D7_9欧拉方程
欧拉方程推导全过程
欧拉方程推导全过程嘿，数学爱好者们！今天我要带大家走进一个超级有趣的数学世界，那就是欧拉方程的推导。
这可不像在公园散步那么简单，但也绝不是无法攀登的高山，只要跟着我一步一步来，保准你能搞明白。
咱先来说说什么是欧拉方程。
想象一下，在数学这个大王国里，有一个神秘的方程式，就像一颗璀璨的明珠，它把指数函数、三角函数这些看似不太相关的家伙巧妙地联系在了一起。
这就是欧拉方程，$e^{ix} = \cos x + i\sin x$，其中$e$是自然常数，$i$是虚数单位，$x$是一个实数。
这个方程就像一把魔法钥匙，能打开很多数学难题的大门呢。
那咱们怎么推导这个神奇的方程呢？咱们得从泰勒级数这个有力的工具开始。
泰勒级数就像是一个超级放大镜，可以把一个函数展开成无穷项的多项式。
对于指数函数$e^x$，它的泰勒级数展开式是：$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!}+ \cdots$。
这个式子看起来有点吓人，但是别怕，咱们一点点分析。
这里的$n!$就是$n$的阶乘，也就是从$1$乘到$n$。
再来看三角函数$\cos x$和$\sin x$的泰勒级数展开式。
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^4}{4!}- \frac{x^6}{6!}+ \cdots$，$\sin x = x - \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!}- \frac{x^7}{7!}+ \cdots$。
现在咱们把$x$换成$ix$代入到$e^x$的泰勒级数展开式中。
$e^{ix} = 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!}+ \frac{(ix)^3}{3!}+ \frac{(ix)^4}{4!}+ \cdots$。
那这个式子要怎么化简呢？咱们来仔细瞧瞧。
$(ix)^2 = -x^2$，$(ix)^3 = -ix^3$，$(ix)^4 = x^4$等等。
欧拉方程
Байду номын сангаас 其它
应用
泛函形式
推导过程
欧拉方程是泛函极值条件的微分表达式，求解泛函的欧拉方程，即可得到使泛函取极值的驻函数，将变分问 题转化为微分问题。
（1）最简单的欧拉方程是： 设函数F(x,y,y')是三个变量的连续函数，且点(x,y)位于有界闭区域B内，则对形如的变分，若其满足以下 条件： c)在有界闭区域B内存在某条特定曲线y(x)，使泛函取极值，且此曲线具有二阶连续导数。 则函数y、(x)满足微分方程： 上式即为泛函Q[y]的欧拉方程。 （2）含有自变函数高阶导数的泛函的欧拉方程 一般来说，对于下述泛函： 在类似条件下，可以得到对应的欧拉方程为： （3）含有多个自变函数的泛函的欧拉方程
在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动，可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系，这使得计算得以简 化，因为我们如今可以将角动量的变化分成分别描述的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。
在流体动力学中，欧拉方程是一组支配无黏性流体运动的方程，以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别 代表质量守恒（连续性）、动量守恒及能量守恒，对应零黏性及无热传导项的纳维－斯托克斯方程。
欧拉在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程： a x ²D ²y + b x D y + c y = f ( x ) 其 中 a 、 b 、 c 是 常 数 ， 这 是 一 个 二 阶 变 系 数 线 性 微 分 方 程 。 它 的 系 数 具 有 一 定 的 规 律 ： 二 阶 导 数 D ²y 的 系 数 是 二 次 函 数 a x ²， 一 阶 导 数 D y 的 系 数 是 一 次 函 数 b x ， y 的 系 数 是 常 数 。 这 样 的 方 程 称 为 欧 拉 方 程 。 例 如 ： ( x ²D ²- x D + 1 ) y = 0 , ( x ²D ²- 2 x D + 2 ) y = 2 x ³- x 等 都 是 欧 拉 方 程 。 化 学 中 足 球 烯 即 C - 6 0 和 此 方 程 有 关 。
欧拉运动方程及其积分详解
将欧拉运动方程中的时间和空间变量进行傅里叶变换，通过求解变换后的常微分方程得到解析解。
近似积分方法
泰勒级数法
