 融发展的政策，如通过规定存贷款利率和实施 通货膨胀人为地压低实际利率；采取信贷配给 的方式分配稀缺信贷资金；对金融机构实施严 格的控制，设定较高的法定准备金率；实行资 本管制等。发展中国家普遍存在金融抑制。
750 0.258 0.058 0.082 0.388 0.285
0.219
服务业就业份额 750 0.564 0.145 0.134 0.778 0.638
0.468
服务业/工业
750 2.245 0.633 0.728 4.451 2.329
2.191
11
案例3
王勋 等，2013（1）：《金融抑制与经济结构转型》，《经济研究》
第三节 随机效应模型的估计方法
yit = xit + zi + ui + it ( i=1，⋯n；t=1， ⋯T )
随机效应模型 ui与所有解释变量（xit，zi）均不相关 :（Random Effects model，简称RE）
2
1.OLS估计量
既然随机效应模型假定ui与所有解释变量（xit，zi）均不相关，那么 OLS估计能得出一致的估计量。
—
0.811
1450
1450
1450
-0.N89O8*** （0.064）
—
-1.426*** （01.405902）
-0.Y2E45S***
-0.Y3E28S***
（0.085） （0.082） 0.852
-1.750***
-1.712***
（01.425007） （01.415806）
英国诺丁汉大学讲义如何估计随机效应模型stata课件
英国诺丁汉大学讲义如何估计随机 效应模型stata
Estimation Methods for Multilevel
Models
Due to additional random effects no simple matrix formulae exist for finding estimates in multilevel models.
• Can easily be extended to more complex problems.
• Potential downside 1: Prior distributions required for all unknown parameters.
• Potential downside 2: MCMC estimation is much slower than the IGLS algorithm.
• Here there are 4 sets of unknown parameters:
,u,u2,e2
• We will add prior distributions
p(
),p(
),p( ) 2
2
u
英e 国诺丁汉大学讲义如何估计随机
固定效应与随机效应模型的估计与比较
固定效应与随机效应模型的估计与比较固定效应（Fixed Effects）模型和随机效应（Random Effects）模型是常用于面板数据分析的两种经济计量模型。
本文将对这两种模型进行估计和比较，以便更好地理解它们在实证研究中的应用。
一、固定效应模型的估计与比较固定效应模型是一种基于个体固定特征的模型，即假设个体间的差异可以通过个体固定效应来表示。
在面板数据中，固定效应模型可以通过对个体进行虚拟变量编码，然后引入这些虚拟变量作为回归分析的解释变量，进而估计个体固定效应的大小。
在估计固定效应模型时，我们通常使用最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）进行回归分析。
通过对个体虚拟变量进行控制，固定效应模型可以帮助我们消除个体间的固定不变量，并集中关注个体内部的变动。
这在一些研究中非常有用，尤其是需要解释时间效应或者个体特征对因变量的影响时。
固定效应模型的估计结果通常以个体固定效应的系数呈现。
通过这些系数，我们可以得知个体特征对因变量的影响程度，并进行比较。
然而，固定效应模型的一个局限是无法解释个体间的异质性。
二、随机效应模型的估计与比较相比固定效应模型，随机效应模型更加灵活，可以同时估计个体固定效应和个体间的异质性。
随机效应模型通过引入随机项来表示个体间的差异，因此可以更全面地捕捉面板数据中的各种变动。
在估计随机效应模型时，我们通常使用广义最小二乘法（Generalized Least Squares, GLS）或者随机效应估计器（Random Effects Estimator）进行回归分析。
这种方法可以将个体固定效应与个体间的异质性同时纳入考虑。
通过这样的估计，我们可以得到固定效应的系数以及个体间的异质性的标准差，从而更全面地分析个体特征对因变量的影响。
随机效应模型的估计结果通常以固定效应的系数和随机效应的方差来呈现。
通过分析这些系数，我们可以了解个体特征对因变量的平均影响，并通过方差了解个体间的差异性。
随机效应模型和固定效应模型
在Meta分析中最常用的是固定效应模型、随机效应模型。
怎样理解这两种模型呢？举个简单的例子：让十个学生去测量操场中的同一根旗杆，旗杆长度的测量值可以看作是一个固定效应模型；然而如果让一个学生去测量操场上长度不同的十根旗杆，旗杆长度的测量值则是随机效应模型。
一般来说，随机效应模型得出的结论偏向于保守，置信区间较大，更难以发现差异，带给我们的信息是如果各个试验的结果差异很大的时候，是否需要把各个试验合并需要慎重考虑，作出结论的时候就要更加小心。
从另一个角度来说，Meta分析本来就是用来分析结论不一致甚至是相反的临床试验，通过Meta分析提供一个可靠的综合的答案，如果每个试验的结果都一模一样，根本就没有必要作Meta分析，因此要通过齐性检验来解决这对矛盾。
