万老师——数学题根之研究
数学探究根号的由来ppt
淹死了。大事，人们很快发现了根号3、根号5等更多的无
理数，无理数的存在也被更多的人所知。
2千多年前，古希蜡有一位著名的数学家叫毕达哥拉斯， 他对数学的研 究是很深的，对数学的发展做出了不可磨灭的贡献。当时他成立“毕达哥拉 斯学派”。其中有这样一个观点： “宇宙的一切事物的度量都可用整数或整数的比来表示，除此之外，就再没 有什么了”。
3.解：∵X^2+√(X-2Y)-4X=-4 ∴√(X-2Y)=-4+4X-X^2=-（X^2-4X+4）=-（X-2)^2 ∵-（X-2)^2≤0 ，√(X-2Y)≥0 ∴√(X-2Y)=-（X-2)^2=0 ∴X-2Y=0，X-2=0
X=2,Y=1 ∴3X+2Y=8
4.解：原式=(√5+1)^2000*[(√5+1)^2-2(√5+1)-4] =(√5+1)^2000*(6+2√5-2√5-2-4) =(√5+1)^2000*0 =0
1确定运算顺序 2灵活运用运算定律 3正确使用乘法公式 4大多数分母有理化要及时 5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 VII.分母有理化 分母有理化有两种方法 I.分母是单项式 如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b II.分母是多项式 要利用平方差公式 如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b 如图 II.分母是多项式 要利用平方差公式 如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b 二次根式计算不难，主要是要靠仔细，平时要多加练习哦。掌握了解题方法， 再加上灵活运用，再难的题也会快速解出来！
• 二次根式的加法和减法 1 同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，
专题1《一元二次方程的特殊根》
中考数学压轴题破解策略专题1《一元二次方程的特殊根》破解策略1．一元二次方程的有理根关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为有理数）存在有理根的条件为：b 2－4ac 是一个有理数的平方．解决一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为有理数）的有理根问题时，一般的解题策略有：（1）利用“判别式的取值范围”解题①讨论二次项系数的情况，当a ≠0时，求出判别式；②根据已知条件得待定系数的取值范围，再求出判别式的取值范围，筛选出其中为有理数的平方的数；③求出待定系数的可能取值，并检验．（2）利用“判别式是一个有理数的平方”解题①讨论二次项系数的情况，当a ≠0时，将方程的系数整数化，求出判别式；②将判别式写成△＝M 2－t 的形式（M 为关于待定系数的整式，t 为整数），设M 2－t ＝m 2（m 为非负有理数）③可得（Ｍ＋m ）（Ｍ－ｍ）＝t ，解此不定方程；④求出待定系数的可能取值，并检验．２．一元二次方程的整数根对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为有理数）而言，方程的根为整数且必为有理数，所以有理根存在的条件是整数根存在的必要条件．解决方程ax 2＋bx ＋c ＝0的整数根问题，除了利用“判别式的取值范围”和“判别式是一个有理数的平方”来解题外，还可以利用“根与系数的关系”和“因式分解”来解决问题．（1）利用“根与系数的关系”解题①讨论二次项系数的情况，当a ≠0时，利用根与系数的关系求出两根的和与积；②将两根的和与积的代数式写成一个整式与一个分式的和的形式（类似于分离常量）； ③由分式的结果一定为整数，根据整除的性质得到分式的分母一定是分子的约数，从而求出待定系数的可能取值；（2）利用“因式分解”解题①讨论二次项系数的情况，当a ≠0时，将方程化为（m 1x ＋n 1）（m 2x ＋n 2）＝0的形式；②求出方程的两根，x 1＝11m n -和x 2＝22m n -； ③利用分离常量的方法，将11m n -，22m n -变成一个常数与一个分式的和； ④根据整除的性质，得到分式的分母一定是分子的约数，从而求出待定系数的可能取值； ⑤将待定系数的可能取值代入原方程检验并确定结果．需要注意的是，要看清楚题中说的是方程有整数根还是方程的根为整数．3．分离常量在利用“根与系数的关系”解题和利用“因式分解”解题的过程中都提到了分离常量，所谓分离常量就是从分式中化出一个常数，例如： ①131131113112+-=+-++=+-+=+-m m m m m m m m ； ②111111)1(11112+--=+-++-=+---=+--m m m m m m m m ；③112111)1(21122132++=++++=+++=++m m m m m m m m ； ④123121)1(31233113++-=++++-=++--=+--m m m m m m m m ． 例题讲解：例1 已知整数m 满足6＜m ＜20，如果关于x 的一元二次方程mx 2—（2m －1）x ＋m －2＝0有有理根，求m 的值及方程的根．