2018届中考数学：单元滚动检测卷(四)
2018年江西省中考数学模拟试卷(四)
2018年江西省中考数学模拟试卷（四）一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．下列各式计算结果为﹣2的是（）A．﹣（﹣2）B．（﹣）﹣1C．﹣12D．2．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．3．下列运算中正确的是（）A．a3+a3=a6B．a2•a3=a5C．（ab2）3=a3b3D．a10÷a2=a54．菲尔兹奖（Fields Medal）是享有崇高声誉的数学大奖，每四年颁奖一次，颁给二至四名成就显著的年轻数学家，下面是对截至2015年56名获奖者的年龄进行统计得到的统计图．则下列说法中正确的是（）A．平均年龄是37.5岁B．中位数年龄位于33.5﹣36.5岁C．众数年龄位于36.5﹣39.5岁D．以上选项都不正确5．如图，O为矩形ABCD对角线的交点，AD=8cm，AB=6cm，将△ABO向右平移得到△DCE，则△ABO向右平移过程中扫过的面积是（）A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．60cm26．在某篮球比赛中，甲队队员A、B的位置如图所示，队员A抢到篮板球后，迅速将球抛向对方半场的点C处，队员B看到后同时快跑到点C处恰好接住了球，则如图中分别表示球、队员B离队员A的距离y（m）与队员A抛球后的时间x的关系的大致图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．实数36的平方根是______．8．己知A、B两组数据，它们的平均数都是90，它们的方差分别是s=136，s=32，那么波动较小的一组数据是______．9．不等式的最小整数解是______．10．已知一元二次方程x2+7x﹣1=0的两个实数根为α、β，则（α﹣1）（β﹣1）的值为______．11．如图，秋千链子的长度OA=3m，静止时秋千踏板处于A位置．此时踏板距离地面0.3m，秋千向两边摆动．当踏板处于A′位置时，摆角最大，即∠AOA′=50°，则在A′位置，踏板与地面的距离为______m．（sin50°≈0.766，cos50°≈0.6428，结果精确到0.01m）12．如图，巳知直线l：y=x+，点A，B的坐标分别是（1，0）和（6，0），点C在直线l上，当△ABC是直角三角形时，点C的坐标为______．三、（本大題共5小题，毎小题6分，共30分）13．（1）化简：[（x+2y）2﹣（x﹣2y）2]÷4y（2）如图，有两堆碗，每个碗的大小完全相同，两堆碗的高度分别是20cm和15cm，设每个碗的高度为xcm，两个碗堆起来时上一个碗露出来的高度为ycm，求把这两堆碗堆在一起时的高度．14．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点（在直径AB的同一侧），且=，弦AC、BD相交于点P，如果∠APB=110°，求∠ABD的度数．15．一块三角形纸板ABC，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，把它置于平面直角坐标系中，AC∥y轴，BC∥x轴，顶点A，B恰好都在反比例函数y=的图象上，AC，BC的延长线分别交x轴、y轴于D，E两点，设点C的坐标为（m，n）．（1）求A，B两点的坐标（含m，n，不含k）；（2）当m=n+0.5时，求该反比例函数的解析式．16．请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形．（1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；（2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形．17．在一个不透明的袋子中，放入了2个红球和m个白球，已知从中摸出一个球是红球的概率为0.4．（1）求m的值；（2）如果从中一次摸出2个球，求至少有一个是红球的概率，请用画树状图或列表的方法进行分析．四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）18．已知A，B两地公路长300km，甲、乙两车同时从A地出发沿同一公路驶往B地，2小时后，甲车接到电话需返回这条公路上的C处取回货物，于是甲车立即原路返回C地，取了货物又立即赶往B地（取货物的时间忽略不计），结果两车同时到达B地．两车的速度始终保持不变，设两车出发xh后，甲、乙距离A地的距离分别为y1（km）和y2（km），它们的函数图象分别是折线OPQR和线段OR．（1）求A、C两地之间的距离；（2）甲、乙两车在途中相遇时，距离A地多少千米？19．某地区教育部门为了了解本地九年级学生每周“阳光体育活动”的时间情况，随机调査了本地部分九年级学生，把收集到的数据进行整理并制成了以下两幅统汁图．学生“阳光体育活动”的时间x（h）分为五个等级：A（x≤4），B（4＜x≤6），C（6＜x≤8），D（8＜x≤l0＞，E（x＞10）．（1）本次共调查了多少名学生？（2）补全条形统计图，扇形统计图中的m=______．3，5，7，9，11．求被调查学（3）我们把A，B，C，D，E各等级时间（单位：h）看成：生平均每周的活动时间．（4）已知该地九年级学生有8000名，请你估计每周“阳光体育活动”时间大于6h的学生有多少名．20．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），CE的延长线交AD于点F，连接AE．（1）求证：△ABE∽△FDE；（2）当BE=3DE时，求tan∠1的值．21．两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，AB=25，CD=17．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜90°）角度，如图2所示．（1）利用图2证明AC=BD且AC⊥BD；（2）当BD与CD在同一直线上（如图3）时，求AC的长和α的正弦值．五、（本大题共10分）22．两块全等的矩形纸片ABCD和EFGH按图1所示放置在圆的内部，顶点A和G在圆上，边BC和EH在直径PQ上．（1）判断：图1是不是中心对称图形？如果是，请画出它的对称中心；（2）连接AG，求证：AG是圆的直径．（3）在图1中纸片ABCD的右侧再拼接一块相同的纸片CDMN，如图2所示，如果AB=3，AD=，BE=求证：GN是圆的切线．六、（本大题共12分）23．如图1，已知抛物线Ly=ax2+bx﹣（a＞0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，顶点：为M，对称轴为直线l：x=1（1）直接写出点B的坐标及一元二次方程ax2+bx﹣=0的解．（2）求抛物线L的解析式及顶点M的坐标．（3）如图2，设点P是抛物线L上的一个动点，将抛物线L平移．使它的頂点移至点P，得到新抛物线L′，L′与直线l相交于点N．设点P的横坐标为m①当m=5时，PM与PN有怎样的数量关系？请说明理由．②当m为大于1的任意实数时，①中的关系式还成立吗？为什么？③是否存在这样的点P，使△PMN为等边三角形？若存在．请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2018年江西省中考数学模拟试卷（四）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．下列各式计算结果为﹣2的是（）A．﹣（﹣2）B．（﹣）﹣1C．﹣12D．【考点】算术平方根；相反数；有理数的乘方；负整数指数幂．【分析】依据相反数、负整数指数幂的性质、有理数的乘方法则、算术平方根的性质求解即可．【解答】解：A、﹣（﹣2）=2，故A错误；B、=（﹣2）﹣1×（﹣1）=﹣2，故B正确；C、﹣12=﹣1，故C错误；D、=2，故D错误．故选：B．2．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．【解答】解：从上往下看，得到的是同心圆，且下面的圆不能直接看到，俯视图用虚线表示，故选：D．3．下列运算中正确的是（）A．a3+a3=a6B．a2•a3=a5C．（ab2）3=a3b3D．a10÷a2=a5【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】A：根据合并同类项的方法判断即可．B：根据同底数幂的乘法法则判断即可．C：根据积的乘方的运算方法判断即可．D：根据同底数幂的除法法则判断即可．【解答】解：∵a3+a3=2a3，∴选项A不正确；∵a2•a3=a5，∴选项B正确；∵（ab2）3=a3b6，∴选项C不正确；∵a10÷a2=a8，∴选项D不正确．故选：B．4．菲尔兹奖（Fields Medal）是享有崇高声誉的数学大奖，每四年颁奖一次，颁给二至四名成就显著的年轻数学家，下面是对截至2015年56名获奖者的年龄进行统计得到的统计图．则下列说法中正确的是（）A．平均年龄是37.5岁B．中位数年龄位于33.5﹣36.5岁C．众数年龄位于36.5﹣39.5岁D．以上选项都不正确【考点】众数；加权平均数；中位数．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：A、平均年龄===34.625岁，故本选项错误；B、∵56名获奖者按照年龄从小到大第28、29两个人的年龄都在33.5﹣36.5岁这一组，∴中位数年龄位于33.5﹣36.5岁，故本选项正确；C、36.5﹣39.5岁这一组的人数最多，并不一定同一年龄的人数最多的也在这一组，所以，众数年龄位于36.5﹣39.5岁不一定正确，故本选项错误；D、∵B选项结论正确，∴以上选项都不正确，错误，故本选项错误．故选B．5．如图，O为矩形ABCD对角线的交点，AD=8cm，AB=6cm，将△ABO向右平移得到△DCE，则△ABO向右平移过程中扫过的面积是（）A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．60cm2【考点】矩形的性质；平移的性质．【分析】直接利用平移的性质结合矩形面积求法得出答案．【解答】解：∵将△ABO向右平移得到△DCE，∴S △CDE =S △ABO ，∵将△ABO 向右平移得到△DCE ，AD=8cm ，AB=6cm ，∴△ABO 向右平移过程中扫过的面积是：矩形ABCD 面积+△DEC 面积=6×8+×6×4=60（cm 2）． 故选：D ．6．在某篮球比赛中，甲队队员A 、B 的位置如图所示，队员A 抢到篮板球后，迅速将球抛向对方半场的点C 处，队员B 看到后同时快跑到点C 处恰好接住了球，则如图中分别表示球、队员B 离队员A 的距离y （m ）与队员A 抛球后的时间x 的关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【分析】分别描述球和球员B 距离A 的距离即可确定正确的选项．【解答】解：队员A 抢到篮板球后，篮球距离队员A 的距离为0，球员B 距离球员A 有段距离，队员A 抢到篮板球后，迅速将球抛向对方半场的点C 处，球员B 也跑向C 处接住篮球，此时球员B 和篮球距离球员A 的距离相等， 综合以上C 选项符合， 故选C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．实数36的平方根是 ±6 ． 【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义解答即可． 【解答】解：∵（±6）2=36， ∴实数36的平方根是±6． 故答案为：±6．8．己知A 、B 两组数据，它们的平均数都是90，它们的方差分别是s =136，s=32，那么波动较小的一组数据是 B 组 ． 【考点】方差；算术平均数．【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：∵A、B两组数据，它们的平均数都是90，它们的方差分别是s=136，s=32，∴B组的方差最小，∴波动较小的一组数据是B组；故答案为：B组．9．不等式的最小整数解是x=3．【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】先求出一元一次不等式组的解集，再根据x是整数得出最小整数解．【解答】解：，解不等式①，得x≥1，解不等式②，得x＞2，所以不等式组的解集为x＞2，所以最小整数解为3．故答案为：x=3．10．已知一元二次方程x2+7x﹣1=0的两个实数根为α、β，则（α﹣1）（β﹣1）的值为7．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数关系可得α+β=﹣7，α•β=﹣1，然后将（α﹣1）（β﹣1）去括号整理即可求得答案．【解答】解：∵一元二次方程x2+7x﹣1=0的两个实数根为α、β，∴α+β=﹣7，α•β=﹣1，∵（α﹣1）（β﹣1）=α•β﹣α﹣β+1=﹣1+7+1=7，故答案为：7．11．如图，秋千链子的长度OA=3m，静止时秋千踏板处于A位置．此时踏板距离地面0.3m，秋千向两边摆动．当踏板处于A′位置时，摆角最大，即∠AOA′=50°，则在A′位置，踏板与地面的距离为 1.37m．（sin50°≈0.766，cos50°≈0.6428，结果精确到0.01m）【考点】解直角三角形的应用．【分析】作A′D⊥OA于点D，A′C垂直于底面于点C，在RT△OA′D中求出OD的长，继而可得A′C=DB=OB﹣OD．【解答】解：如图，作A′D⊥OA于点D，A′C垂直于底面于点C，延长OA交底面于点B，则四边形BCA′D为矩形，∴A′C=DB，∵∠AOA′=50°，且OA=OA′=3m，∴在RT△OA′D中，OD=OA′•cos∠AOA′≈3×0.6428≈1.93（m），又∵AB=0.3m，∴OB=OA+AB=3.3m，∴A′C=DB=OB﹣OD=1.37m，故答案为：1.37．12．如图，巳知直线l：y=x+，点A，B的坐标分别是（1，0）和（6，0），点C在直线l上，当△ABC是直角三角形时，点C的坐标为（1，）或（6，）或（，）．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【分析】当A或B为直角顶点时，则可得C点的横坐标，再代入直线解析式可求得C点坐标；当C点为直角顶点时，可表示出AC、BC和AB的长，利用勾股定理可得到关于C点坐标的方程，可求得C点坐标．【解答】解：当A点为直角顶点时，∵A点坐标为（1，0），∴C点横坐标为1，把x=1代入直线l解析式可得y=+=，∴C点坐标为（1，）；当B点为直角顶点时，同理可求得C点坐标为（6，）；当C点为直角顶点时，∵点C在直线l上，∴可设C点坐标为（x，x+），∴AC2=（1﹣x）2+（x+）2，BC2=（6﹣x）2+（x+）2，且AB=6﹣1=5，∵△ABC为直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴（1﹣x）2+（x+）2+（6﹣x）2+（x+）2=25，整理可得2（x﹣）2=0，解得x=，代入可得y=，∴C点坐标为（，），综上可知C点坐标为（1，）或（6，）或（，），故答案为：（1，）或（6，）或（，）．三、（本大題共5小题，毎小题6分，共30分）13．（1）化简：[（x+2y）2﹣（x﹣2y）2]÷4y（2）如图，有两堆碗，每个碗的大小完全相同，两堆碗的高度分别是20cm和15cm，设每个碗的高度为xcm，两个碗堆起来时上一个碗露出来的高度为ycm，求把这两堆碗堆在一起时的高度．【考点】二元一次方程组的应用；完全平方公式；整式的除法．【分析】（1）先利用平方差公式计算大括号内的算式，然后计算除法；（2）根据“两堆碗的高度分别是20cm和15cm”列出方程组并解答．【解答】解：（1）原式=[（x+2y+x﹣2y）（x+2y﹣x+2y）]÷4y，=（2x•4y）÷4y，=2x；（2）依题意得：，解方程组得，两堆碗堆在一起时的高度是20+3y=27.5（cm）．14．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点（在直径AB的同一侧），且=，弦AC、BD相交于点P，如果∠APB=110°，求∠ABD的度数．【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【分析】连接CD、CB，首先求出∠CBD的度数，进而求出∠CBD的度数，最后求出∠ABD 的度数．【解答】解：如图，连接CD、CB，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠APB=∠DPC=110°，∴∠CBD=110°﹣90°=20°，∵=，∴CD=CB，∴∠CBD=∠CDB=20°，∵∠CDB=∠CAB，∴∠ABD=180°﹣110°﹣20°=50°．15．一块三角形纸板ABC，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，把它置于平面直角坐标系中，AC∥y轴，BC∥x轴，顶点A，B恰好都在反比例函数y=的图象上，AC，BC的延长线分别交x轴、y轴于D，E两点，设点C的坐标为（m，n）．（1）求A，B两点的坐标（含m，n，不含k）；（2）当m=n+0.5时，求该反比例函数的解析式．【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）由勾股定理可得BC=4，由AC∥y轴、BC∥x轴结合点C的坐标（m，n），可得点A、B的坐标；（2）根据m=n+0.5将点A、B坐标用含n的式子表示，由A，B都在反比例函数y=的图象上得关于n、k的方程组，解方程组可得n、k的值即可．【解答】解：（1）RT△ABC中，∵AB=5，AC=3，∴BC=4，∵点C的坐标为（m，n），∴点A的坐标为（m，n+3），点B的坐标为（m+4，n）；（2）∵m=n+0.5，∴点A坐标为（n+0.5，n+3），点B坐标为（n+4.5，n），∵点A、B均在反比例函数y=的图象上，∴k=（n+0.5）（n+3）=n（n+4.5），解得：n=1.5，k=9，故该反比例函数的解析式为：y=．16．请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形．（1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；（2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形．【考点】作图—复杂作图；三角形中位线定理；菱形的判定；矩形的性质；正方形的性质．【分析】（1）直接利用矩形的性质将其分割进而得出各边中点即可得出答案；（2）利用正方形的性质延长AE，交DC于点N，连接NO并延长NO于点M，连接MC，即可得出F点位置，进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：四边形EFGH即为所求的菱形；（2）如图所示：四边形AECF即为所求的菱形．17．在一个不透明的袋子中，放入了2个红球和m个白球，已知从中摸出一个球是红球的概率为0.4．（1）求m的值；（2）如果从中一次摸出2个球，求至少有一个是红球的概率，请用画树状图或列表的方法进行分析．