资阳市2013～2014学年度高中二年级第二学期期末质量检测数学(理科)

资阳市2013—2014学年度高中二年级第二学期期末质量检测理科数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共8页，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束时，将本试卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的。

1．复数12iiz +=（i 是虚数单位）的共轭复数为 A ．2－iB ．－2－iC ．－2＋iD ．2＋i2．已知命题p ：00x ∃>，0ln 0x <.则p ⌝为 A ．0x ∀≤，ln 0x ≥ B ．0x ∀>，ln 0x ≥ C ．00x ∃>，0ln 0x ≥D ．00x ∃≤，0ln 0x <3．已知椭圆的一个焦点为F (0,1)，离心率12e =，则该椭圆的标准方程为 A ．22134x y +=B ．22143x y +=C ．2212x y +=D ．2212y x +=4．下列说法正确的是A ．命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆命题是“若2x ≠，则2560x x -+≠”B ．命题“若2x =，则2560x x -+=”的否命题是“若2x =，则2560x x -+≠”C ．已知 a b ∈R ，，则“a b >”是“||||a b >”的充要条件D ．已知 a b ∈R ，，则“0ab ≠”是“0a ≠”的充分条件5．已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为 A ．12B ．1C ．2D ．46．函数3223125y x x x =--+在[0，3]上的最大值和最小值分别是 A ．5，15B ．5，－14C ．5，－15D ．5，－167．从1、2、3、4、5、6这六个数中，每次取出两个不同数记为a 、b ，则共可得到3b a的不同数值的个数A ．20B ．22C ．24D ．288．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF ∆是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是A ．(21,)-+∞B ．(12,)++∞C ．(1,12)+D ．(31,)++∞9．定义在R 上的函数()f x ，若对任意12x x ≠，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称f (x )为“H 函数”，给出下列函数：①31y x x =-++；②32(sin cos )y x x x =--；③1x y e =+；④ln ||,0,()0,0.x x f x x ≠⎧=⎨=⎩其中是“H 函数”的个数为A ．1B ．2C ．3D ．410．定义在R 上的连续函数g (x )满足：当0x >时，()0g x '>恒成立(()g x '为函数()g x 的导函数)；对任意的x ∈R 都有()()g x g x =-．函数()f x 满足：对任意的x ∈R ，都有(3)(3)f x f x +=-成立;当[3,3]x ∈-时，3()3f x x x =-.若关于x 的不等式2[()](2)g f x g a a ≤-+对33[23,23]22x ∈--+恒成立. 则a 的取值范围是A ．a ∈RB ．01a ≤≤C ．0a ≤或1a ≥D ．1331332424a --≤≤-+资阳市2013—2014学年度高中二年级第二学期期末质量检测理科数学第Ⅱ卷（非选择题，共100分）题号 二 三总分 总分人 16 17 18 19 20 21 得分注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．若(12)n x +展开式中各项的二项式系数之和为32，则该展开式中含3x 项的系数为 ．12．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点(4,2)P --的抛物线方程为 ． 13．设随机变量ξ的概率分布列为()1cP k k ξ==+（k ＝0，1，2，3），则(2)P ξ== ． 14．已知F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上的一点，满足22()0OP OF F P +⋅=（O为坐标原点），且12||3||PF PF =，则该双曲线离心率为 ．15．已知函数2|21|1,1,()33,1,1x x f x x x x x ⎧--≤⎪=⎨-+>⎪-⎩函数2()[()]()1g x f x af x =+-（其中a 为常数），给出下列结论：①a ∀∈R ，函数()g x 至少有一个零点； ②当a ＝0时，函数()g x 有两个不同零点； ③a ∃∈R ，函数()g x 有三个不同零点；④函数()g x有四个不同零点的充要条件是a<0．其中所有正确结论的序号是．三．解答题：本大题共6个小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．(本小题满分12分)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(2,0)-，(2,0)，并且经过点53(,)22-，求它的标准方程．17．(本小题满分12分)已知a ＞0，且1a ≠.设命题p ：函数log (1)a y x =+在(0,＋∞)上单调递减，命题q :曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点，如果p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，求a 的取值范围.18．(本小题满分12分)函数31()443f x x x =-+．（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数2()2g x x x m =-+，对12,[0,3]x x ∀∈，都有12()()f x g x ≥，求实数m 的取值范围．某家电专卖店在五一期间设计一项有奖促销活动，每购买一台电视，即可通过电脑产生一组3个数的随机数组，根据下表兑奖：奖次一等奖二等奖三等奖随机数组的特征3个1或3个0只有2个1或2个0只有1个1或1个0资金（单位：元）5m2m m商家为了了解计划的可行性，估计奖金数，进行了随机模拟试验，并产生了20个随机数组，试验结果如下：247，235，145，124，754，353，296，065，379，118，520，378，218，953，254，368，027，111，358，279．（Ⅰ）在以上模拟的20组数中，随机抽取3组数，至少有1组获奖的概率；（Ⅱ）根据以上模拟试验的结果，将频率视为概率：（ⅰ）若活动期间某单位购买四台电视，求恰好有两台获奖的概率；（ⅱ）若本次活动平均每台电视的奖金不超过260元，求m的最大值．20．(本小题满分13分)如图，矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝2，E ，F ，M ，N 分别是矩形四条边的中点，G ，H 分别是线段ON ，CN 的中点．（Ⅰ）证明：直线EG 与FH 的交点L 在椭圆Ω：2214x y +=上；（Ⅱ）设直线l ：(0)y x m m =+≥与椭圆Ω：2214x y +=有两个不同的交点P ，Q ，直线l 与矩形ABCD 有两个不同的交点S ，T ，求||||PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值．21．(本小题满分14分)已知函数2()2ln f x x x ax =-+（a ∈R ）.（Ⅰ）当2a =时，求()f x 的图象在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若函数()()g x f x ax m =-+在1[e]e,上有两个零点，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若函数()f x 的图象与x 轴有两个不同的交点12(0)(0)A x B x ，，，，且120x x <<，求证：12()02x xf +'<（其中()f x '是()f x 的导函数）．资阳市2013—2014学年度高中二年级第二学期期末质量检测理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。

1－5.DBADC ；6－10.CBBBC二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。

11．80；12．28x y =-；13．425；14．31+；15．②④． 三．解答题：本大题共6个小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由椭圆的定义知222253532(2)()(2)()2102222a =++-+-+-=，所以10a =． ·······················································································6分 又因为2c =， ························································································8分 所以2226b a c =-=， ··············································································10分所以椭圆的标准方程为221106x y +=， ·························································12分 17．因为函数log (1)a y x =+在(0,＋∞)上单调递减，所以p ：01a <<， ·················································································2分 又因为曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点，所以2(23)40a ∆=-->，解得q ：12a <或52a >， ·······································4分因为p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，所以命题p ，q 一真一假，①若p 真q 假，则01,15,22a a <<⎧⎪⎨≤≤⎪⎩所以112a ≤<； ···············································8分 ②若p 假q 真，则1,15,22a a a >⎧⎪⎨<>⎪⎩或所以52a >．故实数a 的取值范围是15[,1)(,)22+∞． ······················································12分18．（Ⅰ）因为31()443f x x x =-+，所以2()4(2)(2)f x x x x '=-=+-， ··················1分令()0f x '=，解得2x =-，或2x =，则x (,2)-∞-－2 (2,2)- 2 (2,)+∞()f x ＋ 0 － 0 ＋ ()f x '↗283↘43- ↗···········································································································4分故当2x =-时，()f x 有极大值，极大值为283； ············································5分当2x =时，()f x 有极小值，极小值为43-． ················································6分（Ⅱ）因为12,[0,3]x x ∀∈，都有12()()f x g x ≥，所以只需min max ()()f x g x ≥即可． ·7分由（Ⅰ）知：函数()f x 在区间[0,3]上的最小值min ()(2)f x f ==43-， ···············9分又22()2(1)1g x x x m x m =-+=-+-，则函数()g x 在区间[0,3]上的最大值m x ()(3)3a g x g m ==+， ····························11分由min max ()()f x g x ≥，即433m +≤-，解得133m ≤-，故实数m 的取值范围是13(,]3-∞-． ····························································12分19．（Ⅰ）在20组数中，获奖的数组有8组， ···················································1分记“至少有1组获奖”为事件A ，则31232046()157C P A C =-=． ·······························4分（Ⅱ）（ⅰ）购买一台电视机获奖的概率为82205P ==，································6分 则购买的四台电视恰好有两台获奖的概率222422216()(1)55625P C =⨯⨯-=． ············8分 （ⅱ）记每台电视的奖金为随机变量ξ，则ξ=0，m ，2m ，5m ．由题123(0)205P ξ===；63()2010P m ξ===；1(2)20P m ξ==；1(5)20P m ξ==． 则3625130520202020m m m mE ξ=⨯+++=， ·························································10分 由于平均每台电视的奖金不超过260元，所以1326020m ≤，解得400m ≤，故本次活动平均每台电视的奖金不超过260元时，m 的最大值是400元． ··········12分20．（Ⅰ）点(0,1)E -，(1,0)G ，(0,1)F ，1(2,)2H ，则直线EG ：1y x =-，直线FH ：114y x =-+， ···········································2分则直线EG 与FH 的交点83(,)55L ， ·····························································3分因为228()35()145+=，故直线EG 与FH 的交点L 在椭圆Ω：2214x y +=上． ········4分（Ⅱ）联立方程组221,4,x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2258440x mx m ++-=， ···················5分设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则1285mx x +=-，212445m x x -=，由226420(44)0m m ∆=-->及0m ≥得05m ≤<． ······································6分 22222121284442||(1)[()4]2()45555m m PQ k x x x x m -=++-=⋅--⋅=-， ·····8分若直线l 过A 点时，1m =， ①当01m ≤≤时，||22ST =，2||25||5PQ m ST =-，当0m =时，||||PQ ST 最大值255． ····10分 ②当15m <<时，设(1,1)S m -，(2,2)T m --+，||2(3)ST m =⋅-， ···············11分 222425||455||5(3)2(3)m PQ m ST m m --==-⋅-，令3t m =-，则2||4461||5PQ ST t t =-+-， 当134t =，即43t =，5(1,5)3m =∈时，||||PQ ST 取最大值255．综上所述，当0m =或53时，||||PQ ST 取得最大值255． ····································13分21．（Ⅰ）当2a =时，2()2ln 2f x x x x =-+，2()22f x x x'=-+，切点坐标为(11)，，切线的斜率(1)2k f '==，则切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-. ··················2分（Ⅱ）2()2ln g x x x m =-+，则22(1)(1)()2x x g x x xx-+-'=-=，因1[e]e x ∈，，故()0g x '=时，1x =.当11ex <<时，()0g x '>；当1e x <<时，()0g x '<.所以()g x 在1x =处取得极大值(1)1g m =-. ··················································4分又211()2e e g m =--，2(e)2e g m =+-，2211(e)()4e 0e e g g -=-+<，则1(e)()eg g <，()g x 在1[e]e ，上有两个零点，则2(1)10,11()20,eeg m g m =->⎧⎪⎨=--≤⎪⎩·······································6分 解得2112e m <≤+，即实数m 的取值范围是21(12]e+，. ···································8分 （Ⅲ）因为()f x 的图象与x 轴交于两个不同的点12(0)(0)A x B x ，，，，所以方程22ln 0x x ax -+=的两个根为12x x ，，则211122222ln 0,2ln 0,x x ax x x ax ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩两式相减得1212122(ln ln )()x x a x x x x -=+--.又2()2ln f x x x ax =-+，2()2f x x a x'=-+，则1212124()()2x x f x x a x x +'=-+++1212122(ln ln )4x x x x x x -=-+-. ······································10分 下证1212122(ln ln )40x x x x x x --<+-（*），即证明2111222()ln 0x x x x x x -+<+，12xt x =，因为120x x <<，∴01t <<，即证明2(1)()ln 01t u t t t -=+<+在01t <<上恒成立. ·······12分所以22222(1)2(1)114(1)()(1)(1)(1)t t t u t t t t t t t -+---'=+=-=+++，又01t <<，∴()0u t '>， 所以()u t 在(0,1)上是增函数，则()(1)0u t u <=，从而知2111222()ln 0x x x x x x -+<+，故（*）式成立，即12()02x x f +'<成立. ··························································14分。