[精品]2019届高考数学大一轮复习第九章算法初步统计统计案例第三节用样本估计总体教师用书理29
精选推荐2019届高考数学一轮复习 第九章 算法初步、统计与统计案例 第3节 用样本估计总体练习 新人教A版
第九章 第3节 用样本估计总体[基础训练组]1．(导学号14577866)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( ) A.16 B.13 C.12D.23解析：B [由条件可知，落在[31.5,43.5)的数据有12＋7＋3＝22(个)，故所求概率约为2266＝13.故选B.] 2．(导学号14577867)(2018·大连模拟)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，一般情况下PM2.5浓度越大，大气环境质量越差．如图所示的茎叶图表示的是某市甲、乙两个监测站连续10日内每天的PM2.5浓度读数(单位：μg/m 3)，则下列说法正确的是( )A ．甲、乙监测站读数的极差相等B ．乙监测站读数的中位数较大C ．乙监测站读数的众数与中位数相等D ．甲、乙监测站读数的平均数相等解析：C [因为甲、乙监测站读数的极差分别为55,57，所以A 错误；甲、乙监测站读数的中位数分别为74,68，所以B 错误；乙监测站读数的众数与中位数都是68，所以C 正确，因此选C.]3．(导学号14577868)(2018·丹东市、鞍山市、营口市一模)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( )A ．1＋a,4B ．1＋a,4＋aC ．1,4D ．1,4＋a解析：A [方法1：∵y i ＝x i ＋a ，∴E (y i )＝E (x i )＋E (a )＝1＋a ，方差D (y i )＝D (x i )＋E (a )＝4.方法2：由题意知y i ＝x i ＋a ，则y －＝110(x 1＋x 2＋…＋x 10＋10×a )＝110(x 1＋x 2＋…＋x 10)＝x －＋a ＝1＋a ，方差s 2＝110[(x 1＋a －(x －＋a )2＋(x 2＋a －(x －＋a )2＋…＋(x 10＋a －(x －＋a )2]＝110[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x 10－x －)2]＝s 2＝4.故选A.] 4．(导学号14577869)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，测试成绩(单位：分)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m o ，平均值为x －，则( )A ．m e ＝m c ＝x －B ．m e ＝m o ＜x －C ．m e ＜m o ＜x －D ．m o ＜m e ＜x －解析：D [由图可知，30名学生的得分情况依次为得3分的有2人，得4分的有3人，得5分的有10人，得6分的有6人，得7分的有3人，得8分的有2人，得9分的有2人，得10分的有2人．中位数为第15、16个数(分别为5、6)的平均数，即m e ＝5.5,5出现的次数最多，故m o ＝5，x －＝2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×1030≈5.97.于是得m o ＜m e ＜x －.故选D.]5．(导学号14577870)(2018·柳州市、钦州市一模)甲、乙、丙三名同学6次数学测试成绩及班级平均分(单位：分)如表：A ．甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定B ．乙同学的数学成绩平均值是81.5C ．丙同学的数学学习成绩低于班级平均水平D ．在6次测验中，每一次成绩都是甲第一、乙第二、丙第三解析：D [由统计表知：甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定，选项A 正确；乙同学的数学成绩平均值是16(88＋80＋85＋78＋86＋72)＝81.5，选项B 正确；丙同学的数学学习成绩低于班级平均水平，选项C 正确；在第6次测验成绩是甲第一、丙第二、乙第三，选项D 错误．故选D.]6．(导学号14577871)(2018·济宁市一模)如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为 ________ .解析：前3个小组的频率和为1－(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.75， 所以第2小组的频率为13×0.75＝0.25所以抽取的学生人数为100.25＝40.答案：407．(导学号14577872)(2018·兰州市调研)某市教育行政部门为了对某届高中毕业生学业水平进行评价，从该市高中毕业生中随机抽取1 000名学生的学业水平考试数学成绩作为样本进行统计．已知该样本中的每个值都是[40,100]中的整数，且在[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]上的频率分布直方图如图所示．记这1000名学生学业水平考试数学平均成绩的最小值(平均数的最小值是用区间的左端点值乘以各组的频率)为a ，则a 的值为 ________ .解析：平均数的最小值是用区间的左端点值乘以各组的频率，于是a ＝0.005×10×40＋0.010×10×50＋0.025×10×60＋0.035×10×70＋0.015×10×80＋0.010×10×90＝67.5.答案：67.58．(2018·成都市一诊)甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲，乙的平均成绩分别为x －甲，x －乙，则x －甲>x －乙的概率是____________________．解析：由已知中的茎叶图可得乙的5次综合测评中的成绩分别为87,86,92,94,91，则乙的平均成绩x －乙＝15(87＋86＋92＋94＋91)＝90.设污损数字为x ，则甲的5次综合测评中的成绩分别为85,87,84,99,90＋x ， 甲的平均成绩x －甲＝15(85＋87＋84＋99＋90＋x )＝89＋x 5，因为x －甲>x －乙，所以90<89＋x 5，x ∈N ，解得x 的可能取值为6,7,8,9，所以x －甲>x －乙的概率是p ＝410＝25.答案：259．(导学号14577873)(2018·赣州市二模)某经销商从外地一水殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类统计结果如下图：(1)记事件A 为：“从这批小龙虾中任取一只，重量不超过35 g 的小龙虾”，求P (A )的估计值；(2)试估计这批小龙虾的平均重量；(3)为适应市场需求，制定促销策略．该经销商又将这批小龙虾分成三个等级，并制定出销售单价，如下表：解：(1)由于40只小龙虾中重量不超过35 g 的小龙虾有6＋10＋12＝28(只)，所以P (A )＝2840＝710. (2)从统计图中可以估计这批小龙虾的平均重量为140(6×10＋10×20＋12×30＋8×40＋4×50＝114040)＝28.5(克)．(3)设该经销商收购这批小龙虾每千克至多x 元．根据样本，由(2)知，这40只小龙虾中一等品、二等品、三等品各有16只、12只、12只，约有1 140 g 即1.14千克，所以1 140x ≤16×1.2＋12×1.5＋12×1.8， 而16×1.2＋12×1.5＋12×1.81.140≈51.6，故可以估计该经销商收购这批小龙虾每千克至多51元．10．(导学号14577874)(文科)甲、乙两人参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，画出茎叶图如图所示，乙的成绩中有一个数个位数字模糊，在茎叶图中用c 表示．(把频率当作概率)(1)假设c ＝5，现要从甲，乙两人中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度，你认为派哪位学生参加比较合适？(2)假设数字c 的取值是随机的，求乙的平均分高于甲的平均分的概率． 解：(1)若c ＝5，则派甲参加比较合适，理由如下： x －甲＝18(70×2＋80×4＋90×2＋9＋8＋8＋4＋2＋1＋5＋3)＝85， x －乙＝18(70×1＋80×4＋90×3＋5＋3＋5＋2＋5)＝85，s 2甲＝18[(78－85)2－(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，s 2乙＝18[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41.因为x －甲＝x －乙，s 2甲<s 2乙，所以两人的平均成绩相等，但甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．(2)若x －乙>x －甲，则18(75＋80×4＋90×3＋3＋5＋2＋c )>85， 所以c >5 所以c ＝6,7,8,9.c 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，所以乙的平均分高于甲的平均分的概率为25.10．(导学号14577875)(理科)未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D 打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A 高校3D 打印实验团队租用一台3D 打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如图所示(单位：μm)．