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（1）由概率公式可列方程：=0.4，解此方程即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与至少有一个是红球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）根据题意得：=0.4，解得：m=3；经检验：x=3是原分式方程的解；∴m的值为3；（2）画树状图得：∵共有20种等可能的结果，至少有一个是红球的有14种情况，∴至少有一个是红球的概率为：=．四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）18．已知A，B两地公路长300km，甲、乙两车同时从A地出发沿同一公路驶往B地，2小时后，甲车接到电话需返回这条公路上的C处取回货物，于是甲车立即原路返回C地，取了货物又立即赶往B地（取货物的时间忽略不计），结果两车同时到达B地．两车的速度始终保持不变，设两车出发xh后，甲、乙距离A地的距离分别为y1（km）和y2（km），它们的函数图象分别是折线OPQR和线段OR．（1）求A、C两地之间的距离；（2）甲、乙两车在途中相遇时，距离A地多少千米？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）由图象和题意可得，甲行驶的总的路程，从而可以求得甲接到电话返回C处的距离，从而可以得到A、C两地之间的距离；（2）根据题意和图象，可以得到PQ的解析式和OR的解析式，从而可以求得两车相遇时的时间和距离A地的距离．【解答】解：（1）由图象可知，甲车2h行驶的路程是180km，可以得到甲行驶的速度是180÷2=90km/h，甲行驶的总路程是：90×5=450km，故甲从接到电话到返回C处的路程是：÷2=75km，故A、C两地之间的距离是：180﹣75=105km，即A、C两地之间的距离是105km；（2）由图象和题意可得，甲从接到电话返回C处用的时间为：（5﹣）÷2=小时，故点Q的坐标为（，105），设过点P（2，180），Q（，105）的直线解析式为y=kx+b，则解得，即直线PQ的解析式为y=﹣90x+360，设过点O（0，0），R（5，300）的直线的解析式为y=mx，则300=5m，得m=60，即直线OR的解析式为y=60x，则，解得．即甲、乙两车在途中相遇时，距离A地144千米．19．某地区教育部门为了了解本地九年级学生每周“阳光体育活动”的时间情况，随机调査了本地部分九年级学生，把收集到的数据进行整理并制成了以下两幅统汁图．学生“阳光体育活动”的时间x（h）分为五个等级：A（x≤4），B（4＜x≤6），C（6＜x≤8），D（8＜x≤l0＞，E（x＞10）．（1）本次共调查了多少名学生？（2）补全条形统计图，扇形统计图中的m=30．3，5，7，9，11．求被调查学（3）我们把A，B，C，D，E各等级时间（单位：h）看成：生平均每周的活动时间．（4）已知该地九年级学生有8000名，请你估计每周“阳光体育活动”时间大于6h的学生有多少名．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；加权平均数．【分析】（1）由统计图可知A等级占5%，有10个人，从而可以得到本次共调查的学生数；（2）根据扇形统计图可以求得m的值，也可以求出D等级的学生数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据加权平均数的计算方法可以解答本题；（4）根据统计图中的数据可以解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，10÷5%=200，即本次共调查了200名学生；（2）m%=1﹣45%﹣12%﹣5%﹣8%=30%，故答案为：30；D等级的学生数为：200×30%=60，补全的条形统计图如右图所示，（3）被调查学生平均每周的活动时间为：=7.48h，即被调查学生平均每周的活动时间是7.48h；（4）8000×（45%+30%+8%）=6640（名），即每周“阳光体育活动”时间大于6h的学生有6640名．20．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），CE的延长线交AD于点F，连接AE．（1）求证：△ABE∽△FDE；（2）当BE=3DE时，求tan∠1的值．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】（1）根据正方形的性质得到AB=BC，∠ABE=∠CBE=∠FDE=45°，根据全等三角形的性质得到∠BAE=∠ECB，等量代换得到∠BAE=∠DFE，即可得到结论；（2）连接AC交BD于O，设正方形ABCD的边长为a，根据勾股定理得到BD=a，BO=OD=OC=a，根据已知条件得到OE=OD=a，然后根据三角函数的定义得到结论．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∵AB=BC，∠ABE=∠CBE=∠FDE=45°，在△ABE与△CBE中，，∴△ABE≌△CBE，∴∠BAE=∠ECB，∵AD∥BC，∴∠DFE=∠BCE，∴∠BAE=∠DFE，∴△ABE∽△FDE；（2）连接AC交BD于O，设正方形ABCD的边长为a，∴BD=a，BO=OD=OC=a，∵BE=3DE，∴OE=OD=a，∴tan∠1=tan∠OEC==．21．两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，AB=25，CD=17．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜90°）角度，如图2所示．（1）利用图2证明AC=BD且AC⊥BD；（2）当BD与CD在同一直线上（如图3）时，求AC的长和α的正弦值．【考点】旋转的性质；勾股定理；等腰直角三角形．【分析】（1）如图2中，延长BD交OA于G，交AC于E，只要证明△AOC≌△BOD即可解决问题．（2）如图3中，设AC=x，在RT△ABC中，利用勾股定理求出x，再根据sinα=sin∠ABC=即可解决问题．【解答】（1）证明：如图2中，延长BD交OA于G，交AC于E．∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠DOB，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，∵∠DBO+∠GOB=90°，∵∠OGB=∠AGE，∴∠CAO+∠AGE=90°，∴∠AEG=90°，∴BD⊥AC．（2）解：如图3中，设AC=x，∵BD、CD在同一直线上，BD⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴x2+（x+17）2=252，解得x=7，∵∠ODC=∠α+∠DBO=45°，∠ABC+∠DBO=45°，∴∠α=∠ABC，∴sinα=sin∠ABC==．五、（本大题共10分）22．两块全等的矩形纸片ABCD和EFGH按图1所示放置在圆的内部，顶点A和G在圆上，边BC和EH在直径PQ上．（1）判断：图1是不是中心对称图形？如果是，请画出它的对称中心；（2）连接AG，求证：AG是圆的直径．（3）在图1中纸片ABCD的右侧再拼接一块相同的纸片CDMN，如图2所示，如果AB=3，AD=，BE=求证：GN是圆的切线．【考点】圆的综合题．【分析】（1）由圆的对称性可知，两块全等矩形按图1所示放置，该图形是中心对称图形，对称中心是对应点连线段的交点，即为圆心；（2）由中心对称的性质可知：A与G是对称点，所以AG必过对称中心，即AG过圆心，所以AG是圆的直径；（3）利用AB、AD与BE的长度和对称性，分别求出OH、HG、HN的长度，由于HG2=OH•HN，所以易证△OHG∽△GHN，利用对应角相等，即可求得∠OGN=90°．【解答】解：（1）由题意知，该图形是中心对称图形，对称中心为圆心，如图1所示；（2）由中心对称图形的性质可知，点A与G是对称点，∴AG必定过对称中心，∴AG过圆心，∴AG是圆的直径；（3）设圆心为O，连接OG，由对称性可知：BE=CH=，∵AD=BC，∴EC=BC﹣BE=，∴由对称性可知：OC=EC=，∴OH=OC+CH=4，HN=CN﹣CH=，∴矩形ABCD与矩形EHGF全等，∴HG=AB=3，∴HG2=OH•HN，∵∠OHG=∠NHM，∴△OHG∽△GHN，∴∠HOG=∠HGN，∴∠EGH+∠HGN=∠EGH+∠HOG=90°，∴∠OGN=90°，∴GN是圆O的切线．六、（本大题共12分）y=ax2+bx﹣（a＞0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，顶点23．如图1，已知抛物线L：为M，对称轴为直线l：x=1（1）直接写出点B的坐标及一元二次方程ax2+bx﹣=0的解．（2）求抛物线L的解析式及顶点M的坐标．（3）如图2，设点P是抛物线L上的一个动点，将抛物线L平移．使它的頂点移至点P，得到新抛物线L′，L′与直线l相交于点N．设点P的横坐标为m①当m=5时，PM与PN有怎样的数量关系？请说明理由．②当m为大于1的任意实数时，①中的关系式还成立吗？为什么？③是否存在这样的点P，使△PMN为等边三角形？若存在．请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由y=ax2+bx﹣（a＞0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，对称轴为直线l：x=1，根据抛物线的对称性可求得B点坐标，根据二次函数与一元二次方程的关系可得A、B两点横坐标的值即为一元二次方程ax2+bx﹣=0的解；（2）把A、B两点的坐标代入y=ax2+bx﹣，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，得到抛物线L的解析式，再利用配方法化为顶点式，即可得到顶点M的坐标；（3）作PC⊥l于点C．①根据点P是抛物线L上的一个动点及（2）中所求解析式，当m=5时，把x=5代入y=（x﹣1）2﹣2，求出y=6，得到P点坐标，从而得到点C的坐标，由点P为新抛物线L′的顶点及解析式平移的规律得出L′的解析式，再求出点N的坐标，通过计算得出CM=CN，然后根据线段垂直平分线的性质即可得出PM=PN；②根据点P是抛物线L上的一个动点及（2）中所求解析式，得出点P的坐标为（m，m2﹣m﹣），从而得到点C的坐标，由点P为新抛物线L′的顶点及解析式平移的规律得出L′的解析式为y=（x﹣m）2+m2﹣m﹣，再求出点N的坐标，通过计算得出CM=CN，然后根据线段垂直平分线的性质即可得出PM=PN；③当△PMN为等边三角形时，根据等腰三角形三线合一的性质得出PC平分∠MPN，即∠CPN=30°，利用正切函数定义得出=tan30°，即m2﹣m+=（m﹣1），解方程求出m 的值，进而得到点P的坐标．【解答】解：（1）如图1，∵y=ax2+bx﹣（a＞0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，对称轴为直线l：x=1，∴点A和点B关于直线l：x=1对称，∴点B（3，0），∴一元二次方程ax2+bx﹣=0的解为x1=﹣1，x2=3；（2）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx﹣，得，解得，抛物线L的解析式为y=x2﹣x﹣，配方得，y=（x﹣1）2﹣2，所以顶点M的坐标为（1，﹣2）；（3）如图2，作PC⊥l于点C．①∵y=（x﹣1）2﹣2，∴当m=5，即x=5时，y=6，∴P（5，6），∴此时L′的解析式为y=（x﹣5）2+6，点C的坐标是（1，6）．∵当x=1时，y=14，∴点N的坐标是（1，14）．∵CM=6﹣（﹣2）=8，CN=14﹣6=8，∴CM=CN．∵PC垂直平分线段MN，∴PM=PN；②PM=PN仍然成立．由题意有点P的坐标为（m，m2﹣m﹣）．∵L′的解析式为y=（x﹣m）2+m2﹣m﹣，∴点C的坐标是（1，m2﹣m﹣），∴CM=m2﹣m﹣+2=m2﹣m+．∵在L′的解析式y=（x﹣m）2+m2﹣m﹣中，∴当x=1时，y=m2﹣2m﹣1，∴点N的坐标是（1，m2﹣2m﹣1），∴CN=（m2﹣2m﹣1）﹣（m2﹣m﹣）=m2﹣m+，∴CM=CN．∵PC垂直平分线段MN，∴PM=PN；③存在这样的点P，使△PMN为等边三角形．若=tan30°，则m2﹣m+=（m﹣1），解得m=，所以点P的坐标为（，﹣）．。
2018届中考数学单元滚动检测试卷(四)含答案(第5单元及第7单元)
单元滚动检测卷(四)【测试范围：第六单元及第七单元 时间：100分钟 分值：100分】 一、选择题(每题5分，共30分)1．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，则EF ＝( A )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，∴BC ＝102－82＝6.∵E ，F 分别为AC ，AB 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF ＝12BC ＝12×6＝3.故选A.2．[2017·临沂]如图2，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是( A )A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°图2 第2题答图【解析】 如答图，先根据平行线的性质即可求得∠2＝∠3，再根据三角形外角的性质可求得∠3，进而得出答案．∵长方形的对边平行，∴∠2＝∠3，又∵∠3＝∠1＋30°，∴∠2＝∠1＋30°＝20°＋30°＝50°.3．如图3，有一个由传感器A 控制的灯，要装在门上方离地高4.5 m 的墙上，任何东西只要移至该灯5 m 及5 m 以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5 m 的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？( A )A ．4 mB ．3 mC ．5 mD ．7 m图1图3 第3题答图【解析】如答图，由题意，可知BE＝CD＝1.5 m，AE＝AB－BE＝4.5－1.5＝3(m)，AC＝5 m，由勾股定理，得CE＝52－32＝4(m)．故选A.4．如图4，∠E＝∠F，∠B＝∠C，AE＝AF，以下结论：①∠F AN＝∠EAM；②EM＝FN；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN.其中正确的有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】由题意可知，△ABE≌△ACF(AAS)，∴∠BAE＝∠CAF，∴∠F AN＝∠EAM，①正确；由①可得△AEM≌△AFN(ASA)，∴EM＝FN，②正确；∵由②可得AM＝AN，∴△ACN≌△ABM(AAS)，③正确；④无法得证，故不正确．∴正确的结论有3个．故选C.5．如图5，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，点D在BC上，且BD＝AB，连结AD，则∠CAD等于(B)A．30°B．36°C．38°D．45°图5【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴∠B＝12(180°－∠BAC)＝12×(180°－108°)＝36°，∵BD＝AB，∴∠BAD＝12(180°－∠B)＝12×(180°－36°)＝72°，∴∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝108°－72°＝36°.6．如图6，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为(C)图4A.53B.52 C ．4 D ．5【解析】 设BN ＝x ，由折叠的性质，可得DN ＝AN ＝9－x ，∵D 是BC 的中点，∴BD ＝3，在Rt △NBD 中，x 2＋32＝(9－x )2，解得x ＝4.故选C. 二、填空题(每题5分，共30分)7．如图7，AC 与BD 交于点P ，AP ＝CP ，从以下四个条件：①AB ＝CD ；②BP ＝DP ；③∠B ＝∠D ；④∠A ＝∠C 中选择一个，不一定能使△APB ≌△CPD 的是__①__.图7图88．如图8，在△ABC 中，已知∠B ＝46°，∠ACB ＝80°，延长BC 至点D ，使CD ＝CA ，连结AD ，则∠BAD 的度数为__94°__． 【解析】 ∵∠ACB ＝80°，∴∠ACD ＝180°－∠ACB ＝180°－80°＝100°. 又∵CD ＝CA ，∴∠CAD ＝∠D .∵∠ACD ＋∠CAD ＋∠D ＝180°，∴∠CAD ＝∠D ＝40°， ∴∠BAD ＝180°－∠B －∠D ＝180°－46°－40°＝94°. 9．泰勒斯是古希腊哲学家，相传他利用三角形全等的方法求出岸上一点到海中一艘船的距离．如图9，B 是观察点，船A 在点B 的正前方，过点B 作AB 的垂线，在垂线上截取任意长BD ，C 是BD 的中点，观察者从点D 沿垂直于BD 的DE 方向走，直到点E ，船A 和点C 在一条直线上，那么△ABC ≌△EDC ，从而量出DE 的距离即为船离岸的距离AB ，这里判定△ABC ≌△EDC 的方法是__ASA __. 【解析】 在△ABC 和△EDC 中，图6图9⎩⎨⎧∠ABC ＝∠EDC ＝90°，BC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ，∴△ABC ≌△EDC (ASA )，∴AB ＝DE .10．如图10，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝120°，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E .若AC ＝6 cm ，则AD ＝__2__cm.图10 第10题答图【解析】 如答图，连结BD .∵AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，∴∠A ＝∠C ＝12(180°－∠ABC )＝30°，∵DE 垂直平分AB ，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝30°， 又∵∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝90°，∴在Rt △BDC 中，DC ＝2BD ，∴DC ＝2AD .又∵AC ＝6，∴AD ＝13×6＝2(cm)．11．如图11，在△ABC 中，D ，E 是BC 上的两点，且AD ＝BD ，AE ＝CE ，∠ADE ＝82°，∠AED ＝84°，则∠BAC ＝__97°__. 【解析】 ∵AD ＝BD ，AE ＝CE ，∴∠B ＝∠BAD ，∠EAC ＝∠C ，∵∠ADE ＝82°，∠AED ＝84°，∴∠B ＝12∠ADE ＝41°，∠C ＝12∠AED ＝42°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝97°.12．