【导与练】2010-2012年高考数学 试题汇编 第二节 矩阵与变换(选修4-2) 理(含解析)
高考数学压轴专题最新备战高考《矩阵与变换》经典测试题附答案解析
高考数学《矩阵与变换》练习题一、151．已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程. 【答案】（1）2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）292y x x =- 【解析】 【分析】（1）根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得,a b 的值，即可得到矩阵M ；（2）根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程． 【详解】解：（1）依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即31333a b -+=⎧⎨-+=-⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，所以2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （2）设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(),P x y '''，则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即23x x y y x ''=+⎧⎨=⎩， 因为2y x ''=，所以292x x y =+， 所以曲线C 的方程为292y x x =-． 【点睛】本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程，本题属中档题．2．已知关于x 、y 的二元一次方程组()4360260x y kx k y +=⎧⎨++=⎩的解满足0x y >>，求实数k的取值范围.【答案】5,42⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】由题意得知0D ≠，求出x D 、y D 解出该方程组的解，然后由00x y D >>⎧⎨≠⎩列出关于k 的不等式组，解出即可. 【详解】由题意可得()4238D k k k =+-=+，()601x D k =-，()604y D k =-.由于方程组的解满足0x y >>，则0D ≠，该方程组的解为()()60186048x y k D x D k D k y D k ⎧-==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩，由于00D x y y ≠⎧⎪>⎨⎪>⎩，即()()()806016048860408k k k k k k k ⎧⎪+≠⎪--⎪>⎨++⎪⎪->⎪+⎩，整理得802508408k k k k k ⎧⎪+≠⎪-⎪>⎨+⎪-⎪<⎪+⎩，解得542k <<. 因此，实数k 的取值范围是5,42⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.3．用行列式解方程组252,23,24 1.x y z y z x y z ++=-⎧⎪--=⎨⎪++=-⎩【答案】1337313x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩【解析】 【分析】先根据方程组中x ，y ，z 的系数及常数项求得D ，x D ，y D ，z D ，再对a 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】方程组可转化为：125202324111x y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎦--⎣，1912502241D =-=-， 13922532141x D --=-=-，12503221121y D --==--，1312203241z D ---==-，所以13,37,31.3x y z D x D D y D D z D ⎧==⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩【点睛】本题考查三元一次方程组的矩阵形式、线性方程组的行列式求解，考查运算求解能力．4．用行列式方法解关于x y 、的方程组：()()1R 214ax y a x a y a -=⎧∈⎨--=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】1a =时无解；12a =-时无穷解；12a ≠-且1a ≠时有唯一解11211x aa y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩【解析】 【分析】本题先求出相关行列式D 、x D 、y D 的值，再讨论分式的分母是否为0，用公式法写出方程组的解，得到本题结论． 【详解】Q 关于x 、y 的方程组：1()2ax y a a R x ay a +=+⎧∈⎨+=⎩，()()1R 214ax y a x a y a-=⎧∈⎨--=⎩ ∴21||1(1)(1)1a D a a a a==-=+-，21||(12)121(1)(21)112a D a a a a a a a-==-+=-++=--+-211||(1)2x a D a a a a a a +==-=-，1||124124121x D a a a a a==-+=+-- 21||21(21)(1)12y a a D a a a a a +==--=+-，21||41(21)(21)14y a D a a a a==-=+-.（1）当12a ≠-且1a ≠时，有唯一解11211x aa y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，（2）当1a =时，无解； （3）当12a =-，时无穷解． 【点睛】本题考查了用行列式法求方程组的解，本题难度不大，属于基础题．5．用行列式法解关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】见解析 【解析】 【分析】写出,,x y D D D ，讨论2m ≠±，2m =-，2m =时的三种情况得到答案. 【详解】22242244,2,211y x m m m m D m D m m D m m mmmm++==-==-++==-当2m ≠±时，0D ≠，原方程组有唯一组解212m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩； 当2m =-时，0D =，80x D =≠，原方程组无解； 当2m =时，0D =，0x D =，0y D =，原方程组有无穷组解.综上所述：2m ≠±是，有唯一解；2m =-时，无解；2m =时，无穷组解. 【点睛】本题考查了利用行列式计算二元一次方程组，意在考查学生对于行列式的应用能力.6．已知圆C 经矩阵332aM ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦变换后得到圆22:13C x y '+=，求实数a 的值. 【答案】2a = 【解析】【分析】设圆C 上任一点(,)x y ，经M 变换后得到(),x y ''，则332x ax yy x y=+⎧⎨=-''⎩，代入计算得到答案.【详解】设圆C 上任一点(,)x y ，经M 变换后得到(),x y ''，则332x a x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则332x ax y y x y=+⎧⎨=-''⎩，由(),x y ''在22:13C x y '+=上， 可得22(3)(32)13ax y x y ++-=，即()22292(36)1313a x a xy y ++-+=，由方程表示圆，可得2913a +=，2(36)0a -=，则2a =. 【点睛】本题考查了圆的矩阵变换，意在考查学生的应用能力.7．设函数()271f x x ax =-++（a 为实数）. （1）若1a =-，解不等式()0f x ≥； （2）若当01xx>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围； （3）设21()1x g x ax +=--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)8{|3x x ≤或6}x ≥;(2)[5,)-+∞;(3)[4,)-+∞ 【解析】 【分析】(1)代入1a =-直接解不等式即可; (2)由01xx>-解得01x <<,故可将()1f x ≥化为(2)70a x -+≥,从而求出a 的范围; (3)化简()g x ,故可将题设条件变为:存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立,因此求出2722x x ---的最小值即可得出结论.【详解】(1)若1a =-,则()271f x x x =-+- 由()0f x ≥得|27|1x x -≥-,即270271x x x ->⎧⎨-≥-⎩或270721x x x -≤⎧⎨-≥-⎩, 解得6x ≥或83x ≤,故不等式的解集为8{|3x x ≤或6}x ≥; (2)由01xx>-解得01x <<, 由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥,当01x <<时,该不等式即为(2)70a x -+≥, 设()(2)7F x a x =-+,则有(0)70(1)50F F a =>⎧⎨=+≥⎩解得5a ≥-,因此实数a 的取值范围为[5,)-+∞; (3)21()1x g x ax +=--2|1|(1)x a x =-++, 若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立,即存在x 使271x ax -++2|1|(1)x a x ≤-++成立, 即存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立, 又272227(22)5x x x x ---≤---=, 所以527225x x -≤---≤, 所以15a -≥-,即4a ≥-, 所以a 的取值范围为:[4,)-+∞ 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式,结合了恒成立,能成立等问题,属于综合应用题.解决恒成立,能成立问题时,常将其转化为最值问题求解.8．变换T 1是逆时针旋转2π角的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）点P(2，1)经过变换T 1得到点P'，求P'的坐标；（2）求曲线y ＝x 2先经过变换T 1，再经过变换T 2所得曲线的方程. 【答案】（1）P'(-1,2).（2）y －x ＝y 2. 【解析】试题分析：（1）先写出旋转矩阵M 1＝0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，再利用矩阵运算得到点P'的坐标是P'(-1,2).（2）先按序确定矩阵变换M ＝M 2⋅M 1＝1110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，再根据相关点法求曲线方程：即先求出对应点之间关系，再代入已知曲线方程，化简得y －x ＝y 2.试题解析：解：(1)M 1＝0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦， M 121⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以点P(2,1)在T 1作用下的点P'的坐标是P'(-1,2). (2)M ＝M 2⋅M 1＝1110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 则M 00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,也就是000{x y x x y -==即00{y y x x y =-=所以,所求曲线的方程是y －x ＝y 2. 考点：旋转矩阵，矩阵变换9．证明：（1）11122212a b a a a b b b =； （2）1212112222a kab kb a b a b a b ++=. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据行列式的运算，分别化简得11121222a b a b b a a b =-，12122112a aa b a b b b =-，即可求解；（2）根据行列式的运算，分别化简得1212122122a ka b kb a b a b a b ++=-，11122122a b a b a b a b =-，即可求解. 【详解】（1）根据行列式的运算，可得11121222a b a b b a a b =-，12122112a aa b a b b b =-， 所以11122212a b a a a b b b =. （2）根据行列式的运算，可得121212212222()()a ka b kb a ka b b kb a a b ++=+-+122221221221()()a b ka b a b ka b a b a b =+-+=-，又由11122122a b a b a b a b =-，所以1212112222a kab kb a b a b a b ++=. 【点睛】本题主要考查了行列式的运算及其应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．设矩阵12M x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2411N ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，若02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的逆矩阵1M -．【答案】132554155M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】根据矩阵的乘法运算求出MN ，然后由02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦列出方程组，即可求出4,3x y ==，从而确定矩阵M ，再利用求逆矩阵的公式，即可求出矩阵M 的逆矩阵1M -．【详解】解：因为02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，所以25,413.x y x y -=⎧⎨-=⎩所以4,3x y ==；矩阵1243M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵132554155M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题主要考查矩阵的乘法运算及逆矩阵的求解．11．已知a ，b R ∈，点()1,1P -在矩阵13a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点()1,3Q . （1）求a ，b 的值；（2）求矩阵A 的特征值和特征向量；（3）若向量59β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r，求4A βu r .