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数学归纳法完整版课件
所以当n＝k＋1时，结论也成立. 综上所述，对一切 n∈N*,0<a2n<14<a2n－1≤1 都成立.
思维升华
(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题， 其基本模式是“归纳—猜想—证明”. (2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”. 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.
微思考
1.用数学归纳法证题时，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立.因为 n0∈N*，所以n0＝1.这种说法对吗？ 提示 不对，n0也可能是2，3，4，….如用数学归纳法证明多边形内角 和为(n－2)π时，初始值n0＝3. 2.数学归纳法的第一个步骤可以省略吗？ 提示 不可以，数学归纳法的两个步骤相辅相成，缺一不可.
解
存在
c＝14使得
1 a2n<4<a2n－1.
因为 f(x)＝4x＋4 15，当 x∈(0,1]时，f(x)单调递减，
所以149≤f(x)<145.
因为a1＝1，
所以由 an＋1＝4an＋4 15，得 a2＝149，a3＝37061，且 0<an≤1.
下面用数学归纳法证明 0<a2n<14<a2n－1≤1.
当 n＝1 时，因为 0<a2＝149<14<a1＝1≤1，
所以当n＝1时结论成立. 假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即 0<a2k<14<a2k－1≤1. 由于 f(x)＝4x＋4 15为(0,1]上的减函数， 所以 f(0)>f(a2k)>f 14>f(a2k－1)≥f(1)， 从而145>a2k＋1>14>a2k≥149， 因此 f 145<f(a2k＋1)<f 14<f(a2k)≤f 149， 即 0<f 145<a2k＋2<14<a2k＋1≤f 149≤1，
AAA数学归纳法课件
归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法
考察全体对象, 得到一般结论 的推理方法 考察部分对象,得 到一般结论的推 理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
问题情境二
对于数列 an ,已知a1 1，an 1 猜想其通项公式 an n 1, 2, ... 1 an
如何证明这个猜 想的正确性呢？
• [答案] D
[ 解析 ] 1 k(k＋1) 1 1 1 当 n＝k＋1 时，等式左边＝1· 2＋2· 3＋„＋k(k＋1)＋ 1 (k＋1)(k＋2) 1 两者比较需添加的项为 . (k＋1)(k＋2) 故应选 D. 1 1 当 n ＝ k 时，等式左边＝ ＋ ＋ „ ＋ 1· 2 2· 3
归纳小结
②设n=k时，有1 3 5 ......... ( 2k 1) k 2
1 3 5 ........... ( 2k 1) [ 2( k 1) 1] [1 2( k 1) 1](k 1) 2 2 ( k 1) 即n=k+1时，命题成立。
作业布置 练习题： 课本P95 练习1、2
作业: P 96
A组1 ， 2
实验1
实验2
4/9/2015
师生互动，探求新知
你认为证明数列的通项公式是 游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
an 1 n 这个猜想与上述多米诺骨牌
多米诺骨牌游戏原理 （1）第一块骨牌倒下。
（ 2 ）任意相邻的两块骨 牌，前一块倒下一定导 致后一块倒下。
通项公式为 证明方法
1 an n
一.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法.