如图12，DE 是△ABC 的AB 边的垂直平分线，分别交AB ，BC 于点D ，E ，AE 平分∠BAC ，若∠B ＝30°，则∠C 的度数为__90°__．图12【解析】 ∵DE 是AB 边的垂直平分线，∴EA ＝EB ，∴∠B ＝∠BAE .又∵∠B ＝30°，∴∠BAE ＝30°.又∵AE 平分∠BAC ，∴∠EAC ＝∠BAE ＝30°，即∠BAC ＝60°，∴∠C ＝180°－∠BAC －∠B ＝90°. 三、解答题(共40分)13．(8分)如图13，一架梯子AB 长25 m ，斜靠在一墙面上：图11(1)若梯子底端离墙7 m，这个梯子的顶端距地面有多高？(2)在(1)的条件下，如果梯子的顶端下滑了4 m，那么梯子的底端在水平方向上滑动了几米？解：(1)在Rt△AOB中，AB＝25 m，OB＝7 m，图13∴OA＝AB2－OB2＝252－72＝24(m)．答：梯子的顶端距地面24 m；(2)根据题意，得AA′＝4 m，在Rt△A′OB′中，A′O＝24－4＝20(m)，OB′＝A′B′2－OA′2＝252－202＝15(m)，BB′＝15－7＝8(m)．答：梯子的底端在水平方向上滑动了8 m.14．(10分)如图14，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)从图中任找两组全等三角形；(2)从(1)中任选一组进行证明．图14解：(1)△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB，△ABC≌△CDA(任选两组即可)；(2)选△ABE≌△CDF.证明：∵AF＝CE，∴AE＝CF，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.又∵∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF(AAS)．15．(10分)如图15，在△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上的一点，E是AC的中点．连结BE并延长交∠DAC的平分线AM于点F.(1)利用直尺和圆规把图补充完整，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法)；(2)试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．图15 第15题答图 解：(1)如答图所示； (2)AF ∥BC 且AF ＝BC .理由： ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ， ∴∠DAC ＝∠ABC ＋∠C ＝2∠C . 由作图可知，∠DAC ＝2∠F AC ， ∴∠C ＝∠F AC ，∴AF ∥BC . ∵E 是AC 的中点，∴AE ＝CE .在△AEF 和△CEB 中，⎩⎨⎧∠F AE ＝∠C ，AE ＝CE ，∠AEF ＝∠CEB ，∴△AEF ≌△CEB (ASA )，∴AF ＝CB .16．(12分)[2016·宁波一模]如图16，已知在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点D 从点A 出发，沿射线AB 方向以每秒1个单位长度的速度移动，同时点E 从点C 出发，沿射线CA 方向以每秒1个单位长度的速度移动．设点D 移动的时间为t (s)．图16(1)如图①，当0＜t ＜4时，连结DE ，记△ADE 的面积为S △ADE ，则当t 取何值时，S △ADE ＝2；(2)如图②，O 为BC 中点，连结OD ，OE .①当0＜t ＜4时，小明探索发现S △ADE ＋S △ODE ＝12S △ABC ，你认为他的发现正确吗？请做出判断并说明理由；②当t ＞4时，请直接写出S △ADE ，S △ODE ，S △ABC 之间的关系． 解：(1)当0＜t ＜4时，∵AD ＝t ，AE ＝AC －CE ＝4－t ，∵∠A ＝90°，∴S △ADE ＝12AD ·AE ＝12t (4－t )＝2， 解得t ＝2，∴当t ＝2时，S △ADE ＝2； (2)①正确，如答图①，连结AO . ∵AD ＝CE ＝t ，∴BD ＝AE ＝4－t ，∵△ABC 是等腰直角三角形，O 为BC 中点， ∴AO ＝BO ，∠B ＝∠EAO ＝45°，在△AOE 与△BOD 中，⎩⎨⎧AE ＝BD ，∠EAO ＝∠B ，OA ＝OB ，∴△AOE ≌△BOD (SAS )，∴S △AOE ＝S △BOD ，∴S △ADE ＋S △ODE ＝S △AOE ＋S △AOD ＝S △BOD ＋S △AOD ＝S △ABO ＝12S △ABC ； ②S △ODE －S △ADE ＝12S △ABC .第16题答图① 第16题答图②如答图②，连结AO .∵S 四边形AEDO ＝S △AOE ＋S △ODE ＝S △ADE ＋S △BOD ＋S △ABO ， 由题意可知AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，O 为BC 中点． ∴AO ＝BO ，∠ABC ＝∠C ＝∠BAO ＝∠CAO ＝45°. ∴∠EAO ＝∠EAD ＋∠BAO ＝135°， ∠DBO ＝180°－∠ABO ＝135°， ∴∠EAO ＝∠DBO ，又∵CE ＝AD ， ∴AE ＝BD ，∴△AOE ≌△BOD (SAS )， ∴S △AOE ＝S △BOD ，∴S △ODE ＝S △ADE ＋S △ABO ， 即S △ODE －S △ADE ＝12S △ABC .。
2018届中考数学上海市各区二模试卷专题汇编四【综合计算题】含答案解析
2
2
2 …………………（1 分）
∴
ME
5 2
，
m
2
5 2
，
m
9 2
，∴
M
(1
，
9） 2 ．……………………（1
分）
10
2018 届中考数学上海市各区二模试卷专题汇编四【综合计算题】含答案解析 普陀区 21．（本题满分 10 分）
结 BE 并延长，交边 AD 于点 F．
（1）求证：DC=EC；
A
F
D
（2）求△EAF 的面积．
E H
B
C
第 21 题图
21．（本题满分 10 分, 第（1）小题 5 分，第（2）小题 5 分）
解：（1）∵正方形 ABCD，
∴DC=BC=BA=AD, ∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°
A
F
D
AH=DH=CH=BH, AC⊥BD, ∴∠ADH=∠HDC=∠DCH=∠DAE= 45°．
…………（2 分）
E H
又∵DE 平分∠AD B ∴∠ADE=∠EDH
∵∠DAE+∠ADE=∠DEC, ∠EDH+∠HDC=∠EDC…………（1 分） B 第 21 题图 C
∴∠EDC=∠DEC
…………（1 分）
6
2018 届中考数学上海市各区二模试卷专题汇编四【综合计算题】含答案解析
2 在△ABH 中，AB=6，cosB= 3 ，∠AHB=90°，
26 4
得 BH= 3
，AH=
62 42 2
5 ，————————————（2 分）
则 BC=8，
12 58 8 5
【中考数学】2018全效学习单元滚动检测卷1～10合集【第1～14单元大集合】
【中考数学】2018全效学习单元滚动检测卷1～10合集【第1～14单元大集合】内容预览单元滚动检测卷(一)【测试范围：第一单元及第二单元时间：100分钟分值：100分】单元滚动检测卷(二)【测试范围：第三单元及第四单元时间：100分钟分值：100分】单元滚动检测卷(三)【测试范围：第五单元时间：100分钟分值：100分】单元滚动检测卷(四)【测试范围：第六单元及第七单元时间：100分钟分值：100分】单元滚动检测卷(五)【测试范围：第八单元时间：100分钟分值：100分】单元滚动检测卷(六)【测试范围：第九单元时间：100分钟分值：100分】单元滚动检测卷(七)【测试范围：第十单元时间：100分钟分值：100分】单元滚动检测卷(八)【测试范围：第十一单元时间：100分钟分值：100分】单元滚动检测卷(九)【测试范围：第十二单元及第十三单元时间：100分钟分值：100分】单元滚动检测卷(一)【测试范围：第一单元及第二单元 时间：100分钟 分值：100分】 一、选择题(每题3分，共30分) 1．[2017·泸州]－7的绝对值为( A )A ．7B ．－7 C.17D ．－172．[2017·重庆B 卷]若x ＝－3，y ＝1，则代数式2x －3y ＋1的值为 ( B ) A ．－10 B ．－8 C ．4D ．103．[2017·重庆B 卷]估计13＋1的值在( C )A ．2到3之间B ．3到4之间C ．4到5之间D ．5到6之间【解析】 ∵3<13<4，∴4<13＋1<5，故选C. 4．[2017·菏泽]⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2的相反数是( B )A ．9B ．－9 C.19D ．－19【解析】 根据负整数指数幂的计算法则可知⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9，∵9的相反数是－9，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2的相反数是－9. 5．在3.141 592，(－3)2，cos60°，sin45°，227，(π－2 018)0，2.062 006 200 06…，－316，－34＋3 这9个数中，无理数的个数为( B )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6．[2017·眉山]某微生物的直径为0.000 005 035 m ，用科学记数法表示该数为( A )A ．5.035×10－6B ．50.35×10－5C ．5.035×106D ．5.035×10－5【解析】 用科学记数法表示一个数，就是把一个数写成a ×10n 的形式(其中1≤|a |＜10，n 为整数)，首先把0.000 005 035的小数点向右移动6位变成5.035，也就是0.000 005 035＝5.035×0.000 001，最后写成5.035×10－6.7．[2017·威海]从新华网获悉，商务部5月27日发布的数据显示，一季度，中国与“一带一路”沿线国家在经贸合作领域保持良好的发展势头，双边货物贸易总额超过16 553亿元人民币.16 553亿用科学记数法表示为 ( C )A ．1.655 3×108B ．1.655 3×1011C ．1.655 3×1012D ．1.655 3×1013【解析】 16 553亿＝1 655 300 000 000＝1.655 3×1012. 8．[2017·枣庄]下列计算，正确的是( D )A.8－2＝ 6B.⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2＝－32C.38＝2 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2 【解析】 8－2＝22－2＝2，A 错误；⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2＝32，B 错误；38＝2，C 错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，D 正确．故选D.9．已知x－1x＝7，则x2＋1x2的值是(D)A．49 B．48 C．47 D．51【解析】已知等式x－1x＝7，两边平方，得⎝⎛⎭⎪⎫x－1x2＝x2＋1x2－2＝49，则x2＋1x2＝51.10．如图1①是一个长为2a，宽为2b(a＞b)的矩形，用剪刀沿矩形的两条对称轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图②拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是(C) A．ab B．(a＋b)2C．(a－b)2D．a2－b2图1【解析】由图可得正方形的边长为(a＋b)，故正方形的面积为(a＋b)2，∵原矩形的面积为4ab，∴中间空白部分的面积＝(a＋b)2－4ab＝(a－b)2.二、填空题(每题3分，共15分)11．若式子x－2x－3有意义，则x的取值范围为__x≥2且x≠3__．【解析】根据二次根式有意义，分式有意义，得x－2≥0且x－3≠0，解得x≥2且x≠3.12．[2017·南充]计算：|1－5|＋(π－3)0＝．【解析】 ∵1－5＜0，π－3≠0，∴原式＝5－1＋1＝ 5. 13．[2017·济宁]分解因式：ma 2＋2mab ＋mb 2＝__m (a ＋b )2__． 14．[2016·枣庄]一列数a 1，a 2，a 3，…满足条件：a 1＝12，a n ＝11－a n －1(n ≥2，且n 为整数)，则a 2 016＝__－1__．【解析】 根据题意求出a 1，a 2，a 3，…的值，找出循环规律即可求解．a 1＝12，a 2＝11－12＝2，a 3＝11－2＝－1，a 4＝11－（－1）＝12，…可以发现，这列数以12，2，－1的顺序循坏出现，2 016÷3＝672，∴a 2 016＝－1.15．[2016·宁波]下列图案(图2)是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…按此规律，图案⑦需__50__根火柴棒．图2【解析】 ∵图案①需火柴棒：8根；图案②需火柴棒：8＋7＝15根；图案③需火柴棒：8＋7＋7＝22根；…∴图案n 需火柴棒：8＋7(n －1)＝7n ＋1根；当n ＝7时，7n ＋1＝7×7＋1＝50，∴图案⑦需50根火柴棒． 三、解答题(共55分)16．(5分)[2017·岳阳]计算：2sin60°＋||3－3＋(π－2)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.解：原式＝2×32＋3－3＋1－112＝3＋3－3＋1－2＝2.17．(6分)已知代数式(x －2)2－2(x ＋3)(x －3)－11.(1)化简该代数式；(2)有人说不论x 取何值该代数式的值均为负数，你认为这一观点正确吗？请说明理由．解：(1)原式＝x 2－4x ＋4－2(x 2－3)－11 ＝x 2－4x ＋4－2x 2＋6－11＝－x 2－4x －1； (2)这个观点不正确，理由：反例：当x ＝－1时，原式的值为2(答案不唯一，合理即可)．18．(6分)如图3，根据a ，b ，c 在数轴上的位置，化简代数式a 2－|a －b |＋|a －c |.图3解：由数轴可知a ＜0，a －b ＞0，a －c ＜0， 则原式＝－a －a ＋b ＋c －a ＝b ＋c －3a . 19．(8分)[2017·泸州]化简：x －2x ＋1·⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x ＋5x 2－4. 解：原式＝x －2x ＋1·x 2－4＋2x ＋5x 2－4＝x －2x ＋1·（x ＋1）2（x －2）（x ＋2）＝x ＋1x ＋2. 20．(8分)[2017·鄂州]先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋3－3x x ＋1÷x 2－x x ＋1，其中x 的值从不等式组⎩⎨⎧2－x ≤3，2x －4＜1的整数解中选取．解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x ＋1＋3－3x x ＋1÷x （x －1）x ＋1＝（x －2）（x －1）x ＋1·x ＋1x （x －1）＝x －2x ，解不等式组⎩⎨⎧2－x ≤3，2x －4＜1，得－1≤x ＜52，∴不等式组的整数解有－1，0，1，2，∵要使原式有意义，则x 2－x ≠0，x ＋1≠0，即x ≠1，0，－1， ∴取x ＝2，则原式＝2－22＝0.21．(10分)已知(a ＋2＋3)2与|b ＋2－3|互为相反数，求(a ＋2b )2－(2b ＋a )(2b －a )－2a 2的值．解：∵(a ＋2＋3)2与|b ＋2－3|互为相反数， ∴(a ＋2＋3)2＋|b ＋2－3|＝0， 又∵(a ＋2＋3)2≥0，|b ＋23|≥0， ∴a ＝－2－3，b ＝－2＋3，则原式＝a 2＋4ab ＋4b 2－4b 2＋a 2－2a 2＝4ab ＝4×(－2－3)×(－2＋3)＝4. 22．(12分)对于任何实数，我们规定符号⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d 的意义是⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc . (1)按照这个规定，请你计算⎪⎪⎪⎪⎪⎪5678的值； (2)按照这个规定，请你计算当x 2－3x ＋1＝0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 3x x －2 x －1的值． 解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪5678＝5×8－6×7＝－2； (2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 3x x －2 x －1＝(x ＋1)(x －1)－3x (x －2) ＝x 2－1－3x 2＋6x ＝－2x 2＋6x －1， 又∵x 2－3x ＋1＝0，∴x 2－3x ＝－1， ∴原式＝－2(x 2－3x )－1＝－2×(－1)－1＝1.单元滚动检测卷(二)【测试范围：第三单元及第四单元 时间：100分钟 分值：100分】 一、选择题(每题5分，共30分) 1．解分式方程3x x －3＋x ＋23－x＝3时，去分母后变形正确的是( D )A ．3x ＋(x ＋2)＝3(x －3)B ．3x －x ＋2＝3(x －3)C ．3x －(x ＋2)＝3D ．3x －(x ＋2)＝3(x －3)2．已知等腰三角形两边长分别为3和5，第三边是方程x 2－5x ＋6＝0的解，则这个三角形的周长是( C )A ．9B ．10C ．11D ．143．[2017·临沂]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＞1，①x ＋52≥1②中，不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是( B )【解析】 解不等式①，得x ＜1，解不等式②，得x ≥－3.∴原不等式组的解集为－3≤x ＜1，而x ≥－3在数轴上表示应该从－3向右画，并且用实心圆点，x ＜1在数轴上表示应该从1向左画，并且用空心圆圈，∴其解集在数轴上表示正确的应为选项B.4．[2017·安徽]一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x ，则x 满足 ( D )A ．16(1＋2x )＝25B ．25(1－2x )＝16C ．16(1＋x )2＝25D ．25(1－x )2＝165．关于x 的方程kx 2＋2x －1＝0有实数根，则k 的取值范围是 ( A )A ．k ≥－1B ．k ≥－1且k ≠0C ．k ≤－1D ．