解： 若原方程的根为有理数，则△＝（2m －1）２—4m （m －2）＝4m ＋1应为某个有理数的平方．已知6＜m ＜20，所以25＜4m ＋1＜81，而4m ＋1是奇数，从而4m ＋1＝49，得m ＝12，所以原方程变为12x 2—23x ＋10＝0，解得x 1＝32，x 2＝45． 故m ＝12时，方程有有理根，此时方程的根为x 1＝32，x 2＝45． 例2 设m 是不为零的整数，关于x 的一元二次方程mx 2－（m －1）x ＋1＝0有有理根，求m 的值．解 若原方程的根为有理数，则△＝（m －1）２—4m ＝（m －3）２—8应为某个有理数的平方．令（m －3）２—8＝n 2 （n ＞0），显然n 也为整数，所以（m －3＋n ）（m －3－n ）＝8．由于m －3＋n ＞m －3－n ，并且（m －3＋n ）＋（m －3－n ）＝2（m －3）是偶数， 所以m －3＋n 和m －3－n 同奇偶，所以⎩⎨⎧=-=+2n 3-m 4n 3-m 或⎩⎨⎧-=---=+-4323n m n m ；解得⎩⎨⎧==1611n m ，⎩⎨⎧==1022n m （舍）． 所以当m ＝6时，方程有两个有理根，分别为x 1＝21，x 2＝31．例3 关于x 的一元二次方程rx 2＋（r ＋2）x ＋r －1＝0有且只整数根，求整数r 的值．解： 当r ＝0时，原方程无整数根；当r ≠ 0时，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝r r 2+-＝－1－r 2，x 1•x 2＝r r 1-＝1－r1． 因为x 1，x 2都是整数，所以x 1＋x 2和x 1•x 2均为整数，从而r 2，r1均为整数． 而r 为整数，所以r ＝±1．当r ＝－1时，原方程的解不为整数，不符合条件；当r ＝1时，原方程的解为x 1＝0，x 2＝－3．综上可得，整数r ＝1．例4 在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，若二次函数y ＝（k 2－3k ＋2）x 2＋（2k 2－4k ＋1）x ＋k 2－k （k 为常数）的图象与x 轴相交得到两个不同的“中国结”，试问：该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？解：令y ＝0，即（k 2－3k ＋2）x 2＋（2k 2－4k ＋1）x ＋k 2－k ＝0，因式分解，得[（k －1）x ＋k ][（k －2）x ＋k －1]＝0解得x 1＝1111---=--k k k ，x 2＝21121---=---k k k ， 由题意可得x 1，x 2均为整数，所以11-k ，21-k 也均为整数， 设11-k ＝m （m ≠0，m 为整数），则k ＝m1＋1， 所以mm m m m m k -+-=-+--=-=-+=-11111)1(1211121， 所以1－m ＝±1，即m 1＝0（舍），m 2＝2，从而得到k ＝23． 所以二次函数表达式为y ＝41-x 2－21x ＋43＝41-（x ＋1）2＋1 二次函数图象如下图所示，则该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含6个“中国结”，分别为：（－3，0），（－2，0），（－1，0），（－1，1），（0，0），（1，0）．进阶训练1．已知m 为有理数，问：k 为何值时，关于x 的方程x 2－4mx ＋4x ＋3m ２－2m ＋4k ＝0的根为有理数？解：k ＝－45 【提示】若原方程的根为有理数，则△＝4[m ２—6m ＋4（1－k ）]应为某个有理数的平方．所以4（1－k ）＝9，即k ＝－45．2．已知关于x 的方程x 2－2（2m －3）x ＋4m ２－14m ＋8＝0（m ＞0）有两个不相等的实数根，若12＜m ＜40，且方程的两个根均为整数，求整数m 的值．解：m ＝24．【提示】若原方程的根为有理数，则△＝4（2m ＋1）应为某个有理数的平方，由12＜m ＜40，所以25＜2m ＋1＜81，而2m ＋1为奇数，则2m ＋1＝49，即m ＝24．3．已知方程（k ２－1）x 2－3（3k －1）x ＋18＝0有正整数根，求整数k 的值．解：k ＝0，1，2，4，5．【提示】先讨论二次项系数是否为0，当k ＝1时，方程有正整数根，当k 2－1＝0时，原方程可整理为[（k ＋1）x －6][（k －1）x －3]＝0，解得x 1＝16+k ，x 2＝13-k ，而方程有正整数根，所以k ＝0，1，2，4，5，综上，k ＝0，1，2，4，5．4．求使关于x 的方程（a ＋1）x 2－（a 2＋1）x ＋2a 2－6＝0的根均为整数的所有整数a ．解：a ＝－3，－2，0，1．【提示】①当a ＝－1时，方程变为－2x －4＝0，解得x ＝－2，符合要求；②当a ≠－1时，设方程的两个整数根为x 1，x 2，则由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝112++a a ＝a －1＋12+a ，x 1•x 2＝1622+-a a ＝2（a －1）－14+a ． 因为x 1，x 2都是整数，所以x 1＋x 2和x 1•x 2均为整数，即12+a 为整数，所以a ＝－3，－2，0，1．经检验，得到当a ＝－3，－2，0，1时，方程的根均为整数．。