主要有两个步骤、一个结论: （1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时命题成立 （2）假设n=k时命题正确，证明n=k+1时命题也成立 （3）由（1）、（2）得出结论 二. 数学归纳法也是一种完全归纳法，它是在可靠的基 础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的手 段，来解决“无限”的问题，它克服了完全归纳法的繁 杂，不可行的特点，又克服了不完全归纳法结论不可靠 的不足，使我们认识到事情由简到繁，由特殊到一般， 由有限到无限的过程。
数学归纳法课件
更深入的学习和研究
通过对数学归纳法的学习和研究，我们可以更深入地理解数学思维和逻辑推理的本质，探 索更多的数学问题和证明方法。
与其他学科的交叉应用
数学归纳法不仅在数学领域有广泛的应用，还可以与其他学科如计算机科学、物理学等进 行交叉应用，为解决实际问题提供新的思路和方法。
个人未来的学习和研究计划
在未来的学习和研究中，我将继续深入学习和研究数学归纳法等数学思维和逻辑推理方法 ，探索更多的应用领域和实际问题，提高自己的学术水平和解决问题的能力。
数学归纳法的扩展概念
归纳法的基本步骤
设置初始条件，递归推理，以及 通过递归关系得出结论
归纳法的局限性
需要注意初始条件是否满足，以 及递归关系是否正确
数学归纳法的证明技巧
选择合适的归纳变量
确保所选择的变量在递归过程 中保持不变，并且能够代表整
个数学命题
确定归纳基础
通常是最小的自然数或者一个 已知的数学事实，作为递归推 理的基础
数学归纳法的难点在于如何证明 归纳步骤，即如何从命题对n成 立推导出命题对n+1也成立。需 要仔细考虑和证明每一步的逻辑
关系。
数学归纳法的意义
数学归纳法是数学思维和逻辑推 理的重要体现，它不仅可以帮助 我们解决各种数学问题，还可以 培养我们的逻辑思维能力和抽象
思维能力。
对未来学习和研究的展望和规划
02
数学归纳法的基本原理
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明无限等式或不等式的数学方法，它基 于一个初始条件和递推关系，通过有限个步骤来推断无限个 结论。
数学归纳法包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。基础步骤 是证明当n取第一个值时，等式或不等式成立；归纳步骤是证 明如果当n取某一正整数k时等式或不等式成立，那么当n取 k+1时，等式或不等式也成立。
通过对数学归纳法的学习和研究，我们可以更深入地理解数学思维和逻辑推理的本质，探 索更多的数学问题和证明方法。
与其他学科的交叉应用
数学归纳法不仅在数学领域有广泛的应用，还可以与其他学科如计算机科学、物理学等进 行交叉应用，为解决实际问题提供新的思路和方法。
个人未来的学习和研究计划
在未来的学习和研究中，我将继续深入学习和研究数学归纳法等数学思维和逻辑推理方法 ，探索更多的应用领域和实际问题，提高自己的学术水平和解决问题的能力。
数学归纳法的扩展概念
归纳法的基本步骤
设置初始条件，递归推理，以及 通过递归关系得出结论
归纳法的局限性
需要注意初始条件是否满足，以 及递归关系是否正确
数学归纳法的证明技巧
选择合适的归纳变量
确保所选择的变量在递归过程 中保持不变，并且能够代表整
个数学命题
确定归纳基础
通常是最小的自然数或者一个 已知的数学事实，作为递归推 理的基础
数学归纳法的难点在于如何证明 归纳步骤，即如何从命题对n成 立推导出命题对n+1也成立。需 要仔细考虑和证明每一步的逻辑
关系。
数学归纳法的意义
数学归纳法是数学思维和逻辑推 理的重要体现，它不仅可以帮助 我们解决各种数学问题，还可以 培养我们的逻辑思维能力和抽象
思维能力。
对未来学习和研究的展望和规划
02
数学归纳法的基本原理
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明无限等式或不等式的数学方法，它基 于一个初始条件和递推关系，通过有限个步骤来推断无限个 结论。
数学归纳法包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。基础步骤 是证明当n取第一个值时，等式或不等式成立；归纳步骤是证 明如果当n取某一正整数k时等式或不等式成立，那么当n取 k+1时，等式或不等式也成立。
《数学归纳法》ppt课件
第5课时 数学归纳法
导.学. .固 思
1.使学生了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质. 2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法 ”证明简单的与自然数有关的命题.
导.学. .固 思
多米诺骨牌游戏,首先要用力推第一块骨牌,在任何两块 骨牌之间有恰当的距离时,第一块倒下,就会使第二块倒下,第 二块倒下就会导致第三块倒下,……以致很多都会倒下!如果我 们在骨牌间抽出几块,使有两块之间存在一个较大的缺口,推 倒了第一块骨牌,后面的骨牌就不会都倒下了.如果第一块骨 牌我们不使它倒下,后面的骨牌也就不会倒下的.
导.学. .固 思
【解析】其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立,则当 n=k时也不成立”为真,故n=5时不成立可知n=4时不成立.
3
用数学归纳法证明不等式
������
1+
+1 ������
1 +…+
+2
������
1 +������
>13
24
的过程中1,由
n=k 推导 n=k+1 时,不等式的左边增加的式子是 (2������ + 1)(2������ + 2.)
A.1
B.1+2
C.1+2+3
D.1+2+3+4
【解析】n=1时,n+3=4.
2 某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N+)时命题成立,那么 可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不 成立,那么可以推得C( ). A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立
导.学. .固 思
1.使学生了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质. 2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法 ”证明简单的与自然数有关的命题.