(1)计算平均值μ与标准差σ；(2)假设这台3D 打印设备打印出品的零件内径Z 服从正态分布N (μ，σ2)，该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位：μm)：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：P (μ－2σ＜Z ＜μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜Z ＜μ＋3σ)＝0.997 4,0.954 43＝0.87,0.997 44＝0.99，0．045 62＝0.002. 解：(1)平均值μ＝100＋－3－3－2＋2＋5＋7＋8＋9＋13＋1410＝105.标准差σ＝110－2×2＋－2＋－2＋0＋22＋32＋42＋82＋92＝6.(2)假设这台3D 打印设备打印出品的零件内径Z 服从正态分布N (105,62)，∴P (μ－2σ＜Z ＜μ＋2σ)＝P (93＜Z ＜117)＝0.954 4，可知：落在区间(93,117)的数据有3个：95、103、109，因此满足2σ的概率为：0．954 43×0.045 62≈0.001 7.P (μ－3σ＜Z ＜μ＋3σ)＝P (87＜Z ＜123)＝0.997 4，可知：落在区间(87,123)的数据有4个：95、103、109、118，因此满足3σ的概率为：0．997 44×0.002 6≈0.002 6.由以上可知：此打印设备不需要进一步调试．[能力提升练]11．(导学号14577876)(2018·益阳市模拟)为了了解某校九年级1 600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是( )A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25B．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约为320D．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为32解析：D [由频率分布直方图可知，中位数是频率分布直方图面积等分线对应的数值，是26.25；众数是最高矩形的中间值27.5；1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.2，所以估计1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数为320；1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1，所以估计1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为160.故D错．] 12．(导学号14577877)(2018·广东惠州第二调研)惠州市某机构对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( )A．31.6岁B．32.6岁C．33.6岁D．36.6岁解析：C [由面积和为1，知[25,30)的频率为0.2，为保证中位数的左右两边面积都是0.5，必须把[30,35)的面积0.35划分为0.25＋0.1，此时划分边界为30＋5×0.250.35＝33.57，故选C.]13．(导学号14577878)(2018·南昌市模拟)在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据x i (1≤i ≤4)，在如图所示的程序框图中，x －是这4个数据的平均数，则输出的v 的值为 ________ .解析：根据题意得到的数据为78,80,82,84，则x －＝81.该程序框图的功能是求以上数据的方差，故输出的v 的值为14[(78－81)2＋(80－81)2＋(82－81)2＋(84－81)2]＝5.答案：514．(导学号14577879)(理科)(2018·马鞍山市一模)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它是形成雾霾天气的主要原因之一．PM2.5日均值越小，空气质量越好.2012年2月29日，国家环保部发布的《环境空气质量标准》见表：针对日趋严重的雾霾情况各地环保部门做了积极的治理．马鞍山市环保局从市区2017年11月～12月和2018年11月～12月的PM2.5检测数据中各随机抽取15天的数据来分析治理效果．样本数据如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)(1)11月～12月的空气质量是否比2018年同期有所提高？(2)在2019年的样本数据中随机抽取3天，以X 表示抽到空气质量为一级的天数，求X 的分布列与期望．解：(1)2018年数据的中位数是58，平均数是28＋31＋31＋41＋41＋44＋45＋58＋60＋61＋75＋77＋84＋92＋9915≈57.32017年数据的中位数是51，平均数是17＋18＋23＋30＋39＋39＋49＋51＋52＋55＋58＋62＋63＋69＋7015≈46.3.2019年11月～12月比2018年11月～12月的空气质量有提高．(2)2019年的15个数据中有4天空气质量为一级，故X 的所有可能取值是0,1,2,3， 利用P (X ＝k )＝C 3－k 4C k11C 315可得：P (X ＝0)＝3391，P (X ＝1)＝4491，P (X ＝2)＝66455，P (X ＝3)＝4455.E (X )＝0＋1×4491＋2×455＋3×455＝5. 14．(导学号14577880)(文科)(2018·渭南市二模)我国是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x (吨)，用水量不超过x 的部分按平价收费，超过x 的部分按议价收费，为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a 的值；(2)已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； (3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x (吨)，估计x 的值，并说明理由．解：(1)由频率分布直方图，可得(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.30.(2)由频率分布直方图可知，100位居民每人月用水量不低于3吨的人数为(0.12＋0.08＋0.04)×0.5×100＝12，由以上样本频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为800 000×12100＝96 000.(3)∵前6组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88＞0.85，而前5组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)×0.5＝0.73＜0.85，∴2.5≤x＜3.由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9，因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．。
高考数学大一轮复习第九章算法初步、统计与统计案例9.3用样本估计总体课件文
【解析】
60×(0.015＋0.025)×10＝24.
【答案】
(3)(2015· 新课标全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的 满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户 对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布 直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．
B地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 [50,60) 频数 2 [60,70) 8 [70,80) 14 [80,90) [90,100] 10 6
突破考点 02
茎叶图
（题点多变型——一题多变）
茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数． 在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好． 提醒：茎叶图的绘制需注意： (1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字 位数一般不需要统一； (2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是 “叶”的位置上的数据．
1－0.25＋0.2＋0.15＋0.08＋0.02 【解析】 ①a＝ ＝3. 0.1 ②∵10 000×[1－(0.15＋0.25)]＝6 000， ∴消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为6 000.
【答案】 ①3 ②6 000
(2)(2014· 江苏卷)为了了解一片经济林的生长情况，随机 抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在 区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60 株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.