【答案】（1）20a b =⎧⎨=⎩；（2）矩阵A 的特征值为1-，3，分别对应的一个特征值为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）485489⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）直接利用矩阵的乘法运算即可； （2）利用特征多项式计算即可；（3）先计算出126βαα=-+u r u u ru u r ，再利用()4444121266A A A A βαααα=-+=-+u r u u r u u r u u r u u r 计算即可得到答案. 【详解】 （1）由题意知，11113133a a b b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则1133a b -=⎧⎨-=⎩，解得2a b =⎧⎨=⎩. （2）由（1）知2130A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 的特征多项式()()21233f λλλλλ--==---， 令()0f λ=，得到A 的特征值为11λ=-，13λ=. 将11λ=-代入方程组()2030x y x y λλ⎧--=⎨-+=⎩，解得3y x =-，所以矩阵A 的属于特征值1-的一个特征向量为113α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r. 再将13λ=代入方程组()2030x y x y λλ⎧--=⎨-+=⎩，解得y x =，所以矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r.综上，矩阵A 的特征值为1-，3，分别对应的一个特征值为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）设12m n βαα=+u ru u r u u r ，即5119313m n m n m n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以539m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得16m n =-⎧⎨=⎩，所以126βαα=-+u r u u r u u r ，所以()4444121266A A A A βαααα=-+=-+u r u u r u u r u u r u u r()441148516331489⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查矩阵的乘法、特征值、特征向量，考查学生的基本计算能力，是一道中档题.12．矩阵与变换:变换1T 是逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是1M 变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦求曲线221x y +=的图象依次在12,T T 变换的作用下所得曲线的方程.【答案】22221x xy y -+= 【解析】 【分析】旋转变换矩阵10110M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求出211110M M M -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后曲线上任一点，与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得到00x y y y x =⎧⎨=-⎩，即得解.【详解】旋转变换矩阵10110M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦记21110111011010M M M --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后曲线上任一点，与之对应的变换前的点是00x y⎡⎤⎢⎥⎣⎦，面积00x x M y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，也就是000x x y y x =-⎧⎨=⎩，即00x y y y x =⎧⎨=-⎩，代入22001x y +=，得22()1y y x +-=，所以所求曲线的方程是22221x xy y -+= 【点睛】本题主要考查矩阵和变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵A ＝01a k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (k≠0)的一个特征向量为α＝1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， A 的逆矩阵A－1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a ，k 的值．【答案】解：设特征向量为α＝1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的特征值为λ，则01a k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝λ1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，即1ak k kλλ-=⎧⎨=⎩ 因为k≠0，所以a ＝2． 5分因为13111A -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以A 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即201k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以2＋k ＝3，解得 k ＝1．综上，a ＝2，k ＝1． 10分 【解析】试题分析：由 特征向量求矩阵A, 由逆矩阵求k 考点：特征向量, 逆矩阵点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵．14．已知矩阵120A x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，5723B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 的逆矩阵1B -满足17177AB y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. （1）求实数x ，y 的值；（2）求矩阵A 的特征值和特征向量.【答案】（1）1,3x y ==；（2）特征值为2-和1，分别对应一个特征向量为21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）计算()1AB B -，可得12514721y y -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦，根据()1A AB B -=，可得结果. （2）计算矩阵A 的特征多项式()121fλλλ+-=-，可得2λ=-或1λ=，然后根据Ax x λ=r r，可得结果.【详解】（1）因为17177AB y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，5723B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所以()17175712723514721AB B y y y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦由()1A AB B -=，所以12120514721x y y --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦所以514172103y x x y y -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩（2）矩阵A 的特征多项式为：()()()()1212211f λλλλλλλ+-==+-=+--令()0f λ=，解得2λ=-或1λ= 所以矩阵A 的特征值为2-和1. ①当2λ=-时，12222102x x x y xy y x y--+=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=-⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩ 令1y =，则2x =-，所以矩阵M 的一个特征向量为21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.②当1λ=时，12210x x x y xy y x y--+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩ 令1y =，则1x =所以矩阵M 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 因此，矩阵A 的特征值为2-和1，分别对应一个特征向量为21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查矩阵的应用，第（1）问中，关键在于()1A ABB -=，第（2）问中，关键在于()1201f λλλ+-==-，考验分析能力以及计算能力，属中档题.15．已知矩阵12A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（c ，d 为实数）.若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为21⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵1A -.【答案】121331166A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】根据特征值的定义可知A αλα=，利用待定系数法建立等式关系，求出矩阵A ，即可求出逆矩阵1A -． 【详解】解：由题意知，122422121c d c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，12131311c d c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以223c d c d +=⎧⎨+=⎩，解得14c d =-⎧⎨=⎩. 所以1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，所以121331166A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．16．已知矩阵2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，47B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且AX B =. （1）求矩阵A 的逆矩阵1A -； （2）求x ，y 的值.【答案】（1）12132A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（2）12x y =⎧⎨=⎩ 【解析】 【分析】（1）求出二阶矩阵对应的行列式值不为0，进而直接代入公式求得逆矩阵；（2）由AX B =可得1214327X A B --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，计算矩阵的乘法，即可得答案. 【详解】（1）由2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()det 223110A =⨯-⨯=≠，所以A 可逆，从而12132A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. （2）由AX B =得到121413272X A B --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∴12x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查公式法求矩的逆矩阵及矩阵的乘法计算，考查运算求解能力，属于基础题.17．己知矩阵1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（1）求1M -；（2）若曲线221:1C x y -=在矩阵M 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程.【答案】（1）112332133M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；（2）223y x -= 【解析】 【分析】（1）根据逆矩阵的求法，求得M 的逆矩阵1M -.（2）设出1C 上任意一点的坐标，设出其在矩阵M 对应的变换作用下得到点的坐标，根据坐标变换列方程，解方程求得两者坐标对应关系式，再代入1C 方程，化简后可求得2C 的方程. 【详解】解（1）设所求逆矩阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则122210212201a b a c b d c d a c b d ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即21202021a cb d ac bd +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得13232313a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩，所以112332133M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. （2）设曲线1C 上任一点坐标为()00,x y ，在矩阵M 对应的变换作用下得到点(),x y ，则001221x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即000022x y x x y y +=⎧⎨+=⎩， 解得002323y x x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩. 因为2201x y -=，所以2222133y x x y --⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得223y x -=，所以2C 的方程为223y x -=. 【点睛】本小题主要考查逆矩阵的求法，考查利用矩阵变换求曲线方程，考查运算求解能力，属于中档题.18．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.【答案】【解析】 【分析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】由特征值、特征向量定义可知，，即，得同理可得解得，，，.因此矩阵【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单19．