如何抓住“根”本解题_题型归纳
如何抓住“根”本解题_题型归纳
许多同学一见到含有根号的式子就犯怵，如果你能理解根号的实质，抓住根本，就能轻松解答含有根号的试题.
一、平方根与立方根
一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，负数没有平方根；一个数的立方根只有一个，正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根；0的平方根和立方根都是0.
例1 （2007年乐山市）的算术平方根是_______．
解析：4的平方根为2，算术平方根为2.故填2.
例2 （2007年遵义市）8的立方根是．
解析：正数8只有一个立方根2.故填2.
二、乘方与开方
乘方与开方互为逆运算，乘方是求几个相同因数积的运算，而开方是已知乘方的结果求原数的运算.。
【中考冲刺】初三数学培优专题 04 根与系数关系(含答案)(难)
根与系数关系阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则s 的取值范围是_________.【例2】 如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取值范围是_________.A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤D ．314m ≤≤【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求223βα+的值．【例4】 设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式1111b a a b --+--的值； （2）关于,,x y z 的方程组32236x y z axy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值．【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <0++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于1的根．能力训练A 级1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=2，那么m n += ．2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ． 3．当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数； 当 时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当 时，关于m的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（ ） A ．31-或 B ．3- C ．1 D ．12k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则 （ ）A ．12m n >⎧⎨>⎩B ．12m n >⎧⎨<⎩C ．12m n <⎧⎨>⎩D ．12m n <⎧⎨<⎩7．设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（ ）A ．正数B ．零C ．负数D ．不大于零的数8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（ ）A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或9．已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=． （1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．DBAC12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．B 级1．设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则k = ．4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为 ．5．如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（ ）A ．2B ．4CD 6．已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．257．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 8．设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b +的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．