实验五利用FFT实现快速卷积
FFT快速卷积课程设计报告
洛阳理工学院课程设计报告课程名称_________数字信号处理_____________ 设计题目_ 用FFT实现快速卷积__ _____ 专业_________通信工程_________________ 班级__________x x x x x __________________ 学号__________xx x xx x ________________ 姓名x x xx完成日期______ 2014年6月27日_________课程设计任务书设计题目：_______用FFT实现快速卷积______________设计内容与要求：FFT的出现，使DFT在数字通信、语音信号处理、图像处理、功率谱估计、系统分析与仿真、雷达信号处理、光学、地震及数值分析等各个领域都得到广泛应用。
然而，各种应用一般都以卷积和相关运算为依据。
在实际应用中，为了分析时域离散LTI系统或者序列滤波时，需要计算两个序列的线性卷积。
为了提高运算速度，可以利用FFT来实现。
要求：参考课本上第90页的内容（3.4.1 用DFT计算线性卷积），设计并编写程序来实现重叠相加法计算线性卷积。
课程设计评语成绩：指导教师：_______________年月日目录第1章设计原理 (1)1.1设计思想 (1)1.2计算循环卷积的过程 (1)1.3重叠相加法的图示 (2)第2章设计过程 (3)2.1循环卷积子函数流程图 (3)2.2主函数流程图 (4)2.3循环卷积子函数源程序： (4)2.4主函数源程序： (6)第3章结果与验证 (9)第4章界面设计 (11)第5章分析与总结 (12)参考文献 (13)第1章 设计原理1.1设计思想运用分段处理方法中的重叠相加法计算两个序列的卷积运算。
设一个给定序列是长度为n1的A,另一个导入序列是长度为n2的B,其中B 序列是相对A 序列比较长的，所以可以把B 分为和A 一样长的若干段段，即B 分后每一小段长度为n1。
傅里叶变换进行卷积
傅里叶变换进行卷积
傅里叶变换可以用于进行卷积运算。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，因此可以通过对两个信号的傅里叶变换进行点对点乘积来模拟它们在时域中的卷积。
具体来说，假设有两个信号f(t)和g(t)，它们的傅里叶变换分别为F(w)和G(w)。
那么，f(t)和g(t)的卷积在频域中的表示为F(w)和G(w)的乘积，即：
卷积结果在频域= F(w) ×G(w)
需要注意的是，傅里叶变换有线性性质，即对于任意常数c1和c2，有：
c1f(t)+c2g(t)↔c1F(w)+c2G(w)c1f(t)+c2g(t)\Rightarrow
c1F(w)+c2G(w)c1f(t)+c2g(t)↔c1F(w)+c2G(w)
因此，卷积运算在频域中也可以表示为两个信号傅里叶变换的和。
另外，卷积运算还有可分离性质，即如果两个信号在时域中的卷积可以表示为其中一个信号在不同时间位置的复制与另一个信号的卷积，那么它们的傅里叶变换的乘积也可以通过将两个信号的傅里叶变换分别进行逆变换后再相乘得到。
需要注意的是，傅里叶变换只是将信号从时域转换到频域的一种工具，卷积运算的本质仍然是在时域中进行的。
快速卷积算法
快速卷积算法
传统的卷积算法需要进行大量的乘法和加法运算，时间复杂度较高。
而快速卷积算法则采用了分治思想，在时间复杂度上有很大的优化。
其中，最常用的快速卷积算法是基于快速傅里叶变换（FFT）的卷积算法。
该算法可以将卷积运算转化为频域上的乘法运算，从而大大提高了计算速度。
另外，还有基于卷积定理的卷积算法和基于卡尔曼滤波的卷积算法等。
总之，快速卷积算法是一种重要的算法，能够在信号处理、图像处理、数字滤波等多个领域中得到广泛应用。
- 1 -。
利用傅立叶变换计算线性卷积
实验一 利用傅立叶变换计算线性卷积一、实验目的1． 掌握MATLAB 的使用。
