2019年高考数学(文科)二轮专题突破训练：专题四 数列 专题能力训练12 Word版含答案
2019年高考数学(文科)二轮专题突破训练：四数列专题能力训练12(含答案)
当 x=1 或 19 时,S=3 800.
∴Smin=2 000 m. 1
7. 解析 由 a11=2 及 an+1=1 - ������������,得 a10=. 1
同理 a9=-1,a8=2,a7=2,…. 1
所以数列{an}是周期为 3 的数列.所以 a1=a10=2.
{ 14,������ = 1,
2
专题能力训练 12 数列的通项与求和
一、能力突破训练
1.已知数列{an}是等差数列,a1=tan 225°,a5=13a1,设 Sn 为数列{(-1)nan}的前 n 项和,则 S2 016=( )
A. 2 016
B.-2 016
C.3 024
D.-3 024
1
2.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n2+n,数列{bn}满足 bn=������������������ ������ + 1(n∈N*),Tn 是数列{bn}的前 n 项和,则
B.an=2 2 3 ,n∈N*
1,������ = 1,
{ ( ) 3 3 +×
1 ������,������ > 2,且������
∈
������
*
C.an= 2 2 3
D.an=1,n∈N*
6.植树节,某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距 10 m.开始时需将树苗集中放
(2)由(1)知 anbn=n·2n,
2
2
因此 Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n,
2Tn=22+2·23+3·24+…+n·2n+1, 所以 Tn-2Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1. 故 Tn=(n-1)2n+1+2(n∈N*).
2019年高考数学真题分类汇编专题04：数列(基础题)
2019年高考数学真题分类汇编专题04：数列（基础题）一、单选题(共4题；共8分)1．（2分）设a ，b ∈R ，数列{a n }，满足a 1 =a ，a n+1= a n 2+b ，b ∈N *，则（ ）A ．当b= 12 时，a 10>10B ．当b= 14 时，a 10>10C ．当b=-2时，a 10>10D ．当b=-4时，a 10>102．（2分）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=（ ）A ．16B ．8C ．4D ．23．（2分）古希腊吋期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12(√5−12≈0.618 ，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯“便是如此。
此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度也是 √5−12。
若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（ ）A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm4．（2分）记S n 为等差数列 {a n } 的前n 项和。
已知 S 4 =0， a 5 =5，则（ ）A ．a n =2n-5B ．a n =3n-10C ．S n =2n 2-8nD ．S n = 12n 2-2n二、填空题(共6题；共7分)5．（1分）已知数列 {a n }(n ∈N ∗) 是等差数列， S n 是其前n 项和.若 a 2a 5+a 8=0,S 9=27 ，则S 8 的值是 .6．（1分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若 a 3=5,a 7=13 ，则 S 10= . 7．（1分）记S n 为等差数列{a n }项和，若a 1≠0，a 2=3a 1，则 S 10S5= 。
8．（2分）设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a2=-3，S5=-10，则a5=，S n的最小值为.9．（1分）记S n为等比数列{a n}的前n项和。
2019届高考数学文科二轮分类突破训练：第一篇考点四 考查角度3 数列的综合运用 Word版含解析
考查角度3数列的综合运用分类透析一数列的新定义、新情景问题若三个非零且互不相等的实数x1,x2,x3成等差数列,且满足+=,则称x1,x2,x3成一个“β等差数列”.已知集合M={x||x|≤100,x∈Z},则由M中的三个元素组成的所有数列中,“β等差数列”的个数为().A.25B.50C.51D.100+=,且x1+x3=2x2,∴+=,∴(x1-x2)(x1+2x2)=0,∴x1=x2(舍去)或x1=-2x2,∴x3=4x2.令-100≤4x2≤100,得-25≤x2≤25,又由题意知x2≠0,2×25=50.含“新信息”背景的数列问题有以下几个难点:一是,学生不易抓住信息的关键部分并用于解题之中;二是学生不易发现每一问所指向的知识点,传统题目通常在问法上就直接表明该用哪些知识进行处理,但新信息问题所问的因为与新信息相关,所以要运用的知识隐藏的较深,学生不易找到解题的方向.分类透析二数列与函数的综合问题已知f(x)=的定义域为R,a n=f(n)(n∈N*),且数列{a n}是递增数列,则a的取值范围是().A.(1,+∞)B.C.(1,3)D.(3,+∞)(x)=的定义域为R,a n=f(n),且{a n}是递增数列,∴解得a>3.数列是特殊的函数,以数列为背景的不等式证明问.(2)数列与函数的综合问题主要有以下两类:①已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般要利用函数的性质及图象求解;②已知数列条件,解决函数问题,此类问题一般要充分利用数列的范围、公式和求和对式子化简变形.分类透析三数列与不等式的综合问题已知在数列{a n}中,a1=2,n·a n+1-(n+1)·a n=1,n∈N*.若对于任意的n∈N*,不等式<a恒成立,则实数a的取值范围为().+∞) B.(-∞,3) C.[3,+∞) D.(-∞,3]由n·a n+1-(n+1)·a n=1,n∈N*,可得-==-,n∈N*.∴-=1-,-=-,-=-,…,-=-,将上面各式相加,可得-=1-,则=3-<3.∵对于任意的n∈N*,不等式<a恒成立,∴a≥3,[3,+∞).在解决数列与不等式的综合问题时,若是证明题,则要,如比较法、综合法、分析法、放缩法等;若是含参数的不等式恒成立问题,则要分离参数,转化为研究最值问题来解决.1.(2018年全国Ⅰ卷,理14改编)记S n为数列{a n}的前n项和.若S n=3a n+1,则a6=.n=3a n+1,①∴当n=1时,a1=3a1+1,解得a1=-;当n≥2时,S n-1=3a n-1+1,②由①-②可得a n=3a n-3a n-1,∴a n=a n-1.∴{a n}是以-为首项,为公比的等比数列,∴a6=-.2.Ⅰ卷,理12改编)已知数列{a n}为1,1,2,3,5,8,…,即从该数列的第三项数字开始,每个数字等于前两个相邻数字之和.S n 为数列{a n}的前n项和,若a2018=m,则S2016=()..C.m+1 D.m-1由题意知a n+2=a n+a n+1=a n+a n-1+a nn n-1+a n-2+a n-1=a n+a n-1+a n-2+a n-3+a n-2=…=a n+a n-1+a n-2+a n-3+…+a2+a1+1=S n+1,=a2018-1=m-1.3.(2015年广东卷,理21(2)改编)已知函数f(n)=且a n=f(n)+f(n+1),则数列{a n}的前2018项和等于()..-2018 C.2017 D.2018(n)=a n=f(n)+f(n+1),∴a n=∴a n=(-1)n(2n+1),∴a n+a n+1=2(n是奇数),∴a 1+a 2+a 3+…+a 2018=(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a 2017+a 2018)==2018.1.(2018玉溪模拟)函数y=x 2(x>0)的图象在点(a k ,)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数,a 1=16,则a 1+a 3+a 5=()..21 C .24 D .30依题意,y'=2x ,∴函数y=x 2(x>0)的图象在点(a k ,)处的切线方程为y-=2a k (x-a k ).令y=0,可得x=a k ,即a k+1=a k ,∴数列{a n }为等比数列,a n =16×,3+a 5=16+4+1=21.2.)