【调研2】
(1)(2013· 重庆卷)以下茎叶图记录了甲、乙两
组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8， 则x，y的值分别为( A．2,5 C．5,8 ) B．5,5 D．8,8
2019届高考数学复习算法初步统计统计案例第三节用样本估计总体课时作业
第三节 用样本估计总体课时作业A 组——基础对点练1．为了解学生“阳光体育”活动的情况，随机统计了n 名学生的“阳光体育”活动时间(单位：分钟)，所得数据都在区间[10,110]内，其频率分布直方图如图所示．已知活动时间在[10,35)内的频数为80，则n 的值为( )A ．700B ．800C ．850D ．900解析：根据频率分布直方图，知组距为25，所以活动时间在[10,35)内的频率为0.1.因为活动时间在[10,35)内的频数为80，所以n ＝800.1＝800. 答案：B2．为了了解某校九年级1 600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是( )A ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数估计值为26.25次B ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数估计值为27.5次C ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人D ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有32人解析：由题图可知中位数是26.25次，众数是27.5次，1分钟仰卧起坐的次数超过30次的频率为0.2，所以估计该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人；1分钟仰卧起坐的次数少于20次的频率为0.1，所以该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有160人．故D 是错误的，选D.答案：D3.(2018·西安检测)已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为( )A ．32B ．33C ．34D ．35解析：由茎叶图知，乙组数据的中位数为32＋342＝33，所以m ＝3，所以甲组数据的平均数为27＋33＋363＝32，故选A. 答案：A4．(2018·湖南五市十校联考)某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n －m 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：由甲组学生成绩的平均数是88，可得70＋80×3＋90×3＋＋4＋6＋8＋2＋m ＋7＝88，解得m ＝3.由乙组学生成绩的中位数是89，可得n ＝9，所以n －m ＝6，故选B. 答案：B5．为了解某校高三学生数学调研测试的情况，学校决定从甲、乙两个班中各抽取10名学生的数学成绩(满分150分)进行深入分析，得到如图所示的茎叶图，茎叶图中某学生的成绩因特殊原因被污染了，如果甲、乙两个班被抽取的学生的平均成绩相同，则被污染处的数值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：由茎叶图可知，乙班的10名学生的成绩同时减去100，分别为－12，－4，－3，－2,1,2,3,5,11,29，所以x 乙＝100＋－12－4－3－2＋1＋2＋3＋5＋11＋2910＝103，对于甲班，设被污染处的数值为x ，甲班的10名学生的成绩同时减去100，分别为－15，－13，－6，－3，－2,5,8,16,10＋x,22，所以x 甲＝100＋－15－13－6－3－2＋5＋8＋16＋10＋x ＋2210＝103，所以x ＝8，即被污染处的数值为8.答案：C6．(2018·广州检测)在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为________．解析：依题意，设中间小长方形的面积为x ，则其余小长方形的面积和为4x ，所以5x ＝1，x ＝0.2，中间一组的频数为160×0.2＝32.答案：327．两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7由此估计________的射击成绩更稳定．解析：因为x 甲＝7，x 乙＝7，s 2甲＝4，s 2乙＝1.2，所以s 2乙<s 2甲，所以乙的射击成绩更稳定． 答案：乙8．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？解析：(1)设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y .由观测结果可得 x ＝120×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y ＝120×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x ＞y ，因此可看出A 药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上，由此可看出A 药的疗效更好． B 组——能力提升练1．为了全面推进素质教育，教育部门对某省500所中小学进行调研考评，考评分数在80以上(包括80分)的授予“素质教育先进学校”称号，考评统计结果按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]绘制成如图所示的频率分布直方图，则应授予“素质教育先进学校”称号的学校的个数为( )A ．175B ．145C ．180D ．240解析：由频率和为1可知x ＝0.1－(0.040＋0.020＋0.010＋0.005)＝0.025，故应授予“素质教育先进学校”称号的学校的个数为(0.025＋0.010)×10×500＝175.答案：A2．(2018·云南五市联考)如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述正确的是( )①2017年第一季度GDP 总量和增速均居同一位的省只有1个；②与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长；③去年同期的GDP 总量前三位是D 省、B 省、A 省；④2016年同期A 省的GDP 总量也是第三位．A ．①②B ．②③④C ．②④D ．①③④解析：①2017年第一季度GDP 总量和增速均居同一位的省有2个，B 省和C 省的GDP 总量和增速分别居第一位和第四位，故①错误；由图知②正确；由图计算2016年同期五省的GDP 总量，可知前三位为D 省、B 省、A 省，故③正确；由③知2016年同期A 省的GDP 总量是第三位，故④正确．故选B.答案：B3．(2018·成都市模拟)AQI 是表示空气质量的指数，AQI 越小，表明空气质量越好，当AQI 不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI 的统计数据，图中点A 表示4月1日的AQI 为201.则下列叙述不正确的是( )A ．这12天中有6天空气质量为“优良”B ．这12天中空气质量最好的是4月9日C ．这12天的AQI 的中位数是90D ．从4日到9日，空气质量越来越好解析：这12天中，空气质量为“优良”的有95,85,77,67,72,92，共6天，故A 正确；这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI 为67，故B 正确；这12天的AQI 的中位数是95＋1042＝99.5，故C 不正确；从4日到9日，AQI 越来越小，空气质量越来越好，D 正确．答案：C4．(2018·成都模拟)在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未被污损，即9,10,11,1 ，那么这2可能的最大值是________．解析：由题意可设两个被污损的数据分别为10＋a ，b ，(a ，b ∈Z,0≤a ≤9)，则10＋a ＋b＋9＋10＋11＝50，即a ＋b ＝10，a ＝10－b ，所以s 2＝15[(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(10＋ a －10)2＋(b －10)2]＝15[2＋a 2＋(b －10)2]＝25(1＋a 2)≤25×(1＋92)＝32.8. 答案：32.85．(2018·西安质检)已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)，则数据x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为________．解析：由方差公式s 2＝14[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋(x 3－x )2＋(x 4－x )2]，得s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24)－x 2，又已知s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24)－4，所以x 2＝4，所以x ＝2，故14[(x 1＋2)＋(x 2＋2)＋(x 3＋2)＋(x 4＋2)]＝x ＋2＝4. 答案：46．(2018·皖南八校第三次联考)第47届联合国大会于1993年1月18日通过193号决议，确定自1993年起，每年的3月22日为“世界水日”，以此推动对水资源进行综合性统筹规划和管理，加强水资源保护，解决日益严重的水问题．某研究机构为了了解各年龄层的居民对“世界水日”的了解程度，随机抽取了300名年龄在[10,60]内的公民进行调查，所得结果统计为如下的频率分布直方图．(1)求抽取的年龄在[30,40)内的居民人数；(2)若按照分层抽样的方法从年龄在[10,20)、[50,60]内的居民中抽取6人进行知识普及，并在知识普及后再抽取2人进行测试，求进行测试的居民中至少有1人的年龄在[50,60]内的概率．解析：(1)依题意，知年龄在[30,40)内的频率P ＝1－(0.02＋0.025＋0.015＋0.01)×10＝0.3，故所求居民人数为300×0.3＝90.(2)依题意，从年龄在[10,20)、[50,60]内的居民中分别抽取4人和2人，记年龄在[10,20)内的4人为A ，B ，C ，D ，年龄在[50,60]内的2人为1,2，故抽取2人进行测试的所有情况为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A,1)，(A,2)，(B ，C )，(B ，D )，(B,1)，(B,2)，(C ，D )，(C,1)，(C,2)，(D,1)，(D,2)，(1,2)，共15种，其中满足条件的情况为(A,1)，(A,2)，(B,1)，(B,2)，(C,1)，(C,2)，(D,1)，(D,2)，(1,2)，共9种，故所求概率P ＝35.。
高考数学一轮复习第九章算法初步统计统计案例第3讲用样本估计总体课件
3．(2019·湖北夷陵中学)某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时 至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售 额为3万元，则11时至12时的销售额为( C )
[解析] 根据题图可知组矩为10，则车速在 [40,50)、[50,60)的频率分别是0.25、0.35，因此车 速 低 于 限 速 的 汽 车 共 有 (0.25 ＋ 0.35)×300 ＝ 180(辆)．
考点突破互动探究
考点1 频率分布直方图——师生共研
例 1 (2019·唐山模拟)供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人 均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0,10)，[10,20)，(20,30)，[30,40)， [40,50]五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是( C )
〔变式训练 1 〕
(2018·陕西榆林模拟)某学校为了调查学生在学校教辅书方面的支出情况， 抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出的钱数在 [30,40)的同学比支出的钱数在[10,20)的同学多26人，则n的值为____1_0_0______.