2． 掌握用直接法计算线性卷积的原理和方法3． 掌握利用FFT 及IFFT 计算线性卷积的原理和方法二、实验原理及方法1、线性卷积的定义序列)1N n 0(),n (x -≤≤和序列)1M n 0(),n (h -≤≤的线性卷积y(n)=x(n)*h(n)定义为：10),()()(10-+≤≤-⨯=∑-=M N n m n h m x n y N m 利用直接法计算线性卷积即用线性卷积的定义计算。
2、利用FFT 及IFFT 计算线性卷积的原理和方法如果将序列x(n)和h(n) 补零，使其成为长度为L 的序列(L>=N+M-1), 则x(n)与h(n)的线性卷积y(n)=x(n)*h(n)与L 点圆周卷积相等，而圆周卷积可采用FFT 及IFFT 完成，即求y(n)=x(n)*h(n)可转化为：对上式两端取FFT 得： Y(k)=X(k)H(k)其中：X(k)=FFT[x(n)], H(k)=FFT[h(n)]则：y(n)=IFFT[Y(k)]三、实验仪器及材料⒈ 计算机，并装有MATLAB 程序⒉ 打印机四、实验步骤1、已知两序列： ⎩⎨⎧>≤≤=3n ;03n 0;)5/3()n (h n 用Matlab 随机生成输入信号X （n ），范围为0~2；2、得出用直接法（定义）计算线性卷积y(n)=x(n)*h(n)的结果；3、用Matlab 编制利用FFT 和IFFT （圆周卷积）计算线性卷积y(n)=x(n)*h(n)的程序； 分别令圆周卷积的点数为L=5，7，8，10，打印结果。
4、对比直接法和圆周卷积法所得的结果。
五、实验说明:1、实验前复习线性卷积,圆周卷积及FFT 内容。
2、利用FFT 计算线性卷积是将x(n)、h(n)用补零的方法延长到N+M-1，再用圆周卷积完成，因此要求x(n)、h(n)延长后的长度满足L>=N+M-1，才能保证用圆周卷积计算结果与直接法计算结果相同。
FFT算法分析实验实验报告
FFT算法分析实验实验报告一、实验目的快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是数字信号处理中一种非常重要的算法。
本次实验的目的在于深入理解 FFT 算法的基本原理、性能特点，并通过实际编程实现和实验数据分析，掌握 FFT 算法在频谱分析中的应用。
二、实验原理FFT 算法是离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的快速计算方法。
DFT 的定义为：对于长度为 N 的序列 x(n)，其 DFT 为X(k) ＝∑n=0 到 N-1 x(n) e^（j 2π k n ／ N) ，其中 j 为虚数单位。
FFT 算法基于分治法的思想，将 N 点 DFT 分解为多个较小规模的DFT，从而大大减少了计算量。
常见的 FFT 算法有基 2 算法、基 4 算法等。
三、实验环境本次实验使用的编程语言为 Python，主要依赖 numpy 库来实现 FFT 计算和相关的数据处理。
四、实验步骤1、生成测试信号首先，生成一个包含不同频率成分的正弦波叠加信号，例如100Hz、200Hz 和 300Hz 的正弦波。
设定采样频率为 1000Hz，采样时间为 1 秒，以获取足够的采样点进行分析。
2、进行 FFT 计算使用 numpy 库中的 fft 函数对生成的测试信号进行 FFT 变换。
3、频谱分析计算 FFT 结果的幅度谱和相位谱。
通过幅度谱确定信号中各个频率成分的强度。
4、误差分析与理论上的频率成分进行对比，计算误差。
五、实验结果与分析1、幅度谱分析观察到在 100Hz、200Hz 和 300Hz 附近出现明显的峰值，对应于生成信号中的频率成分。
峰值的大小反映了相应频率成分的强度。
2、相位谱分析相位谱显示了各个频率成分的相位信息。
3、误差分析计算得到的频率与理论值相比，存在一定的误差，但在可接受范围内。
误差主要来源于采样过程中的量化误差以及 FFT 算法本身的近似处理。