在等差数列{a n }中,已知a 4,a 7是函数f (x )=x 2-4x+3的两个零点,则{a n }的前10项和等于().B .9C .18D .204,a 7是函数f (x )=x 2-4x+3的两个零点, 4a 7是方程x 2-4x+3=0的两个根, ∴由韦达定理可知a 4+a 7=4,∴S 10=×10=×10=20.3.(2018四川模拟)已知等比数列{a n }中,a 1=1,a 4=,且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n+1<k ,则k 的取值范围是().A .B .C .D .设等比数列{a n }的公比为q ,∵a 1=1,a 4=,∴q3=,解得q=.∴a n=1×=,∴a n a n+1=·==2×.∴a1a2+a2a3+…+a n a n+1=2=2×=<.∵a1a2+a2a3+…+a n a n+1<k,.4.)等比数列{a n}的前三项和S3=14,若a1,a2+1,a3成等差数列,则公比q=().A.2或-B.-1或D.-2或-设等比数列{a n}的公比为q,a1,a2+1,a3成等差数列,所以2(a2+1)=a1+a3,即2(1+a1q)=a1+a1q2. ①又S3=a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=14,②由①得a1(q2-2q+1)=2,③③÷②得=,q=2或q=.5.(2018江西模拟)在△ABC中,tan A是以-2为第三项,6为第七项的等差数列的公差,tan B是以为第二项,27为第七项的等比数列的公比,则这个三角形是().A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.以上都不对由tan A是以-2为第三项,6为第七项的等差数列的公差,-3)·tan A=6,即tan A=2.由tan B是以为第二项,27为第七项的等比数列的公比,可得·(tan B)7-2=27,即tan B=3.∵在△ABC中,tan A=2>0,tan B=3>0,A+B+C=π,∴0<A<,0<B<.∵C=π-A-B,∴tan C=-tan(A+B)=-=-=1.∵0<C<π,∴C=..6.)已知定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=2f(x+2),当x∈[0,2)时,f(x)=-2x2+4x.设f(x)在[2n-2,2n)上的最大值为a n(n∈N*),且数列{a n}的前n项和为S n,则S n=().A.2-B.4-C.2-D.4-定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=2f(x+2), ∴f(x+2)=f(x),∴f(x+4)=f(x+2)=f(x),f(x+6)=f(x+4)=f(x),…,f(x+2n)=f(x).设x∈[2n-2,2n),n∈N*,则x-(2n-2)∈[0,2).∵当x∈[0,2)时,f(x)=-2x2+4x.∴f(x-(2n-2))=-2[x-(2n-2)]2+4[x-(2n-2)],∴f(x)=-2(x-2n+1)2+2,∴f(x)=21-n[-2(x-2n+1)2+2],x∈[2n-2,2n),∴当x=2n-1时,f(x)的最大值为22-n.∴a n=22-n(n∈N*).∴{a n}是以2为首项,为公比的等比数列,∴数列{a n}的前n项和S n==4-.7.(2017宁化县校级二模)已知函数f(x)=x3-x2+x+,则f的值为().B.1008C.504D.2017由f(x)=x3-x2+x+,可得f(1-x)=(1-x)3-(1-x)2+(1-x)+,即有f(x)+f(1-x)=x2+(1-x)2-x(1-x)-3x2+3x-++=2-=.则S=f=f+f+…+f,S=f+f+…+f+f,∴2S=+f+f+…+=++…+=×2016=1008,的值为504.8.(2017腾冲市校级一模)已知数列{a n}满足a1=2,a n+1=1-,设数列{a n}的前n项和为S n,则S2017=().A.1007B.1008C.1009.5D.1010a n+1=1-,1=2,∴a2=1-=1-=,a3=1-2=-1,a4=1+1=2,…∴数列{a n}是以3为周期的数列.∵S3=2+-1=,2017=3×672+1,=672×+2=1010.9.(2018咸阳三模)已知实数x,y满足在x,y中间插入5个数,使这7个数构成以x为首项,y为末项的等差数列,则这7个数之和的最大值为().A.49B.C.D.实数x,y满足画出可行域如图阴影部分所示.在x,y中间插入5个数,使这7个数构成以x为首项,y为末项的等差数列,则这7个数之和为.令x+y=t,则y=-x+t.可知当且仅当直线y=-x+t经过点A(4,3)时,t取得最大值7, 7个数之和的最大值为.10.广东二模)记函数f(x)=sin 2nx-cos nx在区间[0,π]内的零点个数为a n(n∈N*),则数列{a n}的前20项和是().B.840C.1250D.1660设f(x)=0,可得sin 2nx=cos nx,nx cos nx=cos nx,即cos nx=0或sin nx=,可得nx=kπ+,k∈Z,nx=2lπ+或nx=2lπ+,l∈Z.由于x∈[0,π],当n=1时,a1=1+2=3;当n=2时,a2=2+2=4;当n=3时,a3=3+4=7;当n=4时,a4=4+4=8;当n=5时,a5=5+6=11;当n=6时,a6=6+6=12;…可得数列{a n}的前20项和为(1+2+3+4+…+20)+(2+4+6+8+…+20)×2=×20×21+×10×22×2=210+220=430.11.哈师大附中三模)已知数列{a n}满足a n=(n2+4n)·cos nπ,则{50项和为.n=(n 2+4n)cos nπ⇒an=4(-1)n n+(-1)n n2,n的前50项和为S50=S M+S N,其中S M=(-1)1×12+(-1)2×22+…+(-1)50×502=-1+22-32+…-492+502=1+2+3+4+…+50=1275,S N=4[(-1)×1+1×2+(-1)×3+…+1×50]=4(2-1+4-3+50-49)=4×25=100,S50=1275+100=1375.12.(2018烟台一模)如图,在平面直角坐标系中,依次连接点P0(0,0),P1(x1,1),P2(x2,2),…,P n(x n,n),得到曲线P0P1P2…P n,若折线P i-1P i所在的直线的斜率为(i=1,2,…,n),则数列{x n}的前n项和为.由P0P1所在直线的斜率为1,可得=1,即x1=1;由P1P2所在直线的斜率为,可得=,即有x2=2+x1=1+2;由P2P3所在直线的斜率为,可得=,即有x3=4+x2=1+2+4;…x n=1+2+4+…+2n-1==2n-1.故数列{x n}的前n项和为(2+4+…+2n)-n=-n=2n+1-n-2.n+1-n-213.(2018荆州一模)在数列{a n}中,a1=1,当n≥2时,a n=a n-1+n,若不等式>对任意n∈N*恒成立,则实数λ的取值范围是.在数列{a n}中,a1=1,当n≥2时,a n=a n-1+n,即a n-a n-1=n,(a n-a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a2-a1)+a1n=n+(n-1)+…+2+1=.(当n=1时也成立)∴a n=.不等式>可化为λ>,∵<2,且不等式>对任意n∈N*恒成立,∴λ≥2.则实数λ的取值范围是[2,+∞).+∞)14.(2018和平区二模)已知f(x)=规定f n(x)=(n∈N*),则f5的值为.由f(x)=f n(x)=(n∈N*),可得f1=f==,f2=f=f==3,f 3=f=f(3)==,f4=f=f()=20-1=19,f5=f=f(19)=192-1=360.15.(2018成都模拟)已知数列{a n}的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列,各项都是正数的数列{x n}满足x1=3,x1+x2+x3=39,==,则x n=.设===k,则a n=lo k,所以=log k x n.同理可得,=log k x n+1,=log k x n+2.因为数列{a n}的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列,所以2log k x n+1=log k x n+log k x n+2⇒=x n x n+2,所以数列{x n}是等比数列.把x1=3代入x1+x2+x3=39,得公比q=3或q=-4(舍去),所以x n=3×3n-1=3n.n。
2019年高考数学(文科)二轮练习(通用版)第二篇第12练数列的综合问题Word版含解析