k ≤1且k ≠0【解析】 当k ＝0时，2x －1＝0，解得x ＝12；当k ≠0时，此方程是一元二次方程，∵关于x 的方程kx 2＋2x －1＝0有实数根，∴Δ＝22－4k ×(－1)≥0，解得k ≥－1，综上所述，k 的取值范围是k ≥－1.6．若不等式组⎩⎨⎧x ＋6<4x －3，x >m 的解集是x ＞3，则m 的取值范围是( C )A ．m ＞3B ．m ＝3C ．m ≤3D ．m ＜3【解析】 ⎩⎨⎧x ＋6<4x －3，①x >m ，②解①，得x >3，∵原不等式组的解集是x >3，∴m ≤3.二、填空题(每题5分，共35分)7．已知⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎨⎧mx ＋ny ＝2，nx －my ＝1的解，则m ＋3n 的值为__3__．【解析】 把⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1代入⎩⎨⎧mx ＋ny ＝2，nx －my ＝1，得⎩⎨⎧2m ＋n ＝2，①2n －m ＝1，② ①＋②，得m ＋3n ＝3.8．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？译文：假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少？若设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为 ⎩⎨⎧5x ＋2y ＝10，2x ＋5y ＝8 ．9．分式方程1x －2＋42－x＝1的解是__x ＝－1__． 10．[2017·连云港]已知关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有两个相等的实数根，则m 的值是__1__.【解析】 根据一元二次方程根的判别式，可由方程有两个相等的实数根得Δ＝b 2－4ac ＝4－4m ＝0，解得m ＝1. 11．若关于x 的方程2m －3x －1－xx －1＝0有增根，则m 的值是__2__． 【解析】 方程两边都乘(x －1)，得2m －3－x ＝0，∵方程有增根，即增根是x ＝1，把x ＝1代入整式方程，得m ＝2. 12．我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d 称作二阶行列式，规定它的运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 345＝2×5－3×4＝－2，如果有⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 3－x 1 x >0，则x 的取值范围是__x ＞1__. 【解析】 列不等式，得2x －(3－x )＞0，整理，得2x －3＋x ＞0，解得x ＞1. 13．[2017·湖州期中]如图1，某小区有一块长为30 m ，宽为24 m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480 m 2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为__2__m.图1【解析】 设人行通道的宽度为x m ，将两块矩形绿地合在一起，长为(30－3x )m ，宽为(24－2x )m ，由已知得(30－3x )·(24－2x )＝480，整理得x 2－22x ＋40＝0，解得x 1＝2，x 2＝20，当x ＝20时，30－3x ＝－30，24－2x ＝－16，不符合题意，舍去，∴x ＝2，即人行通道的宽度为2 m. 三、解答题(共35分)14．(8分)解方程：(1)x 2－2x －1＝0； (2)2x ＝32x －1.解：(1)配方，得x 2－2x ＋1＝2， (x －1)2＝2，x －1＝±2，x ＝1±2， ∴x 1＝1＋2，x 2＝1－2； (2)去分母，得2(2x －1)＝3x ，去括号，得4x －2＝3x ，解得x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的根．15．(8分)(1)用代入消元法解方程组⎩⎨⎧x －y ＝2，3x ＋5y ＝14.(2)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x >x －2，x ＋13>2x . 解：(1)配方，得x 2－2x ＋1＝2，(x －1)2＝2，x －1＝±2，x ＝1±2，∴x 1＝1＋2，x 2＝1－2；(2)去分母，得2(2x －1)＝3x ，去括号，得4x －2＝3x ，解得x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的根．16．(9分)已知关于x 的一元二次方程(m －2)x 2＋2mx ＋m ＋3＝0 有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取满足条件的最大整数时，求方程的根．解：(1)根据题意，得m －2≠0且Δ＝4m 2－4(m －2)(m ＋3)＞0，解得m ＜6且m ≠2；(2)m 满足条件的最大整数为5，则原方程化为3x 2＋10x ＋8＝0，(3x ＋4)(x ＋2)＝0，解得x 1＝－43，x 2＝－2.17．(10分)[2017·泰安]某水果商从批发市场用8 000元购进了大樱桃和小樱桃各200 kg ，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克贵20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．(1)大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？(2)该水果商第二次仍用8 000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200 kg ，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%.若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最低应为多少？解：(1)设小樱桃的进价为每千克x 元，大樱桃为每千克y 元，根据题意可得⎩⎨⎧200x ＋200y ＝8 000，y －x ＝20，解得⎩⎨⎧x ＝10，y ＝30.∴小樱桃的进价为每千克10元，大樱桃为每千克30元，200×[(40－30)＋(16－10)]＝3 200(元)．答：销售完后，该水果商共赚了3 200元；(2)设大樱桃的售价为每千克a 元，(1－20%)×200×16＋200a －8 000≥3 200×90%，解得a ≥41.6.答：大樱桃的售价最低应为每千克41.6元．单元滚动检测卷(三)【测试范围：第五单元时间：100分钟分值：100分】一、选择题(每题5分，共30分)1．已知反比例函数y＝－2x，下列结论不正确的是(B)A．图象必经过点(－1，2)B．y随x的增大而增大C．图象分布在第二、四象限内D．若x＞1，则－2＜y＜02．对于抛物线y＝－(x＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x＞1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为(C) A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图1，一次函数y1＝k1x＋b(k1≠0)的图象和反比例函数y2＝k2x(k2≠0)的图象交于A(1，2)，B(－2，－1)两点，若y1<y2，则x的取值范围是(D)A．x<1B．x<－2C．－2<x<0或x>1D．x<－2或0<x<14．[2017·海曙区模拟]如图2①是两圆柱形连通容器(连通处体积忽略不计)．向甲容器匀速注水，甲容器的水面高度h(cm)随时间t(min)之间的函数关系如图②所示，根据提供的图象信息，若甲的底面半径为1 cm，则乙容器底面半径为(D)图2图1A ．5 cmB ．4 cmC ．3 cmD ．2 cm【解析】 观察函数图象可知，乙容器底面积为甲容器底面积的4倍，∴乙容器底面半径为2 cm.5．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图3所示，给出下列四个结论：①4ac －b 2<0；②4a ＋c <2b ；③3b ＋2c <0；④m (am ＋b )＋b <a (m ≠－1)，其中正确结论的个数是( B )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 【解析】 ∵抛物线和x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0，∴4ac －b 2＜0，①正确；∵对称轴是直线x ＝－1，和x 轴的一个交点在点(0，0)和点(1，0)之间，∴抛物线和x 轴的另一个交点在(－3，0)和(－2，0)之间，∴把点(－2，0)代入抛物线，得y ＝4a －2b ＋c ＞0，∴4a ＋c ＞2b ，②错误；∵把点(1，0)代入抛物线，得y ＝a ＋b ＋c ＜0，∴2a ＋2b ＋2c ＜0，∵－b 2a ＝－1，b ＝2a ，∴3b ＋2c ＜0，③正确；∵抛物线的对称轴是直线x ＝－1，∴y ＝a －b ＋c 的值最大，即把x ＝m (m ≠－1)代入，得y ＝am 2＋bm ＋c ＜a －b ＋c ，∴am 2＋bm ＋b ＜a ，即m (am ＋b )＋b ＜a .④正确．正确的结论有3个，故选B.6．[2017·宁波一模]当m ，n 是实数且满足m －n ＝mn 时，就称点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m n 为“奇异点”，已知点A 、点B 是“奇异点”且都在反比例函数y ＝2x 的图象上，点O 是平面直角坐标系原点，则△OAB 的面积为( B )A ．1B 32 C.2 D 52【解析】 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a b ，∵点A 是“奇异点”，∴a －b ＝ab ，∵a ·a b ＝2，则b ＝a 22，∴a －a 22＝a 32，而a ≠0，整理得a 2＋a －2＝0，解得a 1＝－2，a 2＝1，当a ＝－2时，b ＝2，当a ＝1时，b ＝12，∴A (－2，－1)，B (1，2)．设直线AB的表达式为y ＝mx ＋n ，把A (－2，－1)，B (1，2)代入，得⎩⎨⎧－2m ＋n ＝－1，m ＋n ＝2，解图3得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝1，∴直线AB 与y 轴的交点坐标为(0，1)，∴S △OAB ＝12×1×(2＋1)＝32. 二、填空题(每题5分，共30分)7．二次函数y ＝－2x 2＋4x ＋3的图象的对称轴为__x ＝1__，顶点坐标为__(1，5)__．8．[2017·历下区一模]如图4，直线y ＝kx ＋b 过A (－1，2)，B (－2，0)两点，则0≤kx ＋b ＜4的解集为__－2≤x＜0__．【解析】 直线y ＝kx ＋b 经过A (－1，2)，B (－2，0)两点，则有⎩⎨⎧－k ＋b ＝2，－2k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝4，则不等式组0≤kx ＋b ＜4可化为0≤2x ＋4＜4，解得－2≤x ＜0.9．图5是反比例函数y 1＝k 1x 和y 2＝k 2x (k 1＜k 2)在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条曲线于A ，B 两点，若S △AOB ＝2，则k 2－k 1的值为__4__．图5【解析】 设A (a ，b )，B (c ，d )，代入两函数表达式，得k 1＝ab ，k 2＝cd ，∵S △AOB ＝2，∴12cd －12ab ＝2，∴cd －ab ＝4，∴k 2－k 1＝4.10．如图6，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点(－1，0)，(1，－2)，当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围是__x ≥12__. 【解析】 依题意将点(－1，0)，(1，－2)代入二次函数y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧0＝（－1）2－b ＋c ，－2＝1＋b ＋c ， 解得⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝－2，图4图6∴y ＝x 2－x －2，对称轴为x ＝12，∴当x ≥12时，y 随x 的增大而增大．11．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)图象的对称轴是直线x ＝1，其图象的一部分如图7所示．对于下列说法：①abc ＜0；②当－1＜x ＜3时，y ＞0；③3a ＋c ＜0；④a －b ＋c ＜0，其中正确的是__①③④__(把正确的序号都填上)．【解析】 根据图象，得a ＜0，b ＞0，c ＞0，则abc ＜0，故①正确；当－1＜x ＜3时，图象有的点在x 轴的上方，有的点在x 轴的下方，故②错误；根据图象，该抛物线的对称轴是直线x ＝1，即－b 2a ＝1，则b ＝－2a ，那么当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝a ＋2a ＋c ＝3a ＋c ＜0，故③正确；当x ＝－1时，对应的二次函数图象上的点一定在x 轴的下方，因而其纵坐标a －b ＋c ＜0，故④正确．12．[2017·铜山区二模]正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图8所示的方式放置，点A 1，A 2，A 3…和点C 1，C 2，C 3…分别在直线y ＝kx ＋b (k ＞0)和x 轴上，已知点B 1(1，1)，B 2(3，2)，则B 2 017的坐标是__(22__017－1，22__016)__．图8【解析】 ∵B 1(1，1)，B 2(3，2)，四边形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2…是正方形，∴点A 1(0，1)，A 2(1，2)．∵点A 1，A 2，A 3，…在直线y ＝kx ＋b (k ＞0)上，∴⎩⎨⎧b ＝1，k ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝1，∴y ＝x ＋1，∴B n 的横坐标为A n ＋1的横坐标，纵坐标为A n 的纵坐标，又∵A n 的横坐标数列为A n ＝2n －1－1，∴纵坐标为2n －1，∴B n 的坐标为(2n －1，2n －1)．∴B 2 017的坐标是(22 017－1，22 016)．三、解答题(40分)13．(8分)已知反比例函数y ＝5－m x ，当x ＝2时，y ＝3.图7(1)求m 的值；(2)当3≤x ≤6时，求函数值y 的取值范围．解：(1)把x ＝2，y ＝3代入y ＝5－m x ，得5－m ＝6，解得m ＝－1；(2)当x ＝3时，由y ＝6x ，得y ＝2，x ＝6时，由y ＝6x ，得y ＝1，当3≤x ≤6时，y 随x 的增大而减小，所以函数值y 的取值范围是1≤y ≤2.14．(10分)如图9，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝m x的图象交于A (n ，3)，B (3，－1)两点．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)根据所给条件，请直接写出不等式kx ＋b ＞m x 的解集；(3)过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，连结AC ，求△ABC的面积S .解：(1)将点B (3，－1)代入反比例函数表达式，得－1＝m 3，解得m ＝－3，∴反比例函数表达式为y ＝－3x .∵点A (n ，3)在反比例函数y ＝－3x 的图象上，∴3＝－3n ，解得n ＝－1，即点A 的坐标为(－1，3)．将点A (－1，3)，点B (3，－1)分别代入一次函数表达式，得⎩⎨⎧3＝－k ＋b ，－1＝3k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝2.∴一次函表达析式为y ＝－x ＋2；(2)观察函数图象发现，当x ＜－1或0＜x ＜3时，一次函数图象在反比例函数图象上方，∴不等式kx ＋b ＞m x 的解集为x ＜－1或0＜x ＜3；(3)如答图，设一次函数y ＝－x ＋2与x 轴的交点为点D .图9令一次函数y ＝－x ＋2中y ＝0，则有0＝－x ＋2，解得x ＝2，则点D 坐标为(2，0)．∵点B 的坐标为(3，－1)，且BC ⊥x 轴，∴点C 的坐标为(3，0)，∴CD ＝3－2＝1.S ＝12CD ·(y A －y B )＝12×1×[3－(－1)]＝2.15．(10分)某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x (x ≥60)元时，销售量为y 套．(1)求出y 与x 的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，月销售额为14 000元？(3)当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)销售单价为x 元，则销售量减少x －605×20，则销售量为y ＝240－x －605×20＝－4x ＋480(60≤x ≤120)；(2)根据题意，可得x (－4x ＋480)＝14 000，解得x 1＝70，x 2＝50(不合题意，舍去)，答：当销售单价为70元时，月销售额为14 000元；(3)设一个月内获得的利润为W 元，根据题意，得W ＝(x －40)(－4x ＋480)＝－4x 2＋640x －19 200＝－4(x －80)2＋6 400.当x ＝80时，W 的最大值为6 400.答：当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6 400元．16．(12分)[2017·慈溪模拟]如图10，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx 与x 轴交于O ，A 两点，与直线y ＝x 交于点B ，点A ，B 的坐标分别为(3，0)，(2，2)．点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的平行线交射线OB 于点Q ，以PQ 为边向右作矩形PQMN ，且PN ＝1，设点P 的横坐标为m (m ＞0，且m ≠2)．第14题答图图10(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；(2)求矩形PQMN 的周长C 与m 之间的函数关系式；(3)当矩形PQMN 是正方形时，求m 的值．