傅里叶变换求卷积
傅里叶变换求卷积
傅里叶变换是一种重要的数学工具，可以将一个信号从时域转换到频域，从而方便地进行滤波、卷积等操作。
在信号处理领域，傅里叶变换经常被用来求解卷积问题。
卷积是一种常见的信号处理操作，它可以用来模拟各种物理过程，如滤波、卷积等。
在离散卷积的情况下，我们可以将卷积看作是一种线性变换，它将输入信号和一个卷积核进行卷积，得到输出信号。
傅里叶变换可以将卷积转换为乘积，这大大简化了卷积的计算。
具体来说，我们可以将输入信号和卷积核分别进行傅里叶变换，然后将它们的频域表示相乘，再进行逆傅里叶变换即可得到卷积结果。
这个过程通常被称为频域卷积。
需要注意的是，在进行傅里叶变换之前，我们需要对输入信号和卷积核进行零填充，以保证它们的长度相等。
此外，频域卷积的计算复杂度为O(NlogN)，相比于直接卷积的O(N^2)而言，具有更高的效率。
总之，傅里叶变换为信号处理领域提供了一个强大的工具，它可以将复杂的信号处理问题转化为简单的频域操作，提高了计算效率和准确性。
- 1 -。
FFT计算线性卷积
重叠相加法——由分段卷积的各段相加构成总的卷 重叠相加法 积输出。 假定xi(n)表示图中第i段x（n）序列：
则输入序列可表为： 于是输出可分解为：
其中
由此表明，只要将x（n）的每一段分别与h（n）卷 积，然后再将这些卷积结果相加起来就可得到输出 序列，这样，每一段的卷积都可用上面讨论的快速 卷积来计算。先对h（n）及xi（n）补零，补到具有 N点长度，N=N1+N2-1。 一般选择N=2M，然后用基2 FFT算法通过正反变换计算 yi（n）=xi（n）*h（n） 由于yi（n）的长度为N，而xi（n）的长度为N2，因 此相邻两yi（n）序列必然有N-N2=N1-1点发生重叠 ，这个重叠部分应该相加起来才能构成最后的输出 序列。
实乘次数：8N1[1+log(2N1)] 实加次数：16N1log(2N1) 我们知道乘法运算对计算时间和计算资源的开销远 大于加法，分析这两个式子： 当N1<64时，快速卷积算法的处理速度甚至不及直接 线性卷积运算。 当N=64时，两种算法的处理速度基本相当。 随着N1的增加，快速卷积算法处理速度逐渐提高； 当N1=1024时，快速卷积算法的处理速度比直接线性 卷积提高约10倍。
快速卷积的应用：
频域滤波，这在连续时间信号的滤波实现中是很难 想像的。 解卷积、雷达和声纳信号处理中相关或匹配滤波器 的数字实现以及信号的功率谱估计等方面有其应用 。
THANKS
如果有两个长度均为N1的序列x[n]和 h[n],n=0,1,…,N1-1,完成这两个实序列的离 散卷积运算，约需要N2 次的实数乘法运算 和 N2 次的实数加法运算，当N1很大时，其 运算量是巨大的，这给他的实现带来了很大 的困难。
利用FFT实现两个有限长序列的快速卷积方框图
实验五卷积的原理及应用
实验五：卷积的原理及应用1. 介绍卷积是一种数学运算，常用于信号处理、图像处理和机器学习等领域。
本实验将介绍卷积的基本原理，并探讨其在实际应用中的一些常见场景。
2. 卷积的原理卷积是将两个函数（或信号）合成为第三个函数的一种数学运算。
在离散领域中，卷积定义如下：$$(f * g)(n) = \\sum_{m=-\\infty}^{\\infty} f(m)g(n-m)$$其中，f和g是两个离散函数，(f∗g)(n)表示f和g的卷积结果在n位置上的值。
卷积的基本原理是将一个函数与另一个函数的镜像进行逐点相乘并求和。
这种运算可以有效地提取信号的特征，例如在图像处理中可以用于边缘检测、模糊和锐化等操作。
3. 卷积的应用卷积在信号处理和图像处理领域有着广泛的应用，下面列举了几个常见的应用场景。
3.1 声音处理在声音处理中，卷积可用于音频的降噪、回声消除以及音效增强等任务。
通过将原始音频信号与滤波器进行卷积，可以去除噪音并改善音质。
3.2 图像处理在图像处理中，卷积常用于图像滤波、边缘检测和图像增强等任务。