导.学. .固 思
多米诺骨牌游戏,首先要用力推第一块骨牌,在任何两块 骨牌之间有恰当的距离时,第一块倒下,就会使第二块倒下,第 二块倒下就会导致第三块倒下,……以致很多都会倒下!如果我 们在骨牌间抽出几块,使有两块之间存在一个较大的缺口,推 倒了第一块骨牌,后面的骨牌就不会都倒下了.如果第一块骨 牌我们不使它倒下,后面的骨牌也就不会倒下的.
导.学. .固 思
【解析】其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立,则当 n=k时也不成立”为真,故n=5时不成立可知n=4时不成立.
3
用数学归纳法证明不等式
������
1+
+1 ������
1 +…+
+2
������
1 +������
>13
24
的过程中1,由
n=k 推导 n=k+1 时,不等式的左边增加的式子是 (2������ + 1)(2������ + 2.)
A.1
B.1+2
C.1+2+3
D.1+2+3+4
【解析】n=1时,n+3=4.
2 某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N+)时命题成立,那么 可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不 成立,那么可以推得C( ). A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立
4.4 数学归纳法课件ppt
,…的前 n 项和为 Sn,计算 S1,S2,S3,S4,
1×4 4×7 7×10
(3-2)(3+1)
根据计算结果,猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法进行证明.
解
1
S1=1×4
1
S2=
4
2
S3=
7
=1;ຫໍສະໝຸດ 4=2;
7
+
1
4×7
+
1
7×10
3
S4=10
+
=
1
10×13
3
;
10
=
4
.
13
可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数 n 一致,分母可用项数 n
(+1)
所以
()
=
(2+1)(2+2)
=2(2k+1).
+1
(2)证明 ①当 n=1
12
时,
1×3
=
1×2
成立.
2×3
②假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,
12
即有1×3
+
22
2
+…+(2-1)(2+1)
3×5
则当 n=k+1
12
时,
1×3
+
=
(+1)
,
2(2+1)
22
取值是否有关,由n=k变化到n=k+1时等式两边会增加(或减少)多少项.(2)
利用归纳假设,将n=k时的式子经过恒等变形转化到n=k+1时的式子中得
到要证的结论.
变式训练 1
1
求证:12
1×4 4×7 7×10
(3-2)(3+1)
根据计算结果,猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法进行证明.
解
1
S1=1×4
1
S2=
4
2
S3=
7
=1;ຫໍສະໝຸດ 4=2;
7
+
1
4×7
+
1
7×10
3
S4=10
+
=
1
10×13
3
;
10
=
4
.
13
可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数 n 一致,分母可用项数 n
(+1)
所以
()
=
(2+1)(2+2)
=2(2k+1).
+1
(2)证明 ①当 n=1
12
时,
1×3
=
1×2
成立.
2×3
②假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,
12
即有1×3
+
22
2
+…+(2-1)(2+1)
3×5
则当 n=k+1
12
时,
1×3
+
=
(+1)
,
2(2+1)
22
取值是否有关,由n=k变化到n=k+1时等式两边会增加(或减少)多少项.(2)
利用归纳假设,将n=k时的式子经过恒等变形转化到n=k+1时的式子中得
到要证的结论.
变式训练 1
1
求证:12
完整版《数学归纳法》课件
完整版《数学归纳法》课件一、教学内容二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握其基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法解决简单的数学问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和归纳推理能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法在实际问题中的应用。
教学重点：数学归纳法的概念、证明步骤及注意事项。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：以“楼梯问题”为例，引导学生发现规律，引出数学归纳法的概念。
2. 知识讲解：a. 介绍数学归纳法的概念。
b. 详细讲解数学归纳法的证明步骤。
c. 分析数学归纳法在实际问题中的应用。
3. 例题讲解：讲解数学归纳法在数列求和、不等式证明等方面的应用。
4. 随堂练习：布置23道数学归纳法相关的练习题，让学生独立完成。
5. 课堂小结：回顾本节课所学内容，强调数学归纳法的重点和注意事项。
六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：a. 数学归纳法的概念b. 数学归纳法的证明步骤c. 数学归纳法在实际问题中的应用d. 注意事项七、作业设计1. 作业题目：a. 证明：1+2+3++n = n(n+1)/2b. 证明：对于任意正整数n，有2^n > n。
c. 应用数学归纳法解决实际问题。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的理解和掌握程度，以及课堂互动情况。
2. 拓展延伸：a. 探讨数学归纳法在更广泛领域中的应用。
b. 引导学生了解数学归纳法的局限性。
c. 介绍数学归纳法的其他变体，如强数学归纳法、反向数学归纳法等。
重点和难点解析一、教学难点与重点的关注细节1. 数学归纳法在实际问题中的应用2. 数学归纳法的证明步骤及注意事项3. 实践情景引入的设计与例题讲解的深度二、重点和难点解析1. 数学归纳法在实际问题中的应用a. 选择合适的实际问题作为例子，让学生感受数学归纳法的实用价值。
b. 通过分析问题，引导学生发现数学归纳法的应用场景，从而理解其内涵。
数学归纳法复习课件ppt
目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
思考探究 第一个值n0是否一定为1呢？ 提示：不一定，要看题目中对n的要求，如当n≥3时，第 一个值n0应该为3.
