我的高考数学错题本我的高考数学错题本——第1章集合易错题

第1章 集合易错题

易错点1 遗忘空集致误

由于空集是任何非空集合的真子集，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了B =∅这种情况，导致解题结果错误．

【例 1】 设2

{|230}A x x x =--=，{|10}B x ax =-=，B A ⊆，求a 的值． 【错解】 {3,1}A =-,1{}B a =，从而1

3

a =或1-． 【错因】忽略了集合B =∅的情形 【正解 】当B ≠∅时，得13a =

或1-；B =∅时，得0a =．所以1

3

a =或1a =-或0a =． 【纠错训练】已知{|23}A x a x a =≤≤+，{|15}B x x x =<->或，若=A B ∅，求a 的取值范围．

【解析】由=A

B ∅，

（1）若A =∅，有23a a >+，所以3a >． （2）若A ≠∅，则有21

3523

a a a a ≥-⎧⎪

+≤⎨⎪≤+⎩

，解得122a -≤≤．

综上所述，a 的取值范围是1

{|23}2

x a a -

≤≤>或． 易错点2 忽视集合元素的三要素致误

集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求．

【例2】已知集合{1,4,}A a =,2

{1,,}B a b =，若A B =，求实数a ，b 的值．

【错解】由题意得，24a a b

⎧=⎨=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩或2

2a b =-⎧⎨=-⎩．

【错因】本题误认为两个集合相等则对应项相同，这显然违背了集合的无序性． 【正解】∵A B =，由集合元素的无序性，∴有以下两种情形：

（1）24a a b

⎧=⎨=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩或2

2a b =-⎧⎨=-⎩；

（2）24a a b ⎧=⎨=⎩

，解得04a b =⎧⎨=⎩或12a b =⎧⎨=-⎩，经检验1

2a b =⎧⎨=-⎩与元素互异性矛盾，舍去．

∴22a b =⎧⎨

=⎩或22a b =-⎧⎨=-⎩或0

4

a b =⎧⎨=⎩．

【例3】 已知集合{1,4,}A a =,集合2

{1,}B a =，若B A ⊆，求a 的值． 【错解】24a =或2

a a =，解得2a =±或0a =或1a =．

【错因】没有将计算结果代回到集合中检验，忽略了集合中元素的互异性，导致出现了增解．

【正解】2

4a =或2

a a =，解得2a =±或0a =或1a =，经检验当1a =时，{1,4,1}A =，与集合中元素的互异性相矛盾，舍去，所以2a =±或0a =．

【纠错训练】已知集合{1,2}A =，{|30}B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 的值是（ ）

A ．30,,32

B ．0,3

C ．

3

,32

D ．3 【解析】若B A ⊆，则集合B 是集合A 的子集，当B =∅，显然0a =；当B ≠∅时，解得3B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭

，则有

31a =或32a =，解得3a =或32

a =，即a 的值为3

0,,32，选A ．

易错点3 弄错集合的代表元

【例4】已知{}| 1 A y y x ==+，{}22(,)|1B x y x y =+=，则集合A B 中元素的个数为________． 【错解】 1个或无穷多个

【错因】没有弄清集合B 的代表元的含义

【正解】集合A 是一个数集，集合B 是一个点集，二者的交集为空集，所包含的元素个数为0． 【例5】已知函数()y f x =，[,]x a b ∈，那么集合{(,)|(),[,]}{(,)|2}x y y f x x a b x y x =∈=中元素的个数为（ ）

A ．1 A ．0 C ．0或1 D ．1或2 【错解】不知题意，无从下手，蒙出答案D

【错因】没有弄清两个集合打代表元，事实上，{|()}x y f x =、{|()}y y f x =、{(,)|()}x y y f x =分别表示函数()y f x =的定义域、值域、函数图象上的点的坐标组成的集合．

【正解】本题中集合的含义是两个图象交点的个数，从函数值的唯一性可知，两个集合的交中之多有一个交点，故选C ．

【纠错训练】1．已知集合2

{|1}A y y x ==+，{|2}B x y ==

，则A B =_______________．

【解析】{|1}A y y =≥，{|0}B x x =≥，所以{|1}A B x x =≥．

【纠错训练】2．设集合{(,)|25}A x y x y =+=，{(,)|23}B x y x y =-=-，则A B =______．

【解析】由25

23

x y x y +=⎧⎨

-=-⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，从而{(1,2)}A B =．

易错点4 忽略了题目中隐含的限制条件

【例6】【2015高考陕西，理1】设集合2

{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M

N =（ ）

A ．[0,1]

B ．(0,1]

C ．[0,1)

D ．(,1]-∞ 【错解】{}{}2

0,1x x x M ===，{}{}

lg 01x x x x N =≤=≤，所以(,1]M

N =-∞，故选D ．

【错因】在解lg 0x ≤时，忽略了0x >这个隐含的限制条件．

【正解】{

}

{}2

0,1x x x M ===，{}{

}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1M

N =，故选A ．

【纠错训练】【2015高考重庆，理4】“1x >“是“12

log (2)0x +<”的（ ）

A 、充要条件

B 、充分不必要条件

C 、必要不充分条件

D 、既不充分也不必要条件 【解析】12

log (2)0211x x x +<⇔+>⇔>-，因此选B ．

易错点5 集合的交并运算弄反

【例7】【2015高考山东，理1】已知集合{}

2

430A x x

x =

-+<，{}24B x x =<<,则A B =（ ）

A ．（1，3）

B ．（1，4）

C ．（2，3）

D ．（2，4）

【错解】因为{}

13A x x =<<，{}24B x x =<<，所以{}14A B x x =<<，故选B ．

【错因】将集合的“交运算”误认为是“并运算”． 【正解】{}{}{}132423A

B x x x x x x =<<<<=<<，故选

C ．

【纠错训练】【2015高考四川，理1】设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，

则A B =（ ）

A ．{|13}x x -<<

B ．{|11}x x -<<

C ．{|12}x x <<

D ．{|23}x x << 【解析】{|12},{|13},{|13}A x x B x x A B x x =-<<=<<∴=-<<，故选A ．

【错题巩固】

1．设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M

N =（ ）

A ．[0,1]

B ．(0,1]

C ．[0,1)

D ．(,1]-∞ A 【解析】2{|}{0,1}M x x x ===，{|lg 0}{|01}N x x x x =≤=<≤，所以M N =[0,1]．故选A ．

2．集合A = { x | x < a }，B = { x | 1 < x < 2}，若A B =R

R ，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．a ≤1

B ．a < 1

C ．a ≥2

D ．a > 2

C 【解析】

{|1,2}B x x x =≤≥R

或，因为A

B =R

R ，所以a ≥2，选C.

3．已知A ={x | -2≤x ≤5}, B =[a +1,2a -1].若B A ⊆，则实数a 的取值范围是______．

【解析】易知B ≠∅，所以应满足21

521211a a a a -≤+⎧⎪

≥-⎨⎪->+⎩

，解得2

4．已知A ={x | -2≤x ≤5},B ={x | a +1≤x ≤2a -1}.若B A ⊆，则实数a 的取值范围是______．