通过定义不同的卷积核（滤波器），可以实现不同的处理效果，例如模糊、锐化、浮雕等。
3.3 机器学习在机器学习中，卷积神经网络（Convolutional Neural Network, CNN）是一种常用的深度学习模型。
它通过多层卷积、池化和全连接层的组合，可以有效地识别图像、语音和文本等数据。
3.4 信号分析在信号分析领域，卷积可用于信号的滤波、时频分析和频谱估计等任务。
通过将信号与不同的滤波器进行卷积，可以提取信号的特征并进行分析。
4. 总结卷积是一种常用的数学运算，广泛应用于信号处理、图像处理和机器学习等领域。
掌握卷积的原理和应用场景，对于理解这些领域的相关算法和技术具有重要意义。
以上是本文对卷积的原理及应用进行的简要介绍，希望对读者有所帮助。
如需深入了解卷积和相关技术，请参考相关的学术文献和教材。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
请同学们做好实验后，以格式为“实验四+学号+姓名”的形式命名文档（例如：实验四120602008001蔡和颜.doc）。
实验报告提交方式：实验报告以电子文档的形式提交给学习委员，由学习委员统一交给老师。
【参考资料一】
1．快速傅立叶变换(FFT)算法
长度为N 的序列)(n x 的离散傅立叶变换)(k X 为：
∑-=-==1
01,....,0,)()(N n nk
N N k W n x k X
N 点的DFT 可以分解为两个N/2点的DFT ，每个N/2点的DFT 又可以分解为两个N/4点的DFT 。
依此类推，当N 为2的整数次幂时(M
N 2=)，由于每分解一次降低一阶幂次，所以通过M 次的分解，最后全部成为一系列2点DFT 运算。
以上就是按时间抽取的快速傅立叶变换(FFT)算法。
当需要进行变换的序列的长度不是2的整数次方的时候，为了使用以2为基的FFT ，可以用末尾补零的方法，使其长度延长至2的整数次方。
序列)(k X 的离散傅立叶反变换为
x n N
X k W
n N N
nk k N ()(),
,....,=
=--=-∑1
010
1
离散傅立叶反变换与正变换的区别在于N W 变为1
-N W ，并多了一个N 1的运算。
因为N W 和
1-N W 对于推导按时间抽取的快速傅立叶变换算法并无实质性区别，因此可将FFT 和快速傅
立叶反变换（IFFT ）算法合并在同一个程序中。
2．利用FFT 进行频谱分析
若信号本身是有限长的序列，计算序列的频谱就是直接对序列进行FFT 运算求得)(k X ，
)(k X 就代表了序列在[]π2,0之间的频谱值。
幅度谱 )()()(22k X k X k X I R +=
相位谱 )
()
(arctan
)(k X k X k R I =ϕ
若信号是模拟信号，用FFT 进行谱分析时，首先必须对信号进行采样，使之变成离散信号，然后就可按照前面的方法用FFT 来对连续信号进行谱分析。
按采样定理，采样频率s f 应大于2倍信号的最高频率，为了满足采样定理，一般在采样之前要设置一个抗混叠低通滤波器。
用FFT 对模拟信号进行谱分析的方框图如下所示。
（注意：采样信号的频谱要乘以Ts,其主值区间才代表原来模拟信号的频谱）
【参考资料二】
1、 fft
功能：一维快速傅里叶变换（FFT ） 调用格式：
y=fft(x,n)：采用n 点FFT 。
当x 的长度小于n 时，fft 函数在x 的尾部补零，以构成n 点数据；当x 的长度大于n 时，fft 函数会截断序列x 。
当x 为矩阵时，fft 函数按类似方式处理列长度。
2、fftshift
功能：对fft 的输出进行重新排列，将零频分量移到频谱中心 调用格式：
y=fftshift(x)：对fft 的输出进行重新排列，将零频分量移到频谱中心 当x 为向量时，fftshift(x)直接将x 中的左右两半交换而产生y 。
当x 为矩阵时，fftshift(x)同时将x 的左右、上下进行交换而产生y。