第12练 数列的综合问题[中档大题规范练][明晰考情] 1.命题角度：考查等差数列、等比数列的判定与证明；以a n, S n 的关系为切入点，考查数列的通项、前n 项和等；数列和函数、不等式的综合应用；一般位于解答题的17题位置.2.题目难度：中等偏下难度.考点一 等差数列、等比数列的判定与证明 方法技巧 判断等差(比)数列的常用方法(1)定义法：若a n ＋1－a n ＝d ，d 为常数⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ＝q ，q 为常数，则{a n }为等差(比)数列. (2)中项公式法.(3)通项公式法.1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数.(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由.(1)证明 由题设知，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1，由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)解 由题设知，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1.由(1)知，a 3＝λ＋1.令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得数列{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； 数列{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列.2.已知数列{a n }满足a 1＝2，且a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，n ∈N *. (1)设b n ＝a n 2n ，证明：{b n }为等差数列，并求数列{b n }的通项公式；(2)在(1)的条件下，求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)把a n ＝2n b n 代入到a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，得2n ＋1b n ＋1＝2n ＋1b n ＋2n ＋1，两边同除以2n ＋1，得b n ＋1＝b n ＋1，即b n ＋1－b n ＝1，∴{b n }为等差数列，首项b 1＝a 12＝1，公差为1， ∴b n ＝n (n ∈N *).(2)由b n ＝n ＝a n 2n ，得a n ＝n ×2n ， ∴S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，∴2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1， 两式相减，得－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝(1－n )×2n ＋1－2， ∴S n ＝(n －1)×2n ＋1＋2(n ∈N *).3.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且首项a 1≠3，a n ＋1＝S n ＋3n (n ∈N *).(1)求证：{S n －3n }是等比数列；(2)若{a n }为递增数列，求a 1的取值范围.(1)证明 ∵a n ＋1＝S n ＋3n ，∴S n ＋1＝2S n ＋3n ，∴S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n ).∵a 1≠3，∴数列{S n －3n }是首项为a 1－3，公比为2的等比数列.(2)解 由(1)得，S n －3n ＝(a 1－3)×2n －1.∴S n ＝(a 1－3)×2n －1＋3n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a 1－3)×2n －2＋2×3n －1. ∵{a n }为递增数列，∴当n ≥2时，(a 1－3)×2n －1＋2×3n >(a 1－3)×2n －2＋2×3n －1，∴当n ≥2时，2n －2⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫32n －2＋a 1－3>0， ∴a 1>－9.∵a 2＝a 1＋3>a 1，∴a 1的取值范围是(－9，＋∞).考点二 数列的通项与求和 方法技巧 (1)根据数列的递推关系求通项的常用方法 ①累加(乘)法形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的数列，可用累加法；形如a n ＋1a n＝f (n )的数列，可用累乘法. ②构造数列法形如a n ＋1＝na n ma n ＋n ，可转化为1a n ＋1－1a n ＝m n，构造等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ； 形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ×q ≠0，且p ≠1)，可转化为a n ＋1＋q p －1＝p ⎝⎛⎭⎫a n ＋q p －1构造等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋q p －1. (2)数列求和的常用方法①倒序相加法；②分组求和法；③错位相减法；④裂项相消法.4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＝2S n ＋1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(2n －1)·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)当n ＝1时，a 1＝2S 1＋1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1.当n ≥2时，由a n ＝2S n ＋1，得a n －1＝2S n －1＋1，两式相减得a n －a n －1＝2a n ，化简得a n ＝－a n －1，所以数列{a n }是首项为－1，公比为－1的等比数列， 则可得a n ＝(－1)n .(2)由(1)得b n ＝(2n －1)·(－1)n ，当n 为偶数时，T n ＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－(2n －3)＋(2n －1)＝2×n 2＝n ， 当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝(n ＋1)－(2n ＋1)＝－n . 所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(－1)n ·n .5.已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝14，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝b n 1－a 2n. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)设S n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a n ＋1，求S n .解 (1)b n ＋1＝b n (1－a n )(1＋a n )＝b n b n (2－b n )＝12－b n. a 1＝14，b 1＝34， 因为b n ＋1－1＝12－b n －1＝b n －12－b n ， 所以1b n ＋1－1＝2－b n b n －1＝－1＋1b n －1， 所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n －1是以－4为首项，－1为公差的等差数列， 所以1b n －1＝－4－(n －1)＝－n －3， 所以b n ＝1－1n ＋3＝n ＋2n ＋3. (2)因为a n ＝1－b n ＝1n ＋3， 所以S n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a n ＋1 ＝14×5＋15×6＋16×7＋…＋1(n ＋3)(n ＋4) ＝14－15＋15－16＋16－17＋…＋1n ＋3－1n ＋4 ＝14－1n ＋4＝n 4(n ＋4). 6.设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)由已知，当n ≥2时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1. 所以a n ＝22n －1，而a 1＝2，也满足上式，。
2019年高考数学(文科)二轮专题突破课件：专题四 数列4.1
差数列.