119．已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．10．若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．11. 设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++； （2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．13．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．根与系数的关系例1. 152s ≥-且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例 3. 设223,A βα=+223,B αβ=+ 31004A B += ①A B -= ② 解由① ②联立的 方程组得1(4038A =-例 4. 0,s ≠故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又11,,st t s≠∴是一元二次方程299190x x ++=的两个不同实根, 则1199,19,t t s s+=-=即199,19.st s t s +=-=故41994519st s s st s++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20 (2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+易知3,2x y 是一元二次方程22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴∆≥, 即2223221440z az a -+-≤,由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ∆=--⨯⨯-≥解得a 故正实数a(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,6x y xy +=⎧⎨=⎩或6,()xy 11.x y +=⎧⎨=⎩舍原式=()()222222212499x y x y xy x y +-++=．例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ∆-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，且x 1<0<x 2，由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12c x x a =，由0+=，得0b ca a =，即)12120x x x ++=，解得2x =，假设2x，则，由10x ＜推得3-不成立，故2x ；假设21x ≥1，由10x ＜推得10x ，矛盾．故21x ＜21x ＜．解法二：设()2f x ax bx c =++，由条件得)b =，得)3355f a c a c =++=+=， ()1f a b c a a c ⎤=++=-⎦．若a ＞0，0c ＜，则0f ＜，()10f ＞；若a ＜0，0c ＞，则0f ＞，()10f ＜．∴0ac ＜时，总有()10f f .＜1之间．A 级 1．3 2．2 3．-2 m ＞2 0＜m ≤183提示：12x -＞，22x -＞与124x x +-＞，124x x ⋅＞不等价．4．100134016- 提示：由条件得2n n a b n +=+，22n n a b n ⋅=-，则()()()2221n n a b n n --=-+，则()()211112221n a b n n ⎛⎫=-- ⎪--+⎝⎭．5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2=2120m ∆-+＞ （2）2124m x x =-≤0，m =4或m =0． 10．（1）43k -＞且0k ≠ （2）存在k =4 11．由题意得2m n =，224840n m n --+＜．当n =1时，m =2；当n =2时，m =4． 12．设方程两根为1x ，2x ，则1212,.x x mn x x m n +=⎧⎨=+⎩∵m ，n ，1x ，2x 均为正整数，设121x x ≥≥，1m n ≥≥，则()1212x x x x mn m n +-=-+，即有()()()()1211112x x m n --+--=，则()()()()12112,1,0,110,1,2.x x m n ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩∴123,2,5,2,2,1,5,2,3,1,2,2.x x m n =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故5,2,3,1;2; 2.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ B 级 1．