目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
考点3 归纳—猜想—证明 例3 (2013·南京模拟)已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.
(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论．
目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
【方法提炼】 “归纳—猜想—证明的模式”，是不完 全归纳法与数学归纳法综合运用的解题模式，这种方法 在解决探索性、存在性问题时起着重要作用，它的证题 模式是先由归纳推理发现结论，然后用数学归纳法证明 结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究与发展的 重要方式．
＝
2n1＋1＋2n1＋2－n＋1 1＝2n1＋1－2n1＋2，故选 D.
目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
4．已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1－12＋13－14＋… －n1＝2(n＋1 2＋n＋1 4＋…＋21n)时，若已假设 n＝k(k≥2 且 k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证 n＝ ________时等式成立． 解析：因为假设n＝k(k≥2为偶数)，故下一个偶数为k＋2. 答案：k＋2
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
思考探究 第一个值n0是否一定为1呢？ 提示：不一定，要看题目中对n的要求，如当n≥3时，第 一个值n0应该为3.
目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
考点3 归纳—猜想—证明 例3 (2013·南京模拟)已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.
(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论．
目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
【方法提炼】 “归纳—猜想—证明的模式”，是不完 全归纳法与数学归纳法综合运用的解题模式，这种方法 在解决探索性、存在性问题时起着重要作用，它的证题 模式是先由归纳推理发现结论，然后用数学归纳法证明 结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究与发展的 重要方式．
＝
2n1＋1＋2n1＋2－n＋1 1＝2n1＋1－2n1＋2，故选 D.
目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
4．已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1－12＋13－14＋… －n1＝2(n＋1 2＋n＋1 4＋…＋21n)时，若已假设 n＝k(k≥2 且 k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证 n＝ ________时等式成立． 解析：因为假设n＝k(k≥2为偶数)，故下一个偶数为k＋2. 答案：k＋2
数学归纳法【公开课教学PPT课件】
因为(3k+1)·7k-1和9·(2k+3)·7k都能被9整除,所以(3k+1)·7k1+9·(2k+3)·7k能被9整除,即当n=k+1时,命题也成立,综合(1)(2)可 知,(3n+1)·7n-1(n∈N+)能被9整除.
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1
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1 2
(3k 2
5k+2)
1 = 2 (k+ 1)[3(k+ 1)-1]
这 就 是 说 ， 当 n =k +1时 ， 等 式 也 成 立 。
-
19
二、新课
例 摆砖问题（取n块砖）
12 3
……
-
k k+1
20
-
21
证明当n=k+1时命题也成立，
这种证明方法叫做 数学归纳法
因为证明了这一点，就可断定这个命题对于 n 取
第一个值后面的所有正整数也都成立。
-
6
例：用数学归纳法证明首项为 a 1 ，公差为 d 的
等差数列 a n 的通项公式为 ana1(n1)d。
分析：（1）当 n 1 时，ana1n1d成立吗？
确，并证明当 nk1时结论也正确。
根据(1)(2)知对任意的 nN且nn0时命题成立。 注：（1）两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结
论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失
去了递推的依据。
（2）只有把第一、二步的结论结合在一起才能得
出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要
做一个总的结论。
（3）数学归纳法用来证明与正整数有关的命题。
-
18
假 设 当 n = k (k 1 ,且 k N *)时 ,等 式 成 立 ,就 是
1+ 4+7 +
+ (3k-2)=
1 2
k (3k
1)
那 么 当 n=k+1时 ,就 是
第
1+ 4+7 + +(3k 2) [3(k+ 1) 2]
二
1
步
2 k (3k 1)+ [3(k+ 1) 2]
2 2 k -1
=2 k+1 -1
这 就 是 说 ， 当 n =k +1时 ， 等 式 也 成 立 。
-
17
假设当n=k(k 1,且k N*)时,等式成立,就是
ak a1q k 1
第 那么当n=k+1时,就是
二 步
ak 1 ak q
(a1qk1)q
a1qk
这就是说，当n=k+1时，等式也成立。
那么当 nk1时，
ak1 ak d
a1(k1)dd （传递性）
a1 kd
a1(k1)1d