[解析] 由频率分布直方图可得支出的钱数 在[30,40)的同学有0.038×10n＝0.38n个，支出的 钱数在[10,20)的同学有0.012×10n＝0.12n个，又 支 出 的 钱 数 在 [30,40) 的 同 学 比 支 出 的 钱 数 在 [10,20) 的 同 学 多 26 人 ， 所 以 0.38n － 0.12n ＝ 0.26n ＝26，∴n＝100.
2019版高考数学一轮复习第9章统计与统计案例92用样本估计总体课后作业理.doc
9. 2用样本估计总体E课后作业孕谀［基础送分提速狂刷练］一、选择题1.（2015 •安徽高考）若样本数据&,•••, xio的标准差为8,则数据2心一1, 2疋一1,…, 2血一1的标准差为（）A.8B. 15C. 16D. 32答案C解析设样本数据匿，Xu…，Xio的标准差为S,则s=8,可知数据2X1 —1,2出一1,…, 2血）一1的标准差为2s=16.故选C.2.（2018 •保定联考）在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方2形的面积等于其他8个长方形的面积和的丁，且样本容量为140,则中间一组的频数为（）A.28B. 40C. 56D. 60答案B解析设中间一个小长方形面积为；v,其他8个长方形面积为㊁池因此A^= 1,解得9 9x=〒所以中间一组的频数为140X-=40.故选B.3.（2017 •哈尔滨四校统考）一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0 的等差数列｛廟，若他=8,且乩必，彷成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（）A. 13, 12B. 13, 13C. 12, 13D. 13, 14答案B解析设等差数列｛/｝的公差为〃（狞0）, $3 = 8,日1岔=£=64,（8 —2小（8 + 4/=64, （4 —6 （2 +小=& 2〃一 / = 0 ,又〃工0 ,故d = 2 ,故样本数据为：4, 6, & 10, 12, 14, 16, 18, 20,22,平均数为計=1 + ^ X：）= 13,屮位数为更尹=13.故选B.4.（2017・西宁一模）某校高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在［90,100］内的人数分别为A. 20,2B. 24,4C. 25,2D. 25,4答案C解析 由频率分布直方图可知，组距为10, ［50,60）的频率为0. 008X10 = 0. 08,9由茎叶图可知［50, 60）的人数为2,设参加本次考试的总人数为M 则八=庞=25,根 据频率分布直方图可知［90, 100］内的人数与［50,60）的人数一样，都是2,故选C.5. （2017 •南关区模拟）2014年5月12 口，国家统计局公布了《2013年农民工监测调查 报告》，报告显示：我国农民工收入持续快速增长.某地区农民工人均月收入增长率如图1, 并将人均月收入绘制成如图2的不完整的条形统计图.根据以上统计图來判断以下说法错误的是（）A. 2013年农民工人均月收入的增长率是10%B. 2011年农民工人均月收入是2205元C. 小明看了统计图后说：“农民工2012年的人均月收入比2011年的少了”叶5 6 86 23456897 1 223456789 890.04 0.028 0.016 0.008f 频率/组距50 60 70 80 90 100 分数D.2009年到2013年这五年中2013年农民工人均月收入最高答案C解析由折线统计图可得出：2013年农民工人均月收入的增长率是10%,故A正确；由条形统计图可得出：2011年农民工人均月收入是2205元，故B正确；因为2012年农民工人均月收入是：2205X(1+20%) =2646元＞2205元,所以农民工2012年的人均月收入比2011 年的少了，是错误的，故C错误；由条形统计图可得岀，2009年到2013年这五年屮2013年农民工人均月收入最高.故D 正确.故选C.07 317 6 4 4 3 027 5 5 4 3 2 038 5 4 3 06.某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示.以组距为5将数据分组成［0, 5), ［5,10),…，［30, 35), ［35,40］时,所作的频率分布直方图是() 答案A解析解法一：由茎叶图知，各组频数统汁如表:分组区间[0,5)[5,10)口0,15)口5.20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]频数11424332频率/组距0. 010. 010. 040. 020. 040. 030. 030. 02此表对应的频率分布直方图为选项A.故选A.解法二：选项C、D组距为10与题意不符，舍去，又由茎叶图知落在区间［0,5)与［5, 10)±的频数相等，故频率、频率/组距也分别相等, 比较A、B两个选项知A正确.故选A.7.如图所示，样本/和〃分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为I和xR，样本标准差分别为6和创，贝9()15 + 10 + 12.5+10+12.5+10 70= 6 =T显然X A< X又由图形可知，〃组的数据分布比力均匀，变化幅度不大，故〃组数据比较稳定，方差A. x A x B、S A>S BB.X A< X 亦S#> S BC・x .4> x/?,sK Sn D.x K x旳sK Sn答案B解析由图可知月组的6个数为15, 10, 12. 5, 10,12. 5,10,.5, 10, 5, 7. 5, 2. 5, 10, 〃组的6 个数为所以心=37.5较小，从而标准差较小，所以G>S 〃，故选B.8. （2017 •广东肇庆一模）图1是某高三学生进入高屮三年来的数学考试成绩茎叶图，第 1次到14次的考试成绩依次记为/L 〃2,…，J14.图2是统计茎叶图中成绩在一定范圉内考 试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输出的结果是（）(W )9 6 3 8 3 9 8 8 4 15 3 1 4 图1C. 9D. 10答案D解析 该程序的作用是求考试成绩不低于90分的次数，根据茎叶图可得不低于90分的 次数为10.故选D.9. （2017・吉林模拟）下面的茎叶图是某班学生在一次数学测试时的成绩:女生男生 3 09 3 3 65 3 3 2 2 0 08 0 2 3 6 6 8 5 3 107 1 4 5 6 62 2 8 753 7根据茎叶图，得出该班男、女生数学成绩的四个统计结论，其中错误的一项是（）A. 15名女生成绩的平均分为78B. 17名男生成绩的平均分为777 8 9 10 II A. 7 B. 8 /输入A |,缶,/13,…，力\J （纟吉束）C.女生成绩和男生成绩的小位数分别为82,80D.男生屮的高分段和低分段均比女生多，相比较男生两极分化比较严重答案C解析15 名女生成绩的平均分为（90 + 93+80 + 80+82 + 82 + 83 + 83 + 85 + 70 + 71 15+ 73 + 75 + 66 + 57）=78, A 正确；17 名男生成绩的平均分为令X （93 + 93 + 96 + 80 + 82 + 83 +86 + 86 + 88 + 71 + 74 + 75 + 62 + 62 + 68 + 53 + 57）=77,故B 正确；观察茎叶图，对男生、女生成绩进行比较，可知男生两极分化比较严重，D正确；根据女生和男生成绩数据分析可得，两组数据的中位数均为80, C错误.故选C.10.（2015・全国卷II）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位: 万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案D解析从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；2004〜2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；2006年以來我国二氧化硫年排放量越來越少，而不是与年份正相关，故D错误.故选D.二、填空题18 0 117 1 2 % 4 511.（2017 •聊城模拟）某校女子篮球队7名运动员身高（单位：厘米）分布的茎叶图如图, 已知记录的平均身高为175 cm,但有一名运动员的身高记录不清楚，其末位数记为丛那么x的值为_______________ .答案2解析由题意有：175X7 = 180X2+170X 5+l + l+2 + x+4 + 5=>x=2.12.某商场调查旅游鞋的销售情况，随机抽取了部分顾客的购鞋尺寸，整理得如下频率分布直方图，其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为1 ： 2 ： 3,则购鞋尺寸在［39. 5, 43. 5)内的顾客所占百分比为_______ .答案55%解析后两个小组的频率为(0. 0375 + 0. 0875) X2 = 0. 25,所以前3个小组的频率为1一0. 25 = 0. 75,又前3个小组的面积比为1 ： 2 ： 3,即前3个小组的频率比为1 ： 2 ： 3.3所以第三小组的频率为］+2 + 3XO. 75 = 0. 375,第四小组的频率为0. 0875X2 = 0. 175, 所以购鞋尺寸在［39. 5, 43. 5)的频率为0. 375 + 0. 175 = 0. 55 = 55%.13.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间, 频率分布直方图如图所示.(1)直方图中;r的值为_______ ;(2)在这些用户中，用电量落在区间［100, 250)内的户数为 _______ .答案(1)0.0044 (2)70解析(1)由频率分布直方图知［200, 250)小组的频率为1—(0. 0024 + 0. 0036 + 0. 0060+ 0. 0024 + 0. 0012) X50=0. 22,— 0.22 于疋 x — [-n =0. 0044.50(2)・・•数据落在[100, 250)内的频率为(0. 0036 + 0. 0060+0. 0044) X50=0. 7,・•・所求户数为100X0.7 = 70.14. 已知总体的各个体的值由小到大依次为2, 3, 3,7, a,力12, 13. 7, 18. 3, 20,且总体 的中位数为10.5,若要使该总体的方差最小，则臼，方的取值分别是 __________ ・10As =^[(2-10)1 2+ (3 — 10)2x2+ (7-10)2+ U~10)2+ (6~10)2+ (12-10)2+ (13. 7 -10)2+ (18. 3 — 10)2+(20—10)2].令 y= (a-10)2+ (方一10)2=2/—42臼+221当＜?=10.5吋，y 取最小值，方差H 也取最小值..