2.3数学归纳法ppt

f (k 1)是什么,它比 f ( k ) 多出了多少，是首要问题。
事实上f(k+1)不但比f（k）多一项，而且前k项 中每一项分别比f（k）中多了1,2,3,4……k f(k+1)=f(k)+1+2+3+……&# 2) (n 1) 2 n 1 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立
1 a 1 a a a , 在验证 1 a n 1成立时，左边是（ C ）
A、 1 B、1+a C、1+a+a2
D、1+a+a2+a3
例2.用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列， 则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。
证明: (1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +（1-1）d=a1, ∴ 当n=1时，结论成立 (2)假设当n=k时结论成立， 即 ak=a1+(k-1)d 则当n=k+1时 ak+1 = ak+d
2
2 2
推理变形为1+3+5十….十(2k-1)十(2k+1)=(k+1)
例3、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2

（n∈N ）

证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。 ②假设n=k(k∈N ,k≥1)时等式成立,即： 1+3+5+……+(2k-1)=k2， 当n=k+1时： 1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2， 所以当n=k+1时等式也成立。 由①和②可知，对n∈N ，原等式都成立。
2.3 数学归纳法(1)
完全归纳 法 问题 1:大球中有5个小球，如何证明它们都是 绿色的？ an n 1, 2, ... 问题 2: 对于数列an ,已知a1 1，an1
1 an
1 a1 1 1 a2 2 1 a3 3
问题情境一
猜想其通项公式
1 an n
由（1）和（2）可知等式对任何n N*都成立
课堂练习： 1.用数学归纳法证明等式 1+2+3+…(2n+1)=(n+1)(2n+1)时， 1+2+3 当n＝1时，左边所得项是 ； 1+2+3+4+5 当n＝2时，左边所得项是 ；
2.用数学归纳法证明 n N,a 1
2 n 1 n2

请问： 第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：
1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)

= （k +1)[1+ (2k +1)] = (k+1)2 ?为什么？
2
练习： 1、用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=n(n+1)/2 (n∈N)； 证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。 (2)假设当n=k时等式成立，就是 1+2+3+…+k =k(k+1)/2 那么， 1+2+3+…+k+(k+1)= k(k+1)/2+ (k+1) =(k+1)[(k+1)+1]/2 这就是说，当n=k+1时，等式也成立。 因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何n∈N都成立。
例4．对于n∈N*用数学归纳法证明：
1 n 2 (n 1) 3 (n 2) (n 1) 2 n 1
1 n(n 1)( n 2) 6
分析:找到“递推关系”就等于把握住解决问题的“灵魂” f (k ) 1 k 2 (k 1) 3 (k 2) (k 1) 2 k 1 有几项？
归纳奠基：归纳递推

命题对从n0开始所有 的正整数n都成立
例1.用数学归纳法证明 12 2 2 3 2 n 2
证明：(1)当n=1时，左边=12 1 1(1 1)(2 1) 右边 1 ，等式成立 6 (2）假设当n k时成立，即
n( n 1)(2n 1) 6
找准起点 奠基要稳 1.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数
学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论: （1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时 结论正确 【归纳奠基】 （2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论 也正确 【归纳递推】 （3）由（1）、（2）得出结论
写明结论 才算完整 用上假设 递推才真
作业:
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练习：
2、用数学归纳法证明：1+2+22+…+2n-1=2n-1 (n∈N*) 证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。 (2)假设当n=k时等式成立，就是 1+2+22+…+2k-1 =2k-1 那么， 1+2+22+…+2k-1 +2k=2k-1 + 2k =2×2k-1 =2k+1-1 这就是说，当n=k+1时，等式也成立。 因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何n∈N* 都成立。
1 1 k ( k 1)(k 2) ( k 1)(k 1 1) 6 2 1 ∴由（1）（2）可知 ( k 1)(k 2)(k 3) 当n∈N*时等式都成立。 6
例5、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1)
证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等 式成立。 ② 假设当n=k((k∈N ）时有： (k+1)(k+2)…(k+k)=2k• 1• 3•…• (2n-1), 当n=k+1时： 左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)
（ 2k+1)(2k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)• k+1
= 2k• 1• 3•…•(2k-1)(2k+1)•2 = 2k+1•1• 3•…• (2k-1) •[2(k+1)-1]=右边， ∴当n=k+1时等式也成立。 由 ①、②可知，对一切n∈N ,原等式均成立。
归纳小结
……100年后…
n5 Fn 4, 294,967, 297 6,700,417 641
：由一系列有限的特殊事例得出 一般结论的推理方法 归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法
考察全体对象, 得到一般结论 的推理方法 考察部分对象,得 到一般结论的推 理方法
归纳法
结论一定可靠
结论不一定可靠
12 22 32 k2 那么当n k 1 时
左边 12 22 32
k (k 1)(2k 1) 6
2
k 2 k 1
k ( k 1)(2k 1) ( k 1) 2 6 k ( k 1)(2k 1) 6( k 1) 2 6 ( k 1)( k 2)(2k 3) ( k 1)[( k 1) 1][2 （k 1) 1] 6 6 即当n k 1时等式也成立
= a1+(k-1)d+d
= a1+[(k+1)-1]d ∴当n=k+1时，结论也成立。 由(1)和凑假设 (2)知,等式对于任何n∈N*都成立。
从n=k到 n=k+1有什么 变化
结论
练习：已知数列{a n }为等比数列， 公比为q,求证:通项公式为a n = a1q （提示：a n = qa n-1）
（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题 成立; 【归纳奠基】 （2）假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立
证明当n=k+1时命题也成立【归纳递推】 .
这种证明方法叫做 数学归纳法
框图表示
验证n n0时 命题成立
若n k k n0 时命题成立 证明n k 1时命题也成立
不完全归 纳法
问题3：某人看到树上乌鸦是黑的， 深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。
…
问题情境二
费马(Fermat) 曾经提出一个猜想：
n 2 形如Fn＝2 +1(n=0,1,2…)的数都是质数
n 0, Fn 3 n 1, Fn 5 n 2, Fn 17 n 3, Fn 257 n 4, Fn 65537
问题情境三
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 多米诺骨牌课件演示 如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才 能做到？ （1）处理第一个问题；（相当于推倒第一块 骨牌） （2）验证前一问题与后一问题有递推关系； （相当于前牌推倒后牌）