解：(1)把A (3，0)，B (2，2)两点坐标代入y ＝ax 2＋bx ， 得⎩⎨⎧9a ＋3b ＝0，4a ＋2b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3， 故抛物线所对应的函数表达式为y ＝－x 2＋3x ；(2)∵点P 在抛物线y ＝－x 2＋3x 上，∴可设P (m ，－m 2＋3m )，∵PQ ∥y 轴，且点Q 在直线y ＝x 上，∴Q (m ，m )． ①当0＜m ＜2时，如答图①，PQ ＝－m 2＋3m －m ＝－m 2＋2m ，C ＝2(－m 2＋2m )＋2＝－2m 2＋4m ＋2.②当m ＞2时，如答图②，第16题答图①第16题答图② PQ ＝m －(－m 2＋3m )＝m 2－2m ，C ＝2(m 2－2m )＋2＝2m 2－4m ＋2.综上所述，C 与m 的函数关系式为C ＝⎩⎨⎧－2m 2＋4m ＋2（0＜m ＜2），2m 2－4m ＋2（m ＞2）；(3)∵矩形PQMN 是正方形，∴PQ ＝PN ＝1， 当0＜m ＜2时，如答图③，－m 2＋2m ＝1，解得m ＝1.第16题答图③第16题答图④ 当m ＞2时，如答图④，m 2－2m ＝1，解得m 1＝1＋2，m 2＝1－2(不合题意，舍去)． 综上所述，m 的值为1或1＋ 2.单元滚动检测卷(四)【测试范围：第六单元及第七单元 时间：100分钟 分值：100分】一、选择题(每题5分，共30分)1．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，则EF ＝( A )A ．3B ．4C ．5D ．6 【解析】 在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，∴BC ＝102－82＝6.∵E ，F 分别为AC ，AB 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF ＝12BC＝12×6＝3.故选A.2．[2017·临沂]如图2，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是( A ) A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°图2 第2题答图 【解析】 如答图，先根据平行线的性质即可求得∠2＝∠3，再根据三角形外角的性质可求得∠3，进而得出答案．∵长方形的对边平行，∴∠2＝∠3，又∵∠3＝∠1＋30°，∴∠2＝∠1＋30°＝20°＋30°＝50°.3．如图3，有一个由传感器A 控制的灯，要装在门上方离地高4.5 m 的墙上，任何东西只要移至该灯5 m 及5 m 以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5 m 的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？( A ) A ．4 mB ．3 m 图1C ．5 mD ．7 m图3 第3题答图 【解析】 如答图，由题意，可知BE ＝CD ＝1.5 m ，AE ＝AB －BE ＝4.5－1.5＝3(m)，AC ＝5 m ，由勾股定理，得CE ＝52－32＝4(m)．故选A.4．如图4，∠E ＝∠F ，∠B ＝∠C ，AE ＝AF ，以下结论：①∠F AN ＝∠EAM ；②EM ＝FN ；③△ACN ≌△ABM ；④CD ＝DN .其中正确的有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【解析】 由题意可知，△ABE ≌△ACF (AAS )，∴∠BAE＝∠CAF ，∴∠F AN ＝∠EAM ，①正确；由①可得△AEM ≌△AFN (ASA )， ∴EM ＝FN ，②正确；∵由②可得AM ＝AN ，∴△ACN ≌△ABM (AAS )，③正确；④无法得证，故不正确．∴正确的结论有3个．故选C.5．如图5，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝108°，点D 在BC 上，且BD ＝AB ，连结AD ，则∠CAD 等于( B ) A ．30°B ．36°C ．38°D ．45°图5【解析】 ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝108°，∴∠B ＝12(180°－∠BAC )＝12×(180°－108°)＝36°，∵BD ＝AB ，∴∠BAD ＝12(180°－∠B )＝12×(180°－36°)＝72°，∴∠CAD ＝∠BAC －∠BAD ＝108°－72°＝36°.图46．如图6，在Rt △ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使点A 与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为 ( C ) A.53B.52C ．4D ．5 【解析】 设BN ＝x ，由折叠的性质，可得DN ＝AN ＝9－x ，∵D 是BC 的中点，∴BD ＝3，在Rt △NBD 中，x 2＋32＝(9－x )2，解得x ＝4.故选C.二、填空题(每题5分，共30分)7．如图7，AC 与BD 交于点P ，AP ＝CP ，从以下四个条件：①AB ＝CD ；②BP ＝DP ；③∠B ＝∠D ；④∠A ＝∠C 中选择一个，不一定能使△APB ≌△CPD 的是__①__.图7 图8 8．如图8，在△ABC 中，已知∠B ＝46°，∠ACB ＝80°，延长BC 至点D ，使CD ＝CA ，连结AD ，则∠BAD 的度数为__94°__．【解析】 ∵∠ACB ＝80°，∴∠ACD ＝180°－∠ACB ＝180°－80°＝100°.又∵CD ＝CA ，∴∠CAD ＝∠D .∵∠ACD ＋∠CAD ＋∠D ＝180°，∴∠CAD ＝∠D ＝40°，∴∠BAD ＝180°－∠B －∠D ＝180°－46°－40°＝94°.9．泰勒斯是古希腊哲学家，相传他利用三角形全等的方法求出岸上一点到海中一艘船的距离．如图9，B是观察点，船A 在点B 的正前方，过点B 作AB 的垂线，在垂线上截取任意长BD ，C 是BD 的中点，观察者从点D 沿垂直于BD 的DE方向走，直到点图6图9E ，船A 和点C 在一条直线上，那么△ABC ≌△EDC ，从而量出DE 的距离即为船离岸的距离AB ，这里判定△ABC ≌△EDC 的方法是__ASA __.【解析】 在△ABC 和△EDC 中，⎩⎨⎧∠ABC ＝∠EDC ＝90°，BC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ，∴△ABC ≌△EDC (ASA )，∴AB ＝DE .10．如图10，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝120°，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E .若AC ＝6 cm ，则AD ＝__2__cm.图10 第10题答图 【解析】 如答图，连结BD .∵AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，∴∠A ＝∠C ＝12(180°－∠ABC )＝30°，∵DE 垂直平分AB ，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝30°， 又∵∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝90°，∴在Rt △BDC 中，DC ＝2BD ，∴DC＝2AD .又∵AC ＝6，∴AD ＝13×6＝2(cm)． 11．如图11，在△ABC 中，D ，E 是BC 上的两点，且AD ＝BD ，AE ＝CE ，∠ADE ＝82°，∠AED ＝84°，则∠BAC＝__97°__.【解析】 ∵AD ＝BD ，AE ＝CE ，∴∠B ＝∠BAD ，∠EAC＝∠C ，∵∠ADE ＝82°，∠AED ＝84°，∴∠B ＝12∠ADE＝41°，∠C ＝12∠AED ＝42°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝97°.12．如图12，DE 是△ABC 的AB 边的垂直平分线，分别交AB ，BC 于点D ，E ，AE 平分∠BAC ，若∠B ＝30°，则∠C 的度数为__90°__．图12图11【解析】 ∵DE 是AB 边的垂直平分线，∴EA ＝EB ，∴∠B ＝∠BAE .又∵∠B ＝30°，∴∠BAE ＝30°.又∵AE 平分∠BAC ，∴∠EAC ＝∠BAE ＝30°，即∠BAC ＝60°，∴∠C ＝180°－∠BAC －∠B ＝90°.三、解答题(共40分)13．(8分)如图13，一架梯子AB 长25 m ，斜靠在一墙面上：(1)若梯子底端离墙7 m ，这个梯子的顶端距地面有多高？(2)在(1)的条件下，如果梯子的顶端下滑了4 m ，那么梯子的底端在水平方向上滑动了几米？解：(1)在Rt △AOB 中，AB ＝25 m ，OB ＝7 m ，∴OA ＝AB 2－OB 2＝252－72＝24(m)．答：梯子的顶端距地面24 m ；(2)根据题意，得AA ′＝4 m ，在Rt △A ′OB ′中，A ′O ＝24－4＝20(m)，OB ′＝A ′B ′2－OA ′2＝252－202＝15(m)，BB ′＝15－7＝8(m)．答：梯子的底端在水平方向上滑动了8 m.14．(10分)如图14，已知点A ，F ，E ，C 在同一直线上，AB ∥CD ，∠ABE ＝∠CDF ，AF ＝CE .(1)从图中任找两组全等三角形；(2)从(1)中任选一组进行证明．图14解：(1)△ABE ≌△CDF ，△AFD ≌△CEB ，△ABC ≌△CDA (任选两组即可)；(2)选△ABE ≌△CDF .证明：∵AF ＝CE ，∴AE ＝CF ，∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DCF .又∵∠ABE ＝∠CDF ，∴△ABE ≌△CDF (AAS )．图1315．(10分)如图15，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BA 延长线上的一点，E 是AC 的中点．连结BE 并延长交∠DAC 的平分线AM 于点F .(1)利用直尺和圆规把图补充完整，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法)；(2)试猜想AF 与BC 有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．图15 第15题答图解：(1)如答图所示；(2)AF ∥BC 且AF ＝BC .理由：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∴∠DAC ＝∠ABC ＋∠C ＝2∠C .由作图可知，∠DAC ＝2∠F AC ，∴∠C ＝∠F AC ，∴AF ∥BC .∵E 是AC 的中点，∴AE ＝CE . 在△AEF 和△CEB 中，⎩⎨⎧∠F AE ＝∠C ，AE ＝CE ，∠AEF ＝∠CEB ，∴△AEF ≌△CEB (ASA )，∴AF ＝CB .16．(12分)[2016·宁波一模]如图16，已知在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点D 从点A 出发，沿射线AB 方向以每秒1个单位长度的速度移动，同时点E 从点C 出发，沿射线CA 方向以每秒1个单位长度的速度移动．设点D 移动的时间为t (s)．图16(1)如图①，当0＜t ＜4时，连结DE ，记△ADE 的面积为S △ADE ，则当t 取何值时，S △ADE ＝2；(2)如图②，O 为BC 中点，连结OD ，OE .①当0＜t ＜4时，小明探索发现S △ADE ＋S △ODE ＝12S △ABC ，你认为他的发现正确吗？请做出判断并说明理由；②当t ＞4时，请直接写出S △ADE ，S △ODE ，S △ABC 之间的关系．解：(1)当0＜t ＜4时，∵AD ＝t ，AE ＝AC －CE ＝4－t ，∵∠A ＝90°，∴S △ADE ＝12AD ·AE ＝12t (4－t )＝2， 解得t ＝2，∴当t ＝2时，S △ADE ＝2；(2)①正确，如答图①，连结AO .∵AD ＝CE ＝t ，∴BD ＝AE ＝4－t ，∵△ABC 是等腰直角三角形，O 为BC 中点，∴AO ＝BO ，∠B ＝∠EAO ＝45°，在△AOE 与△BOD 中，⎩⎨⎧AE ＝BD ，∠EAO ＝∠B ，OA ＝OB ，∴△AOE ≌△BOD (SAS )，∴S △AOE ＝S △BOD ，∴S △ADE ＋S △ODE ＝S △AOE ＋S △AOD ＝S △BOD ＋S △AOD ＝S △ABO ＝12S △ABC ；②S △ODE －S △ADE ＝12S △ABC .第16题答图① 第16题答图②如答图②，连结AO .∵S 四边形AEDO ＝S △AOE ＋S △ODE ＝S △ADE ＋S △BOD ＋S △ABO ，由题意可知AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，O 为BC 中点．∴AO＝BO，∠ABC＝∠C＝∠BAO＝∠CAO＝45°.∴∠EAO＝∠EAD＋∠BAO＝135°，∠DBO＝180°－∠ABO＝135°，∴∠EAO＝∠DBO，又∵CE＝AD，∴AE＝BD，∴△AOE≌△BOD(SAS)，∴S△AOE ＝S△BOD，∴S△ODE＝S△ADE＋S△ABO，即S△ODE －S△ADE＝12S△ABC.单元滚动检测卷(五)【测试范围：第八单元 时间：100分钟 分值：100分】一、选择题(每题5分，共30分)1．[2016·贵州]下列语句正确的是( C ) A ．对角线互相垂直的四边形是菱形B ．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C ．矩形的对角线相等D ．平行四边形是轴对称图形2．如图1，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ，AD ＝23，DE ＝2，则四边形OCED 的面积为( A ) A ．2 3 B ．4 C ．4 3 D ．8图1 第2题答图【解析】 如答图，连结OE ，与DC 交于点F ，∵四边形ABCD 为矩形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，且AC ＝BD ，即OA ＝OB ＝OC ＝OD ， ∵OD ∥CE ，OC ∥DE ，∴四边形OCED 为平行四边形， ∵OD ＝OC ，∴四边形OCED 为菱形，∴DF ＝CF ，OF ＝EF ，DC ⊥OE ， ∵DE ∥OA ，且DE ＝OA ，∴四边形ADEO 为平行四边形，∵AD ＝23，∴OE ＝23，即OF ＝EF ＝3，在Rt △DEF 中，根据勾股定理，得DF ＝22－（3）2＝1，即DC ＝2，则S 菱形OCED ＝12OE ·DC ＝12×23×2＝2 3.3．如图2，小红在作线段AB 的垂直平分线时是这样操作的：分别以A ，B 为圆心，大于线段AB 长度的一半的长为半径画弧，相交于点C ，D ，则直线CD 即为所求．连结AC ，BC ，AD ，BD ，根据她的作图方法可知四边形ADBC 一定是( B ) A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形4．如图3，矩形纸片ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，则AF 的长为( B )A.258 cmB.254 cmC.252 cm D ．6 cm 【解析】 设AF ＝x cm ，则DF ＝(8－x )cm ，∵DF ＝D ′F ，∴在Rt △AD ′F中，AF 2＝AD ′2＋D ′F 2，即x 2＝62＋(8－x )2，解得x ＝254cm.图3 图4 5．如图4，矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，∠CAE ＝15°，则下列结论：①△ODC 是等边三角形；②BC ＝2AB ；③∠AOE ＝135°；④S △AOE ＝S △COE ，其中正确结论有( C ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 根据矩形性质求出OD ＝OC ，根据角求出∠DOC ＝60°，即可得出△DOC 是等边三角形，进而得出AC ＝2AB ，即可判断②；求出∠BOE ＝75°，∠AOB ＝60°，相加即可求出∠AOE ，根据等底等高的三角形面积相等得出S △AOE ＝S △COE .∵四边形ABCD 是矩形，图2∴∠BAD＝90°，OA＝OC，OD＝OB，AC＝BD，∴OA＝OD＝OC＝OB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝45°，∵∠CAE＝15°，∴∠DAC＝30°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAC＝30°，∴∠DOC＝60°，∵OD＝OC，∴△ODC是等边三角形，∴①正确；∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠DAC＝∠ACB＝30°，∴AC＝2AB，∵AC＞BC，∴2AB＞BC，∴②错误；∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝30°，∵AE平分∠DAB，∠DAB＝90°，∴∠DAE＝∠BAE＝45°，∵∠ABE＝90°，∴∠AEB＝∠BAE＝45°，∴AB＝BE，∵△ODC是等边三角形，∴OC＝CD，∵OC＝OB，CD＝AB，∴OB＝AB＝BE，∴∠BOE＝∠BEO＝12(180°－∠OBE)＝75°，∵∠AOB＝∠DOC＝60°，∴∠AOE＝60°＋75°＝135°，∴③正确；∵OA＝OC，∴S△AOE ＝S△COE，∴④正确．故选C.6．如图5，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为(A) A．2 B．3C．4 D．5图5 第6题答图【解析】如答图，将△DAF绕点A顺时针旋转90°到△BAF′位置，由题意，得△DAF≌△BAF′，∴DF＝BF′，∠DAF＝∠BAF′，∴∠F′AE＝45°，在△F AE和△F′AE中，⎩⎨⎧AF＝AF′，∠F AE＝∠F′AE，AE＝AE，∴△F AE≌△F′AE(SAS)，∴EF＝EF′，∵△ECF的周长为4，∴EF＋EC＋FC＝FC＋CE＋EF′＝FC＋BC＋BF′＝DF＋FC＋BC＝DC＋BC ＝4，∴2BC＝4，∴BC＝2.二、填空题(每题5分，共30分)7．如图6，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，再添加一个条件__AB∥CD或AD＝BC或∠A＋∠D＝180°或∠B＋∠C＝180°(答案不唯一，合理即可)__(写出一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形(图形中不再添加辅助线)．