0 提示：由条件得21130x x +-=，22230x x +-=，∴2113x x =-，2223x x =-，∴()3211111111333343x x x x x x x x =-=-+=-+=-，∴原式=()()121212434319431241944x x x x x x ---+=--++=++．又∵121x x +=-,∴原式=0． 2．853．5 4．638- 提示：()2=240a ∆-+＞，原式=2963632488a ⎛⎫---- ⎪⎝⎭≤． 5．D 6．C 7．B 8．B9．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab +-=，即()21a b -=，a -b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()24a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）． 104447αβ+=，662248p αβαβ-==-，()2244227q αβαβαβ-==-． 11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c aa b c d a b c b c d+++-+++++-+++=-++++++…+77777.b c d b c d M c d a d a b a b c+-+-+-=-++++++（2）原式=()()()()2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c da b c+++-+++++-+++=++++…+()()22227774968M a b c d M --+++=-．12．（1）m =． （2）原式=()()()22212121221212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝⎭．∵11m -≤≤,∴当m =-1时，22121211mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而2123αβ+=⎧⎨+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3a b c ++=-或29．。
初中数学草根问题教研(3篇)
第1篇摘要：本文针对初中数学教学中的草根问题进行探讨，分析了草根问题的成因，提出了相应的解决策略，旨在提高初中数学教学质量，促进学生全面发展。
一、引言随着新课程改革的深入推进，初中数学教学面临着诸多挑战。
在数学教学中，教师经常会遇到一些看似简单却难以解决的问题，这些被称为“草根问题”。
本文旨在分析初中数学教学中的草根问题，探讨其成因，并提出相应的解决策略。
二、初中数学教学中的草根问题及成因1. 问题一：学生基础知识薄弱（1）成因：部分学生在小学阶段数学学习过程中，由于家庭环境、教育方式等因素，导致基础知识掌握不牢固，进入初中后难以适应。
（2）表现：学生在解题过程中，对基本概念、公式、定理理解不透彻，导致解题错误率高。
2. 问题二：学生缺乏数学思维（1）成因：部分教师在教学过程中，过分强调知识灌输，忽视了对学生数学思维的培养。
（2）表现：学生在解题过程中，缺乏逻辑推理、抽象思维和创新能力，难以解决复杂问题。
3. 问题三：教师教学方式单一（1）成因：部分教师受传统教学模式影响，教学方式单一，缺乏创新。
（2）表现：教师在课堂上以讲授为主，忽视学生主体地位，导致学生学习兴趣不高，教学效果不佳。
4. 问题四：家校沟通不足（1）成因：部分教师与家长之间缺乏有效沟通，导致家长对学生的数学学习情况了解不足。
（2）表现：学生在家庭中缺乏数学学习的引导和支持，导致学习效果不佳。
三、解决策略1. 加强基础知识教学（1）针对学生基础知识薄弱的问题，教师应注重基础知识的教学，引导学生掌握基本概念、公式、定理。
（2）通过课堂练习、课后作业等形式，巩固学生基础知识，提高解题能力。
2. 培养学生数学思维（1）教师在教学过程中，注重培养学生的数学思维，引导学生进行逻辑推理、抽象思维和创新能力。
（2）通过数学游戏、数学竞赛等形式，激发学生学习兴趣，提高数学思维能力。
3. 创新教学方式（1）教师应积极探索创新教学方式，如小组合作、探究式学习等，提高课堂教学效果。
部编五年级上数学《问题解决》万孝琼PPT课件PPT课件 一等奖新名师优质课获奖比赛公开西南师大
PPT课件 一堆圆木堆在一起，它的横
截面形状成等腰梯形。已知这堆钢 管最上面一层有5根，最下面的一 层有43根，共20层。求这堆管共 有多少根？
PPT课件
一堆圆形钢管堆在一起，它的横截面形
状成等腰梯形。已知这堆钢管最上面一层 有8根，最下面的一层有13根，并且下面一 层都比上面一层多1根。求这堆钢管共有多 少根？
PPT课件
• 你能用今天学过的巧妙算法算出： • 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11……+100=？
PPT课件
本课小结
通过这节课的学习你有什么收 获？
谢谢指导