将欧拉运动方程中的非线性项进行泰勒级数展开，通过求解近似线性化的常微分方程得 到近似解。
多项式拟合法
利用已知的初值条件和时间步长，通过多项式拟合的方法逼近物体的运动轨迹，得到近 似解。
发展历程
随着科学技术的不断进步，欧拉运动方程在理论和应用方面得到了不断发展和完 善，对于推动力学和其他学科的发展起到了重要作用。
02
欧拉运动方程的数学表达
位置和速度的表示
位置表示
在二维平面中，物体的位置可以用二维向量表示，例如$r = (x, y)$。在三维空间中，物体的位置可以用三维向量表示， 例如$r = (x, y, z)$。
速度表示
速度是位置对时间的导数，可以用向量表示为$vec{v} = frac{dvec{r}}{dt}$。在二维平面中，速度向量可以表示为 $vec{v} = (v_x, v_y)$；在三维空间中，速度向量可以表示为 $vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$。
力和加速度的表示
力表示
力是作用在物体上的外力，可以用向量表示为$vec{F}$。在二维平面中，力向量可以表示为$vec{F} = (F_x, F_y)$；在三维空间中，力向量可以表示为$vec{F} = (F_x, F_y, F_z)$。
04
欧拉运动方程的应用实例
在物理中的应用
01
02
03
刚体动力学
欧拉运动方程可以描述刚 体的旋转和直线运动，是 刚体动力学的基本方程之 一。
陀螺仪
欧拉运动方程在陀螺仪的 应用中非常重要，用于描 述陀螺仪的旋转运动和进 动。
欧拉方程的基本原理
欧拉方程的基本原理欧拉方程是微分方程中的一类特殊方程，它以瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）的名字命名。
欧拉方程的基本原理涉及到对微分方程的变量替换和观察角度的改变，使得原方程能够被转换为更简单的形式。
在欧拉方程中，我们考虑具有形式y^n=F(x)的方程，其中y是未知函数，n是正整数，F(x)是已知函数。
我们希望找到能够解析求解这类方程的方法。
为了实现这一目标，我们首先令y=e^u，其中u是关于x的新函数。
然后，对u作出适当的假设，使y^n=F(x)能够转化为更简单的形式。
具体来说，我们首先计算 dy/dx 的表达式。
根据链式法则，我们有：dy/dx = (du/dx) * (de^u/du) = (du/dx) * e^u然后，我们对上述表达式两边同时乘以y^n-1，得到：y^n * dy/dx = (du/dx) * (e^u * y^n)由于y=e^u，我们可以将上述表达式改写为：dy/dx = (du/dx) * y^n最后，我们将y^n=F(x)代入上式，得到：dy/dx = (du/dx) * F(x)现在，原始的 n 阶微分方程 y^n = F(x) 变成了一阶常微分方程dy/dx = (du/dx) * F(x)。
这个一阶方程可以更容易地求解。
值得注意的是，我们在变量替换时使用了 u = ln(y)。
对于欧拉方程，这个替换通常是有效的，因为它可以将指数函数转换为一个线性函数。
然而，并非所有的微分方程都适用于这种变量替换。
在一些特殊情况下，我们可能需要尝试其他的替换方法。
通过欧拉方程的变量替换，我们可以将高阶微分方程转化为一阶方程，从而使得方程的求解更加简化。
此外，这种方法还可以帮助我们更好地理解微分方程的本质和特征。
欧拉方程的基本原理为研究微分方程提供了一种有效且常用的工具和方法。
总结起来，欧拉方程的基本原理包括以下几点：1.对微分方程中的变量进行适当的替换，将高阶方程转化为一阶方程。
欧拉方程的基本原理
欧拉方程的基本原理欧拉方程是一种微分方程，由瑞士数学家欧拉提出。
它是描述物理现象中最常见的方程之一，并在工程、自然科学以及经济学等领域中得到广泛应用。
欧拉方程具有一些特殊的性质，使得它成为求解一些重要问题的有力工具。
在本文中，我将详细介绍欧拉方程的基本原理。
欧拉方程是以欧拉(Euler)命名的，他是18世纪最杰出的数学家之一、欧拉曾经系统地研究了二阶常系数线性微分方程，并提出并解决了一类特殊的微分方程，还研究了更高阶的欧拉方程（即阶数高于二的微分方程）。
\(a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+⋯+a_1(x)y'+a_0(x)y=g(x)\)其中，\(a_n(x),a_{n-1}(x),…,a_1(x),a_0(x)\)是已知的连续函数，称为方程的系数函数；\(y\)是未知函数，代表方程的解；\(g(x)\)是已知的连续函数，称为非齐次项。
基本原理：1.齐次方程齐次方程是指当非齐次项\(g(x)\)为零时的方程，即该时刻纯粹由齐次项的线性组合构成：\(a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+⋯+a_1(x)y'+a_0(x)y=0\)为了求解齐次方程，我们需要找到一个形如\(y=e^{rx}\)的解。