(2)等比数列的性质:①an=amqn-m(m,n∈N*); ②若m+n=p+q,则am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*); ③若等比数列{an}的公比不为-1,前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-
S2m,…也成等比数列.
命题热点一
命题热点二
考情分析
高频考点
命题热点三 命题热点四
复习策略
抓住考查的主 要题目类型进 行训练,重点是 等差数列与等 比数列的基本 量的求解;利用 等差数列与等 比数列的性质 求数列中的基 本量;等差数列 与等比数列的 证明;求解等差 数列、等比数列 的综合问题.
考情分析
高频考点
核心归纳
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命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
等差数列与等比数列的基本量的求解
考情分析
高频考点
核心归纳
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命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
(2)证明 ∵3bn-bn-1=n(n≥2),
2019年高考数学(文科)二轮专题冲破操练专题四 数列 专题能力操练11 Word版含答案(数理化网
专题能力训练11 等差数列与等比数列 一、能力突破训练 1.已知等比数列{a n }满足a 1=,a 3a 5=4(a 4-1),则a 2= ( )A.2B.1C.D.2.在等差数列{a n }中,a 1+a 2+a 3=3,a 18+a 19+a 20=87,则此数列前20项的和等于( )A.290B.300C.580D.6003.设{a n }是等比数列,S n 是{a n }的前n 项和.对任意正整数n ,有a n +2a n+1+a n+2=0,又a 1=2,则S 101的值为( )A.2B.200C.-2D.04.已知{a n }是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是S n ,若a 3,a 4,a 8成等比数列,则( )A .a 1d>0,dS 4>0B .a 1d<0,dS 4<0C .a 1d>0,dS 4<0D .a 1d<0,dS 4>0 5.在等比数列{a n }中,满足a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=3,a 12+a 22+a 32+a 42+a 52=15,则a 1-a 2+a 3-a 4+a 5的值是( )A.3B.√5C.-√5D.56.在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n= .7.已知等比数列{a n }为递增数列,且a 52=a 10,2(a n +a n+2)=5a n+1,则数列的通项公式a n = .8.设x ,y ,z 是实数,若9x ,12y ,15z 成等比数列,且1x ,1y ,1z 成等差数列,则x z +z x = .9.(2018全国Ⅲ,文17)在等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3.(1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和,若S m =63,求m.10.已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5.(1)求{a n }的通项公式;(2)求和:b 1+b 3+b 5+…+b 2n-1.11.设数列{a n }满足a 1+3a 2+…+(2n-1)a n =2n.(1)求{a n }的通项公式;(2)求数列{a n 2n+1}的前n 项和.二、思维提升训练12.已知数列{a n },{b n }满足a 1=b 1=1,a n+1-a n =b n+1b n =2,n ∈N *,则数列{b a n }的前10项的和为( ) A. (49-1) B. (410-1)C. (49-1)D. (410-1) 13.若数列{a n }为等比数列,且a 1=1,q=2,则T n =1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n a n+1等于( )A.1-14nB.23(1-14n )C.1-12nD.23(1-12n ) 14.如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n ≠A n+2,n ∈N *,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n ≠B n+2,n ∈N *.(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)若d n =|A n B n |,S n 为△A n B n B n+1的面积,则( )A .{S n }是等差数列B .{S n 2}是等差数列C .{d n }是等差数列D .{d n 2}是等差数列15.已知等比数列{a n }的首项为,公比为-,其前n 项和为S n ,若A ≤S n -1S n≤B 对n ∈N *恒成立,则B-A 的最小值为 .16.已知数列{a n }的首项为1,S n 为数列{a n }的前n 项和,S n+1=qS n +1,其中q>0,n ∈N *.(1)若a 2,a 3,a 2+a 3成等差数列,求数列{a n }的通项公式;(2)设双曲线x 2-y 2a n 2=1的离心率为e n ,且e 2=2,求e 12+e 22+…+e n 2. 17.若数列{a n }是公差为正数的等差数列,且对任意n ∈N *有a n ·S n =2n 3-n 2.(1)求数列{a n }的通项公式.(2)是否存在数列{b n },使得数列{a n b n }的前n 项和为A n =5+(2n-3)2n-1(n ∈N *)?若存在,求出数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n ;若不存在,请说明理由.专题能力训练11 等差数列与等比数列一、能力突破训练1.C 解析 ∵a 3a 5=4(a 4-1),∴a 42=4(a 4-1),解得a 4=2.又a 4=a 1q 3,且a 1=14,∴q=2,∴a 2=a 1q=12.2.B 解析 由a 1+a 2+a 3=3,a 18+a 19+a 20=87,得a 1+a 20=30,故S 20=20×(a 1+a 20)2=300. 3.A 解析 设公比为q ,∵a n +2a n+1+a n+2=0,∴a 1+2a 2+a 3=0,∴a 1+2a 1q+a 1q 2=0,∴q 2+2q+1=0,∴q=-1.又a 1=2,∴S 101=a 1(1-q 101)1-q =2[1-(-1)101]1+1=2. 4.B 解析 设{a n }的首项为a 1,公差为d ,则a 3=a 1+2d ,a 4=a 1+3d ,a 8=a 1+7d.∵a 3,a 4,a 8成等比数列,∴(a 1+3d )2=(a 1+2d )(a 1+7d ),即3a 1d+5d 2=0.∵d ≠0,∴a 1d=-53d 2<0,且a 1=-53d.∵dS 4=4d (a 1+a 4)2=2d (2a 1+3d )=-23d 2<0,故选B . 5.D 解析 由条件知{a 1(1-q 5)1-q =3,a 12(1-q 10)1-q 2=15,则a 1(1+q 5)1+q =5, 故a 1-a 2+a 3-a 4+a 5=a 1[1-(-q )5]1-(-q )=a 1(1+q 5)1+q =5. 6.6 解析 ∵a n+1=2a n ,即a n+1a n =2, ∴{a n }是以2为公比的等比数列.又a 1=2,∴S n =2(1-2n )1-2=126.∴2n =64,∴n=6.7.2n 解析 ∵a 52=a 10,∴(a 1q 4)2=a 1q 9,∴a 1=q ,∴a n =q n .