空间向量在立体几何中的应用(教师版)

空间向量在立体几何中的应用1．一个正方体形状的无盖铁桶1111D C B A ABCD -的 容积是V ，里面装有体积为V 32的水，放在水平的地面上（如图所示）. 现以顶点A 为支撑点，将铁 桶倾斜，当铁桶中的水刚好要从顶点1A 处流出时， 棱1AA 与地面所成角的余弦值为 答案11222.平面内有两定点A ，B ，且|AB|=4，动点P 满足4||=+PB PA ，则点P 的轨迹是 .答案：以AB 为直径的圆；3．（本小题满分12分）如图，已知四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1D ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA 1=2。

（I ）求证：C 1D//平面ABB 1A 1；（II ）求直线BD 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角D —A 1C 1—A 的余弦值。

答案 （I ）证明：四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BB 1//CC 1，又⊄1CC 面ABB 1A 1，所以CC 1//平面ABB 1A 1，ABCD 是正方形，所以CD//AB ， 又CD ⊄面ABB 1A 1，AB ⊂面ABB 1A 1，所以CD//平面ABB 1A 1，所以平面CDD 1C 1//平面ABB 1A 1，所以C 1D//平面ABB 1A 1（II ）解：ABCD 是正方形，AD ⊥CD因为A 1D ⊥平面ABCD ，所以A 1D ⊥AD ，A 1D ⊥CD ，如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D —xyz ，1ADA ∆中，由已知可得,31=D A所以)3,1,1(),0,0,1(),3,0,0(),0,0,0(11-C A A D ),0,1,1(),3,0,1(),3,1,0(11B D B - ),3,1,2(1--=BD 因为A 1D ⊥平面ABCD ，所以A 1D ⊥平面A 1B 1C 1D 1，1D ⊥B 1D 1。

又B 1D 1⊥A 1C 1，所以B 1D 1⊥平面A 1C 1D ，所以平面A 1C 1D 的一个法向量为n=（1，1，0）设1BD 与n 所成的角为β，则,43823cos 1-=-=⋅=BD n β所以直线BD 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为.43（III ）解：平面A 1C 1A 的法向量为),,(c b a m =则,0,0111=⋅=⋅A A m C A m 所以03,0=-=+-c a b a令,3=c 可得)3,3,3(=m 则.7422126||||,cos ==⋅>=<n m n m n m所以二面角A C A D --11的余弦值为.7424．如图①，正三角形ABC 边长2，CD 为AB 边上的高，E 、F 分别为AC 、BC中点，现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角B DC A --，如图② (1)判断翻折后直线AB 与面DEF 的位置关系，并说明理由 (2)求二面角D AC B --的余弦值 (3)求点C 到面DEF 的距离图①图 ②答案 解：（1）平行（证明略）（2）取AE 中点M,角BMD 即所求,余弦值为721（３）CDF E DEF C V V --=，可得点C 到面DEF 的距离为7215．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1＝2，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点.（1）求异面直线1AC 与1B B 所成的角的余弦值； （2）求证：11//AC B CD 面； （3）求证：11A B B CD ⊥面答案 5. 解：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中11//BB CC 1AC C ∴∠是11AC BB 与所成的角（或其补角）在1Rt ACC 中，12AC CC ==1cos 2A C C ∴∠=（2）连结1BC 交1B C 于O ，连结O D 。