\a= 10. 5, b= 10. 5・三、解答题15. (2017 •福建八校联考)某教师为了了解高三一模所教两个班级的数学成绩情况，将 两个班的数学成绩(单位：分)绘制成如图所示的茎叶图.甲班乙班8 8998765 543 1 1 () 9 ()1 12222467889 9887765543333010 0111122566799 975552210 11 03455679 9865533 10012 012233589 62 113 0181 分别求出甲、乙两个班级数学成绩的屮位数、众数；2 若规定成绩大于等于115分为优秀，分别求出两个班级数学成绩的优秀率；⑶从甲班中130分以上的5名同学中随机抽取3人，求至多有1人的数学成绩在140答案 10. 5, 10.5解析o —L b ・・•中位数为10.5, ・・・=—=10.5,即a+b=2l.2 +3 + 3 + 7 + 日+力+12 + 13. 7 + 18. 3 + 20= 10,61143分以上的概率.解（1）由所给的茎叶图知，甲班50名同学的成绩由小到大排序，排在第25, 26位的是10&109,数量最多的是103,故甲班数学成绩的中位数是10& 5,众数是103；乙班48名同学的成绩由小到大排序，排在第24, 25位的是106, 107,数量最多的是92 和101,故乙班数学成绩的中位数是106.5,众数为92和101.20 2（2）由茎叶图屮的数据可知，甲班中数学成绩为优秀的人数为20,优秀率为命=三；乙班50 5中数学成绩为优秀的人数为18,优秀率为縈=|.（3）将分数为131, 132, 136的3人分别记为a, b, c,分数为141, 146的2人分别记为m, 刀，则从5人中抽取3人的不同情况有日方c, abnu abn> acm, acn, amn, bcm, ben, bmn> cmn, 共10种情况.记''至多有1人的数学成绩在140分以上”为事件必则事件，”包含的情况有"c, abnu abn, acm, acn, bcm, ben,共7 种情况，所以从这5名同学中随机抽取3人，至多有1人的数学成绩在140分以上的概率为户（胁716.（2018 •安徽黄山模拟）全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8 月某日起连续天监测空气质量指数（AQI）,数据统计如下表：频率/组距0.0080.0070.0060.0050.0040.0030.0020.001050 100 150 200250j .... :空气质量指数（卩g/m'）I .(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与屮位数；(3)在空气质量指数分别为(50, 100］和(150, 200］的监测数据屮，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件力“两天空气质量等级都为良”发生的概率.20解(1)・・・0.004><50=万，・・•心100,V20+40+/Z7+10+5=100,:山=25.40 25 「10 5lO0X5O = a 0g lO0X5O = a 0E 100X50 = °' °边；1OOX5O = 0, °°Lrh此完成频率分布直方图，如图：城频率/组距0.008 ........ r…•…:…•…:•……3…•…0.007 ........ h……〔…•…；…•…1…•…；0.006 ........ :……I•……I…•…1•……？().005 ........ }•……i•……■；•……|…•…•；0.004 ........ }•......［...•...彳•......1...• (i)0.003 ——H...一1......i......1 (i)0.002 ........ r......；•......i-......1 (1)0.001 ...... :- ..... 1 ........■: --- j ..... ；空气质量指数(/Lig/m3)0 5() 10() 15() 200 250(2)由频率分布直方图得该组数据的平均数x =25X0. 004X50 + 75X0. 008X50+125X0. 005X50+175X0. 002X50 + 225X0. 001X50 = 95,I ［0, 50］的频率为0. 004X50 = 0. 2, (50, 100］的频率为0. 008X50 = 0. 4,0 5 — 0 2・••屮位数为50+ ；［ X 50=87. 5.(3)由题意知在空气质量指数为(50, 100］和(150, 200］的监测天数中分别抽取4天和1天, 在所抽取的5天中，将空气质塑指数为(50, 100］的4天分别记为/ b, c, d；将空气质量指数为(150,200］的1天记为e,从屮任収2天的基本事件为(臼，力)，c),(日，d),(日，e),(方，c),(力，d), (b, e), (c, d), (c, e), (d, e),共10 个，其中事件〃“两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为Q,方)，Q, c), 小, (方,c),(方,d), (c, d),共6 个，£3所以KA)=。
2019年北师版数学高考一轮复习 第9章第3节统计图表、用样本估计总体
组距减小， ②总体密度曲线： 随着样本容量的增加， 作图时所分的组数增加，
相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线， 统计中称这条光滑曲线为总体 密度曲线．
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(4)茎叶图的画法： 第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分； 第二步：将各个数据的茎按 大小次序排成一列； 第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧．
(2)标准差、方差 ①标准差：样本数据到平均数的一种平均 1－ x ＋x2－ x ＋…＋xn－ x .] n ②方差：标准差的平方 s2 2 1 s ＝n[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2]， 其中 xi(i＝1,2,3， …， n)是样本数据 ， n 是样本容量， x 是样本平均数．
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[知识拓展] 平均数、方差的公式推广 (1)若数据 x1，x2，…，xn 的平均数为 x ，那么 mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…， mxn＋a 的平均数是 m x ＋a. (2)数据 x1，x2，…，xn 的方差为 s2. ①数据 x1＋a，x2＋a，…，xn＋a 的方差也为 s2； ②数据 ax1，ax2，…，axn 的方差为 a2s2.
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平 均 数
如果有 n 个数据 x1 ， 平均数和每一个数据有关，可以反 x2，…，xn，那么这 n 个 映样本数据全体的信息，但平均数 数的平均数 x ＝ 1 n(x1＋x2＋…＋xn) 受数据中极端值的影响较大，使平 均数在估计总体时可靠性降低
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[基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( (2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中. ( ) )
近年届高考数学一轮复习第九章统计、统计案例课堂达标50用样本估计总体文新人教版(2021年整理)
2019届高考数学一轮复习第九章统计、统计案例课堂达标50 用样本估计总体文新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学一轮复习第九章统计、统计案例课堂达标50 用样本估计总体文新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课堂达标（五十）用样本估计总体［A基础巩固练]1．(2017·课标Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（)A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2,…，x n的标准差C．x1,x2，…，x n的最大值D．x1，x2,…，x n的中位数[解析]刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差,故选B.［答案]B2.（2018·郑州第二次质量检测）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同，平均数也相同,则图中的m、n的比值错误!＝( ）A．1 B.错误!C.错误!D.错误!［解析]由题中茎叶图可知甲的数据为27、30＋m、39，乙的数据为20＋n、32、34、38。
由此可知乙的中位数是33，所以甲的中位数也是33,所以m＝3.由此可以得出甲的平均数为33，所以乙的平均数也为33，所以有错误!＝33，所以，n＝8,所以错误!＝错误!.［答案］D3．(2016·山东高考）某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是［17.5，30］，样本数据分组为[17.5,20），[20，22。
高考数学一轮复习 第9章 算法初步、统计与统计案例 第3节 用样本估计总体教师用书 文 新人教A版