∵2(a n +a n+2)=5a n+1,∴2a n (1+q 2)=5a n q ,∴2(1+q 2)=5q ,解得q=2或q=12(舍去),∴a n =2n .8.3415 解析 由题意知{(12y )2=9x ×15z ,2y =1x +1z, 解得xz=1229×15y 2=1615y 2,x+z=3215y , 从而x z +z x =x 2+z 2xz =(x+z )2-2xzxz =(x+z )2xz -2=(3215)2y 21615y 2-2=3415. 9.解 (1)设{a n }的公比为q ,由题设得a n =q n-1.由已知得q 4=4q 2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故a n =(-2)n-1或a n =2n-1.(2)若a n =(-2)n-1,则S n =1-(-2)n 3.由S m =63得(-2)m =-188,此方程没有正整数解.若a n =2n-1,则S n =2n -1.由S m =63得2m =64,解得m=6.综上,m=6.10.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d.因为a 2+a 4=10,所以2a 1+4d=10.解得d=2.所以a n =2n-1.(2)设等比数列{b n }的公比为q.因为b 2b 4=a 5,所以b 1qb 1q 3=9.解得q 2=3.所以b 2n-1=b 1q 2n-2=3n-1.从而b 1+b 3+b 5+…+b 2n-1=1+3+32+…+3n-1=3n -12. 11.解 (1)因为a 1+3a 2+…+(2n-1)a n =2n ,故当n ≥2时,a 1+3a 2+…+(2n-3)a n-1=2(n-1).两式相减得(2n-1)a n =2.所以a n =22n -1(n ≥2). 又由题设可得a 1=2,从而{a n }的通项公式为a n =22n -1.(2)记{a n 2n+1}的前n 项和为S n .由(1)知a n 2n+1=2(2n+1)(2n -1)=12n -1−12n+1,则S n =11−13+13−15+…+12n -1−12n+1=2n2n+1. 二、思维提升训练12.D 解析 由a 1=1,a n+1-a n =2,得a n =2n-1.由bn+1b n =2,b 1=1得b n =2n-1. 则b a n =2a n -1=22(n-1)=4n-1, 故数列{b a n }前10项和为1-4101-4=13(410-1). 13.B 解析 因为a n=1×2n-1=2n-1,所以a n a n+1=2n-1·2n =22n-1=2×4n-1,所以1a n a n+1=12×(14)n -1. 所以{1a n a n+1}是等比数列. 故T n =1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n a n+1=12×1×(1-14n )1-14=23(1-14n ). 14.A 解析 如图,延长A n A 1,B n B 1交于P ,过A n 作对边B n B n+1的垂线,其长度记为h 1,过A n+1作对边B n+1B n+2的垂线,其长度记为h 2, 则S n =12|B n B n+1|×h 1,S n+1=12|B n+1B n+2|×h 2. ∴S n+1-S n =12|B n+1B n+2|h 2-12|B n B n+1|h 1. ∵|B n B n+1|=|B n+1B n+2|, ∴S n+1-S n =12|B n B n+1|(h 2-h 1).设此锐角为θ,则h 2=|PA n+1|sin θ,h 1=|PA n |sin θ,∴h 2-h 1=sin θ(|PA n+1|-|PA n |)=|A n A n+1|sin θ.∴S n+1-S n =12|B n B n+1||A n A n+1|sin θ.∵|B n B n+1|,|A n A n+1|,sin θ均为定值,∴S n+1-S n 为定值.∴{S n }是等差数列.故选A .15.5972 解析 易得S n =1-(-13)n ∈[89,1)∪(1,43],因为y=S n -1S n 在区间[89,43]上单调递增(y ≠0),所以y ∈[-1772,712]⊆[A ,B ],因此B-A 的最小值为712−(-1772)=5972. 16.解 (1)由已知,S n+1=qS n +1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n ≥1.又由S 2=qS 1+1得到a 2=qa 1,故a n+1=qa n 对所有n ≥1都成立.所以,数列{a n }是首项为1,公比为q 的等比数列.从而a n =q n-1.由a 2,a 3,a 2+a 3成等差数列,可得2a 3=a 2+a 2+a 3.所以a 3=2a 2,故q=2.所以a n =2n-1(n ∈N *).(2)由(1)可知,a n =q n-1.所以双曲线x 2-y 2a n2=1的离心率e n =√1+a n 2=√1+q 2(n -1). 由e 2=√1+q 2=2,解得q=√3.所以e 12+e 22+…+e n 2=(1+1)+(1+q 2)+…+[1+q 2(n-1)]=n+[1+q 2+…+q 2(n-1)]=n+q 2n -1q 2-1=n+12(3n -1).17.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,则d>0,a n =dn+(a 1-d ),S n =12dn 2+(a 1-12d)n.对任意n ∈N *,恒有 a n ·S n =2n 3-n 2,则[dn+(a 1-d )]·[12dn 2+(a 1-12d)n]=2n 3-n 2,即[dn+(a 1-d )]·[12dn +(a 1-12d)]=2n 2-n. ∴{ 12d 2=2,12d (a 1-d )+d (a 1-12d)=-1,(a 1-d )(a 1-12d)=0. ∵d>0,∴{a 1=1,d =2,∴a n =2n-1. (2)∵数列{a n b n }的前n 项和为A n =5+(2n-3)·2n-1(n ∈N *), ∴当n=1时,a 1b 1=A 1=4,∴b 1=4,当n ≥2时,a n b n =A n -A n-1=5+(2n-3)2n-1-[5+(2n-5)2n-2]=(2n-1)2n-2. ∴b n =2n-2.假设存在数列{b n }满足题设,且数列{b n }的通项公式b n ={4,n =1,2n -2,n ≥2, ∴T 1=4,当n ≥2时,T n =4+1-2n -11-2=2n-1+3,当n=1时也适合, ∴数列{b n }的前n 项和为T n =2n-1+3.。
2019年高考数学文科第二伦专题：数列、等差数列﹑等比数列(名师推荐)
1．在数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a ＋a ＋…＋a 等于( )2122n A ．(2n －1)2 B. 2n －1 23C ．4n －1 D.4n －13【解析】设S n 为{a n }的前n 项和，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，当n ≥2时，S n －1＝2n －1－1，a n ＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1，a ＝4n －1，当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，所以2n a ＋a ＋…＋a ＝＝.2122n 1－4n1－44n －13【答案】D2．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，a 3,2a 2成等差数列，则＝( )12a 9＋a 10a 7＋a 8A ．1＋B ．1－22C ．3＋2D ．3－222【答案】C3．设等比数列{a n }的前6项和S 6＝6，且1－为a 1，a 3的等差中项，则a 7＋a 8＋a 9＝( )a 22A ．－2B ．8C ．10D ．14【解析】依题意得a 1＋a 3＝2－a 2，即S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝2，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即数列2,4，S 9－6成等比数列，于是有S 9－S 6＝8，即a 7＋a 8＋a 9＝8，选B.