【解析】添加的条件可以是另一组对边AD与BC相等，也可以是AB与CD 这一组对边平行．8．在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形．你添加的条件是__∠A＝90°或∠B＝90°或∠C＝90°或∠D＝90°或AC＝BD(答案不唯一，合理即可)__(写出一个即可)．9．如图7，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4 cm，则点P到BC的距离是__4__cm.图6图7 图810．[2016·临沂]如图8，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG.若AB＝4，BC＝8，则△ABF的面积为__6__．【解析】∵将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG，由折叠的性质可知AF＝CF.设AF＝CF＝x，则BF＝8－x，在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB2＋BF2＝AF2，42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即CF＝5，BF＝8－5＝3，∴S△ABF＝12×3×4＝6.11．如图9，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，∠ACD＝30°，BD＝6.则求AC的长为__(结果保留根号)．【解析】∵O为菱形对角线的交点，∴AC＝2OC，OD＝12BD＝3，∠COD＝90°.在Rt△COD中，ODOC＝tan∠OCD＝tan30°，∴OC＝ODtan30°＝333＝33，∴AC＝2OC＝6 3.12．如图10，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形．旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是__172__．图10第12题答图图9【解析】如答图，此时菱形的周长最大，设菱形的边长AC＝x，则AB＝4－x，在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，即x2＝(4－x)2＋12，解得x＝17 8，∴菱形的最大周长为178×4＝172.三、解答题(共40分)13．(8分)如图11，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE ＝BC，AE＝AB，AE，DC相交于点O，连结DE.(1)求证：四边形ACED是矩形；(2)若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，CE＝BC，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，AD＝CE，AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∵AB＝DC，AE＝AB，∴AE＝DC，∴四边形ACED是矩形；(2)∵四边形ACED是矩形，∴OA＝12AE，OC＝12CD，AE＝CD，∴OA＝OC，∵∠AOC＝180°－∠AOD＝180°－120°＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OC＝AC＝4，∴CD＝8.14．(10分)如图12，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连结BF，CE.(1)求证：四边形BFCE是平行四边形；(2)当边AB，AC满足什么条件时，四边形BECF是菱形？并说明理由．解：(1)证明：∵在△ABC中，D是BC边的中点，∴BD＝CD，∵CF∥BE，∴∠CFD＝∠BED，图11图12在△CFD 和△BED 中，⎩⎨⎧∠FDC ＝∠EDB ，CD ＝BD ，∠CFD ＝∠BED ，∴△CFD ≌△BED (AAS )，∴CF ＝BE ，∴四边形BFCE 是平行四边形；(2)当AB ＝AC 时，四边形BECF 是菱形，理由：∵AB ＝AC ，D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥BC ，∴四边形BECF 是菱形．15．(10分)如图13，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，经过点O 的直线交AB 于点E ，交CD 于点F .(1)求证：OE ＝OF ；(2)连结DE ，BF ，则EF 与BD 满足什么条件时，四边形DEBF 是矩形？并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴OD ＝OB ，DC ∥AB ，∴∠DFO ＝∠BEO .在△DOF 和△BOE 中， ⎩⎨⎧∠DFO ＝∠BEO ，∠FOD ＝∠EOB ，OD ＝OB ，∴△DOF ≌△BOE (AAS )，∴OE ＝OF ；(2)当EF ＝BD 时，四边形DEBF 是矩形．理由：∵△DOF ≌△BOE ，∴DF ＝BE ，∵DF ∥BE ，∴四边形DEBF 为平行四边形，∵EF ＝BD ，∴四边形DEBF 是矩形．16．(12分)如图14，在正方形ABCD 中，AC 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B ，直角顶点P 在射线AC 上移动，另一边交DC 于点Q .(1)如图①，当点Q 在DC 边上时，猜想并写出PB 与PQ 所满足的数量关系，并加以证明；(2)如图②，当点Q 落在DC 的延长线上时，猜想并写出PB 与PQ 满足的数量关系，并证明你的猜想．图13图14解：(1)PB＝PQ.证明：如答图①，过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F.∵P为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形．∵∠BPE＋∠QPE＝90°，∠QPE＋∠QPF＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，又∵∠PFQ＝∠PEB＝90°，∴Rt△PQF≌Rt△PBE(ASA)，∴PB＝PQ；①②第16题答图(2)PB＝PQ.证明：如答图②，过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，∵P为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∵∠ECF＝∠DCB＝90°，∴PC平分∠ECF，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形，∵∠BPF＋∠QPF＝90°，∠BPF＋∠BPE＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE(ASA)，∴PB＝PQ.。
2018届中考数学：单元滚动检测卷(六)
单元滚动检测卷(六)【测试范围：第九单元时间：100分钟分值：100分】一、选择题(每题5分，共30分)1．下列说法正确的是(D) A．长度相等的弧叫等弧B．平分弦的直径一定垂直于该弦C．三角形的外心是三条角平分线的交点D．不在同一直线上的三个点确定一个圆【解析】A．能够完全重合的弧叫等弧，A选项错误；B.平分弦(非直径)的直径一定垂直于该弦，B选项错误；C.三角形的外心是三边垂直平分线的交点，C选项错误；D.不在同一直线上的三个点确定一个圆，D选项正确．故选D. 2．如图1，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连结AD，BC，BD，下列结论中不一定正确的是(C)图1A．AE＝BE B．AD＝BDC．OE＝DE D．∠DBC＝90°3．在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的度数之比可能是(B) A．1∶2∶3∶4 B．4∶2∶1∶3C．4∶2∶3∶1 D．1∶3∶2∶44．[2017·日照]如图2，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是(A)A．5 3 B．5 2 C．5 D.5 2图2 第4题答图【解析】 如答图，过点D 作OD ⊥AC 于点D ，∵AB 是⊙O 的直径，P A 切⊙O 于点A ，∴AB ⊥AP ，∴∠BAP ＝90°，∵∠P ＝30°，∴∠AOP ＝60°，∴∠AOC ＝120°，∵OA ＝OC ，∴∠OAD ＝30°，∵AB ＝10，∴OA ＝5，∴OD ＝12AO ＝52，∴AD ＝AO 2－OD 2＝532，∴AC ＝2AD ＝5 3. 5．如图3，P 为⊙O 外一点，P A ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交P A ，PB 于点C ，D ，若P A ＝15，则△PCD 的周长为 ( D )图3A ．15B ．12C ．20D ．30【解析】 ∵P 为⊙O 外一点，P A ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交P A ，PB 于点C ，D ，∴AC ＝EC ，BD ＝DE ，AP ＝BP ，∵P A ＝15，∴△PCD 的周长为P A ＋PB ＝30.6．[2016·深圳]如图4，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，正方形CDEF 的顶点C是AB ︵的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22时，则阴影部分的面积为( A ) A ．2π－4 B ．4π－8C．2π－8 D．4π－4图4第6题答图【解析】如答图，连结OC，∵在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF 的顶点C是AB︵的中点，∴∠COD＝45°，∴OC＝（22）2＋（22）2＝4，∴S阴影＝S扇形BOC－S△ODC＝45×π×42360－12×(22)2＝2π－4.二、填空题(每题5分，共30分)7．[2017·白银]如图5，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝32°，则∠C＝__58__°.图5 第7题答图【解析】如答图，连结OB，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝32°，∴∠AOB＝116°，∴∠C＝58°.8．[2017·泰州]如图6，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为__(7，4)或(6，5)或(1，4)__．【解析】∵点A，B，P的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)．∴P A＝PB＝32＋22＝13，∵点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的图6外心，∴PC ＝P A ＝PB ＝13＝22＋32，则点C 的坐标为(7，4)或(6，5)或(1，4)．9．如图7，在△ABC 中，∠C ＝90°，以AB 上一点O 为圆心，OA 长为半径的圆与BC 相切于点D ，分别交AC ，AB 于点E ，F .若AC ＝6，AB ＝10，则⊙O的半径为__154__．图7 第9题答图 【解析】 如答图，连结OD .设⊙O 的半径为r .∵BC 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥BC .∵∠C ＝90°，∴OD ∥AC ，∴△OBD ∽△ABC .∴OD AC ＝OB AB ，即10r ＝6(10－r )，解得r ＝154.10．[2017·烟台]如图8，▱ABCD 中，∠B ＝70°，BC ＝6，以AD 为直径的⊙O交CD 于点E ，则劣弧DE ︵的长为__23π__．图8 第10题答图【解析】 如答图，连结OE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D ＝∠B ＝70°，AD ＝BC ＝6，∴OA ＝OD ＝3，∵OD ＝OE ，∴∠OED ＝∠D ＝70°，∴∠DOE ＝180°－2×70°＝40°，∴DE ︵＝40π×3180＝23π.11．[2016·黄石]如图9，正方形ABCD对角线AC所在直线上有一点O，OA＝AC＝2，将正方形绕O点顺时针旋转60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是__2π＋2__．【解析】用大扇形的面积减去小扇形的面积再加上正方形ABCD的面积即为阴影部分的面积．∵OA＝AC＝2，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，OC＝4，S阴影＝60×π（42－22）360＋(2)2＝2π＋2.12．如图10，在矩形ABCD中，AD＝8，E是边AB上一点，且AE＝14AB.⊙O 经过点E，与边CD所在的直线相切于点G(∠GEB为锐角)，与边AB所在直线相交于另一点F，且EG∶EF＝5∶2.当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是__12或4__．图10第12题答图【解析】边AB所在的直线不会与⊙O相切．故当边BC所在的直线与⊙O 相切时，如答图，过点G作GN⊥AB，垂足为N，设BC与⊙O切于点K，连结OE，OK.∴EN＝NF，又∵EG∶EF＝5∶2，∴EG∶EN＝5∶1.∵GN＝AD＝8，设EN＝x，则GE＝5x，根据勾股定理，得(5x)2－x2＝64，解得x ＝4，GE＝45，设⊙O的半径为r，由OE2＝EN2＋ON2，得r2＝16＋(8－r)2，∴r＝5.∴OK＝NB＝5，∴EB＝9，又∵AE＝14AB，∴AB＝12.同理，当边AD 所在直线与⊙O相切时，AB＝4.三、解答题(共40分)13．(8分)[2017·白银]如图11，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C.(1)若点A(0，6)，N(0，2)，∠ABN＝30°，求点B的坐标；图9(2)若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．图11 第13题答图解：(1)∵A的坐标为(0，6)，N(0，2)，∴AN＝4，∵∠ABN＝30°，∠ANB＝90°，∴AB＝2AN＝8，∴由勾股定理可知NB＝AB2－AN2＝43，∴B点坐标为(43，2)；(2)如答图，连结MC，NC.∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN＝90°，∴∠NCB＝90°，在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD＝12NB＝ND，∴∠CND＝∠NCD，∵MC＝MN，∴∠MCN＝∠MNC，∵∠MNC＋∠CND＝90°，∴∠MCN＋∠NCD＝90°，即MC⊥CD.∴直线CD是⊙M的切线．14．(10分)如图12，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．(1)求AD的长；(2)BC是⊙O的切线吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．图12 第14题答图解：(1)如答图，连结BD ，则∠DBE ＝90°.∵四边形BCOE 是平行四边形，∴BC ∥OE ，BC ＝OE ＝1.在Rt △ABD 中，C 为AD 的中点，∴BC ＝12AD ＝1.∴AD ＝2；(2)BC 是⊙O 的切线．证明：如答图，连结OB ，由(1)得BC ∥OD ，且BC ＝OD ，∴四边形BCDO 是平行四边形．∵AD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AD .∴四边形BCDO 是矩形，∴OB ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．15．(10分)[2016·湖州一模]如图13，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，⊙O 的切线PC 交BA 的延长线于点P .OF ∥BC 交AC 于点E ，交PC 于点F ，连结AF .(1)判断AF 与⊙O 的位置关系并说明理由；(2)已知⊙O 的半径为20，AF ＝15，求AC 的长．图13第15题答图 解：(1)AF 是⊙O 的切线．理由：如答图，连结OC .∵AB 是⊙O 直径，∴∠BCA ＝90°，∵OF ∥BC ，∴∠AEO ＝90°，∠1＝∠2，∠B ＝∠3，∴OF ⊥AC ，∵OC ＝OB ，∴∠B ＝∠1，∴∠3＝∠2， 在△OAF 和△OCF 中，⎩⎨⎧OA ＝OC ，∠3＝∠2，OF ＝OF ，∴△OAF≌△OCF(SAS)，∴∠OAF＝∠OCF，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCF＝90°，∴∠OAF＝90°，∴F A⊥OA，∴AF是⊙O的切线；(2)∵⊙O的半径为20，AF＝15，∠OAF＝90°，∴OF＝AF2＋OA2＝152＋202＝25，∵F A⊥OA，OF⊥AC，∴AC＝2AE，S△OAF ＝12AF·OA＝12OF·AE，∴15×20＝25AE，解得AE＝12，∴AC＝2AE＝24.16．(12分)[2017·威海]已知：AB为⊙O的直径，AB＝2，弦DE＝1，直线AD与BE相交于点C，弦DE在⊙O上运动且保持长度不变，⊙O的切线DF交BC 于点F.(1)如图14①，若DE∥AB，求证：CF＝EF；(2)如图②，当点E运动至与点B重合时，试判断CF与BF是否相等，并说明理由．图14解：(1)证明：如答图，连结OD，OE，∵AB＝2，∴OA＝OD＝OE＝OB＝1，∵DE＝1，∴OD＝OE＝DE，∴△ODE是等边三角形，∴∠ODE＝∠OED＝60°，∵DE∥AB，∴∠AOD＝∠ODE＝60°，∠EOB＝∠OED＝60°，∴△AOD和△BOE是等边三角形，∴∠OAD＝∠OBE＝60°，∴∠CDE＝∠OAD＝60°，∠CED＝∠OBE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF，∴∠EDF＝90°－60°＝30°，∴∠DFE＝90°，∴DF⊥CE，∴CF＝EF；(2)相等．理由：∵点E运动至与点B重合时，BC是⊙O的切线，又∵⊙O的切线DF交BC于点F，∴BF＝DF，∴∠BDF＝∠DBF，∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴∠FDC＝∠C，∴DF＝CF，∴BF＝CF.。
2018年河南省中考数学四模试卷（含答案）