将这个解代入方程，并化简，我们可以得到一个对\(r\)的代数方程。
该代数方程的根决定了齐次方程的解的形式。
根的个数通常等于方程的阶数。
2.非齐次方程非齐次方程是指当非齐次项\(g(x)\)不为零时的方程，即方程的左边与右边都有贡献。
为了求解非齐次方程，我们需要首先找到一个特解，使得方程的左边等于右边。
这个特解可以通过猜测和尝试的方法求解。
特解的形式通常与非齐次项的形式有关。
如果非齐次项是一个多项式函数，我们可以猜测一个多项式解；如果是三角函数或指数函数，我们可以猜测一个相应的解。
特解的形式可以根据经验和观察来确定。
将这个特解代入方程后进行化简，我们可以得到适当的常数值。
欧拉运动方程及其积分详解
p p dx x 2
x
2.4.1 欧拉运动方程
x方向的表面力为：
ppd x dyd p zpd x dyd p zdxdydz
x2 x2
x
x 方向的彻体力为：
fxdxdydz
牛顿定律：x方向合外力等于质量乘以x方向加速度，得
p xdxd fx yd dxzd ( yddxzd )D D y x v d t z
2.4 欧拉运动方程及其积分
2.4.1 欧拉运动方程
欧拉运动微分方程组是在不计流体粘性前提下推导出 来的，该方程实质上是微分形式的动量方程。
在流场中划出一块三边分别的为 y
dx，dy，dz的微元矩形六面体。不计粘 性力，表面力就没有切向力，仅有法 向力（压力）一种，而彻体力是可以
dy
·P
dx dz
x
dV4 hcosd
ds
直线涡的诱导速度
2.5.2 环量与涡量的关系
欧拉方程的直接解法
欧拉方程的直接解法欧拉方程是研究拟线性微分方程组，以及它们的系数变化以估算解的一种有效方法。
欧拉方法是微分方程组的一种求解方法，是一种通用的数值求解技术，用于求解多维的微分方程组系统。
其形式为：∂u/∂t = F(t,u)，其中u和t分别为空间变量和时间变量，F为模型函数。
欧拉方法的实现主要依赖于分析研究被求解的问题的分析性质，估算出合适的斜率以及将时间变量拆分为许多部分来进行求解，然后使用多项式插值方法求取方程解。
欧拉方法从一个起始值u0起计算，根据给定的模型函数F(t,u)，在每一步中确定模型函数对于给定的时间和状态的斜率，并以该斜率估计出下一个时间步的状态值。
通过这样做，我们可以非常精确地估计出每一个时间步的状态值，从而求出拟线性微分方程组的解。
由于欧拉方法是一种直接求解法，它可以解决任何形式的多维拟线性微分方程组。
因此，它被广泛应用于各种经典模型，包括分子动力学模型、偏微分方程模型、气象模型以及生物学模型等等。
它的优点在于收敛较快、计算的次数较少、精度可靠以及比较容易实现。
尽管欧拉方法具有许多优点，它也存在许多缺点。
首先，方程组中的模型函数复杂程度过高时，欧拉方法就不能有效的求解；其次，多项式插值估计所产生的误差是随着t的增加而不断增加的，因此可能会导致求解结果不精确；最后，如果待求解的问题中有重要的杂散及暂变量时，欧拉方法也无法解决。
另外，欧拉方法仅适用于多维拟线性微分方程组，而对非线性微分方程组却无能为力，为此必须使用别的求解方法。
总而言之，欧拉方法是一种非常有用的数值求解技术，用于求解多维的拟线性微分方程组。
它具有收敛快、精度可靠、计算次数少利于实现等优点，在经典模型中有着广泛的应用。
尽管存在若干不足，但其他一些求解方法也存在类似的缺陷，因此仍可作为有效的求解算法，为科研提供了很大的帮助。
[整理版]欧拉方程
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泛函的欧拉方程(by zhengpin1390)0(二)、泛函的欧拉方程欧拉方程是泛函极值条件的微分表达式，求解泛函的欧拉方程，即可得到使泛函取极值的驻函数，将变分问题转化为微分问题。
（1）最简单的欧拉方程：设函数F(x,y,y') 是三个变量的连续函数，且点(x,y)位于有界闭区域B内，则对形如0的变分，若其满足以下条件：0c) 在有界闭区域B内存在某条特定曲线y。
(x) ，使泛函取极值，且此曲线具有二阶连续导数。
则函数y。
(x) 满足微分方程：上式即为泛函Q[y]的欧拉方程。
（2）含有自变函数高阶倒数的泛函的欧拉方程一般来说，对于下述泛函：在类似条件下，可以得到对应的欧拉方程为：（3）含有多个自变函数的泛函的欧拉方程对于下述泛函：其欧拉方程组为：（4）多元函数的泛函及其欧拉方程此处仅考虑二元函数的情况，对如下所示多元函数的泛函：其欧拉方程为：泛函分析0泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。
它是20世纪30年代形成的。
