初值问题

《计算机数学基础(2)》辅导六

第14章常微分方程的数值解法

一、重点内容

1.欧拉公式：

(k＝0，1，2，…，n－1)

局部截断误差是O(h2)。

2. 改进欧拉公式：

或表示成：

平均形式：

局部截断误差是O(h3)。

3. 四阶龙格――库塔法公式：

其中κ1＝f(x k，y k)；κ2＝f(x k+

0.5h，y k+

0.5

hκ1)；κ3＝f(x k+

0.5

h，y k+

0.5

hκ2)；

κ4＝f(x k+h，y k+hκ3)

局部截断误差是O(h5)。

二、实例

例1用欧拉法解初值问题

取步长h＝0.2。计算过程保留4位小数。

解h＝0.2，f(x，y)＝－y－xy2。首先建立欧拉迭代格式

＝0.2y k(4－x k y k) (k＝0，1，2)

当k＝0，x1＝0.2时，已知x0＝0，y0＝1，有

y(0.2)≈y1＝0.2×1(4－0×1)＝0.8

当k＝1，x2＝0.4时，已知x1＝0.2，y1＝0.8，有

y(0.4)≈y2＝0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.6144

当k＝2，x3＝0.6时，已知x2＝0.4，y2＝0.6144，有

y(0.6)≈y3＝0.2×0.6144×(4－0.4×0.6144)＝0.4613 例2 用欧拉预报－校正公式求解初值问题

取步长h＝0.2，计算y(1.2)，y(1.4)的近似值，小数点后至少保留5位。

解步长h＝0.2，此时f(x，y)＝－y－y2sin x

欧拉预报－校正公式为：

有迭代格式：

当k＝0，x0＝1，y0＝1时，x1＝1.2，有

＝y0(0.8－0.2y0sin x0)＝1×(0.8－0.2×1sin1)＝0.63171

y(1.2)≈y1

＝1×(0.9－0.1×1×sin1)－0.1(0.63171＋0.631712sin1.2)＝0.71549 当k＝1，x1＝1.2，y1＝0.71549时，x2＝1.4，有

＝y1(0.8－0.2y1sin x1)＝0.71549×(0.8－0.2×0.71549sin1.2)

＝0.47697

y(1.4)≈y2

＝0.71549×(0.9－0.1×0.71549×sin1.2)

－0.1(0.47697＋0.476972sin1.4)

＝0.52611

例3写出用四阶龙格――库塔法求解初值问题

的计算公式，取步长h＝0.2计算y(0.4)的近似值。至少保留四位小数。

解此处f(x，y)＝8－3y，四阶龙格――库塔法公式为

其中κ1＝f(x k，y k)；κ2＝f(x k+

0.5h，y k+

0.5

hκ1)；κ3＝f(x k+

0.5

h，y k+

0.5

hκ2)；

κ4＝f(x k+h，y k+hκ3)

本例计算公式为：

其中κ1＝8－3y k；κ2＝5.6－2.1y k；

κ3＝6.32－2.37y k；κ4＝4.208＋1.578y k

＝1.2016＋0.5494y k (k＝0，1，2，…)

当x0＝0，y0＝2，

y(0.2)≈y1＝1.2016＋0.5494y0＝1.2016＋0.5494×2＝2.3004

y(0.4)≈y2＝1.2016＋0.5494y1＝1.2016＋0.5494×2.3004＝2.4654 例4对初值问题

，

y(0)＝1，证明用梯形公式求得的近似解为

并证明当步长h→0时，y n→e－x

证明解初值问题的梯形公式为

∵f(x，y)＝－y

∴

整理成显式

反复迭代，得到

∵y0＝1 ∴

若x＞0，为求y(x)的近似值，用梯形公式以步长h经过n步计算得到x，故x＝nh，有

例5选择填空题：

1. 取步长h＝0.1，用欧拉法求解初值问题

的计算公式是

答案：，k＝0，1，2，…，y0＝1

解答：欧拉法的公式

(k＝0，1，2，…，n－1)

此处，迭代公式为

，k＝0，1，2，…，y0＝1

2. 改进欧拉法的平均形式的公式是( )

(A)

(B)

(C)

(D)

答案：(D)

解答：见改进欧拉法平均形式公式。

三、练习题

1. 求解初值问题欧拉法的局部截断误差是( )，改进欧拉法的局部截断误差是( )；四阶龙格――库塔法的局部截断误差是( )

(A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5)

2. 改进欧拉预报－校正公式是

3. 设四阶龙格――库塔法公式为

其中κ1＝f(x k，y k)；κ2＝f(x k+

0.5，y k+

0.5

hκ1)；κ3＝f(x k+

0.5

，y k+

0.5

hκ2)；

κ4＝f(x k+h，y k+hκ3)

取步长h＝0.3，用四阶龙格――库塔法求解初值问题

的计算公式是。

4. 取步长h＝0.1，用欧拉法求解初值问题

5. 试写出用欧拉预报－校正公式求解初值问题

的计算公式，并取步长h＝0.1，求y(0.2)的近似值。要求迭代误差不超过10－5。

6. 对于初值问题