一般来说判断方法是根据I2来确定。
1.就是根据I2值来决定模型的使用，大部分认为＞50%，存在异质性，使用随机效应模型，≤50%，用固定效应模型，有了异质性，通过敏感性分析，或者亚亚组分析，去探求异质性的来源，但是这两者都是定性的，不一定能找到，即使你做了，研究数目多的话，可以做个meta回归来找异质性的来源2.在任何情况下都使用随机效应模型，因为如果异质性很小，那么随即和固定效应模型最终合并结果不会有很大差别，当异质性很大时，就只能使用随机效应模型，所以可以说，在任何情况下都使用随机效应模型3.还有一种，看P值，一般推荐P的界值是0.1，但现在大部分使用0.05，就是说P＞0.05，用固定，≤0.05用随机效应模型。
但是这些都没有统一的说法，存在争议，如果你的审稿人是其中一种，你和他相冲突了，你只能按照他说的去修改，因为没有谁对谁错，但是现在你的文章在人家手里，如果模型不影响你的结果，你就遵照他们的建议但是，也不必过度强调哪种方法，更重要的是找到异质性根源。
meta分析中，异质性是天然存在的。
如果异质性较小，选择固定效应模型更可靠；如果异质性较大，则建议选择随机效应模型，但仍然需要通过敏感性分析，寻找到异质性根据，以消除其影响。
随机效应模型与混合效应模型
随机效应模型与混合效应模型随机效应模型（Random Effects Model）和混合效应模型（Mixed Effects Model）是在统计学中常用的两种分析方法。
它们在研究中可以用来解决数据中存在的个体差异和组间差异的问题，从而得到更准确的结果。
一、随机效应模型随机效应模型适用于数据具有分层结构的情况。
它假设个体之间的差异是随机的，并且个体之间的差异可以用方差来表示。
在随机效应模型中，我们关心的是不同个体之间的差异以及它们对结果的影响。
随机效应模型的基本形式为：Yij = μ + αi + εij其中，Yij表示第i个个体在第j个时间点或者第j个条件下的观测值；μ表示总体均值；αi表示第i个个体的随机效应，它们之间相互独立且符合某种分布；εij表示个体内的随机误差。
随机效应模型通过估计不同个体的随机效应来刻画个体之间的差异，并且可以通过随机效应的显著性检验来判断个体之间的差异是否存在。
二、混合效应模型混合效应模型结合了固定效应和随机效应两个模型的优点，适用于数据同时具有组间差异和个体差异的情况。
在混合效应模型中，我们关心的是个体之间的差异以及不同组之间的差异，并且它们对结果的影响。
混合效应模型的基本形式为：Yij = μ + αi + βj + εij其中，Yij表示第i个个体在第j个组下的观测值；μ表示总体均值；αi表示个体的随机效应；βj表示组的固定效应；εij表示个体内的随机误差。
通过混合效应模型，我们可以同时估计个体的随机效应和组的固定效应，并且可以通过对这些效应的显著性检验来判断个体和组之间的差异是否存在。
三、随机效应模型和混合效应模型的比较随机效应模型和混合效应模型在数据分析中都具有重要作用，但在不同的研究场景下选择合适的模型是非常重要的。
1. 数据结构：如果数据存在明显的分层结构，即个体之间的差异比组之间的差异更为重要，那么随机效应模型是更好的选择。
2. 因变量类型：如果因变量是连续型变量，那么随机效应模型和混合效应模型都可以使用；如果因变量是二分类或多分类变量，那么混合效应模型是更好的选择。
8.2随机效应模型的估计方法及豪斯曼检验
随机效应模型及豪斯曼检验随机效应模型中的扰动项由（）组成，扰动项存在自相关问题。
i it u ε+随机效应的重点：解决误差项的序列相关问题。
广义最小二乘法(Generalized Least Square, GLS)最有效率解决序列相关问题的步骤()222,,uit is uCorr v v t sεσσσ=+≠可以证明，不存在序列相关。
it i v v θ-假定第t 期和第s 期的复合误差项分别为和且itv is v()2iuVar u σ=()2itVar σε=ε1在随机效应模型下可以得到，第t 期和第s 期复合误差项的相关系数：2为了消除误差中的序列相关，作如下变形，令：()1/222u1-T εεθσσσ≡+3回归方程减去时间均值的θ倍，得到：()()()1144444444444424444444444443误差项itii it i itiy y x x u θθβθεθε'⎡⎤-=-++-⎢⎥⎣⎦-4固定效应随机效应豪斯曼检验豪斯曼检验原假设“u i 与解释变量均不相关”(即随机效应模型为正确模型)。
若原假设成立，则RE比FE更有效。
1若原假设不成立，则RE不一致，此时只有FE是一致估计量。
2结论只有当原假设成立时，才是一致估计量，否则就是有偏；而无论原假设成立与否都是一致估计量。
βRE因此，若原假设成立，则FE与RE估计量将共同收敛于真实的参数值。
反之，如果二者差距过大，则倾向拒绝原假设，接受固定效应模型。
βˆFE豪斯曼检验豪斯曼统计量⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-'⎪⎭⎫ ⎝⎛--ββββββˆˆˆˆˆˆ1RE FE RE FE RE FE Var d()K χ2K为的维度，即随时间而变的解释变量个数。
如果该统计量大于临界值，则拒绝原假设。
βˆFE豪斯曼检验在计量理论上很重要，但实证中较少使用（时常不汇报）。
原因1原因2固定效应总是一致的（更为稳健），而随机效应则可能不一致。
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models. • Artificial insemination and Danish chicken