（1）已知矩阵1202A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，矩阵B 的逆矩阵111202B -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，求矩阵AB . （2）已知矩阵122M x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为3，求10M . 【答案】（1）51401⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦;（2）29525295242952429525⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）依题意，利用矩阵变换求得11112124()221010222B B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，再利用矩阵乘法的性质可求得答案．（2）根据特征多项式的一个零点为3，可得x 的值，即可求得矩阵M ，运用对角化矩阵，求得所求矩阵． 【详解】（1）解：111202B -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦Q ，11112124()221010222B B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，又1202A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，1202AB ⎡⎤∴=⎢⎥-⎣⎦151********⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦． （2）解：矩阵122M x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征多项式为12()(1)()42f x x λλλλλ--==-----， 可得2(3)40x --=，解得1x =，即为1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.由()0f λ=可得13λ=，21λ=-， 当13λ=时，由12321x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即23x y x +=，23x y y +=，即x y =，取1x =， 可得属于3的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 当11λ=-时，由1221x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2x y x +=-，2x y y +=-，即x y =-，取1x =，可得属于1-的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦.设1111P ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，则111221122P -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，13001M P P -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， 101115904905904912952529524220159049111295242952522M P P -⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，考查了特征值与特征向量，考查了矩阵的乘方的计算的知识.20．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ，B=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 求AB;若曲线C 1;22y =182x + 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ，求C 2的方程.【答案】（1）0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）228x y += 【解析】试题分析：（1）直接由矩阵乘法可得；（2）先根据矩阵乘法可得坐标之间关系，代入原曲线方程可得曲线2C 的方程． 试题解析：解：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以AB =01101002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）设()00,Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(),P x y ,则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩. 因为()00,Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=.因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2C ：228x y +=. 点睛:（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换：a b x x c d y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦'表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''．。
高考数学压轴专题新备战高考《矩阵与变换》真题汇编及答案解析
【高中数学】数学高考《矩阵与变换》试题含答案一、151．用行列式讨论下列关于x 、y 、z 的方程组121ax y z x y az x y z --=⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩的解的情况，并求出相应的解.【答案】（i ）当1a ≠±时有唯一解.∴方程组的解为：02131x a y a z a ⎧⎪=⎪-⎪=⎨+⎪⎪=-⎪+⎩；（ii ）当1a =-时，无解；(iii) 当1a =时,有无穷多解.∴通解为：3212x t y z t ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩.【解析】 【分析】首先由二元一次方程组得到矩阵：,,,x y z D D D D ，然后根据条件判断a 的不同取值方程组解的情况，并分类讨论. 【详解】方程组可转化为： 1 111 1 21 1 11a x a y z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦2 1 11 1 1(1)(1)1 1 1a D a a a a --=-=-=-+---,21 1 1 1 1 1 12 1 0, 1 2 32, 1 1 2331 1 11 1 11 1 1x y z a a D a D a a a D a ----=-==-=-+==-----Q（i ）当1a ≠±时有唯一解.∴方程组的解为：02131x a y a z a ⎧⎪=⎪-⎪=⎨+⎪⎪=-⎪+⎩；（ii ）当1a =-时，无解；(iii ) 当1a =时,有无穷多解.∴通解为：3212x t y z t ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩.【点睛】本题考查了二元一次方程组和矩阵形式、以及行列式值的计算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.2．讨论关于x ，y ，z 的方程组2112x y z x y az x ay a z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解的情况.【答案】当1a ≠时，有唯一解2,11,0.a x a y a z -⎧=⎪-⎪=-⎨⎪=⎪⎩；当1a =时，无解.【解析】 【分析】先根据方程组中x ，y ，z 的系数及常数项计算出D ，x D ，y D ，z D ，再对a 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】方程组可转化为：2111111121x a a a y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，2211111(1)1a a D a a ==--，21111(1)(2)12x D a a a a a ==---，211111112y D a a a ==-+，111101112z D a ==，（1）当系数行列式||0D ≠时，方程组有唯一解，即1a ≠时，有唯一解2,11,0.a x a y a z -⎧=⎪-⎪=-⎨⎪=⎪⎩（2）当1a =时，原方程组等价于112x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩所以无解.【点睛】本题考查三元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性、唯一性、三元一次方程的解法等基础知识，考查运算求解能力．3．已知P :矩阵图5110x x ⎛⎫+⎪+ ⎪ ⎝的某个列向量的模不小于2；Q :行列式114203121mx ----中元素1-的代数余子式的值不大于2,若P 是Q 成立的充分条件,求实数m 的取值范围.【答案】[2,)+∞ 【解析】 【分析】先根据行列式中元素1-的代数余子式的值求出P ，再根据矩阵图某个列向量的模不小于2求出Q ，结合P 是Q 成立的充分条件可得实数m 的取值范围. 【详解】因为矩阵图5110x x ⎛⎫+⎪+ ⎪ ⎝的某个列向量的模不小于2，所以521x x +≥+，解得 13x -≤≤；因为行列式114203121mx ----中元素1-的代数余子式的值不大于2，所以2323211mm x x --=-+≤，即21m x ≤-； 因为P 是Q 成立的充分条件，所以213m -≥，解得2m ≥；故实数m 的取值范围是[2,)+∞.【点睛】本题主要考查矩阵和行列式的运算及充分条件，明确矩阵和行列式的运算规则是求解的关键，充分条件转化为集合的包含关系，侧重考查数学运算的核心素养.4．设点(,)x y 在矩阵M 对应变换作用下得到点(2,)x x y +． （1）求矩阵M ；（2）若直线:25l x y -=在矩阵M 对应变换作用下得到直线l '，求直线l '的方程．【答案】（1）2011⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）3x -4y -10=0. 【解析】 【分析】（1）设出矩阵M ，利用矩阵变换得到关于x 、y 的方程组，利用等式恒成立求出矩阵M ；（2）设点(,)x y 在直线l 上，利用矩阵变换得到点(,)x y ''，代入直线l 中，求得直线l '的方程． 【详解】解：（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由题意，2a b x xM c d y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦g ， 所以2ax by x +=，且cx dy x y +=+恒成立； 所以2a =，0b =，1c =，1d =； 所以矩阵2011M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （2）设点(,)x y 在直线l 上，在矩阵M 对应变换作用下得到点(,)x y ''在直线l '上， 则2x x '=，y x y '=+，所以12x x ='，12y y x ='-'； 代入直线:25l x y -=中，可得34100x y '-'-=； 所以直线l '的方程为34100x y --=． 【点睛】本题考查了矩阵变换的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．5．已知线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．()1写出方程组的系数矩阵和增广矩阵； ()2运用矩阵变换求解方程组．【答案】（1）矩阵为5225⎛⎫ ⎪⎝⎭，增广矩阵为5210.258⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）34212021x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】 【分析】()1由线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，能写出方程组的系数矩阵和增广矩阵．()2由170345010521052102121258102540202001012121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，能求出方程组的解． 【详解】（1）Q 线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．∴方程组的系数矩阵为5225⎛⎫⎪⎝⎭， 增广矩阵为5210.258⎛⎫⎪⎝⎭（2）因为5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，1703452105010521052105210212120258102540021202020010101212121⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴→→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-----⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，34212021x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩．【点睛】本题考查方程组的系数矩阵和增广矩阵的求法，考查运用矩阵变换求解方程组，考查矩阵的初等变换等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．已知矩阵11m A m ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（0m >）满足24A I =（I 为单位矩阵）． （1）求m 的值；（2）设(,)P x y ，,()'Q x y '．矩阵变换11x m x y m y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭可以将点P 变换为点Q ．当点P 在直线:1l y x =+上移动时，求经过矩阵A 变换后点Q 的轨迹方程．（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．【答案】（1）m （2）1)1)40x y ''--=（3）存在，1:l y x =，2:l y =．【解析】 【分析】（1）计算2A ，由24A I =可求得m ；（2）由11x x y y ⎛'⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'-⎝⎭⎝⎭⎭，得x x y y ⎧=+⎪⎨=-''⎪⎩，解得44x x y y ⎧=+⎪⎨='-'''⎪⎩．代入1y x =+可得；（3）首先确定这种变换，与坐标轴垂直的直线不合题意，因此设直线l 方程为(0)y kx b k =+≠，求出变换后的直线方程，两方程表示的直线重合，可求得k ，可分类0b ≠和0b =．【详解】（1）0m >Q ，2221110104110101m m m A m m m ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，m ∴=（2）11x x x y y y ⎛⎛⎫'+⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎪⎪'--⎝⎭⎝⎭⎭⎭Q ，即x x y y ⎧=⎪⎨=-''⎪⎩，44x x y y ⎧=+⎪∴⎨='-'''⎪⎩． ∵点(,)P x y 在直线1y x =+上，4y x ''''-=++，即点()','Q x y的轨迹方程1)1)40x y ''--+-=． （3）垂直于坐标轴的直线不合要求．设:(0)l y kx b k =+≠，(,)P x y ，()Q x y +-()y k x b -=++Q ，1)(y k x b ∴-+=+当0b ≠时，1)1,k k -+==，无解．当0b =220k =⇒+-=,解得3k =或k =∴所求直线是1:3l y x =，2:l y =． 【点睛】本题考查矩阵的运算，考查矩阵变换，求变换后的曲线方程，可设原曲线上点坐标为(,)P x y ，变换后为()','Q x y ，由矩阵运算得'(,)'(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩，然后解得(',')(',')x h x y y i x y =⎧⎨=⎩，把(,)x y 代入原曲线方程即得新方程．7．设,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a cc b a a c b . （1）求字母b 的代数余子式的展开式；（2）若（1）的值为0，判断直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系. 【答案】（1）233b ac -；（2）重合. 【解析】 【分析】（1）根据字母b 的代数余子式的展开式()()()246111b a b c b a c ba bc b-+-+-即可求解；（2）根据（1）的值为0，得出边长的关系，即可判断直线位置关系. 【详解】（1）,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a cc b a a c b ，所以字母b 的代数余子式的展开式为：()()()246111b a b c b a c ba bc b-+-+-222b ac b ac b ac =-+-+- 233b ac =-（2）若（1）的值为0，即2330b ac -=，2b ac =，b c a b=， 由正弦定理：sin sin c C b B= 所以sin sin c C b c b B a b-===- 所以直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系是重合. 【点睛】此题考查求代数余子式的展开式，得出三角形边长关系，结合正弦定理判断两直线的位置关系，跨章节综合性比较强.8．已知函数cos 2()sin 2m x f x nx=的图象过点(12π和点2(,2)3π-. （1）求函数()f x 的最大值与最小值；（2）将函数()y f x =的图象向左平移(0)ϕϕπ<<个单位后，得到函数()y g x =的图象；已知点(0,5)P ，若函数()y g x =的图象上存在点Q ，使得||3PQ =，求函数()y g x =图象的对称中心.【答案】（1）()f x 的最大值为2，最小值为2-；（2）(,0)()24k k Z ππ+∈. 【解析】 【分析】（1）由行列式运算求出()f x ，由函数图象过两点，求出,m n ，得函数解析式，化函数式为一个角的一个三角函数式，可求得最值；（2）由图象变换写出()g x 表达式，它的最大值是2，因此要满足条件，只有(0,2)Q 在()g x 图象上，由此可求得ϕ，结合余弦函数的性质可求得对称中心．【详解】（1）易知()sin 2cos 2f x m x n x =-，则由条件，得sin cos 6644sin cos 233m n m n ππππ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得 1.m n ==-故()2cos22sin(2)6f x x x x π=+=+.故函数()f x 的最大值为2，最小值为 2.-（2）由（1）可知： ()()2sin(22)6g x f x x πϕϕ=+=++.于是，当且仅当(0,2)Q 在()y g x =的图象上时满足条件.(0)2sin(2)26g πϕ∴=+=. 由0ϕπ<<，得.6πϕ=故()2sin(2)2cos 22g x x x π=+=. 由22x k =+ππ，得().24k x k Z ππ=+∈ 于是，函数()y g x =图象的对称中心为：(,0)()24k k Z ππ+∈. 【点睛】本题考查行列式计算，考查两角和的正弦公式，图象平移变换，考查三角函数的性质，如最值、对称性等等．本题主要是考查知识点较多，但不难，本题属于中档题．9．（1）计算行列式34912，5111022，28728--的值；（2）你能否从（1）中的结论得出一个一般的结论？试证明你的结论； （3）你发现的（2）的结论，在三阶行列式中是否成立？【答案】（1）三个行列式的值都为0；（2）0a bka kb=或()0a ka k b kb =∈R ；证明见解析；（3）成立 【解析】 【分析】（1）分别进行化简计算即可求得；（2）观察可知对应行或列应成比例关系，化简求值即可证明； （3）可假设成立，再结合运算关系进行求证即可 【详解】 （1）3436360912=-=，51111011001022=-=，2856560728-=-=-；（2）由（1）可知0a bka kb=或()0a ka k b kb =∈R ，证明如下： 0a bkab kab ka kb =-=，0a ka kab kab b kb=-=，即0a bka kb=或()0a ka k b kb=∈R 成立；（3）假设三阶行列式中成立，即0ab ckakbkc na nb nc=或0a ka na b kb nb c kcnc=证明如下：0a b ckakbkc knabc knabc knabc knabc knabc knabc na nb nc=++---=0a ka nab kb nb knabc knabc knabc knabc knabc knabc c kcnc=++---= 得证，故三阶行列式也成立 【点睛】本题考查行列式的简单计算，结论的类比推理，属于基础题10．已知矩阵13m P m m ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，x Q y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2M m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，13N m ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，若PQ =M +N .(1) 写出PQ =M +N 所表示的关于x 、y 的二元一次方程组； (2) 用行列式解上述二元一次方程组.【答案】(1) 1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩；(2) 见解析【解析】 【分析】(1)利用矩阵的乘法和加法的运算法则直接计算并化简即可得出答案；(2)先由二元一次方程组中的系数和常数项计算出D ，D x ，D y ，然后再讨论m 的取值范围，①当m ≠0,且m ≠-3时，②当m =0时，③当m =-3时，分别求出方程组的解即可得出答案. 【详解】解：(1) 由题意可得PQ=13mm m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=3mx y mx my +⎛⎫ ⎪-⎝⎭，M+N=213m m -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=123m -⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以由PQ= M+N ，可得3mx y mx my +⎛⎫ ⎪-⎝⎭=123m -⎛⎫⎪+⎝⎭，即得1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩； (2) 由题意可得行列式1(3)3m D m m m m==-+-，1(3)231x D m m m==--++- ,12(3)323y mD m m m m -==++①当m ≠0,且m ≠-3时，D ≠0，方程组有唯一解12x m y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩；②当m =0时，D =0,但D x ≠0，方程组无解； ③当m =-3时，D =D x =D y =0，方程组有无穷多解31x ty t =⎧⎨=-⎩(t ∈R ).【点睛】本题考查了矩阵的乘法加法运算法则的应用，考查了用行列式求解二元一次方程组方法的应用，对参数的讨论是用行列式解二元一次方程组的关键，考查了运算能力，属于一般难度的题.11．已知矩阵4321M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量75α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r . （1）求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量； （2）求3M α.【答案】（1）特征值为11λ=，22λ=，分别对应的特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦和32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（2）34933M α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r .【解析】 【分析】（1）根据特征值的定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；（2）7132512α⎛⎫⎡⎤⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦r g ，即可求3M αr．【详解】（1）矩阵M 的特征多项式为()(1)(2)f λλλ=--， 令()0f λ=，可求得特征值为11λ=，22λ=，设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则由1M λαα=，得330x y -+=，可令1x =，则1y =-， 所以矩阵M 的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 同理可得矩阵M 的一个特征值22λ=对应的一个特征向量为32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）7132512α⎛⎫⎡⎤⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦r g所以331349221233M α⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⨯⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦r ．【点睛】本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．12．在平面直角坐标系xOy 中，设点()1,2A -在矩阵1001M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90o 得到点B '，求点B '的坐标． 【答案】()1,4- 【解析】试题分析：先根据矩阵运算确定()1,2A '，再利用向量旋转变换0110N -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦确定：A B ''u u u u r.因为，所以1{4x y =-= 试题解析：解：设(),B x y '，依题意，由10110122--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得()1,2A ' 则．记旋转矩阵0110N -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则01211022x y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2122x y --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，解得1{4x y =-=， 所以点B '的坐标为()1,4- 考点：矩阵运算，旋转矩阵13．设矩阵12M x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2411N ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，若02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的逆矩阵1M -．【答案】132554155M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】根据矩阵的乘法运算求出MN ，然后由02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦列出方程组，即可求出4,3x y ==，从而确定矩阵M ，再利用求逆矩阵的公式，即可求出矩阵M 的逆矩阵1M -．【详解】解：因为02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，所以25,413.x y x y -=⎧⎨-=⎩所以4,3x y ==；矩阵1243M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵132554155M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题主要考查矩阵的乘法运算及逆矩阵的求解．14．已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程.【答案】（1）2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）292y x x =- 【解析】 【分析】（1）根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得,a b 的值，即可得到矩阵M ；（2）根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程． 【详解】解：（1）依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即31333a b -+=⎧⎨-+=-⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，所以2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；（2）设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(),P x y '''，则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即23x x y y x ''=+⎧⎨=⎩， 因为2y x ''=，所以292x x y =+， 所以曲线C 的方程为292y x x =-． 【点睛】本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程，本题属中档题．15．矩阵与变换:变换1T 是逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是1M 变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦求曲线221x y +=的图象依次在12,T T 变换的作用下所得曲线的方程.【答案】22221x xy y -+= 【解析】 【分析】旋转变换矩阵10110M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求出211110M M M -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后曲线上任一点，与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得到00x y y y x =⎧⎨=-⎩，即得解.【详解】旋转变换矩阵10110M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦记21110111011010M M M --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后曲线上任一点，与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，面积00x x M y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，也就是000x x y y x =-⎧⎨=⎩，即00x y y y x =⎧⎨=-⎩， 代入22001x y +=，得22()1y y x +-=，所以所求曲线的方程是22221x xy y -+= 【点睛】本题主要考查矩阵和变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16．已知向量11α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦v 是矩阵103a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值λ的一个特征向量. （1）求实数a ，λ的值；（2）求2A .【答案】（1）4,3.a λ=⎧⎨=⎩（2）216709A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）根据特征值的定义可知A αλα=u r u r，利用待定系数法求得实数a ，λ的值。
高中数学矩阵与变换(二)课后练习二新人教版选修4-2
2已知矩阵A =-4题2设M 是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿 y 轴方向伸长为原来5倍的伸压变换.(1) 求直线4x 10y 1在M 作用下的方程； (2) 求M 的特征值与特征向量.题3.1 2已知a € R 矩阵A =，对应的线性变换把点 P (1,1)变成点P (3,3)，求矩阵 A 的特征a 1值以及每个特征值的一个特征向量.题4.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点A (0,0) , B ( — 2,0) , C ( — 2,1).设k 为非零实数，矩阵 Mk 0 0 1=o 1，N = 1 o ，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为 A 、B 、C , △ ABC 的面积是厶ABC 的面积的2倍，求k 的值.题51 01 1已知矩阵AB2 ,若矩阵AB 对应的变换把直线1 : x y 2 0变为直线0 20 1I'，求直线I'的方程.专题：矩阵与变换(二)，求满足AX B 的二阶矩阵X .所以所求曲线的方程为 4x 2y 1.(2)矩阵M 的特征多项式f( )1( 1)( 5) 0,5所以M 的特征值为1 1, 2 5 .当 二 11时，由M 11 1 1，得特征向量1当25时，由M 22 2，得特征向量21题3.1 1 答案：特征值为入 1 = — 1,入2= 3;特征向量为和 —1 11 21 33 详解：由题意= =, a 1 1a +13课后练习详解91 答案： 25—3 1详解：由题意得A 1=2 2,2 11 9— 4—1 - — 1 2 =2—3 115 — 1答案: (1) 4x 2y详解：(1) M设(x, y)是所求曲线上的任一点,所以x x, y 5y,x x ,所以 1 代入4x 10y 1得，4x y -y,52y题13 •/ AX B ,「. X = A 1B = 2得a+ 1 = 3,即a= 2,矩阵A的特征多项式为•••直线I 的方程为4x y 8 0入一1 — 2f （入）==（入一1）2 — 4=（入 + 1）（入一3）,—2 入一 1 令f （入）=0，所以矩阵 A 的特征值为 入1=— 1,入2= 3.2x + 2y = 0 ①对于特征值 入1 = 一1,解相应的线性方程组2x + 2y = 0x = 1得一个非零解，y =— 11因此，a = 是矩阵A 的属于特征值 入1=— 1的一个特征 —1 向量；2x — 2y = 0x = 1②对于特征值⑴3,解相应的线性方程组—2x + 2y = 0 ，得一个非零解y = 1，1因此，（3 = 是矩阵A 的属于特征值入2= 3的一个特征向量.1 题4.答案：—2或2.详解: 由题设得 MN= k 00 1 0 1 0 1 0 = 1 k 0 .由0 k 0 0 0 k —2 0 0 k — 2 k 由1 0 0 = 0， 1 0 0 = — 2， 1 0 1 = — 2， 可知」 A(0,0), B(0，- -2), C (k ,— 2).计算得△ ABC 的面积是1, △ ABC 的面积是| k | , 由题设知| k | = 2X 1= 2,所以k 的值为一2或2. 题5 答案：4x y 8 0.1 0 AB0 2y 20 中得 x — y — 2 0,4 2在直线I 上任取一点P （x, y ），经矩阵 AB 变换为点Q （x,y ）,11 x2 0 2 y11x y .x x y 2 , •22y y 2y详解：易得 1x y 4代入xy 2。
矩阵与变换(江苏高考题)
《选修4 - 2：矩阵与变换》高考题（2014-2008）1、（2014年江苏）已知矩阵1211,121A B x -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，向量2a y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦v ，,x y 是实数，若Aa Ba =v v ，求,x y 的值。
2、（2013年江苏）已知矩阵1012,0206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求矩阵B A 1-。
3、（2012年江苏）已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值． 4、（2011年江苏）已知矩阵1121A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求向量α，使得2A αβ=． 5、（2010年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A(0,0),B(-2,0),C(-2,1),设k ≠0，k ∈R ，M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110,点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点1A 、1B 、1C ，111C B A ∆的面积是ABC ∆面积的2倍，求实数k 的值6、（2009年江苏）求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵. 7、（2008年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎣⎡⎦⎤2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．《选修4 - 2：矩阵与变换》高考题（2014-2008）解答（2013年江苏）已知矩阵1012,0206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求矩阵B A 1-。
解：设矩阵A 的逆矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a K K ,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2001K K ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a K K =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001K K ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--d c b a 22K K =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001K K ，故a=-1，b=0，c=0，d=21∴矩阵A 的逆矩阵为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅-=-210011ΛK A , ∴B A 1-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅-21001ΛK ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6021K K =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅--3021ΛK（2012年江苏）已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值． 解析：（2011年江苏）已知矩阵1121A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求向量α，使得2A αβ=． 解析：设x y α⎡⎤=⎣⎦，由2A αβ=得： 321432x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，32111,43222x y x x y y α+==--⎧⎧⎡⎤∴∴∴=⎨⎨⎢⎥+==⎩⎩⎣⎦（2010年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k ≠0，k ∈R ，M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110,点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点1A 、1B 、1C ，111C B A ∆的面积是ABC ∆面积的2倍，求实数k 的值（2009年江苏）求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵. [解析] 本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。
高中数学选修42矩阵与变换知识点复习课课件苏教
坐标变换：通过矩阵运算实 现图形的平移、旋转、缩放 等变换
动画制作：通过矩阵运算实 现图形的动画效果，如变形、
运动等
矩阵在其他领域中的应用
物理：在力学、电磁学、量子力学等领域，矩阵被用来描述物理系统的状态和变化
计算机科学：在计算机图形学、人工智能、数据挖掘等领域，矩阵被用来处理和表示数据
高中数学选修4-2矩阵 与变换知识点复习课 课件
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CONTENTS
01 添加目录标题 02 矩阵与变换概述 03 矩阵的逆与行列式 04 矩阵的秩与特征值 05 矩阵的几何意义与线性变换的矩阵表示
06 矩阵的应用举例
单击添加章节标题
第一章
矩阵与变换概述
第二章
矩阵的定义与性质
矩阵的定义：由m行n列的数组 成的m*n个数阵
矩阵与线性变换的关系
矩阵是线性变换的一种表示方法 线性变换可以通过矩阵乘法来实现 矩阵的逆矩阵表示线性变换的逆操作 矩阵的秩表示线性变换的维数
矩阵的逆与行列式
第三章
矩阵的逆
逆矩阵的定义：满足AB=BA=I的矩阵B称为矩阵A的逆矩阵 逆矩阵的性质：逆矩阵的唯一性、逆矩阵的线性性、逆矩阵的乘法性质 逆矩阵的求法：利用初等行变换求逆矩阵、利用伴随矩阵求逆矩阵 逆矩阵的应用：求解线性方程组、求解矩阵方程、求解线性规划问题
行列式的定义与性质
行列式的定义： 矩阵中主对角线 元素的乘积
行列式的性质： 行列式等于其转 置行列式的值
行列式的计算方 法：利用行列式 的性质进行计算
行列式的应用： 求解线性方程组、 判断矩阵是否可 逆等
行列式的计算方法
初等变换法：通过行变换或列变换 将矩阵化为行阶梯形或列阶梯形， 然后计算行列式
选修4-2选修4-2--矩阵与变换
解：设M＝
依题意得 且
它是沿x轴方向的切变变换．
(2)∵
故点C′的坐标是(－1，－1)．
变式1：(南京调研)已知矩阵M＝
，N＝
.在平面直角坐标系中，设
直线2x－y＋1＝0在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求曲线F的方程．
解：由题设得MN＝
设(x，y)是直线2x－y＋1＝0上任意一点，点(x，y)在矩阵MN对应的变
(2)像
这样的矩阵，称为沿y轴或x轴的垂直伸压 变换矩阵．
(3)像
这样的矩阵，称为反射变换矩阵．
(4)像
这样的矩阵，称为旋转变换矩阵．
(5)像
这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵，称
为投影变换矩阵．
(6)像
(k∈R，k≠0)这样的矩阵，称为切变变换矩阵．
3．变换的复合与矩阵的乘法 (1)对于矩阵
(1)设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα
＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特
征向量．
(2)设A＝
是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝
＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc称为A的特征多项式．
1．已知A＝
， B＝
，且A＝B，则x＝________，y＝________，z
(2)只有一行的矩阵称为行矩阵．
(3)只有一列的矩阵称为列矩阵．
(4)所有元素都为0的矩阵叫做 零 矩阵．
(5)对于两个矩阵A，B，只有当A，B的行数与列数分别相等，并且对应位置的元
素 也分别相等时 ，A和B才相等，记作 A＝B .
2．几种常见的平面变换
(1)矩阵E＝
称为恒等变换矩阵或 单位 矩阵．
高考数学压轴专题最新备战高考《矩阵与变换》难题汇编及答案
【高中数学】高考数学《矩阵与变换》练习题一、151．已知矩阵2101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（1）求矩阵M 的特征值及特征向量； （2）若21α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦r，求3M αv . 【答案】（1）特征值为2；对应的特征向量为210α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r（2）91⎡⎤⎢⎥-⎣⎦【解析】 【分析】(1)先根据特征值得定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；(2)由12ααα=+u u r u u r r可得33312M M M ααα=+u u r u u r r ，求解即可. 【详解】（1）矩阵M 的特征多项式为21()01f λλλ--=-(2)(1)λλ=--，令()0f λ=，得矩阵M 的特征值为1或2，当1λ=，时由二元一次方程0000x y x y --=⎧⎨+=⎩. 得0x y +=，令1x =，则1y =-， 所以特征值1λ=对应的特征向量为111α⎡-⎤=⎢⎥⎣⎦； 当2λ=时，由二元一次方程0000x y x y -=⎧⎨+=⎩. 得0y =，令1x =，所以特征值2λ=对应的特征向量为210α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r；（2）1221ααα⎡⎤==+⎢⎥-⎣⎦u ur u u r rQ ，33312M M M ααα∴=+u u r u u r r 331212αα=+u u r u u r 311210⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦91⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.【点睛】本题考查矩阵特征值与特征向量的计算，矩阵的乘法运算，属于基础题.2．解关于x ，y 的方程组93x ay aax y +=⎧⎨+=⎩.【答案】分类讨论，详见解析 【解析】 【分析】分别计算得到29D a =-，6x D a =，23y D a =-，讨论得到答案.【详解】2199a D a a ==-，639x a a D a ==，2133y a D a a ==-.当3a ≠±时，0D ≠，此时方程有唯一解：2226939a x a a y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩； 当3a =±时，0D =，0x D ≠，方程无解. 综上所述：3a ≠±，有唯一解；3a =±，无解. 【点睛】本题考查了通过行列式讨论方程组的解的情况，分类讨论是一个常用的方法，需要同学熟练掌握.3．用行列式解方程组231231x y z x y az ay z +-=-⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，并加以讨论.【答案】当1a ≠且52a ≠-时，原方程有唯一解1125225525a x a y a z a +⎧=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩；当52a =-时，方程组无解； 当1a =时，方程组有无穷多解，解为()11,x t y t t R z t =-⎧⎪=+∈⎨⎪=⎩【解析】 【分析】分别得到D ，x D ，y D ，z D ，然后分别得到它们等于0，得到相应的a 的值，然后进行讨论.【详解】()()2131225101D a a a a-=-=-+--，()()1133211111x D a a a a--=--=-+-，()2131321011y D a a --=-=---，()2111235101z D a a-=--=-当1a ≠且52a ≠-时，原方程有唯一解1125225525a x a y a z a +⎧=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩；当52a =-时，原方程等价于2315232512x y z x y z y z ⎧⎪+-=-⎪⎪--=-⎨⎪⎪---=⎪⎩，方程组无解；当1a =时，原方程组等价于231231x y z x y z y z +-=-⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，方程组有无穷多解，解为()11,x t y t t R z t =-⎧⎪=+∈⎨⎪=⎩【点睛】本题考查通过行列式对方程组的解进行讨论，属于中档题.4．解关于x ，y 的方程组2122ax y a ax ay a+=+⎧⎨-=-⎩.【答案】见解析 【解析】 【分析】根据对应关系，分别求出D ，x D ，y D ，再分类讨论即可 【详解】 由题可得：()122a D a a a a==-+-，()2211=212x a D a aa+=-+--，221522y a a D a aa+==--.所以，（1）当0a ≠且2a ≠-时，()()221252a x a a a y a ⎧+⎪=⎪+⎨⎪=⎪+⎩； 当0a =或2-时，0x D ≠，方程组无解 【点睛】本题考查二元一次方程的解与行列式的对应关系，属于中档题5．求证：sin cos 1sin 2cos 21sin 22sin sin 3cos31xx xx x x xx =-. 【答案】证明见解析【解析】 【分析】先利用三阶矩阵的计算方法，化简等式的左边，再结合两角差的正弦公式化简即可证明． 【详解】sin cos 1sin 2cos 2sin cos sin cos sin 2cos 21sin 3cos3sin 3cos3sin 2cos 2sin 3cos31x x x x x x x x x x x x x x x xxx =-+=sin （-x ）-sin（-2x ）+sin （-x ）=sin 2x -sin 2x . 【点睛】本题考查行列式的运算法则及性质的应用，变换的能力及数学分析能力，涉及两角和差的正弦公式，属于中档题．6．利用行列式讨论关于,x y 的方程组1323ax y ax ay a +=-⎧⎨-=+⎩解的情况.【答案】①当03a a ≠≠-且时，方程组有唯一解12x a y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩；②当0a =时，方程组无解；③当3a =-时，方程组有无穷多解，可表示为()31x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩.【解析】 【分析】由题,可得()()()3,3,23x y D a a D a D a a =-+=-+=+,分别讨论方程组有唯一解,无解,无穷多解的情况即可 【详解】()21333a D a a a a a a==--=-+-, ()()11233323x D a a a a a a-==-+=--=-++-, ()()212332623323y aD a a a a a a a a a -==++=+=++,①当03a a ≠≠-且时,方程有唯一解,()()()()3132323x y a D x D a a a D a a y D a a ⎧-+===⎪-+⎪⎨+⎪===-⎪-+⎩,即12x a y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩；②当0a =时,0D =，30x D =-≠,方程组无解；③当3a =-时,0x y D D D ===,方程组有无穷多解,设()x t t R =∈,则原方程组的解可表示为()31x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩.【点睛】本题考查利用行列式解方程组,考查运算能力,考查分类讨论思想7．用行列式解关于的二元一次方程组：12(1)x y x k y k +=⎧⎨++=⎩.【答案】1k =时,方程组无解; 1k ≠时,12,11k x y k k -==-- 【解析】 【分析】由题方程组中x ,y 的系数及常数项求出D,D ,D X y ,然后再讨论k 的值进行求解方程组的解. 【详解】由题意可得:11D 21k =+= 1k -,11D 11X kk ==+,11 D 22y k k==-,∴当D ?10k =-≠即1k ≠时,方程组有唯一解即D 1D 1X x k ==-,D 2 D 1y k y k -==-; 当D ?10k =-=即1k =时,方程组无解.综上所述: 1k ≠时,方程组有唯一解1121x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩; 1k =时,方程组无解.【点睛】本题考查了二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解得存在性、唯一性以及二元方程解法等基础知识,考查了学生的运算能力,属于中档题.8．已知线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．()1写出方程组的系数矩阵和增广矩阵； ()2运用矩阵变换求解方程组．【答案】（1）矩阵为5225⎛⎫ ⎪⎝⎭，增广矩阵为5210.258⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）34212021x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】 【分析】()1由线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，能写出方程组的系数矩阵和增广矩阵．()2由170345010521052102121258102540202001012121⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，能求出方程组的解． 【详解】（1）Q 线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．∴方程组的系数矩阵为5225⎛⎫⎪⎝⎭， 增广矩阵为5210.258⎛⎫⎪⎝⎭（2）因为5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，1703452105010521052105210212120258102540021202020010101212121⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴→→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-----⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，34212021x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩．【点睛】本题考查方程组的系数矩阵和增广矩阵的求法，考查运用矩阵变换求解方程组，考查矩阵的初等变换等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．计算：12131201221122120-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】91559124-⎛⎫⎪--⎝⎭【解析】 【分析】直接利用矩阵计算法则得到答案. 【详解】121312011213140222112212021122240-⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 123319155213629124----⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了矩阵的计算，意在考查学生的计算能力.10．已知函数2sin ()1x xf x x -=．（1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域； （2）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭4a =，5b c +=，求ABC V 的面积． 【答案】（1）1⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；（2【解析】 【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域． （2）由条件求得A ，利用余弦定理求得bc 的值，可得△ABC 的面积． 【详解】 解：（1）21()sin cos cos 2)sin 2sin 22232f x x x x x x x π⎛⎫=+=++=++⎪⎝⎭Q ， 又02x π≤≤，得42333x πππ≤+≤，所以sin 21,0sin 2123322x x ππ⎛⎫⎛⎫-≤+≤≤++≤+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为0,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦； （2）∵2A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，sin 3A π⎛⎫∴+=⎪⎝⎭， 由(0,)A π∈，知4333A πππ<+<， 解得：233A ππ+=，所以3A π=． 由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，即2216b c bc =+-，216( c)3b bc ∴=+-．因为5b c +=，所以3bc =，1sin 2ABC S bc A ∆∴==【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、正弦函数的定义域和值域，余弦定理的应用，属于中档题．11．已知向量102112A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦u r ，求矩阵1A -u r 的特征值和属于该特征值的特征向量.【答案】特征值：1,2-；对应特征向量：12⎛⎫ ⎪-⎝⎭，11⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】【分析】先求得1A -u r，以及其特征多项式()fλ，令()0f λ=解得特征值，最后根据特征向量的定义求解即可. 【详解】设1A -u r a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则由A u r 1A -u r E =r 可得 10? 1?02 10? 1?1? 2a b c d ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 解得1,1,2,0a b c d =-=-=-=，故得1A -u r 1? 12?0--⎛⎫= ⎪-⎝⎭.则其特征多项式()()1? 1?122? f λλλλλ+==+-，令()0fλ=，可得特征值为121,2λλ==-.设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎛⎫= ⎪⎝⎭，则由11A λαα-=r ，的2y x =-，令1x =，则2y =- 故矩阵1A -u r 的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为12⎛⎫ ⎪-⎝⎭；同理可得矩阵1A -u r 的一个特征值22λ=-对应的一个特征向量为11⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查矩阵特征值和特征向量的求解，属中档题.12．给定矩阵，；求A 4B ．【答案】【解析】试题分析：由题意已知矩阵A=，将其代入公式|λE ﹣A|=0，即可求出特征值λ1，λ2，然后解方程求出对应特征向量α1，α2，将矩阵B 用征向量α1，α2，表示出来，然后再代入A 4B 进行计算即可．解：设A 的一个特征值为λ，由题知=0（λ﹣2）（λ﹣3）=0 λ1=2，λ2=3当λ1=2时，由=2，得A的属于特征值2的特征向量α1=当λ1=3时，由=3，得A的属于特征值3的特征向量α2=由于B==2+=2α1+α2故A4B=A4（2α1+α2）=2（24α1）+（34α2）=32α1+81α2=+=点评：此部分是高中新增的内容，但不是很难，套用公式即可解答，主要考查学生的计算能力，属于中档题．13．已知=是矩阵M=属于特征值λ1=2的一个特征向量．（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）若，求M10a．【答案】（Ⅰ）M=；（Ⅱ）M10=．【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意，M=，从而，由此能求出矩阵M．（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）知矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣1）（λ﹣2），矩阵M 的另一个特征值为λ2=1，设=是矩阵M属于特征值λ2=1的特征向量，由已知得=，由此能求出M10．（Ⅱ）（方法二）M2=MM=，，M5=M3M2，M10=M5M5，由此能求出M10．解：（Ⅰ）依题意，M=，，∴，解得a=1，b=2．∴矩阵M=．（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）知矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣1）（λ﹣2），∴矩阵M的另一个特征值为λ2=1，设=是矩阵M 属于特征值λ2=1的特征向量，则， ∴，取x=1，得=，∴，∴M 10==．（Ⅱ）（方法二）M 2=MM=，，M 5=M 3M 2==，M 10=M 5M 5==， ∴M 10=．点评：本题考查矩阵与变换、特殊性征向量及其特征值的综合应用等基本知识，考查运算求解能力．14．已知矩阵120A x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，5723B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 的逆矩阵1B -满足17177AB y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. （1）求实数x ，y 的值；（2）求矩阵A 的特征值和特征向量.【答案】（1）1,3x y ==；（2）特征值为2-和1，分别对应一个特征向量为21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】 （1）计算()1ABB -，可得12514721y y -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦，根据()1A AB B -=，可得结果. （2）计算矩阵A 的特征多项式()121fλλλ+-=-，可得2λ=-或1λ=，然后根据Ax x λ=r r，可得结果.【详解】（1）因为17177AB y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，5723B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所以()17175712723514721AB B y y y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦由()1A AB B -=，所以12120514721x y y --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦所以514172103y x x y y -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩（2）矩阵A 的特征多项式为：()()()()1212211f λλλλλλλ+-==+-=+--令()0f λ=，解得2λ=-或1λ= 所以矩阵A 的特征值为2-和1. ①当2λ=-时，12222102x x x y xy y x y--+=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=-⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩ 令1y =，则2x =-，所以矩阵M 的一个特征向量为21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.②当1λ=时，12210x x x y xy y x y--+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩ 令1y =，则1x =所以矩阵M 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 因此，矩阵A 的特征值为2-和1， 分别对应一个特征向量为21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查矩阵的应用，第（1）问中，关键在于()1A ABB -=，第（2）问中，关键在于()1201f λλλ+-==-，考验分析能力以及计算能力，属中档题.15．已知矩阵14a b A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为131a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r ，属于特征值5的一个特征向量为211a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r 求矩阵A .【答案】2314⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】根据矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为131a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r 得到33-=a b ，属于特征值5的一个特征向量为211a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r ，故5a b +=，解得答案.【详解】矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为131a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r ，1114a b a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r u r，故33-=a b ； 属于特征值5的一个特征向量为211a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r ，21514a b a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r u r，故5a b +=， 解得23a b =⎧⎨=⎩，故2314A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了矩阵的特征向量，意在考查学生的计算能力和对于特征向量的理解.16．已知矩阵12A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（c ，d 为实数）.若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为21⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵1A -.【答案】121331166A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】根据特征值的定义可知A αλα=，利用待定系数法建立等式关系，求出矩阵A ，即可求出逆矩阵1A -． 【详解】 解：由题意知，122422121c d c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，12131311c d c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以223c d c d +=⎧⎨+=⎩，解得14c d =-⎧⎨=⎩. 所以1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，所以121331166A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．17．已知变换T 将平面上的点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,1)分别变换为点9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭．设变换T 对应的矩阵为M ． （1）求矩阵M ； （2）求矩阵M 的特征值．【答案】（1）33244M ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦（2）1或6【解析】 【分析】（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，根据变换可得关于a b c d ,,,的方程，解方程即可得到答案； （2）求出特征多项式，再解方程，即可得答案； 【详解】（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则194122a b cd ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦，30214a b c d ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即1924122324a b c d b d ⎧+=⎪⎪⎪+=-⎪⎨⎪=-⎪⎪⎪=⎩，解得33244a b c d =⎧⎪⎪=-⎪⎨⎪=-⎪=⎪⎩，则33244M ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦．（2）设矩阵M 的特征多项式为()f λ，可得233()(3)(24)676244f λλλλλλ-==---=-+-， 令()0f λ=，可得1λ=或6λ=．【点睛】本题考查矩阵的求解、矩阵M 的特征值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.18．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.【答案】【解析】 【分析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】由特征值、特征向量定义可知，，即，得同理可得解得，，，.因此矩阵【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单19．已知a ，b R ∈，若M =13a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T M 把直线2x-y=3变换成自身，试求实数a ，b ． 【答案】【解析】 【分析】 【详解】 设则即此直线即为则..20．已知,,x y z 是关于的方程组000ax by cz cx ay bz bx cy az ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解.（1）求证：()111a bc a b ca b a b c c a bcab c =++； （2）设01,,,z a b c =分别为ABC ∆三边长，试判断ABC ∆的形状，并说明理由；（3）设,,a b c 为不全相等的实数，试判断"0"a b c ++=是“222000o x y z ++>”的 条件，并证明.①充分非必要；②必要非充分；③充分且必要；④非充分非必要. 【答案】（1）见解析（2）等边，见解析（3）④，见解析 【解析】 【分析】（1）将行列式的前两列加到第三列上即可得出结论；（2）由方程组有非零解得出a bc ca b bc a =0，即111a b c a b c =0，将行列式展开化简即可得出a ＝b ＝c ；（3）利用（1），（2）的结论即可答案． 【详解】（1）证明：将行列式的前两列加到第三列上，得：a b ca b a b c ca b c a a b c b c a b c a b c ++=++=++（a +b +c ）•111a b c a b c ．（2）∵z 0＝1，∴方程组有非零解，∴a bc ca b bca=0，由（1）可知（a +b +c ）•111a b c a b c =0． ∵a 、b 、c 分别为△ABC 三边长，∴a +b +c ≠0，∴111a b ca b c =0，即a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac ＝0，∴2a 2+2b 2+2c 2﹣2ab ﹣2bc ﹣2ac ＝0，即（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（a ﹣c ）2＝0， ∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 是等边三角形．（3）若a +b +c ＝0，显然（0，0，0）是方程组的一组解，即x 02+y 02+z 02＝0，∴a+b+c＝0”不是“x02+y02+z02＞0”的充分条件；若x02+y02+z02＞0，则方程组有非零解，∴a b cc a bb c a=（a+b+c）•111a bc ab c=0．∴a+b+c＝0或111a bc ab c=0．由（2）可知a+b+c＝0或a＝b＝c．∴a+b+c＝0”不是“x02+y02+z02＞0”的必要条件．故答案为④．【点睛】本题考查了行列式变换，齐次线性方程组的解与系数行列式的关系，属于中档题．。
北师大版高中数学选修4-2矩阵变换的性质同步练习.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作矩阵变换的性质 同步练习一,选择题1, 矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1002将曲线422=+y x 变换为( )A.圆B.椭圆C.直线D.点2,以下说法错误的是（ ）A ．零向量与任一非零向量平行B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量3,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1201对基向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01i 和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10j 的 变换结果可把向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛87变为( ) A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛822 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛227 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222 D. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛228 二,填空题4,已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011M ,向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12α向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=31β,则=-)2(βαM .5,一般地,对平面上任意直线l ,若l 经过点A,且平行于向量0v ,那么l 的向量方程为 . 6,已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001M ，则该矩阵把坐标系中的图形都变成 . 三,解答题7,试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换 （1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001方程为22+=x y （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001点A （2，5） （3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001点A （3，7） （4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110点A （2，7） （5）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0110点A （a,b ）8,给定图形,如图,在变换下变成什么样的图形,请画出变换后的图形,并指出这是什么变换O xyB(1,1) C(0,1)A(1,0)参考答案1,B 2,C 3,B4,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-125,)(:Rtv tOAOXl∈+=6,一条在x轴上的直线,射线或线段7,(1)变换后的方程仍为直线,该变换是恒等变换(2)经过变化后变为(-2,5),它们关于y轴对称,该变换为关于y轴的反射变换.(3)A(3,7)经过变化后变为(3,-7),它们关于x轴对称,该变换是关于x轴的反射变换.(4)即A(2,7)经过变化后变为(7,2),它们关于直线y=x成轴对称,该变换为关于直线y=x的反射变换.(5)A(a,b)经过变化后变为(-b,-a),该变换为关于直线y=-x的反射变换.8,变成一条端点为原点和A点的x轴上的线段,作图略.这是一个在x轴上的投影变换.。
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第二节 矩阵与变换(选修4
2)
矩阵的线性变换与矩阵的乘法
1.(2011年江苏卷,21B)已知矩阵A=⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡1211,向量β=.求向量α,使得A 2
α=β.
解:A 2
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡3423,
设α=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡y a ,
由A 2
α=β,得⎥⎦⎤⎢⎣⎡3423⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,即⎥⎦⎤⎢⎣⎡++y x y x 3423=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡21,
从而解得
,所以α=⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡21-. 2.(2010年福建卷,理21)已知矩阵M=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡11b a ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 02,且MN=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-0202. (1)求实数a,b,c,d 的值;
(2)求直线y=3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程. 解:法一:(1)由MN=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡11b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++d b bc ad c 22=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-0202 从而解得
(2)因为矩阵M 对应的线性变换将直线变成直线(或点),所以可取直线y=3x 上的两点(0,0),(1,3). 由(1)M=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡--1111, 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111,⎥⎦⎤⎢⎣⎡00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00,⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡31=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-22得
点(0,0),(1,3)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像分别是点(0,0),(-2,2). 从而直线y=3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程为y=-x. 法二:(1)同法一.
(2)设直线y=3x 上的任意点(x,y)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像是点(x',y'),
由⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--y x y x =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-x x 22 得x'=-2x,y'=2x, 所以y'=-x',
即点(x',y')必在直线y=-x 上.
由(x,y)的任意性可知,直线y=3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程为
y=-x.
(1)对于图形变换,首先要分清哪个是变换前的,哪个是变换后的,以及变换的途径,
以防因颠倒而出错.
(2)善于运用线性变换、变换的复合转化为方程组求解
.
逆变换与逆矩阵
3.(2012年上海数学,理3,4分)函数f(x)=
的值域是 .
解析:f(x)=2×(-1)-sin xcos x=-2-sin 2x, 由于-1≤sin 2x ≤1, 所以-≤-2-sin 2x ≤-,
即-≤f(x)≤-.
答案:[-,-]
4.(2012年江苏数学,21B,10分)已知矩阵A 的逆矩阵A -1
=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡--212
14341求矩阵A 的特征值. 解:因为A -1
A=E,所以A=(A -1)-1
.
因为A -1
=⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡--21214341,所以A=(A -1)-1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1232,
于是矩阵A 的特征多项式为f(λ)==λ2
-3λ-4.
令f(λ)=0,解得A 的特征值λ1=-1,λ2=4.
5.(2012年福建卷,理21(1),7分)设曲线2x 2
+2xy+y 2
=1在矩阵A=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡10b a (a>0)对应的变换
作用下得到的曲线为x 2+y 2
=1.
①求实数a,b 的值;
②求A 2
的逆矩阵.
解:①设曲线2x 2+2xy+y 2
=1上任意点P(x,y)在矩阵A 对应的变换作用下的像是P'(x',y').
由⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣
⎡10b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+y bx ax , 得
.
又点P'(x',y')在x 2
+y 2
=1上,
所以x'2+y'2
=1,
即a 2x 2+(bx+y)2
=1,
整理得(a 2+b 2)x 2+2bxy+y 2
=1, 依题意得
解得
或
因为a>0,所以
②由①知,A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101,A 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101=⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡1201,
所以|A 2|=1,(A 2)-1
=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-1201.。