根据(1即)(2当)知n当对k 任1意时的命题n成立N 。命题成立。（结论）
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8
（二）、数学归纳法的步骤
（1）证明当 n 取第一个值 n0(n0 1或 2) 时结论正确
（2）假设当 nk(k N ,且 kn0)时结论正
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四、作业
习题2.1 1、（1）（2）
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15
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假 设 当 n=k(k 1,且 k N*)时,等 式 成 立 ,就 是
1+ 2+ 2 2 + + 2 k-1 = 2 k -1
那 么 当 n=k+1时 ,就 是
第
1+ 2+ 2 2 + + 2 k-1 2 k
二 步
(2 k -1)+2 k
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1
一、复习与引入
1、在等差数列 a n 中，已知首项为 a 1 ，公差为 d，
an
a1 a1
（ 不
a2 a1 d
完
a3a2da12d全归
a4a3da13d纳法
ana1(n1)d
）
像这种由一 系列有限的 特殊事例得 出一般结论 的推理方法， 通常叫做归
纳法。
2、粉笔盒内的粉笔是什么颜色的？
（2）假设当 nk(k1且 kN*)时命题成立，
即 aka1k1d
那么当 nk1 时命题成立吗？
即 ak1a1k11d成立吗？
综(1)(2)知命题成立。
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证明：（1）当 n 1 时，左边 a 1 ，右边 a10da1 ，
命题成立。
（依据）
（2）假设当 nk(k1且 kN*)时命题成立，即
ak a1(k1)d
＝ k2＋2k＋1 ＝（k+1）2
（利用假设）
即当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2）可知，等式对任何 n N 都成立。
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练习：用数学归纳法证明
1、1 2 2 2 2 n 1 2 n 1
2、首项是 a 1 ，公比是 q 的等比数列的通项公式是
an a1qn1 3、147(3n2)1n(3n1)
2
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练 习 (1)用数学 24
(n≥2,n∈N )过程中,由“n=k”变到
“n=k+1”时，不等式左边的D变化是
（
(A)
）：1
;
2(k 1)
(B) 1 1 ; 2k1 2k2
(C)
1 1; 2k2 k1
(D )
1 1 1. 2k1 2k2 k1
结论：盒内粉笔都是白色的 （完全归纳法）
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2
想一想：
由两种归纳法得出的结论一定正确吗？
例： an(n25n5)2
说 （1）不完全归纳法有利于发现问题，但结论 明： 不一定正确。
（2）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。
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3
问题情境三
多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示
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4
问题情境三
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？ （1）处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）
（2）验证前一问题与后一问题有递推关系； （相当于前牌推倒后牌）
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5
（一）、数学归纳法的定义（原理）
对于由不完全归纳法得到的某些与 自然数有关自然数的数学命题我们常采 用下面的方法来证明它们的正确性：
（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立， （2）假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立
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（三）数学归纳法的应用举例
例1、用数学归纳法证明
1＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝ n2
证明：（1）当n=1时，左边＝1，右边＝1，等式成立。
（2）假设当n＝k时，等式成立，即 1＋3＋5＋‥＋（2k－1）＝ k2
（假设）
那么当n=k+1时
1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］
＝ k2 + [2(k+1)－1］
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(2)用数学归纳法证:11 21 31 4 2n11n
(n≥2,n∈N )过程中,由“n=k”变到
“n=k+1”时，左式所需添加的Ｃ项数为
（ ）： Ａ.１项
Ｂ.2k1 项
Ｃ. 2 k 项
Ｄ. 2k 1 项
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三、小结
归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法。 数学归纳法的原理与科学性：基础正确；可递推。 数学归纳法的步骤：两个步骤，一个结论。 数学归纳法的优点：可以帮助我们 认识 事物 由简到繁、由特殊到一般、由有限到无限。