【答案】B4．已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝，若b 10b 11＝2，则a 21＝( )an ＋1an A ．29B ．210C ．211D ．212【解析】由b n ＝，且a 1＝2，得an ＋1an b 1＝＝，a 2＝2b 1；b 2＝，a 3＝a 2b 2＝2b 1b 2；b 3＝，a 4＝a 3b 3＝2b 1b 2b 3；…；a n ＝2b 1b 2b 3…b n －1，∴a 21a 2a 1a 22a 3a 2a 4a 3＝2b 1b 2b 3…b 20，又{b n }为等比数列，∴a 21＝2(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝2(b 10b 11)10＝211.【答案】C5．已知S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则等于( )a 2＋a 3a 1A ．4 B ．6C ．8D ．10【解析】设数列{a n }的公差为d ，则S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d ，故(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，整理得d ＝2a 1，所以＝＝＝8，选C.a 2＋a 3a 12a 1＋3d a 18a 1a 1＝＝12 2n －1 a1＋a2n －112 2n －1 b1＋b2n －1 A2n －1B2n －1＝＝7 2n －1 ＋45 2n －1 ＋314n ＋382n ＋2＝＝7＋ (n ∈N *)，7n ＋19n ＋112n ＋1故n ＝1,2,3,5,11时，为整数.an bn 即正整数n 的个数是5.【答案】D12.已知S n 是各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，a 7＝64，a 1a 5＋a 3＝20，则S 5等于( )A.31B.63C.16D.127【答案】A13.在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A.n (3n －1)B.n (n ＋3)2C.n (n ＋1)D.n (3n ＋1)2【答案】C【解析】依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝＝n (n ＋1).n (2＋2n )214.数列{a n }满足a 1＝0，－＝1(n ≥2，n ∈N *)，则a 2 019等于( )11－an 11－an －1A. B. C. D.12 01912 018 2 0182 019 2 0172 018【答案】C【解析】∵数列{a n }满足a 1＝0，－＝1(n ≥2，n ∈N *)，11－an 11－an －1∴＝1，11－a 1∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，{11－an }∴＝1＋(n －1)＝n ，11－an ∴＝2 019，解得a 2 019＝.11－a 2 019 2 0182 01915.已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有＋＋…＋<t ，则t 的取值范围1a 11a 21an 为( )A. B.(13，＋∞)[13，＋∞)C. D.(23，＋∞)[23，＋∞)【答案】D16.在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n ＞1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15等于( )A.210B.211C.224D.225【答案】B【解析】当n ＞1时，S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，∴a n ＋1＝a n ＋2，n ≥2，∴a n ＋1－a n ＝2，n ≥2.∴数列{a n }从第二项开始组成公差为2的等差数列，∴S 15＝a 1＋(a 2＋…＋a 15)＝1＋×14＝211.2＋28217.设{a n }是任意等差数列，它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )A.2X ＋Z ＝3YB.4X ＋Z ＝4YC.2X ＋3Z ＝7YD.8X ＋Z ＝6Y【答案】D【解析】根据等差数列的性质X ，Y －X ，S 3n －Y ，Z －S 3n 成等差数列，∴S 3n ＝3Y －3X ，又2(S 3n －Y )＝(Y －X )＋(Z －S 3n )，∴4Y －6X ＝Y －X ＋Z －3Y ＋3X ，∴8X ＋Z ＝6Y .【答案】324.设{a n }是公比为q 的等比数列，|q|>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.【答案】.－925.公差不为0的等差数列{a n }的部分项ak 1，ak 2，ak 3，…构成等比数列，且k 1＝1，k 2＝2，k 3＝6，则k 4＝________.答案 22【解析】根据题意可知等差数列的a 1，a 2，a 6项成等比数列，设等差数列的公差为d ，则有(a 1＋d)2＝a 1(a 1＋5d)，解得d ＝3a 1，故a 2＝4a 1，a 6＝16a 1⇒ak 4＝a 1＋(n －1)·(3a 1)＝64a 1，解得n ＝22，即k 4＝22.26.设函数f(x)＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a n x n －1，f(0)＝，数列{a n }满足f(1)＝n 2a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通12项公式为________.答案 a n ＝1n n ＋1【解析】由f(0)＝，得a 1＝，1212由f(1)＝n 2a n (n ∈N *)，得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2a n .当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1，整理得＝，an an －1n －1n ＋1所以a n ＝a 1×××…×a2a1a3a2an an －1＝××××…×＝，12132435n －1n ＋11n n ＋1 显然a 1＝也符合.12即{a n }的通项公式为a n ＝.1n n ＋1 27.若f(n)为n 2＋1(n ∈N *)的各位数字之和，如62＋1＝37，f(6)＝3＋7＝10，f 1(n)＝f(n)，f 2(n)＝f(f 1(n))，…，f k ＋1(n)＝f(f k (n))，k ∈N *，则f 2016(4)＝________.【答案】528.数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋5，则a n ＝__________.1212212312n 【答案】a n ＝Error!【解析】∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n ＋5.①1212212n ∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2(n －1)＋5.②1212212n －1由①－②得a n ＝2，∴a n ＝2n ＋1 (n≥2).12n 又∵a 1＝2＋5，∴a 1＝14.12解得a ＝5.所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d ，10，18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去).故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝.54所以b n ＝b 1·q n －1＝·2n －1＝5·2n －3，54即数列{b n }的通项公式b n ＝5·2n －3.33．在公差不为零的等差数列{a n }中，已知a 1＝1，且a 1，a 2，a 5依次成等比数列．数列{b n }满足b n ＋1＝2b n －1，且b 1＝3.