第三节 用样本估计总体———————————————————————————————— [考纲传真] 1.了解分布的意义与作用，能根据概率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释.4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．理解用样本估计总体的思想，会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．1．频率分布直方图 (1)频率分布表的画法：第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝极差组数；第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图931)．图931横轴表示样本数据，纵轴表示频率组距，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率．2．茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数.3．样本的数字特征1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( ) (2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中. ( )(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越高．( )(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．( )[解析] (1)正确．平均数、众数与中位数都在一定程度上反映了数据的集中趋势． (2)错误．方差越大，这组数据越离散． (3)正确．小矩形的面积＝组距×频率组距＝频率．(4)错误．茎相同的数据，叶可不用按从小到大的顺序写，相同的数据叶要重复记录，故(4)错误．[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图932所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )图932A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和92A [这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96. ∴中位数是91＋922＝91.5，平均数x ＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91.5.]3．(2017·南昌二模)如图933所示是一样本的频率分布直方图．若样本容量为100，则样本数据在[15,20)内的频数是( )图933A ．50B ．40C ．30D ．14C [因为[15,20]对应的小矩形的面积为1－0.04×5－0.1×5＝0.3，所以样本落在[15,20]的频数为0.3×100＝30，故选C.]4．(2016·江苏高考)已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．0．1 [5个数的平均数x ＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，所以它们的方差s 2＝15[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.]5．(2017·山东淄博模拟)某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图934，已知记录的平均身高为175 cm ，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为x ，那么x 的值为________．图9342 [170＋17×(1＋2＋x ＋4＋5＋10＋11)＝175，则17×(33＋x )＝5，即33＋x ＝35，解得x ＝2.](1)(2015·广东高考)已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的均值x ＝5，则样本数据2x 1＋1,2x 2＋1，…，2x n ＋1的均值为________．(2)某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )．其中a ，a 分别表示甲组研发成功和失败；b ，b 分别表示乙组研发成功和失败．①若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差．并比较甲、乙两组的研发水平；②若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率． (1)11[由条件知x ＝x 1＋x 2＋…＋x nn＝5，则所求均值x＝2x 1＋1＋2x 2＋1＋…＋2x n ＋1n＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋nn＝2x ＋1＝2×5＋1＝11.](2)①甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1， 其平均数为x 甲＝1015＝23.3分方差s 2甲＝115⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×5＝29.乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1， 其平均数为x 乙＝915＝35.方差s 2乙＝115⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352×9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－352×6＝625.因为x 甲＞x 乙，s 2甲＜s 2乙， 所以甲组的研发水平优于乙组.6分 ②记E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，共7个．因此事件E 发生的概率为715.用频率估计概率，即得所求概率为P (E )＝715.12分[规律方法] 1.平均数反映了数据的中心，是平均水平，而方差和标准差反映的是数据围绕平均数的波动大小．进行均值与方差的计算，关键是正确运用公式.2．可以通过比较甲、乙两组样本数据的平均数和方差的差异，对甲、乙两品种做出评价或选择．[变式训练1] (2017·郑州模拟)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图935所示的茎叶图．考虑以下结论：图935①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差． 其中根据茎叶图能得到的统计结论的序号为 ( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④B [甲地5天的气温为：26,28,29,31,31， 其平均数为x 甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29；方差为s 2甲＝15[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝3.6；标准差为s 甲＝ 3.6.乙地5天的气温为：28,29,30,31,32， 其平均数为x 乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30；方差为s 2乙＝15[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2；标准差为s 乙＝ 2.∴x 甲＜x 乙，s 甲＞s 乙．]50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．[解](1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.3分50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为66＋682＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.5分(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为550＝0.1，850＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16.8分(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大.12分[规律方法] 1.茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．2．(1)作样本的茎叶图时，先要根据数据特点确定茎、叶，再作茎叶图；作“叶”时，要做到不重不漏，一般由内向外，从小到大排列，便于数据的处理．(2)根据茎叶图中数据的数字特征进行分析判断，考查识图能力、判断推理能力和创新应用意识；解题的关键是抓住“叶”的分布特征，准确提炼信息．[变式训练2] (2017·雅礼中学质检)已知甲、乙两组数据如茎叶图936所示，若两组数据的中位数相同，平均数也相同，那么m＋n＝________.【导学号：31222364】图93611[∵两组数据的中位数相同，∴m ＝2＋42＝3.又∵两组数据的平均数也相同， ∴27＋33＋393＝20＋n ＋32＋34＋384，∴n ＝8， 因此m ＋n ＝11.]☞角度1 利用分布直方图求频率、频数(2016·山东高考)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图937所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )图937A ．56B ．60C ．120D ．140D [由直方图可知每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，则每周自习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200＝140.故选D.] ☞角度2 用频率分布直方图估计总体(2016·四川高考)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)．将数据按照[0，0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图938所示的频率分布直方图．图938(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．[解](1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.5分(2)由(1)知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.8分(3)设中位数为x吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2≤x<2.5.10分由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.12分[规律方法] 1.准确理解频率分布直方图的数据特点，频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，易误认为纵轴上的数据是各组的频率．2．(1)例3－2中抓住频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键．(2)利用样本的频率分布估计总体分布．[思想与方法]1．用样本估计总体是统计的基本思想．