则O 为1BC 的中点又D 为AB 的中点 1//OD AC ∴ 111,OD B CD AC B CD ⊂⊄ 面面 11//AC B CD ∴面 （3）在直三棱柱111ABC A B C -中，1,A A ABC CD ABC ⊥⊂面面1A A CD ∴⊥,Ac BC D AB = 是中点C D AB ∴⊥11CD ABB A ∴⊥面 1CD A B ∴⊥ 同理：11B C A B ⊥11A B B CD ∴⊥面…………………………13分6．如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，∠BCF=∠CEF=︒90,AD=3,EF=2．（1）求证：AE//平面DCF ；（2）当AB 的长为何值时,二面角A-EF-C 的大小为︒60．【解析】 方法一：（Ⅰ）证明：过点E 作E G C F ⊥交C F 于G ，连结D G ， 可得四边形B C G E 为矩形，又A B C D 为矩形，所以A D E G∥，从而四边形A D G E 为平行四边形，故A E D G ∥．因为A E ⊄平面D C F ，D G ⊂平面D C F ， 所以AE ∥平面D CF ．………6分 （Ⅱ）解：过点B 作BH EF ⊥交F E 的延长线于H ，连结A H ． 由平面A B C D ⊥平面BEFC ，A B B C ⊥，得AB ⊥平面BEFC ，从而AH EF ⊥．所以A H B ∠为二面角A E F C --的平面角． 在R t E F G △中，因为EG AD ==2E F =，所以60CFE ∠=，1F G =．又因为C E E F ⊥，所以4C F =，从而3B E C G ==，于是sin 2BH BE BEH =∠=，因为tan A B B H A H B =∠ 所以当A B 为92时，二面角A E F C --的大小为60………12分方法二：如图，以点C 为坐标原点，以C B C F ，和C D 分别作为x 轴，y轴和z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -．设A B a B E b C F c===，，，则(000)C ，，，)A a，0)B ，，0)E b ，，(00)F c ，，． （Ⅰ）证明：(0)A E b a =-，，，00)C B = ，，(00)B E b = ，，，所以0CB CE = ，0CB BE =，从而C B A E ⊥，C B B E ⊥，所以C B ⊥平面ABE ．因为C B ⊥平面D C F ，所以平面ABE ∥平面D故A E ∥平面D C F ．………6分（Ⅱ）解：因为(0)EF c b =-，，0)C E b =，，所以0E F C E =，DA B EFCHG||2E F = ，从而3()02b c b -+-=⎧=，，解得34b c ==，．所以0)E ，，(040)F ，，．设(1)n y z =，，与平面A E F 垂直，则0n AE = ，0n EF = ，解得(1n a =．又因为B A ⊥平面BEFC ，(00)BA a = ，，，所以||1|cos |2||||B A n n B A B A n <>===，， 得到92a =．所以当A B 为92时，二面角A E F C --的大小为60． 7． 如图，在四棱锥S A B C D -中，底面A B C D 等边三角形，A C 与BD 的交点为O ，E 为侧棱S C（Ⅰ）当E 为侧棱S C 的中点时，求证：S A ∥平面B D （Ⅱ）求证：平面BD E ⊥平面SA C ；（Ⅲ）（理科做）当二面角E B D C --的大小为45︒试判断点E 在S C 上的位置，并说明理由． 解法一：证明：（Ⅰ）连接O E ，由条件可得S A ∥O E ． 因为SA Ë平面B D E ，O E Ì平面B D E ，所以S A ∥平面B D E ．（Ⅱ）由已知可得，SB SD =,O 是BD 中点，所以B D SO ^． 又因为四边形A B C D 是正方形，所以B D A C ^．因为AC SO O = ，所以BD SAC ⊥面．又因为BD BDE ⊂面， 所以平面BD E ⊥平面SA C ．（Ⅲ）解：连接O E ，由（Ⅱ）知，BD SAC ⊥面． 而OE SAC ⊂面, 所以B D O E ⊥．又B D A C ⊥．所以E O C ∠是二面角E B D C --的平面角，即45E O C ∠=︒． 设四棱锥S A B C D -的底面边长为2，在SA C ∆中，2SA SC ==, AC = 所以SO =又因为12O C A C ==S O O C ⊥,所以SO C ∆由45E O C ∠=︒可知，点E 是S C 的中点． 解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SO ABCD ⊥面，A C B D ⊥建立如图所示的空间直角坐标系． 设四棱锥S A B C D -的底面边长为2，则(0, 0, 0)O，(0, 0,S，) 0, 0A，()0, 0B ，() 0, 0C，()0, 0D -．所以() 0, 0AC =-，()0, 0BD =-． 设C E a =（02a <<），由已知可求得45E C O ∠=︒．所以(, 0,)22E a a +，(,)22BE a a =-．设平面B D E 法向量为(, , )x y z =n ，则0,0B D B E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n即0,()0.22y a x az =⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令1z =，得(, 0, 1)2a a=-n ．易知()0, 0BD =-是平面SA C 的法向量．因为(, 0, 1)(0, 0)02a B D a⋅=⋅-=-n ，所以BD ⊥n ，所以平面BD E ⊥平面SA C ．（Ⅲ）解：设C E a =（02a <<），由（Ⅱ）可知， 平面B D E 法向量为(, 0, 1)2a a=-n ．因为SO ABCD ⊥底面，所以(0, 0,O S =是平面SA C 的一个法向量．由已知二面角E B D C --的大小为45︒．所以cos , cos 452O S 〈〉=︒=n ，2=，解得1a =．所以点E 是S C 的中点． 8． 已知：如图，长方体中，、分别是棱,上的点，,.（1） 求异面直线与所成角的余弦值； （2）证明平面；（3）求二面角的正弦值.答案解法一：如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设,依题意得,,,（1）易得,,于是所以异面直线与所成角的余弦值为（2）已知, ,于是·=0，·=0.因此，,,又所以平面（3）设平面的法向量，则,即不妨令X=1,可得。

由（2）可知，为平面的一个法向量。

于是，从而,所以二面角的正弦值为法二：（1）设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=连接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1D∥B1C，由,可知EF ∥BC 1. 故是异面直线EF 与A 1D 所成的角，易知BM=CM=,所以 ,所以异面直线FE 与A 1D 所成角的余弦值为（2）连接AC ，设AC 与DE 交点N 因为， 所以，从而，又由于,所以，故AC ⊥DE,又因为CC 1⊥DE 且，所以DE ⊥平面ACF ，从而AF ⊥DE.连接BF ，同理可证B 1C ⊥平面ABF,从而AF ⊥B 1C, 所以AF ⊥A 1D 因为，所以AF ⊥平面A 1ED.（3）连接A 1N.FN,由（2）可知DE ⊥平面ACF,又NF 平面ACF, A 1N 平面ACF ，所以DE ⊥NF,DE ⊥A 1N,故为二面角A 1-ED-F 的平面角. 易知，所以，又所以，在,连接A 1C 1,A 1F 在。