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列的前n 项和为S n ，试比较S n 与1－的大小．{2an ·an ＋1}1bn 【解析】(1)设数列{a n }的公差为d .因为a 1＝1，且a 1，a 2，a 5依次成等比数列，所以a ＝a 1·a 5，即(1＋d )2＝1·(1＋4d )，2所以d 2－2d ＝0，解得d ＝2(d ＝0不合要求，舍去)．所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.因为b n ＋1＝2b n －1，所以b n ＋1－1＝2(b n －1)．所以{b n －1}是首项为b 1－1＝2，公比为2的等比数列．所以b n －1＝2×2n －1＝2n .所以b n ＝2n ＋1.(2)因为＝＝－，2an ·an ＋12 2n －1 2n ＋1 12n －112n ＋1所以S n ＝＋＋…＋＝1－，(11－13)(13－15)(12n －1－12n ＋1)12n ＋1于是S n －＝1－－1＋＝－＝.(1－1bn )12n ＋112n ＋112n ＋112n ＋12n －2n 2n ＋1 2n ＋1 所以当n ＝1,2时，2n ＝2n ，S n ＝1－；1bn 当n ≥3时，2n <2n ，S n <1－.1bn 34．已知函数f(x)＝(a ＋2cos2x)cos(2x ＋θ)为奇函数，且f π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若fα4＝－25，α∈π2，π，求sinα＋π3的值．35．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a－c＝66b，sin B＝6sin C.(1)求cos A的值；(2)求cos2A－π6的值．解：(1)在△ABC中，由bsin B＝csin C，及sin B＝6sin C，可得b＝6c.由a－c＝66b，得a＝2c.所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝6c2＋c2－4c226c2＝64.(2)在△ABC中，由cos A＝64，可得sin A＝104.于是cos 2A＝2cos2A－1＝－14，sin 2A＝2sin A•cos A＝154.所以cos2A－π6＝cos 2A•cosπ6＋sin 2A•sinπ6＝15－38.36．如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1, CD＝3，cos B＝33.(1)求△ACD的面积；(2)若BC＝23，求AB的长．解：(1)因为∠D＝2∠B，cos B＝33，所以cos D＝cos 2B＝2cos2B－1＝－13.因为D∈(0，π)，所以sin D＝1－cos2D＝223.因为AD＝1，CD＝3，所以△ACD的面积S＝12AD•CD•sin D＝12×1×3×223＝2.(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD•DC•cos D＝12，所以AC＝23.因为BC＝23，ACsin B＝ABsin∠ACB，所以23sin B ＝ABsin π－2B ＝ABsin 2B ＝AB2sin Bcos B ＝AB233sin B ，所以AB ＝4.37.对于正项数列{a n }，定义H n ＝为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋nan H n ＝，则数列{a n }的通项公式为________.2n ＋2【答案】a n ＝(n ∈N *)2n ＋12n。
2019年高考数学(文科)二轮专题突破课件：专题四 数列4.2
即 由于(22()aa设nn+>b1+0n=,a可n)������得=������������1������������2a������++n+111,-求−an���数=������2���2列=. ({abn+n}1+的a前n)(nan项+1和-an.).
又������12+2a1=4a1+3,解得 a1=-1(舍去),a1=3.
所以{an}是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an=2n+1.
(2)由
an=2n+1
可知
bn=������������
1 ������������
+1
=
1 (2������ +1)(2������ +3)
=
1 2
1-1 .
2������+1 2������+3
设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则
(4)an+1=
������������������ ������ + ������������������
(an≠0,p,q为非零常数)型,可用倒数法转化为等
差数列解决.
考情分析
高频考点
核心归纳
命题热点一 命题热点二 命题热点三
(∴∴1)数 ���对((∵���1���12��� =))列点aaS111n=+训==������11������123������2练,-a,a1���是n,n���∴1���++���根1等+13=a1.n据2差2==+������������下数������������2���2+���2+,1列列∴���.������������������条,���������其;������1+件首1 =,确项������1定为������ +数1,12列公. 差{a为n}的12, 通项公式: (2)∵Sn=23an+13,① ∴当 n≥2 时,Sn-1=23an-1+13.②
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专题能力训练12数列的通项与求和一、能力突破训练1.已知数列{a n}是等差数列,a1=tan 225°,a5=13a1,设S n为数列{(-1)n a n}的前n项和,则S2 016=()A. 2 016B.-2 016C.3 024D.-3 0242.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=n2+n,数列{b n}满足b n=(n∈N*),T n是数列{b n}的前n项和,则T9等于()A. B. C. D.3.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-2n-1,则a3+a17=()A.15B.17C.34D.3984.已知函数f(x)满足f(x+1)= +f(x)(x∈R),且f(1)=,则数列{f(n)}(n∈N*)前20项的和为()A.305B.315C.325D.3355.已知数列{a n},构造一个新数列a1,a2-a1,a3-a2,…,a n-a n-1,…,此数列是首项为1,公比为的等比数列,则数列{a n}的通项公式为()A.a n=,n∈N*B.a n=,n∈N*C.a n=D.a n=1,n∈N*6.植树节,某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10 m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 m.7.数列{a n}满足a n+1=,a11=2,则a1=.8.数列{a n}满足a1+a2+…+a n=2n+5,n∈N*,则a n=.9.设数列{a n}的前n项和为S n.已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.(1)求通项公式a n;(2)求数列{|a n-n-2|}的前n项和.10.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,等比数列{b n}的前n项和为T n,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求{b n}的通项公式;(2)若T3=21,求S3.11.已知数列{a n}和{b n}满足a1=2,b1=1,a n+1=2a n(n∈N*),b1+b2+b3+…+b n=b n+1-1(n∈N*).(1)求a n与b n;(2)记数列{a n b n}的前n项和为T n,求T n.二、思维提升训练12.