从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。
0泛函分析的产生0十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。
这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。
这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。
0本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。
随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。
到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。
0由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。
比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。
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k d d k 记 D , D k (k 2, 3, ) ,则由上述计算可知: dt dt x y D y
x 2 y D 2 y D y D( D 1) y
用归纳法可证
x k y ( k ) D( D 1)( D k 1) y
则方程化为
即 特征根:
②
设特解: y A t 2 et , 代入 ② 解得 A = 1, 所求通解为
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例3.
解: 由题设得定解问题 ③
④
d 令 x e , 记 D , 则③化为 dt [ D( D 1) D 4] y 5e t
t
( D 2 4) y 5e t
令 xe ,
t
则
d y d y dt 1 d y d x dt d x x dt
dy x y dt
d2 y d 1 d y d t 1 d2 y d y ) ( 2 2 2 dt x dt d x x dt dt dx
计算繁!
2 d y dy 2 x y 2 dt dt
y C1 cos 2t C2 sin 2 t e t
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思考: 如何解下述微分方程
提示: 原方程
直接令
d 记D dt [ D( D 1) p1D p2 ] y f (e t a)
d 记D dt
作业
P349 2 ; 6.
第11节 目录 上页 下页 返回 结束
于是欧拉方程
x n y ( n) p1 x n 1 y ( n 1) pn 1 x y pn y f ( x)
转化为常系数线性方程:
D n y b1D n 1 y bn y f (et )
即 dn y d n 1 y t b1 n 1 bn y f (e ) n dt dt
⑤
特征根: r 2 i, 设特解: y A e t , 代入⑤得 A＝1
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得通解为
1 C1 cos( 2 ln x) C2 sin(2 ln x) x 利用初始条件④得 1 C1 1, C2 2 故所求特解为 1 1 y cos( 2 ln x) sin(2 ln x) 2 x
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例1. 解:
则原方程化为
亦即 特征方程 其根
①
则①对应的齐次方程的通解为
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设特解:
y A t 2 B t C
代入①确定系数, 得
① 的通解为
换回原变量, 得原方程通解为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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例2.
解: 将方程化为
(欧拉方程)
第九节 欧拉方程
欧拉方程
x y
n ( n)
第七章
p1 x
n 1 ( n 1)
y
pn 1 x y pn y f ( x)
( pk 为常数 )
令 x et , 即 t ln x
常系数线性微分方程
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欧拉方程的算子解法:
x n y ( n) p1 x n 1 y ( n 1) pn 1 x y pn y f ( x)