2018年河南省中考数学四模试卷（含答案）2018年河南省中考数学四模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.的倒数是A. B. C. 5 D.【答案】B【解析】解：的倒数是，故选：B．根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．2.如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：该几何体的左视图是：．故选：D．根据俯视图中每列正方形的个数，再画出从正面，左面看得到的图形即可．此题主要考查了画几何体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图分别是从物体的正面，左面看得到的图形；看到的正方体的个数为该方向最多的正方体的个数．3.北京时间5月27日，蛟龙号载人潜水器在太平洋马里亚纳海沟作业区开展了本航段第3次下潜，最大下潜深度突破6500米，数6500用科学记数法表示为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：数6500用科学记数法表示为．故选：C．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.分式方程的解为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：去分母得：，解得：，经检验是分式方程的解，则分式方程的解为，故选：B．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了分式方程的解，解分式方程利用了转化的思想，还有注意不要忘了检验．5.七年级学生完成课题学习“从数据谈节水”后，积极践行“节约用水，从我做起”，现在从七年级400名学生中选出10名学生统计各自家庭一个月的节水情况如下表：那么这组数据的众数和平均数分别是A. 和B. 和C. 和D.和【答案】A【解析】解：将数据按从大到小的顺序排列为：，，，，，，，，，，则众数为：；平均数为：．故选：A．根据众数及平均数的定义，结合表格信息即可得出答案．本题考查了众数及平均数的知识，解答本题的关键是熟练掌握中位数及平均数的定义．6.若关于x的不等式的解集为，则关于x的一元二次方程根的情况是A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定【答案】C【解析】解：解不等式得，而不等式的解集为，所以，解得，又因为，所以关于x的一元二次方程没有实数根．故选：C．先解不等式，再利用不等式的解集得到，则，然后计算判别式的值，最后根据判别式的意义判断方程根的情况．本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．7.如图，直线，以直线上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线、于点B、C，连接AC、若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据题意得：，，直线，，，．故选：B．首先由题意可得：，根据等边对等角的性质，即可求得的度数，又由直线，根据两直线平行，内错角相等，即可求得的度数，然后根据平角的定义，即可求得的度数．此题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质此题难度不大，解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等与等边对等角定理的应用．8.某商店进行“迎五一，大促销”摸奖活动，凡是有购物小票的顾客均可摸球一次，摸到的是白球即可获奖规则如下：一个不透明的袋子中装有10个黑球和若干白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复此过程共有300人摸球，其中获奖的共有180人，由此估计袋子中白球个数大约为A. 10B. 12C. 15D. 16【答案】C【解析】解：设袋子中白球有x个，根据题意，可得：，解得：，经检验是原分式方程的解，所以估计袋子中白球大约有15个，故选：C．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．本题考查利用频率估计概率大量反复试验下频率稳定值即概率关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．9.如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，若点在线段BC的延长线上，则的大小为A.B.C.D.【答案】B【解析】解：由旋转的性质可知：，，．，，．．．故选：B．由旋转的性质可知，，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得，从而可求得．本题主要考查的是旋转的性质，由旋转的性质得到为等腰三角形是解题的关键．10.如图，已知A，B是反比例函数图象上的两点，轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿图中“”所示路线匀速运动，终点为C，过P作轴，垂足为设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设，点P运动的速度为a，当点P从点O运动到点A的过程中，，由于及a均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着t的增大而增大；当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知的面积为，保持不变，故本段图象应为与横轴平行的线段；当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，的高与在B点时相同，故本段图象应该为一段下降的线段；故选：A．结合点P的运动，将点P的运动路线分成、、三段位置来进行分析三角形OMP面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案．本题考查了反比例函数图象性质、锐角三角函数性质，解题的关键是明确点P在、、三段位置时三角形OMP的面积计算方式．二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.______．【答案】6【解析】解：．故答案为：6．本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值3个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值等考点的运算．12.若抛物线与x轴没有交点，则m的取值范围是______．【答案】【解析】解：抛物线与x轴没有交点，，，解得，的取值范围是．故答案为：．利用根的判别式列不等式求解即可．本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键．13.如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点已知菱形的一个角为，A，B，C都在格点上，则的值是______．【答案】【解析】解：如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得，，，，，、C、B共线，在中，．故答案为．如图，连接EA、EB，先证明，根据，求出AE、EB即可解决问题．本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．14.如图，在扇形AOB中，，，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为时，则阴影部分的面积为______．【答案】【解析】解：在扇形AOB中，且，，，阴影部分的面积扇形BOC的面积三角形ODC的面积．故答案为：．连结OC，根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积扇形BOC的面积三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．15.如图，在中，，，，点M为边AC的中点，点N为边BC上任意一点，若点C关于直线MN的对称点恰好落在的中位线上，则CN的长为______．【答案】或或2【解析】解：取BC、AB的中点H、G，理解MH、HG、MG．如图1中，当点落在MH上时，设，由题意可知：，，，，在中，，，解得．如图2中，当点落在GH上时，设，在中，，，，∽ ，，，．如图3中，当点落在直线GM上时，易证四边形是正方形，可得．综上所述，满足条件的线段CN的长为或或2．故答案为为或或2．取BC、AB的中点H、G，理解MH、HG、分三种情形：如图1中，当点落在MH 上时；如图2中，当点落在GH上时；如图3中，当点落在直线GM上时，分别求解即可解决问题；本题考查轴对称、三角形的中位线、勾股定理、相似三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的扇形思考问题，属于中考常考题型．三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）16.某县教育局为了丰富初中学生的大课间活动，要求各学校开展形式多样的阳光体育活动某中学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了本校某班的学生，并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统计图：在这次调查中，喜欢篮球项目的同学有______人，在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为______，如果学校有800名学生，估计全校学生中有______人喜欢篮球项目．请将条形统计图补充完整．在被调查的学生中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率．【答案】5；20；80【解析】解：调查的总人数为人，所以喜欢篮球项目的同学的人数人；“乒乓球”的百分比，因为，。
河北省2018年中考第4次模拟考试数学试卷(含答案)初三第四次模拟考试数学试卷
初三第四次模拟考试数学试卷一、 选择题（本大题共16小题，1~10小题每题3分；11~16小题每题2分，共42分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在﹣4，0，﹣1，3这四个数中，最大的数是（ ）A. ﹣4B. 0C. ﹣1D. 3 2. 函数1-=x y 中，自变量x 的取值范围是（ ） A. 1>x B. 1≥x C. 1<xD. 1≤x3. 下列计算中，不正确的是（ ）A. x x x =+-32B. y xy xy 3262=÷C. 36326)2(y x y x -=-D. 2222)(2y x x xy -=-⋅4. 在平面直角坐标系中，已知点A （m ，3）与点B （4，n ）关于y 轴对称，那么2015)(n m +的值为（ ） A. ﹣1B. 1C. 20157-D. 201575. 下列四个点中，有三个点在同一反比例函数xky =的图象上，则不在这个函数图象上的点是（ ）A. （5，1）B. （﹣1，5） C . （35，3） D. （﹣3，35-）6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB 的顶点O 在原点，点C 的坐标为（4，0），点B 的纵坐标是﹣1，则顶点A 的坐标是（ ） A. （2，﹣1） B. （1，﹣2） C. （1，2） D. （2，1）7. 用一个平面去截一个几何体，不能截得三角形截面的几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 正方体8. 如图二次函数),,,0(2为常数c b a a c bx ax y ≠++=的图象，m c bx ax =++2有实数根的条件是（ ）A. 2-≥mB. 5≥mC. 0≥mD. 4>m9. 如图，一只蚂蚁从O 出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t 时，蚂蚁与O 点的距离为s ，则s 与t 的函数图象大致是（ ）A.B.C.D.10. 某校九（3）班的全体同学喜欢的球类运动用如图所示的统计图来表示，下面说法正确的是（ ）A. 从图中可以直接看出喜欢各种球类的具体人数B. 从图中可以直接看出全班的总人数C. 从图中可以直接看出全班同学初中三年来喜欢各种球类的变化情况D. 从图中可以直接看出全班同学现在喜欢各种球类的人数的大小关系11. 如图，四边形ABCD ，AEFG 都是正方形，点E ，G 分别在AB ，AD 上，连接FC ，过点E 作EH ∥FC 交BC 于点H 。
2018届中考数学单元滚动检测试卷(六)含答案(第9单元)
单元滚动检测卷(六)【测试范围：第九单元 时间：100分钟 分值：100分】 一、选择题(每题5分，共30分) 1．下列说法正确的是( D )A ．长度相等的弧叫等弧B ．平分弦的直径一定垂直于该弦C ．三角形的外心是三条角平分线的交点D ．不在同一直线上的三个点确定一个圆【解析】 A ．能够完全重合的弧叫等弧，A 选项错误；B.平分弦(非直径)的直径一定垂直于该弦，B 选项错误；C.三角形的外心是三边垂直平分线的交点，C 选项错误；D.不在同一直线上的三个点确定一个圆，D 选项正确．故选D.2．如图1，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，连结AD ，BC ，BD ，下列结论中不一定正确的是( C )图1A ．AE ＝BEB ．AD ＝BDC ．OE ＝DED ．∠DBC ＝90°3．在圆内接四边形ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的度数之比可能是( B ) A ．1∶2∶3∶4 B ．4∶2∶1∶3 C ．4∶2∶3∶1D ．1∶3∶2∶44．[2017·日照]如图2，AB 是⊙O 的直径，P A 切⊙O 于点A ，连结PO 并延长交⊙O 于点C ，连结AC ，AB ＝10，∠P ＝30°，则AC 的长度是 ( A ) A ．5 3 B ．5 2C ．5D.52图2 第4题答图【解析】 如答图，过点D 作OD ⊥AC 于点D ， ∵AB 是⊙O 的直径，P A 切⊙O 于点A ， ∴AB ⊥AP ，∴∠BAP ＝90°， ∵∠P ＝30°，∴∠AOP ＝60°， ∴∠AOC ＝120°，∵OA ＝OC ， ∴∠OAD ＝30°，∵AB ＝10，∴OA ＝5， ∴OD ＝12AO ＝52，∴AD ＝AO 2－OD 2＝532， ∴AC ＝2AD ＝5 3.5．如图3，P 为⊙O 外一点，P A ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交P A ，PB 于点C ，D ，若P A ＝15，则△PCD 的周长为( D )图3A ．15B ．12C ．20D ．30【解析】 ∵P 为⊙O 外一点，P A ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交P A ，PB 于点C ，D ， ∴AC ＝EC ，BD ＝DE ，AP ＝BP ，∵P A ＝15，∴△PCD 的周长为P A ＋PB ＝30.6．[2016·深圳]如图4，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，正方形CDEF 的顶点C 是AB ︵的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22时，则阴影部分的面积为( A )A ．2π－4B ．4π－8C ．2π－8D ．4π－4图4 第6题答图【解析】 如答图，连结OC ，∵在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，正方形CDEF 的顶点C 是AB ︵的中点， ∴∠COD ＝45°，∴OC ＝（22）2＋（22）2＝4，∴S 阴影＝S 扇形BOC －S △ODC ＝45×π×42360－12×(22)2＝2π－4.二、填空题(每题5分，共30分)7．[2017·白银]如图5，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝32°，则∠C ＝__58__°.图5 第7题答图【解析】 如答图，连结OB ，∵OA ＝OB ，∴△AOB 是等腰三角形，∴∠OAB ＝∠OBA ＝32°， ∴∠AOB ＝116°，∴∠C ＝58°.8．[2017·泰州]如图6，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，P 的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)．若点C 在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P 是△ABC 的外心，则点C 的坐标为__(7，4)或(6，5)或(1，4)__．【解析】 ∵点A ，B ，P 的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)．∴P A ＝PB ＝32＋22＝13，∵点C 在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P 是△ABC 的外心，∴PC ＝P A ＝PB ＝13＝22＋32，则点C 的坐标为(7，4)或(6，5)或(1，4)．9．如图7，在△ABC中，∠C ＝90°，以AB 上一点O 为圆心，OA 长为半径的圆与图6BC 相切于点D ，分别交AC ，AB 于点E ，F .若AC ＝6，AB ＝10，则⊙O 的半径为__154__．图7 第9题答图【解析】 如答图，连结OD .设⊙O 的半径为r .∵BC 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥BC .∵∠C ＝90°，∴OD ∥AC ，∴△OBD ∽△ABC .∴OD AC ＝OBAB ，即10r ＝6(10－r )，解得r ＝154.10．[2017·烟台]如图8，▱ABCD 中，∠B ＝70°，BC ＝6，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则劣弧DE ︵的长为__23π__．图8 第10题答图【解析】 如答图，连结OE ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠D ＝∠B ＝70°，AD ＝BC ＝6， ∴OA ＝OD ＝3，∵OD ＝OE ， ∴∠OED ＝∠D ＝70°，∴∠DOE ＝180°－2×70°＝40°， ∴DE ︵＝40π×3180＝23π.11．[2016·黄石]如图9，正方形ABCD 对角线AC 所在直线上有一点O ，OA ＝AC ＝2，将正方形绕O 点顺时针旋转60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是__2π＋2__．【解析】 用大扇形的面积减去小扇形的面积再加上正方形ABCD 的面积即为阴影部分的面积．