(3+8)+(4+7)+(5+6)=11×3=33(根)。
PPT课件
这堆圆木的横截面像我们 学过的什么图形?
(3 8) 6 2 33(根) 答：这堆圆木有 33根。称为“梯形法 则”
PPT课件
（1）最后一排的人数： 4 4 (4 1) 16(人) （2）一共有多少人？ (4 16) 4 2 40(人)
优秀PPT课件”
PPT课件
西师大版五年级数学上册
仁义镇永林小学
万孝琼
PPT课件
从上往下，一层 比一层多放1根。
(1)把每层的根数加起来：3+4+5+6+7+8=33(根)。
(2)把第1层的根数和最后一层的根数相加(3+8),第2层和 倒数第2层的根数相加(4+7),第3层和第4层的根数相加(5+6), 这样就有3个11根：
把“根”留住——议小学数学教学的“根”的问题
把“根”留住——议小学数学教学的“根”的问题歌。
”“让血脉再相连，留住我们的根！”这是香港著名歌星童安格经典歌曲《把根留住》里的几句歌词。
细细品来，真是意味深长。
共同出力量，集中精力研究和编写了新课程。
就在短短的三、四年里，全国所有地区、所有学校分批进入了实验区，百万名教师投入到了这场声势浩大的改革之中，全国所有的适龄儿童几乎一个不漏地在学习新课程、接受新教育、学做新公民。
“多少脸孔，随波逐流，他们到底在追寻什么？”是不是在盲目地追新、幼稚地从洋？还是在血脉相连中寻求发展？我想，这个答案是肯定的：这是一场具有深远意义的教育改革；是一次符合我国国情、借鉴外国经验、传承传统精华、血脉紧紧相连的一次大变革。
也正是“万涓成水，汇流成河，像一首澎湃的歌。
”“传统精华”是我们大中华的民族之“根”；“传承与创新”是我们大中华的改革之路。
我们都是小学数学教师，我们到底应该如何去随波逐流？如何才能真正有效地实施新课程，根据时代需要把小学数学教学工作做得更好？我认为首先要有“把‘根’留住”的思想观念。
什么是小学数学教学的“根”呢？我想，小学数学教学的本质就是小学数学教学的“根”。
如果我们在新课程实施中能够始终紧紧地把握好小学数学教学的本质性的问题，我们就真正抓住了小学数学教学的根本性问题。
那么，我们怎样才能把握好小学数学教学的本质性的问题呢？那就是要不断地通过学习，进一步理解和精通数学的基本概念，把握有效的数学思想，构建多样的思维方式，培育学生的数学精神；进一步理清“传承与创新”的教学改革发展思路，在基础中求创新。
具体说来，我们要从以下五个方面去努力：一、精通数学的基本概念。
小学阶段的数学概念是最基本的，但也是最重要的概念之一。
我们要学生掌握这些基本概念，教师自己首先要精通这些概念。
而且，我还认为，一个人他在小学阶段对数学概念能理解透彻，印象深刻，那么，对他将来比较顺利地学习数学，其效果是十分明显的。
据网上资料显示，在高等教育领域里，数学这门课程不仅仅只是理科生学习的，而是几乎所有专业的学生都要学数学，因为它是一门基础课程。
探寻数学教学的“根”
探寻数学教学的“根〞——张齐华老师“交换律〞赏析一、巧妙导课，在良好的气氛中开始对“根〞的探寻这节课，张齐华老师是这样开始的：师：同学们，你们了解张老师是哪个学校的吗(张老师借华南师范大学附小的孩子上课)生：(结合屏幕提示)了解。
你是X省X市X东路小学的。
师：关于张老师的学校，有一个有趣的故事，你们想听吗生：想。
师：我有一个朋友，有一天，他非说我调到X去工作了。
他说他在网上看到的我在X市X东路小学。
原来，他把“X〞和“X〞两个词调换了。
大家说，可以调换吗生：不可以。
师：看来啊，有些时候位置不能任意调换。
看屏幕上这句话：我骑着马儿跑。
“马儿〞和“我〞可以调换位置吗生：(笑)不能。
师：再看：小明在钓鱼。
“小明〞和“鱼〞可以调换吗生：(笑)不能。
师：25这个数中的“2〞和“5〞可以调换吗生：也不可以。
师：但是，在数学中有些情况是可以交换的。
今天这节课我们就来研究数学中有关交换的问题。
张老师的新课导人，令人叫绝。
利用自己学校的名称，以幽默的方法让学生先体会有时位置是不能调换的，变换“我骑着马儿跑〞“小明在钓鱼〞这两句话中的个别词语，成了“马儿骑着我跑〞“鱼在钓小明〞。
这种反常规的表达方法为课堂创设出轻松和谐的气氛，从而充分地调动起了学生的思维，为探寻学习内容的数学本质做好打算。
二、层层递进，探寻数学教学的“根〞进入新课后，张老师按照“实际演算——提出猜想——验证猜想——提出新的猜想——验证新的猜想〞来进行教学。
整个教学过程，张老师牢牢地抓住“觉察规律——验证规律〞这条主线，促使学生不断地去思考：应该怎样验证这样能验证吗怎样可以说明它不成立通过对这些问题不断的探究，学生的思维被激活，师生之间、生生之间的思维不断地进行碰撞，原有的问题解决了，新的问题又出现了，学生思维在不断的冲突中得以升华。
让我们来欣赏几个精彩片断。
片断一：师：实在，仅凭几个特例就得出“交换两个加数的位置和不变〞这样的结论，似乎草率了点。
但我们不妨把这一结论当做一个猜想(教师随马上学生给出的结论中的“。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
万老师——数学题根的研究
群主语：万老师独自一家的题根
．．研究，是他长期一线教学实践的结晶。
虽然有些提法不能
完全接受，但题根
．．理论初步形成，自成体系。
值得学习和借鉴。
本群主认为，万老师的“题根