用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．2．(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量，与每个样本数据有关，这是中位数、众数所不具有的性质．(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度就越大．(3)茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用图表直观描述样本数据的分布规律的．[易错与防范]1．使用茎叶图时，要弄清茎叶图的数字特点，切莫混淆茎与叶的含义．2．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，应注意这三者的区分：(1)最高的矩形的中点即众数；(2)中位数左边和右边的直方图的面积是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．3．直方图与条形图不要搞混．频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误．课时分层训练(五十六) 用样本估计总体A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．重庆市2016年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图939，则这组数据的中位数是( )图939A ．19B ．20C ．21.5D ．23B [由茎叶图可知这组数据由小到大依次为8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32，所以中位数为20＋202＝20.]2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 ( )A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石B [254粒和1 543石中夹谷的百分比含量是大致相同的，可据此估计这批米内夹谷的数量．设1 534石米内夹谷x 石，则由题意知x 1 534＝28254，解得x ≈169.故这批米内夹谷约为169石．]3．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图9310，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )图9310A．45 B．50C．55 D．60B[由频率分布直方图，知低于60分的频率为(0.010＋0.005)×20＝0.3.∴该班学生人数n＝150.3＝50.]4．(2016·全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图9311中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )图9311A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个D[对于选项A，由题图易知各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；对于选项B，七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温点的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；对于选项C，三月和十一月的平均最高气温均为10 ℃，所以C正确；对于选项D，平均最高气温高于20 ℃的月份有七月、八月，共2个月份，故D错误．]5．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为( )A．8 B．15C．16 D．32C [已知样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ＝8，则s 2＝64，数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的方差为22s 2＝22×64，所以其标准差为22×64＝2×8＝16.]二、填空题6．如图9312所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x ＋y ＝________.【导学号：31222365】图931210 [x 甲＝75＋82＋84＋＋x ＋90＋936＝85，x ＝6.又∵乙同学的成绩众数为84，∴y ＝4. ∴x ＋y ＝10.]7．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图9313所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.【导学号：31222366】图931324 [底部周长在[80,90)的频率为0.015×10＝0.15， 底部周长在[90,100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm 的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.] 8．(2017·郑州调研)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：2 [易知x 甲＝90，x 乙＝90.则s 2甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4.s 2乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.]三、解答题9．(2017·郑州调研)某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图9314所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为10.【导学号：31222367】图9314(1)求出m ，n 的值；(2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s 2甲和s 2乙，并由此分析两组技工的加工水平．[解] (1)根据题意可知：x 甲＝15(7＋8＋10＋12＋10＋m )＝10，x 乙＝15(9＋n ＋10＋11＋12)＝10，3分∴m ＝3，n ＝8.5分(2)s 2甲＝15[(7－10)2＋(8－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2＋(13－10)2]＝5.2，8分s 2乙＝15[(8－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝2，10分∵x 甲＝x 乙，s 2甲＞s 2乙，∴甲、乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些.12分10．(2016·北京高考)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：图9315(1)如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w ＝3时，估计该市居民该月的人均水费．[解] (1)由用水量的频率分布直方图，知该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.3分所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%. 依题意，w 至少定为3.5分(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下：根据题意，该市居民该月的人均水费估计为4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元).12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：【导学号：31222368】图9316则7个剩余分数的方差为( ) A.1169B.367 C ．36D.677B [由题意知87＋94＋90＋91＋90＋90＋x ＋917＝91，解得x ＝4.所以s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝367.]2．(2015·湖北高考)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图9317所示．图9317(1)直方图中的a＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．(1)3(2)6 000[(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.(2)区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.]3．(2017·广州模拟)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图9318.图9318(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？[解](1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，得x ＝0.007 5，∴直方图中x 的值为0.007 5.4分 (2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，则(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5，解得a ＝224，即中位数为224.8分(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，同理可求月平均用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300]的用户分别有15户、10户、5户，故抽样比为1125＋15＋10＋5＝15，∴从月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5(户).12分。
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第三节用样本估计总体☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆1．用样本的频率分布估计总体分布(1)作频率分布直方图的步骤。
①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)。