给出数列,…,,…, ,…,在这个数列中,第50个值等于1的项的序号是()A.4 900B.4 901C.5 000D.5 00113.设S n是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n=.14.设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=1,a2=2,且a n+2=3S n-S n+1+3,n∈N*.(1)证明:a n+2=3a n;(2)求S n.15.已知{a n}是等比数列,前n项和为S n(n∈N*),且,S6=63.(1)求{a n}的通项公式;(2)若对任意的n∈N*,b n是log2a n和log2a n+1的等差中项,求数列{(-1)n}的前2n项和.16.已知数列{a n}满足a n+2=qa n(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和{a n}的通项公式;(2)设b n=,n∈N*,求数列{b n}的前n项和.专题能力训练12数列的通项与求和一、能力突破训练1.C解析∵a1=tan 225°=1,∴a5=13a1=13,则公差d==3,∴a n=3n-2.又(-1)n a n=(-1)n(3n-2),∴S2 016=(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)+…+(a2 014-a2 013)+(a2 016-a2 015)=1 008d=3 024.2.D解析∵数列{a n}的前n项和为S n,且S n=n2+n,∴当n=1时,a1=2;当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n,∴a n=2n(n∈N*),∴b n=,T9=+…+.3.C解析∵S n=n2-2n-1,∴a1=S1=12-2-1=-2.当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2-2n-1-[(n-1)2-2(n-1)-1]=n2-(n-1)2+2(n-1)-2n-1+1=n2-n2+2n-1+2n-2-2n=2n-3.∴a n=∴a3+a17=(2×3-3)+(2×17-3)=3+31=34.4.D解析∵f(1)=,f(2)=,f(3)=,……,f(n)=+f(n-1),∴{f(n)}是以为首项,为公差的等差数列.∴S20=20×=335.5.A解析因为数列a1,a2-a1,a3-a2,…,a n-a n-1,…是首项为1,公比为的等比数列,所以a n-a n-1=,n≥2.所以当n≥2时,a n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-a n-1)=1++…+=.又当n=1时,a n==1,则a n=,n∈N*.6.2 000解析设放在第x个坑边,则S=20(|x-1|+|x-2|+…+|20-x|).由式子的对称性讨论,当x=10或11时,S=2 000.当x=9或12时,S=20×102=2 040;……当x=1或19时,S=3 800.∴S min=2 000 m.7.解析由a11=2及a n+1=,得a10=.同理a9=-1,a8=2,a7=,….所以数列{a n}是周期为3的数列.所以a1=a10=.8.解析在a1+a2+…+a n=2n+5中用(n-1)代换n得a1+a2+…+a n-1=2(n-1)+5(n≥2),两式相减,得a n=2,a n=2n+1,又a1=7,即a1=14,故a n=9.解(1)由题意得又当n≥2时,由a n+1-a n=(2S n+1)-(2S n-1+1)=2a n,得a n+1=3a n.所以,数列{a n}的通项公式为a n=3n-1,n∈N*.(2)设b n=|3n-1-n-2|,n∈N*,b1=2,b2=1.当n≥3时,由于3n-1>n+2,故b n=3n-1-n-2,n≥3.设数列{b n}的前n项和为T n,则T1=2,T2=3.当n≥3时,T n=3+,所以T n=10.解设{a n}的公差为d,{b n}的公比为q,则a n=-1+(n-1)d,b n=q n-1.由a2+b2=2得d+q=3.①(1)由a3+b3=5,得2d+q2=6.②联立①和②解得(舍去),因此{b n}的通项公式为b n=2n-1.(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0,解得q=-5或q=4.当q=-5时,由①得d=8,则S3=21.当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.11.解(1)由a1=2,a n+1=2a n,得a n=2n(n∈N*).由题意知:当n=1时,b1=b2-1,故b2=2.当n≥2时,b n=b n+1-b n,整理得,所以b n=n(n∈N*).(2)由(1)知a n b n=n·2n,因此T n=2+2·22+3·23+…+n·2n,2T n=22+2·23+3·24+…+n·2n+1,所以T n-2T n=2+22+23+…+2n-n·2n+1.故T n=(n-1)2n+1+2(n∈N*).二、思维提升训练12.B解析根据条件找规律,第1个1是分子、分母的和为2,第2个1是分子、分母的和为4,第3个1是分子、分母的和为6,……,第50个1是分子、分母的和为100,而分子、分母的和为2的有1项,分子、分母的和为3的有2项,分子、分母的和为4的有3项,……,分子、分母的和为99的有98项,分子、分母的和为100的项依次是:,……,,…,,第50个1是其中第50项,在数列中的序号为1+2+3+…+98+50=+50=4 901.13.-解析由a n+1=S n+1-S n=S n S n+1,得=1,即=-1,则为等差数列,首项为=-1,公差为d=-1,∴=-n,∴S n=-.14.(1)证明由条件,对任意n∈N*,有a n+2=3S n-S n+1+3,因而对任意n∈N*,n≥2,有a n+1=3S n-1-S n+3.两式相减,得a n+2-a n+1=3a n-a n+1,即a n+2=3a n,n≥2.又a1=1,a2=2,所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1,故对一切n∈N*,a n+2=3a n.(2)解由(1)知,a n≠0,所以=3,于是数列{a2n-1}是首项a1=1,公比为3的等比数列;数列{a2n}是首项a2=2,公比为3的等比数列.因此a2n-1=3n-1,a2n=2×3n-1.于是S2n=a1+a2+…+a2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=(1+3+…+3n-1)+2(1+3+…+3n-1)=3(1+3+…+3n-1)=,从而S2n-1=S2n-a2n=-2×3n-1=(5×3n-2-1).综上所述,S n=15.解(1)设数列{a n}的公比为q.由已知,有,解得q=2或q=-1.又由S6=a1·=63,知q≠-1,所以a1·=63,得a1=1.所以a n=2n-1.(2)由题意,得b n=(log2a n+log2a n+1)=(log22n-1+log22n)=n-,即{b n}是首项为,公差为1的等差数列.设数列{(-1)n}的前n项和为T n,则T2n=(-)+(-)+…+(-)=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n==2n2.16.解(1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3,所以a2(q-1)=a3(q-1).又因为q≠1,故a3=a2=2,由a3=a1·q,得q=2.当n=2k-1(k∈N*)时,a n=a2k-1=2k-1=;当n=2k(k∈N*)时,a n=a2k=2k=.所以,{a n}的通项公式为a n=(2)由(1)得b n=.设{b n}的前n项和为S n,则S n=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,S n=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,上述两式相减,得S n=1++…+=2-,整理得,S n=4-.所以,数列{b n}的前n项和为4-,n∈N*.。