．．学．”也许是数学双基的另一种表达，只不过说法比较形象而已。
A 题根是什么
一、题根是个问题
题根不是概念，不是结论，不是一般性的话题、标题、主题。
从句法上讲，话题、标题、主题都是陈述句，而题根是个疑问句，它是个问题。
二、题根是个题目
问题规范化后就是一个题目，就像讲课时的例题，课本上的习题，考卷上的考题，会场上的讨论题或研究题。
三、题根是题目的根基
题根不是一个孤立的题目，也不是一堆题中的一个单一的个体。
它是一个题族的根祖，一个题系中的根基，一个题群中的代表。
抓到了一个题根，就等于抓到了这个题族，这个题群，这个题系。
四、题根有生长性
题根不同于题源。
题源那里似乎有现成的题目，只是在源源不断地流出来。
而题根不然，在那里，现在不一定有现成的题目，众多的新题目要从题根上长出来。
因此题根不是题库而是题圃。
五、题根有渗透性
题根不刻意对学科内容在形式上的覆盖，但着重考虑题根与题根之间自然的、深刻的、纵横的渗透。
因为覆盖的只是一个“平面”，而渗透将得到的一个“三维立体”。
因此，题根之前不要考点罗列，以便让题根“自主地”去进行“地下串联”。
六、题根有实用性
题根在课堂教学中应是课堂“主例”，而成为课堂的“课根”。
课堂的其他例题要视作是“主例”的迁移、补充和拓展。
题根在考场上应成为“考根”，它应与考卷上的板块考题相约、相吻、相关、相近，而不一定要相同。
七、题根的可接受性
内容在教纲和考纲范围内，难度在中等水平上（0.65）。
题根不是高难题（题顶），也不是简答题（题支或题叶）。
题根是学生很想得到、而又不能伸手而得、却是要跳起来摘到的果实。
因此，题根在“行文”上要特别讲究科学性与趣味性的结合。
使学生在数学的学习中尝到“苦中之乐”。
B 数学题根的几种取向
一、特殊为一般之根
直三角形为一般三角形的根；所谓解三角形，就是将一般三角形直角化。
二、二元为多元之根
二元集合，二元平均不等式，二次式为二次型之根。
二维为多维之根，平面为空间之根。
三、形象为抽象之根
模特为概念之根；三棱柱与三棱锥的侧棱为三平面两两相交的交线之根；文氏图为集合运算之根，杨辉三角形为组合计数之根。
四、正弦线是正弦函数之根
三角函数线为三角函数性质之根，和角公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ为三角变换之根。
五、正方体为多面体之根
正方体→四面体（三棱锥）→多面体。
六、例题为习题之根
H2={a，b}为H3={a，b，c}的根；比较法为证不等式的根。
七、公式为变式之根
定理为推理之根；二项式定理(a+b)n导出的“母函数”；线面垂直定理导出三垂线定理。
八、确定为变化之根
二点线，三点圆，四点确定抛物线，椭圆、双曲线；Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的确定要一般要五点。
九、汇聚为发散根
曲线与方程，椭圆为例；焦半径公式为解椭圆之根。
十、有限为无限之根
数列的极限，连续与可导。
自然数→函数→有理数→实数。
十一、内容为方法之根
典型的数学方法与典型的数学内容相结合，就像典型的产品与典型的工艺相结合一样。
如配方法与二次型相结合，分析法与不等式相结合。
十二、猜想为论证之根
数学推理始于猜想，猜想在前，论证在后。
在论证中受阻时，可以回头是岸：对具体问题进行猜想。
C 题根题干题系
一、题海无边回头是岸
跨越考场，到底要练多少道题目？有说一千道，有说一万道，有说越多越好！
多就好吗？泛滥成海，迷茫无边，考生们在苦海中挣扎着，期盼着灯塔，期盼着航标！
其实，题目多到一万，既不可行，也无必要。
就拿数学来说，考点不到100个，理想地讲，100道题就行了。
回到实际，乘以保险系数3，300道题目已经足够了。
古人谈学诗：熟读唐诗300首，不会作诗也会吟。
我们这是谈解题：经典题练300道，不会编题也会解！
有儿歌唱道：题成海，卷成洋，题海战术真荒唐，航海本来靠航线，谁把海水灌肚肠？题有系，解有方，逃离题海变轻装，良师给你神奇药，对症只需一口汤！
二、题根题干题支题系
300道经典题组成题干，平常所说的学科主干知识在此呈现。
一张数学考卷上的22道题目，也在这里出出进进，若即若离，若隐若现。
300道经典题并不平行或平等，其中不少的题目有共同的祖根，即题根。
高中数学共分15章，每章只1个中心，1个中心隐藏着1个题根。
高中数学的题根大约有15个左右，其他题目由它长出，其中长成主干的题目称为题干（300道左右）。
300道题干再长出分支，由一生三，即高中数学约有900个左右的题支。
就这样，题根，题干，题支，组成高中数学的题系。
平常说，高中数学有1000道题目，大概就是这样来的。
三、一揽无余天下试题
题能生题，以至无穷；题有体系，可用有限把握无限。
（1）300道经典题为题干，搭起题系的框架。
按15章划分，每章约20道经典题目。
（2）15道题根为“题王”，将每章20道经典题分别作捆扎，视繁为简，视厚为薄，抓题先抓纲，擒题先擒王。
（3）将300道题目作变通，作迁移，作繁殖，举一反三（不必72变），得900道题支。
题支多而不乱，按300户分灶，按15题根归谱，经纬分明，错落有致，形成漂亮的图案。
就这样，15题根，300题干，900题支，以此有限的千道题系，可包揽天下无穷无尽的试题。