②决定组距与组数。
③将数据分组。
④列频率分布表。
⑤画频率分布直方图。
(2)频率分布折线图和总体密度曲线。
①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得频率分布折线图。
②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线。
(3)茎叶图。
茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数。
2．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数。
(2)中位数：将数据按大小顺序排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数。
(3)平均数：x －＝x 1＋x 2＋…＋x nn，反映了一组数据的平均水平。
(4)标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，s ＝1nx 1－x－2＋x 2－x－2＋…＋x n －x－2]。
(5)方差：s 2＝1n [(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2](x n 是样本数据，n 是样本容量，x －是样本平均数)。
微点提醒1．平均数表示一组数据的平均水平，众数表示一组数据中出现次数最多的数，中位数表示一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列后中间一项或中间两项的平均数，都可以从不同的角度描述数据的集中趋势。
2．频率分布直方图中的纵轴代表的是频率组距，而不是频率。
3．对于实际中的数据分析的时候，要注意贴合实际目的，并尽量分析全面，从而做出合理的决策。
小|题|快|练一 、走进教材1．(必修3P 81A 组T 2改编)学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n 位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50](单位：元)之间，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[10,30)(单位：元)内的同学有33人，则支出在[40,50](单位：元)内的同学人数为( )A ．100B ．120C ．30D ．300【解析】 支出在[10,30)内的同学所占的频率为(0.010＋0.023)×10＝0.33，所以n ＝330.33＝100。
又支出在[40,50]内的同学所占的频率为1－(0.010＋0.023＋0.037)×10＝0.3，所以支出在[40,50]内的同学人数为100×0.3＝30。
故选C 。
【答案】 C2．(必修3P 79练习T 1)农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续6年的平均产量如下(单位：500 g)，产量比较稳定的是( )C ．一样D ．无法确定【解析】 x －甲＝16×(900＋920＋900＋850＋910＋920)＝900，x －乙＝16×(890＋960＋950＋850＋860＋890)＝900；s 2甲＝16×(202＋502＋102＋202)≈567，s 2乙＝16(102＋602＋502＋502＋402＋102)≈1 733，因为s 2甲<s 2乙，所以甲的产量波动小，所以甲种水稻的产量比较稳定。
故选A 。
【答案】 A 二、双基查验1．一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.375，则该组样本的频数为( ) A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【答案】 C2．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )C ．47,45,56D ．45,47,53【解析】 从茎叶图中可以看出样本数据的中位数为中间两个数的平均数，即45＋472＝46，众数是45，极差为68－12＝56。
故选A 。
【答案】 A3．对于一组数据x i (i ＝1,2,3，…，n )，如果将它们改变为x i ＋C (i ＝1,2,3，…，n )，其中C ≠0，则下列结论正确的是( )A ．平均数与方差均不变B ．平均数变，方差保持不变C ．平均数不变，方差变D ．平均数与方差均发生变化【解析】 依题意，记原数据的平均数为x －，方差为s 2，则新数据的平均数为x 1＋C ＋x 2＋C ＋…＋x n ＋C n ＝x －＋C ，即新数据的平均数改变；新数据的方差为1n[(x 1＋C )－(x －＋C )]2＋[(x 2＋C )－(x －＋C )]2＋…＋[(x n ＋C )－(x －＋C )]2＝s 2，即新数据的方差不变。
故选B 。
【答案】 B4．甲、乙两人比赛射击，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：5,6,9,10,5，那么这两人中成绩较稳定的是________。
【解析】 x －乙＝5＋6＋9＋10＋55＝7，s 2乙＝15[(5－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(5－7)2]＝4.4， ∵s 2甲>s 2乙，∴乙的成绩较稳定。
【答案】 乙5．某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示。
(1)直方图中的a ＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________。
【解析】 (1)0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1×a ＋0.1×2＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a ＝3；(2)区间[0.5,0.9]内的频率为1－0.1×1.5－0.1×2.5＝0.6，则该区间内购物者的人数为10 000×0.6＝6 000。
【答案】(1)3 (2)6 000案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费。
为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图。
(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由。
【解析】(1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4，4.5]中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06，0.04，0.02。
由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30。
(2)由(1)可知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12。
由以上样本的频率，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000。
(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85，所以2.5≤x<3。
由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9。
所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准。
【答案】(1)0.30 (2)36 000人(3)2.9，理由见解析反思归纳 解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的联系。
这些数据中，直接的有组距、频率组距，间接的有频率、小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合两个等量关系：小长方形面积＝组距×频率组距＝频率，小长方形面积之和等于1，即频率之和等于1，就可以解决直方图的有关问题。
【变式训练】 (2016·山东高考)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]。
根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A ．56B ．60C ．120D ．140【解析】 由频率分布直方图可知，这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140。
故选D 。
【答案】 D评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； (2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价。
【解析】 (1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75。
50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为66＋682＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67。
(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为550＝0.1，850＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16。
(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高，评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大。
【答案】 (1)对甲、乙两部门评分的中位数的估计值分别是75,67 (2)对甲、乙两部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16 (3)评价见解析反思归纳 在使用茎叶图时，一定要观察所有的样本数据，弄清楚这个图中数字的特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义。
【变式训练】 甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分)：甲组：76 90 84 86 81 87 86 82 85 83乙组：82 84 85 89 79 80 91 89 79 74用茎叶图表示这两个小组的成绩，并判断哪个小组的成绩更整齐一些。