∵OA ＝AC ＝2，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2，OC ＝4， S 阴影＝60×π（42－22）360＋(2)2＝2π＋2.12．如图10，在矩形ABCD 中，AD ＝8，E 是边AB 上一点，且AE ＝14AB .⊙O 经过点E ，与边CD 所在的直线相切于点G (∠GEB 为锐角)，与边AB 所在直线相交于另一点F ，且EG ∶EF ＝5∶2.当边AD 或BC 所在的直线与⊙O 相切时，AB 的长是__12或4__．图10第12题答图【解析】 边AB 所在的直线不会与⊙O 相切．故当边BC 所在的直线与⊙O 相切时，如答图，过点G 作GN ⊥AB ，垂足为N ，设BC 与⊙O 切于点K ，连结OE ，OK .∴EN ＝NF ，又∵EG ∶EF ＝5∶2，∴EG ∶EN ＝5∶1.∵GN ＝AD ＝8，设EN ＝x ，则GE ＝5x ，根据勾股定理，得(5x )2－x 2＝64，解得x ＝4，GE ＝45，设⊙O 的半径为r ，由OE 2＝EN 2＋ON 2，得r 2＝16＋(8－r )2，∴r ＝5.∴OK ＝NB ＝5，∴EB ＝9，又∵AE ＝14AB ，∴AB ＝12.同理，当边AD 所在直线与⊙O 相切时，AB ＝4. 三、解答题(共40分)13．(8分)[2017·白银]如图11，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C . (1)若点A (0，6)，N (0，2)，∠ABN ＝30°，求点B 的坐标； (2)若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线．图11 第13题答图解：(1)∵A 的坐标为(0，6)，N (0，2)，∴AN ＝4， ∵∠ABN ＝30°，∠ANB ＝90°，∴AB ＝2AN ＝8，∴由勾股定理可知NB ＝AB 2－AN 2＝43， ∴B 点坐标为(43，2)； (2)如答图，连结MC ，NC . ∵AN 是⊙M 的直径，∴∠ACN ＝90°，∴∠NCB ＝90°， 在Rt △NCB 中，D 为NB 的中点， ∴CD ＝12NB ＝ND ，∴∠CND ＝∠NCD ， ∵MC ＝MN ，∴∠MCN ＝∠MNC ， ∵∠MNC ＋∠CND ＝90°，∴∠MCN ＋∠NCD ＝90°，即MC ⊥CD . ∴直线CD 是⊙M 的切线．14．(10分)如图12，已知⊙O 的半径为1，DE 是⊙O 的直径，过点D 作⊙O 的切线，C 是AD 的中点，AE 交⊙O 于B 点，四边形BCOE 是平行四边形． (1)求AD 的长；(2)BC 是⊙O 的切线吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．图12 第14题答图解：(1)如答图，连结BD ，则∠DBE ＝90°. ∵四边形BCOE 是平行四边形， ∴BC ∥OE ，BC ＝OE ＝1.在Rt △ABD 中，C 为AD 的中点， ∴BC ＝12AD ＝1.∴AD ＝2；(2)BC 是⊙O 的切线．证明：如答图，连结OB ，由(1)得BC ∥OD ，且BC ＝OD ， ∴四边形BCDO 是平行四边形． ∵AD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AD . ∴四边形BCDO 是矩形，∴OB ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．15．(10分)[2016·湖州一模]如图13，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，⊙O 的切线PC 交BA 的延长线于点P .OF ∥BC 交AC 于点E ，交PC 于点F ，连结AF . (1)判断AF 与⊙O 的位置关系并说明理由； (2)已知⊙O 的半径为20，AF ＝15，求AC 的长．图13第15题答图解：(1)AF 是⊙O 的切线． 理由：如答图，连结OC . ∵AB 是⊙O 直径， ∴∠BCA ＝90°， ∵OF ∥BC ，∴∠AEO ＝90°，∠1＝∠2，∠B ＝∠3，∴OF ⊥AC ， ∵OC ＝OB ，∴∠B ＝∠1，∴∠3＝∠2，在△OAF 和△OCF 中，⎩⎨⎧OA ＝OC ，∠3＝∠2，OF ＝OF ，∴△OAF ≌△OCF (SAS )，∴∠OAF ＝∠OCF ，∵PC 是⊙O 的切线，∴∠OCF ＝90°，∴∠OAF ＝90°， ∴F A ⊥OA ，∴AF 是⊙O 的切线；(2)∵⊙O 的半径为20，AF ＝15，∠OAF ＝90°， ∴OF ＝AF 2＋OA 2＝152＋202＝25， ∵F A ⊥OA ，OF ⊥AC ，∴AC ＝2AE ，S △OAF ＝12AF ·OA ＝12OF ·AE ， ∴15×20＝25AE ，解得AE ＝12， ∴AC ＝2AE ＝24.16．(12分)[2017·威海]已知：AB 为⊙O 的直径，AB ＝2，弦DE ＝1，直线AD 与BE 相交于点C ，弦DE 在⊙O 上运动且保持长度不变，⊙O 的切线DF 交BC 于点F .(1)如图14①，若DE ∥AB ，求证：CF ＝EF ；(2)如图②，当点E 运动至与点B 重合时，试判断CF 与BF 是否相等，并说明理由．图14解：(1)证明：如答图，连结OD ，OE ， ∵AB ＝2，∴OA ＝OD ＝OE ＝OB ＝1， ∵DE ＝1，∴OD ＝OE ＝DE ， ∴△ODE 是等边三角形， ∴∠ODE ＝∠OED ＝60°， ∵DE ∥AB ，∴∠AOD ＝∠ODE ＝60°，∠EOB ＝∠OED ＝60°， ∴△AOD 和△BOE 是等边三角形， ∴∠OAD ＝∠OBE ＝60°，∴∠CDE ＝∠OAD ＝60°，∠CED ＝∠OBE ＝60°， ∴△CDE 是等边三角形，∵DF 是⊙O 的切线， ∴OD ⊥DF ，∴∠EDF ＝90°－60°＝30°， ∴∠DFE ＝90°，∴DF ⊥CE ，∴CF ＝EF ； (2)相等．理由：∵点E 运动至与点B 重合时，BC 是⊙O 的切线， 又∵⊙O 的切线DF 交BC 于点F ，∴BF ＝DF ， ∴∠BDF ＝∠DBF ，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°，∴∠FDC ＝∠C ， ∴DF ＝CF ，∴BF ＝CF .第16题答图。
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单元滚动检测卷(四)【测试范围：第六单元及第七单元 时间：100分钟 分值：100分】一、选择题(每题5分，共30分)1．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，E ，F分别为AC ，AB 的中点，则EF ＝( A )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，∴BC ＝102－82＝6.∵E ，F 分别为AC ，AB 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF ＝12BC ＝12×6＝3.故选A.2．[2017·临沂]如图2，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是( A ) A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°图2 第2题答图 【解析】 如答图，先根据平行线的性质即可求得∠2＝∠3，再根据三角形外角的性质可求得∠3，进而得出答案．∵长方形的对边平行，∴∠2＝∠3，又∵∠3＝∠1＋30°，∴∠2＝∠1＋30°＝20°＋30°＝50°.3．如图3，有一个由传感器A 控制的灯，要装在门上方离地高4.5 m 的墙上，任何东西只要移至该灯5 m 及5 m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高图11.5 m 的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？( A )A ．4 mB ．3 mC ．5 mD ．7 m图3 第3题答图 【解析】 如答图，由题意，可知BE ＝CD ＝1.5 m ，AE ＝AB －BE ＝4.5－1.5＝3(m)，AC ＝5 m ，由勾股定理，得CE ＝52－32＝4(m)．故选A.4．如图4，∠E ＝∠F ，∠B ＝∠C ，AE ＝AF ，以下结论：①∠F AN ＝∠EAM ；②EM ＝FN ；③△ACN ≌△ABM ；④CD ＝DN .其中正确的有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【解析】 由题意可知，△ABE ≌△ACF (AAS )，∴∠BAE ＝∠CAF ，∴∠F AN ＝∠EAM ，①正确；由①可得△AEM ≌△AFN (ASA )，∴EM ＝FN ，②正确；∵由②可得AM ＝AN ，∴△ACN ≌△ABM (AAS )，③正确；④无法得证，故不正确．∴正确的结论有3个．故选C.5．如图5，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝108°，点D 在BC 上，且BD ＝AB ，连结AD ，则∠CAD 等于( B ) A ．30°B ．36°C ．38°D ．45°图5图4【解析】 ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝108°，∴∠B ＝12(180°－∠BAC )＝12×(180°－108°)＝36°，∵BD ＝AB ，∴∠BAD ＝12(180°－∠B )＝12×(180°－36°)＝72°，∴∠CAD ＝∠BAC －∠BAD ＝108°－72°＝36°.6．如图6，在Rt △ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使点A 与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为 ( C ) A.53B.52C ．4D ．5 【解析】 设BN ＝x ，由折叠的性质，可得DN ＝AN ＝9－x ，∵D 是BC 的中点，∴BD ＝3，在Rt △NBD 中，x 2＋32＝(9－x )2，解得x ＝4.故选C.二、填空题(每题5分，共30分)7．如图7，AC 与BD 交于点P ，AP ＝CP ，从以下四个条件：①AB ＝CD ；②BP＝DP ；③∠B ＝∠D ；④∠A ＝∠C 中选择一个，不一定能使△APB ≌△CPD 的是__①__.图7 图8 8．如图8，在△ABC 中，已知∠B ＝46°，∠ACB ＝80°，延长BC 至点D ，使CD ＝CA ，连结AD ，则∠BAD 的度数为__94°__．【解析】 ∵∠ACB ＝80°，∴∠ACD ＝180°－∠ACB ＝180°－80°＝100°.又∵CD ＝CA ，∴∠CAD ＝∠D .图6∵∠ACD ＋∠CAD ＋∠D ＝180°，∴∠CAD ＝∠D ＝40°，∴∠BAD ＝180°－∠B －∠D ＝180°－46°－40°＝94°.9．泰勒斯是古希腊哲学家，相传他利用三角形全等的方法求出岸上一点到海中一艘船的距离．如图9，B是观察点，船A 在点B 的正前方，过点B 作AB 的垂线，在垂线上截取任意长BD ，C 是BD 的中点，观察者从点D 沿垂直于BD 的DE 方向走，直到点E ，船A 和点C 在一条直线上，那么△ABC ≌△EDC ，从而量出DE 的距离即为船离岸的距离AB ，这里判定△ABC ≌△EDC 的方法是__ASA __.【解析】 在△ABC 和△EDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABC ＝∠EDC ＝90°，BC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ，∴△ABC ≌△EDC (ASA )，∴AB ＝DE .10．如图10，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝120°，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E .若AC ＝6 cm ，则AD ＝__2__cm.图10 第10题答图 【解析】 如答图，连结BD .∵AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，∴∠A ＝∠C ＝12(180°－∠ABC )＝30°，∵DE 垂直平分AB ，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝30°，又∵∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝90°，∴在Rt △BDC 中，DC ＝2BD ，∴DC ＝2AD .又∵AC ＝6，∴AD ＝13×6＝2(cm)．11．如图11，在△ABC 中，D ，E 是BC 上的两点，且AD ＝BD ，AE ＝CE ，∠ADE ＝82°，∠AED ＝84°，则∠BAC图9＝__97°__.【解析】 ∵AD ＝BD ，AE ＝CE ，∴∠B ＝∠BAD ，∠EAC ＝∠C ，∵∠ADE ＝82°，∠AED ＝84°，∴∠B ＝12∠ADE ＝41°，∠C ＝12∠AED ＝42°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝97°.12．如图12，DE 是△ABC 的AB 边的垂直平分线，分别交AB ，BC 于点D ，E ，AE 平分∠BAC ，若∠B ＝30°，则∠C 的度数为__90°__．图12【解析】 ∵DE 是AB 边的垂直平分线，∴EA ＝EB ，∴∠B ＝∠BAE .又∵∠B ＝30°，∴∠BAE ＝30°.又∵AE 平分∠BAC ，∴∠EAC ＝∠BAE ＝30°，即∠BAC ＝60°，∴∠C ＝180°－∠BAC －∠B ＝90°.三、解答题(共40分)13．(8分)如图13，一架梯子AB 长25 m ，斜靠在一墙面上：(1)若梯子底端离墙7 m ，这个梯子的顶端距地面有多高？(2)在(1)的条件下，如果梯子的顶端下滑了4 m ，那么梯子的底端在水平方向上滑动了几米？解：(1)在Rt △AOB 中，AB ＝25 m ，OB ＝7 m ，∴OA ＝AB 2－OB 2＝252－72＝24(m)． 答：梯子的顶端距地面24 m ；(2)根据题意，得AA ′＝4 m ，在Rt △A ′OB ′中，A ′O ＝24－4＝20(m)，OB ′＝A ′B ′2－OA ′2＝252－202＝15(m)，图13BB′＝15－7＝8(m)．答：梯子的底端在水平方向上滑动了8 m.14．(10分)如图14，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)从图中任找两组全等三角形；(2)从(1)中任选一组进行证明．图14解：(1)△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB，△ABC≌△CDA(任选两组即可)；(2)选△ABE≌△CDF.证明：∵AF＝CE，∴AE＝CF，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.又∵∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF(AAS)．15．(10分)如图15，在△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上的一点，E是AC 的中点．连结BE并延长交∠DAC的平分线AM于点F.(1)利用直尺和圆规把图补充完整，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法)；(2)试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．图15第15题答图解：(1)如答图所示；(2)AF ∥BC 且AF ＝BC .理由：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∴∠DAC ＝∠ABC ＋∠C ＝2∠C .由作图可知，∠DAC ＝2∠F AC ，∴∠C ＝∠F AC ，∴AF ∥BC .∵E 是AC 的中点，∴AE ＝CE .在△AEF 和△CEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F AE ＝∠C ，AE ＝CE ，∠AEF ＝∠CEB ，∴△AEF ≌△CEB (ASA )，∴AF ＝CB .16．(12分)[2016·宁波一模]如图16，已知在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC＝4，点D 从点A 出发，沿射线AB 方向以每秒1个单位长度的速度移动，同时点E 从点C 出发，沿射线CA 方向以每秒1个单位长度的速度移动．设点D 移动的时间为t (s)．图16(1)如图①，当0＜t ＜4时，连结DE ，记△ADE 的面积为S △ADE ，则当t 取何值时，S △ADE ＝2；(2)如图②，O 为BC 中点，连结OD ，OE .①当0＜t ＜4时，小明探索发现S △ADE ＋S △ODE ＝12S △ABC ，你认为他的发现正确吗？请做出判断并说明理由；②当t ＞4时，请直接写出S △ADE ，S △ODE ，S △ABC 之间的关系．解：(1)当0＜t ＜4时，∵AD ＝t ，AE ＝AC －CE ＝4－t ，∵∠A ＝90°，∴S △ADE ＝12AD ·AE ＝12t (4－t )＝2，解得t ＝2，∴当t ＝2时，S △ADE ＝2；(2)①正确，如答图①，连结AO .∵AD ＝CE ＝t ，∴BD ＝AE ＝4－t ，∵△ABC 是等腰直角三角形，O 为BC 中点， ∴AO ＝BO ，∠B ＝∠EAO ＝45°，在△AOE 与△BOD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝BD ，∠EAO ＝∠B ，OA ＝OB ，∴△AOE ≌△BOD (SAS )，∴S △AOE ＝S △BOD ，∴S △ADE ＋S △ODE ＝S △AOE ＋S △AOD ＝S △BOD ＋S △AOD ＝S △ABO ＝12S △ABC ；②S △ODE －S △ADE ＝12S △ABC .第16题答图① 第16题答图②如答图②，连结AO .∵S 四边形AEDO ＝S △AOE ＋S △ODE ＝S △ADE ＋S △BOD ＋S △ABO ， 由题意可知AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，O 为BC 中点． ∴AO ＝BO ，∠ABC ＝∠C ＝∠BAO ＝∠CAO ＝45°. ∴∠EAO ＝∠EAD ＋∠BAO ＝135°，∠DBO ＝180°－∠ABO ＝135°，∴∠EAO＝∠DBO，又∵CE＝AD，∴AE＝BD，∴△AOE≌△BOD(SAS)，∴S△AOE＝S△BOD，∴S△ODE＝S△ADE＋S△ABO，即S△ODE－S△ADE＝12S△ABC.。