examples. • Further Extensions.
Random effect models
• Models that account for the underlying structure in the dataset.
MCMC Estimation for Random Effect Modelling – The MLwiN
experience
Dr William J. Browne School of Mathematical Sciences
University of Nottingham
Contents
• Developed by a team led by Harvey Goldstein and Jon Rasbash at the Institute of Education in London over past 15 years or so. Earlier incarnations ML2, ML3, MLN.
• Originally developed for nested structures (multilevel models), for example in education, pupils nested within schools.
• An extension of linear modelling with the inclusion of random effects.
• Here there are 4 sets of unknown parameters:
,
u,
2 u
,
2 e
• We will add prior distributions
p(
),
p(
2
),
p(
2 e
)
MCMC Algorithm (2)
The algorithm for this model then involves simulating in turn from the 4 sets of conditional distributions. Such an algorithm is known as Gibbs Sampling. MLwiN uses Gibbs sampling for all normal response models.
p(
|
y,
u(0)
,
2 u(0)
,
2 e(0)
)
To get (1) .
MCMC Algorithm (3)
We next sample from
2. Simulation-based Bayesian methods e.g. MCMC that attempt to draw samples from the posterior distribution of the model.
MCMC Algorithm
• Consider the 2-level model
Firstly we set starting values for each group of unknown
parameters,
(0)
,
u(0)
,
2 u (0)
,
2 e (0)
Then sample from the following conditional distributions,
firstly
A typical 2-level model is
yij 0 xij 1 u j eij
uj
~
N
(0,
2 u
),
eij
~
N
(0,
2 e
)
Here i indexes pupils and j indexes schools.
MLwiN
• Software package designed specifically for fitting multilevel models.
• Originally contained ‘classical’ IGLS estimation methods for fitting models.
• MLwiN launched in 1998 also included MCMC estimation.
• My role in team was as developer of MCMC functionality in MLwiN during 4.5 years at the IOE.
• Random effect modelling, MCMC and MLwiN. • Methods comparison – Guatemalan child health
example. • Extendibility of MCMC algorithms: • Cross classified and multiple membership
yij 0 xij 1 u j eij
uj
~
N
(0,
2 u
),
eij
~
N
(0,
2 e
)
• MCMC algorithms work in a Bayesian framework and so we need to add prior distributions for the unknown parameters.
Estimation Methods for Multilevel
Models
Due to additional random effects no simple matrix formulae exist for finding estimates in multilevel models.
Two alternative approaches exist: