导数在高中数学中的应用
高中数学导数的应用
高中数学导数的应用导数是高中数学中的重要概念之一，它在许多实际问题中都有着广泛的应用。
本文将从几个不同的角度来讨论导数的应用。
一、函数的局部性质导数描述了函数在某一点附近的局部变化情况。
通过计算导数，我们可以判断函数在某点上是增函数还是减函数，从而了解函数的局部性质。
例如，对于一条直线函数，导数恒为常数，表示函数在任意一点上都是增函数或减函数；而对于一个二次函数，导数可以告诉我们函数的凹凸性质。
二、切线与法线导数还可以用来求解函数的切线和法线方程。
对于一条曲线，通过求解曲线上某一点的导数，我们可以得到切线的斜率，从而得到切线方程。
同样地，法线的斜率可以通过切线的斜率和导数的关系求解，进而得到法线方程。
这种应用在物理学中特别有用，例如计算质点在曲线上的运动轨迹时，我们需要知道质点的切线方程，以便求解其运动速度和加速度等物理量。
三、最值问题导数也可以用来解决函数的最值问题。
对于一个连续函数，其最值出现在导数为零的点或者定义域的端点上。
因此，通过求解导数为零的方程，我们可以得到函数的极值点，从而求解最值问题。
这一应用在经济学中尤为重要，例如在成本和收益问题中，我们需要确定某种产品的生产数量，以使总利润最大化。
四、曲线的凹凸性与拐点通过导数的符号变化，我们可以判断函数在某一区间上的凹凸性以及确定曲线的拐点。
当导数在某一区间上始终大于零时，函数在该区间上是凹函数；反之，当导数在某一区间上始终小于零时，函数在该区间上是凸函数。
而导数在某一点上发生跃变时，可以判断该点为函数的拐点。
这一应用在优化问题和工程设计中具有重要意义，例如在物体运动问题中，我们需要找到最优的运动轨迹，以使得物体的速度变化最小。
总结起来，导数的应用非常广泛。
无论是研究函数的局部性质、求解切线和法线方程、解决最值问题，还是分析曲线的凹凸性与拐点，导数都发挥着重要的作用。
因此，对于高中数学学习者来说，深入理解导数的概念和应用是非常重要的。
只有掌握了导数的应用，才能更好地解决实际问题，并在日后的学习和工作中受益。
高中数学第1章导数及其应用1.3.2利用导数研究函数的极值b22b高二22数学
故当 x＝0 时，函数取得极小值，且 y 极小＝0.
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1．讨论函数的性质要注意定义域优先的原则．
2．极值点与导数的关系
(1)可导函数的极值点一定是导数值为 0 的点，导数值为 0 的点
不一定是极值点．
点 x0 是可导函数 f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：
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(3)f(x)＝|x|＝x－，xx，≥x0<，0.
显然函数 f(x)＝|x|在 x＝0 处不可导，
当 x>0 时，f′(x)＝x′＝1>0，
函数 f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增；
当 x<0 时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0，
函数 f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减．
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2．函数 f(x)＝2x－cos x 在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值
B．有极值
C．有最大值
D．有最小值
[解析] f′(x)＝2＋sin x>0 恒成立，所以 f(x)在(－∞，＋∞)上单调 递增，无极值，也无最值．
[答案] A
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3．下列说法正确的是________．(填序号) ①函数的最大值一定是函数的极大值； ②开区间上的单调连续函数无最值； ③函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处 取得．
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1．观察[a，b]上函数 y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小 值．
提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．
_高中数学第一章导数及其应用2
f(x)＝1x
f ′(x)＝－x12＝－x－2
f(x)＝ x
f ′(x)＝21 x＝12x－12
f(x)＝x3
f′(x)＝3x2
结论：若f(x)＝xα(α为有理数)，则f′(x)＝αxα－1.
1．y＝c表示平行于x轴的直线，或与x轴重合的直线， 其斜率为0，故y＝c上任一点处的导数值为____0____， 直线y＝x的斜率为1，故直线y＝x上任一点处的导数值 为___1_____.
[分析] 只需求出K、Q两点的横坐标即可．
[解析]
设P(x0，y0)，则kl1＝y′|x＝x0＝2
1 x0
.
∵直线l1与l2垂直，则kl2＝－2 x0，
∴直线l2的方程为y－y0＝－2 x0(x－x0)．
∵点P(x0，y0)在曲线y＝ x上，∴y0＝ x0.
在直线l2的方程中令y＝0，则－ x0＝－2 x0(x－x0)．
2．当y＝c表示路程关于时间的函数时，常数c表明路 程不变化，因此一直处于__静__止____状态，故瞬时速度 为___0_____，因此y′＝____0____；
当y＝x表示路程关于时间的函数时，路程的改变量等 于时间的改变量，因此物体做匀速直线运动，瞬时速 度为___1_____，故y′＝____1____.
当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切 线的斜率为k＝3x20.
∵A在曲线上，∴y0＝x30，∴xx300－－82＝3x20，
∴x30－3x20＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， ∴x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3， 此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0和 3x－y＋2＝0. [警示] 求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲 线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．
_高中数学第一章导数及其应用2
[提示] ΔΔyx＝x＋Δx2＋xΔ＋2xΔx－x2＋2x
＝2x＋Δx＋xx－＋2Δx
∴ lim Δx→0
2x＋Δx＋xx－＋2Δx
＝2x－x22.
Байду номын сангаас
[问题3] F(x)的导数与f(x)、g(x)的导数有何关系？ [提示] F(x)的导数等于f(x)、g(x)导数和．
[问题 4] 试说明 y＝cos3x－π4如何复合的． [提示] 令 u＝g(x)＝3x－π4，y＝f(u)＝cos u，
(3)y′＝(2x2＋3)′·(3x－2)＋(2x2＋3)·(3x－2)′
＝4x·(3x－2)＋(2x2＋3)·3
＝18x2－8x＋9.
(4)y′＝xl＋n x1′－(2x)′
＝1xx＋x＋1－ 12ln
x －2xln
2
＝1＋x1x＋－1ln2
x －2xln
2.
二. 复合函数的导数
例题 2 求下列函数的导数：
(1)y＝1－12x3；
(2)y＝cos x2；
(3)y＝sin3x－π4； (4)y＝lg(2x2＋3x＋1)．
• [思路点拨] 解答本题可先分析复合函数的复合过 程，然后运用复合函数的求导法则求解．
解析： (1)设 y＝u13，u＝1－2x， 则 y′x＝y′u·u′x ＝u13′·(1－2x)′ ＝－3u－4·(－2) ＝1－62x4. (2)设 y＝cos u，u＝x2， 则 y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(x2)′ ＝－sin u·2x ＝－2x·sin x2.
(4)开始学习求复合函数的导数要一步步写清楚，熟 练后中间步骤可省略．
特别提醒：只要求会求形如f(ax＋b)的复合函数的导 数．
高中数学知识点总结导数的应用
高中数学知识点总结导数的应用高中数学知识点总结_导数的应用导数的应用、复数1.用导数研究微分的单调性。
yf(x)在区间(a,b)内可导，若f"(x);0，则yf(x)在(a,b)上递增;若f"(x)[巩固2设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)三维空间的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）（07浙江理8）OA．xOB．xOC．xOD．xyyyy[巩固3]函数f(x)、g(x)在R上可导，且f(x);g(x),若a;b，则（）A．f(a);g(b)B．g(a)解析：f"(x)3x22axb0，∴f/(1)=2ab30①2f(1)1abaa4a3或10②由①②得：b3b11a3当时，f"(x)3x26x33(x1)20，此时函数f(x)无极值，舍去；b3当a4b11时f/(x)3x28x11，函数f(x)在x1处左减右增，有极小值；此时∴f(2)18。
注：在解决“已知函数的最大值点求参变量”的问题时，为避免“增根”，需将求出的参变量的值代入f/(x)检验其是否为完全平方式，若是则函数无极值（单调），否则有极值；也可以对f/(x)再次求导，看f为负则有极大值。
[巩固1]已知f(x)ax3bx2cx在区间[0,1]上是增函数,在区间(,0),(1,)上是减函数,又f()2132.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)若在区间[0,m](m＞0)上恒有f(x)≤x成立,//为0则无极值，为正则有极小值，(x0)的值，求m的取值范围.[举例2]设函数f(x)ax2blnx，其中ab0．证明：当ab0时，函数f(x)没有极值点；当ab0时，函数f(x)有且只有一个极值点，并求出极值．（07高考山东文21）3.求yf(x)在闭区间内所的最值的步骤：（1）求导数f"(x)（2）求导数方程f"(x)=0的根（3）检查f"(x)在根的左右值的符号，列表求得极值；也可通过可解不等式f"(x)≥0及再以确定函数的极值；最后将极值与f"(x)≤0确定函数yf(x)在给定区间内的单调情况，区间端点的函数值比较以确定最值。
【高中数学】习题课 导数的综合应用
习题课导数的综合应用题型一导数在解决实际问题中的应用【例1】某知名保健品企业新研发了一种健康饮品.已知每天生产该种饮品最多不超过40千瓶，最少1千瓶，经检测知生产过程中该饮品的正品率P与日产量x(x∈N*，单位：千瓶)间的关系为P＝4 200－x24 500，每生产一瓶正品盈利4元，每生产一瓶次品亏损2元.(注：正品率＝饮品的正品瓶数÷饮品总瓶数×100%)(1)将日利润y(元)表示成日产量x的函数；(2)求该种饮品的最大日利润.解(1)由题意，知每生产1千瓶正品盈利4 000元，每生产1千瓶次品亏损2 000元，故y＝4 000×4 200－x24 500x－2 000⎝⎛⎭⎪⎫1－4 200－x24 500x＝3 600x－43x3.所以日利润y＝－43x3＋3 600x(x∈N*，1≤x≤40).(2)令f(x)＝－43x3＋3 600x，x∈[1，40]，则f′(x)＝3 600－4x2.令f′(x)＝0，解得x＝30或x＝－30(舍去).当1≤x<30时，f′(x)>0；当30<x≤40时，f′(x)<0，所以函数f(x)在[1，30)上单调递增，在(30，40]上单调递减，所以当x＝30时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，为f(30)＝－43×303＋3 600×30＝72 000，也即y的最大值为72 000，所以该种饮品的最大日利润为72 000元.规律方法利用导数解决实际应用问题的步骤(1)函数建模：细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y 与自变量x ，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y ＝f (x ). (2)确定定义域：一定要从问题的实际意义去考虑，舍去没有实际意义的自变量的范围.(3)求最值：尽量使用导数法求出函数的最值. (4)下结论：根据问题的实际意义给出圆满的答案.【训练1】 如图，要设计一面矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两个栏目的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏目之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌的面积最小？解 设广告牌的高和宽分别为x cm ，y cm ， 则每个栏目的高和宽分别为(x －20)cm ，y －252 cm ， 其中x >20，y >25.∵两个栏目的面积之和为2(x －20)·y －252＝18 000，∴y ＝18 000x －20＋25， ∴广告牌的面积S (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫18 000x －20＋25＝18 000xx －20＋25x ，∴S ′(x )＝18 000[（x －20）－x ]（x －20）2＋25＝－360 000（x －20）2＋25.令S ′(x )>0，得x >140；令S ′(x )<0，得20<x <140.∴函数S (x )在(140，＋∞)上单调递增，在(20，140)上单调递减， ∴S (x )的最小值为S (140).当x ＝140时，y ＝175，故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告牌的面积最小，最小面积为24 500 cm 2.题型二 与最值有关的恒成立问题【例2】设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0).(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围.解(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去).当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：∴对t∈(0，2)，当maxh(t)<－2t－m对t∈(0，2)恒成立，也就是g(t)<0对t∈(0，2)恒成立，只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.故实数m的取值范围是(1，＋∞).规律方法(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化.λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可.(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”.【训练2】设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，(1)若对任意的x∈[0，3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围；(2)若对任意的x∈(0，3)，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围.解(1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2).∴当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(1，2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(2，3)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增.∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.又f(3)＝9＋8c＞f(1)，∴x∈[0，3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c. ∵对任意的x∈[0，3]，有f(x)＜c2恒成立，∴9＋8c＜c2，即c＜－1或c＞9.∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).(2)由(1)知f(x)＜f(3)＝9＋8c，∴9＋8c≤c2，即c≤－1或c≥9，∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞). 题型三利用导数证明不等式【例3】已知函数f(x)＝ln x－a（x－1）x(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：对于任意x∈(1，2)，不等式1ln x－1x－1<12恒成立.(1)解易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－a x2.①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②若a>0，当x∈(0，a)时，f′(x)<0，f(x)在(0，a)上单调递减，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(a，＋∞)上单调递增.综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a>0时，f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a). (2)证明∵1<x<2，∴1ln x－1x－1<12等价于(x＋1)ln x－2(x－1)>0，令F(x)＝(x＋1)ln x－2(x－1)，即F′(x)＝ln x＋x＋1x－2＝ln x＋1x－1.由(1)知，当a＝1时，f(x)＝ln x－1＋1x在[1，＋∞)上单调递增，∴当x∈[1，2)时，f(x)≥f(1)，即ln x ＋1x －1≥0，F ′(x )≥0， ∴F (x )在[1，2)上单调递增， ∴当x ∈(1，2)时，F (x )>F (1)＝0， 即当1<x <2时，1ln x －1x －1<12恒成立.规律方法 (1)证明f (x )>g (x )的一般方法是证明h (x )＝f (x )－g (x )>0(利用单调性)，特殊情况是证明f (x )min >g (x )max (最值方法)，但后一种方法不具备普遍性. (2)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式两个变元成为一个整体，另一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式f (x 1)＋g (x 1)<f (x 2)＋g (x 2)对x 1<x 2恒成立，即等价于函数h (x )＝f (x )＋g (x )为增函数. 【训练3】 设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x <x . (1)解 依题意，f (x )的定义域为(0，＋∞). f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝1. ∴当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增. 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.(2)证明 由(1)知f (x )在x ＝1处取得最大值，且最大值f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x <x －1. 故当x ∈(1，＋∞)时，x －1ln x >1， 又可将1x 代入ln x <x －1，得ln 1x <1x －1， 即－ln x <1x －1⇔ln x >1－1x ⇔ln x >x －1x ⇔x >x －1ln x ， 故当x ∈(1，＋∞)时恒有1<x －1ln x <x .题型四 利用导数解决函数的零点或方程的根问题 【例4】 已知函数f (x )＝ln x ＋ax －1，(1)求f (x )的单调区间；(2)当a ≤1时，求函数f (x )在区间(0，e]上零点的个数. 解 (1)f ′(x )＝1－ln x －a x2，令f ′(x )＝0，得x ＝e 1－a. f ′(x )及f (x )随x 的变化情况如下表：所以f (x )(2)由(1)可知f (x )的最大值为f (e1－a)＝1－e 1－a e1－a ，①当a ＝1时，f (x )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，e)上单调递减. 又f (1)＝0，故f (x )在区间(0，e]上只有一个零点. ②当a <1时，1－a >0，e 1－a >1， 则f (e1－a)＝1－e 1－ae1－a <0，所以f (x )在区间(0，e]上无零点.综上，当a ＝1时，f (x )在区间(0，e]上只有一个零点， 当a <1时，f (x )在区间(0，e]上无零点.规律方法 利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性，极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数范围.【训练4】 若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )取得极值－43. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的实数根，求实数k 的取值范围. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2－b ， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝12a －b ＝0，f （2）＝8a －2b ＋4＝－43，解得a ＝13，b ＝4(经检验满足题意).∴f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2). 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.∴当x <－2或x >2时，f ′(x )>0；当－2<x <2时，f ′(x )<0.因此，当x ＝－2时，f (x )取得极大值283，当x ＝2时，f (x )取得极小值－43. ∴函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的大致图象如图所示. 由图可知，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，283.一、素养落地1.通过学习利用导数解决实际应用问题、培养学生数学建模素养，通过学习利用导数解决不等式问题及函数零点问题，提升数学运算素养.2.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要方法.另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确给出函数表达式； (2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.3.利用导数解决不等式问题与利用导数解决函数的零点问的一般方法都是转化为函数的极值或最值问题. 二、素养训练1.设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时底面边长为( )A.3V B.32VC.34VD.23V解析 设底面边长为x ， 则表面积S ＝32x 2＋43x V (x >0). ∴S ′＝3x 2(x 3－4V ).令S ′＝0，得x ＝34V . 答案 C2.已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意的正数a ，b ，若a <b ，则必有( ) A.bf (b )≤af (a ) B.bf (a )≤af (b ) C.af (a )≤bf (b )D.af (b )≤bf (a )解析 设g (x )＝xf (x )，x ∈(0，＋∞)， 则g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )≤0，∴g (x )在区间(0，＋∞)上单调递减或g (x )为常函数. ∵a <b ，∴g (a )≥g (b )，即af (a )≥bf (b )，故选A. 答案 A3.已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A.13万件 B.11万件 C.9万件D.7万件 解析 因为y ′＝－x 2＋81，所以当x ＞9时，y ′＜0；当x ∈(0，9)时，y ′＞0.所以，函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增. 所以x ＝9是函数的极大值点.又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点， 所以函数在x ＝9处取得最大值. 答案 C4.直线y ＝a 与函数y ＝x 3－3x 的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围是________.解析f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.因为当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，所以f(x)极小值＝f(1)＝－2，f(x)极大值＝f(－1)＝2.函数y＝x3－3x的大致图象如图所示，所以－2<a<2.答案(－2，2)三、审题答题示范(二)利用导数解决不等式问题【典型示例】(12分)已知函数f(x)＝ax－e x(a∈R)，g(x)＝ln x x.(1)求函数f(x)的单调区间①；(2)∃x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－e x成立②，求a的取值范围.联想解题看到①想到解不等式f′(x)>0求f(x)的单调增区间，解不等式f′(x)<0求f(x)的单调减区间，但需注意讨论不等式中参数a的符号；看到②想到通过分离参数a构造新函数，把不等式问题转化为求函数的最值问题，需注意的是条件为“∃x”，而不是“∀x”，所以要弄清楚问题是求函数的最大值还是最小值.满分示范解(1)因为f′(x)＝a－e x，x∈R.当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在R上单调递减；2分当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝ln a.由f′(x)>0，得f(x)的单调递增区间为(－∞，ln a)；由f′(x)<0，得f(x)的单调递减区间为(ln a，＋∞).综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，＋∞)，无单调递增区间；当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，ln a)，单调递减区间为(ln a，＋∞).4分(2)因为∃x ∈(0，＋∞)，使不等式f (x )≤g (x )－e x ， 则ax ≤ln x x ，即a ≤ln xx 2.6分设h (x )＝ln x x 2，则问题转化为a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2max ，由h ′(x )＝1－2ln xx 3，令h ′(x )＝0，得x ＝ e.当x 在区间(0，＋∞)内变化时，h ′(x )，h (x )随x 变化的变化情况如下表：x (0，e) e (e ，＋∞)h ′(x ) ＋0 － h (x )极大值12e10分由上表可知，当x ＝e 时，函数h (x )有极大值，即最大值为12e ，所以a ≤12e . 故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12e .12分满分心得(1)涉及含参数的函数的单调区间，一般要分类讨论，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)解决不等式“恒成立”或“能成立”问题首先要构造函数，利用导数求出最值、求出参数的取值范围，也可分离参数、构造函数，直接把问题转化为求函数的最值.基础达标一、选择题1.对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A.0≤a ≤21 B.a ＝0或a ＝7 C.a <0或a >21D.a ＝0或a ＝21解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ， 当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数f (x )不存在极值点. 答案 A2.定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( ) A.f (0)＋f (2)>2f (1) B.f (0)＋f (2)＝2f (1) C.f (0)＋f (2)<2f (1)D.f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定 解析 ∵(x －1)f ′(x )<0，∴当x >1时，f ′(x )<0；当x <1时，f ′(x )>0，则f (x )在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增， ∴f (0)<f (1)，f (2)<f (1)， 则f (0)＋f (2)<2f (1). 答案 C3.已知函数f (x )＝x －sin x ，则不等式f (x ＋1)＋f (2－2x )>0的解集是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ C.(－∞，3)D.(3，＋∞)解析 因为f (x )＝x －sin x ，所以f (－x )＝－x ＋sin x ＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，函数的导数f ′(x )＝1－cos x ≥0，则函数f (x )是增函数，则不等式f (x ＋1)＋f (2－2x )>0等价为f (x ＋1)>－f (2－2x )＝f (2x －2)，即x ＋1>2x －2，解得x <3，故不等式的解集为(－∞，3). 答案 C4.方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( ) A.4 B.6 C.4.5D.8解析 设底面边长为x ，高为h ， 则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x 2，∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2.令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴h ＝25682＝4. 答案 A5.若函数f (x )＝x 2e x －a 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4e 2 C.(0，4e 2)D.(0，＋∞)解析 令g (x )＝x 2e x ， 则g ′(x )＝2x e x ＋x 2e x ＝x e x (x ＋2). 令g ′(x )＝0，得x ＝0或－2，∴g (x )在(－2，0)上单调递减，在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增. ∴g (x )极大值＝g (－2)＝4e 2，g (x )极小值＝g (0)＝0， 又f (x )＝x 2e x －a 恰有三个零点，则0<a <4e 2. 答案 B 二、填空题6.某厂生产某种商品x 件的总成本c (x )＝1 200＋275x 3(单位：万元)，已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时，总利润最大.解析 设产品的单价为p 万元，根据已知，可设p 2＝k x ， 其中k 为比例系数.因为当x ＝100时，p ＝50，所以k ＝250 000. 所以p 2＝250 000x ，p ＝500x ，x ＞0.设总利润为y 万元，y ＝500x ·x －1 200－275x 3＝500x －275x 3－1 200.则y ′＝250x －225x 2. 令y ′＝0，得x ＝25.故当0＜x ＜25时，y ′＞0，当x ＞25时，y ′＜0，所以，当x ＝25时，函数y 取得极大值，也是最大值. 答案 257.已知函数f (x )＝2x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，则a 的取值范围是________. 解析 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 得a ≤2ln x ＋x ＋3x . 设h (x )＝2ln x ＋3x ＋x (x >0).则h ′(x )＝2x －3x 2＋1＝（x ＋3）（x －1）x 2，当x ∈(0，1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增. ∴h (x )min ＝h (1)＝4.又f (x )≥g (x )恒成立，∴a ≤4. 答案 (－∞，4]8.已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，若关于x 的不等式f (x )－m ≥0在[1，e]上有实数解，则实数m 的取值范围是________. 解析 由f (x )－m ≥0得f (x )≥m ， 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2x ＝2（x 2－1）x ，当x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，此时，函数f (x )单调递增，所以f (1)≤f (x )≤f (e). 即1≤f (x )≤e 2－2，要使f (x )－m ≥0在[1，e]上有实数解，则有m ≤e 2－2. 答案 (－∞，e 2－2] 三、解答题9.已知函数f (x )＝a ＋x ·ln x (a ∈R )，试求f (x )的零点个数. 解 f ′(x )＝(x )′ln x ＋x ·1x ＝x （ln x ＋2）2x，令f ′(x )>0，解得x >e －2， 令f ′(x )<0，解得0<x <e －2， 所以f (x )在(0，e －2)上单调递减， 在(e －2，＋∞)上单调递增. f (x )min ＝f (e －2)＝a －2e ，显然当a >2e 时，f (x )min >0，f (x )无零点， 当a ＝2e 时，f (x )min ＝0，f (x )有1个零点， 当a <2e 时，f (x )min <0，f (x )有2个零点.10.一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元， 问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？解 设速度为v 海里的燃料费每小时p 元，那么由题设的比例关系得p ＝k ·v 3，其中k 为比例系数，它可以由v ＝10，p ＝6求得，即k ＝6103＝0.006，于是有p ＝0.006v 3. 又设当船的速度为v 海里时，行1海里所需的总费用为q 元，那么每小时所需的总费用是0.006v 3＋96(元)，而行1海里所需时间为1v 小时，所以，行1海里的总费用为：q ＝1v (0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v . q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v 2(v 3－8 000)， 令q ′＝0，解得v ＝20.∴当v <20时，q ′<0； 当v >20时，q ′>0，∴当v ＝20时q 取得极小值，也是最小值，即速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小.能力提升11.已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋3)，则下列有关描述正确的是( ) A.∀x ∈(－3，＋∞)，f (x )≥13B.∀x∈(－3，＋∞)，f(x)>－1 2C.∃x0∈(－3，＋∞)，f(x0)＝－1D.f(x)min∈(0，1)解析因为f(x)＝e x－ln(x＋3)，所以f′(x)＝e x－1x＋3，显然f′(x)在(－3，＋∞)上是增函数，又f′(－1)＝1e－12<0，f′(0)＝23>0，所以f′(x)在(－3，＋∞)上有唯一的零点，设为x0，且x0∈(－1，0)，则x＝x0为f(x)的极小值点，也是最小值点，且e x0＝1x0＋3，即x0＝－ln(x0＋3)，故f(x)≥f(x0)＝e x0－ln(x0＋3)＝1x0＋3＋x0>－12，故选B.答案 B12.已知函数f(x)＝12x2－a ln x(a∈R)，(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x>1时，12x2＋ln x<23x3.(1)解f′(x)＝x－ax，因为x＝2是一个极值点，所以2－a2＝0，则a＝4.此时f′(x)＝x－4x＝（x＋2）（x－2）x，因为f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以当x∈(0，2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)，f′(x)＞0，所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点，则a＝4.(2)解因为f′(x)＝x－ax＝x2－ax，所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).当a＞0时，f′(x)＝x－ax＝x2－ax＝（x＋a）（x－a）x，当0<x<a时，f′(x)<0，当x>a时，f′(x)>0，所以函数f(x)的单调递增区间(a，＋∞)；递减区间为(0，a).(3)证明 设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2－x －1x ＝（x －1）（2x 2＋x ＋1）x＞0，又x >1，所以g (x )在x ∈(1，＋∞)上为增函数，所以当x >1时，所以g (x )＞g (1)＝16＞0，所以当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3.创新猜想13.(多选题)已知函数f (x )＝x ln x ＋x 2，x 0是函数f (x )的极值点，以下几个结论中正确的是( ) A.0<x 0<1e B.x 0>1e C.f (x 0)＋2x 0<0D.f (x 0)＋2x 0>0解析 函数f (x )＝x ln x ＋x 2(x >0)，∴f ′(x )＝ln x ＋1＋2x ， 易知f ′(x )＝ln x ＋1＋2x 在(0，＋∞)上单调递增， ∵x 0是函数f (x )的极值点，∴f ′(x 0)＝0， 即ln x 0＋1＋2x 0＝0，而f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝2e >0，当x →0，f ′(x )→－∞，∴0<x 0<1e ，即A 选项正确，B 选项不正确；f (x 0)＋2x 0＝x 0ln x 0＋x 20＋2x 0＝x 0(ln x 0＋x 0＋2)＝－x 0(x 0－1)>0，即D 正确，C 不正确.故答案为AD. 答案 AD14.(多选题)已知函数f (x )＝sin x ＋x 3－ax ，则下列结论正确的是( ) A.f (x )是奇函数B.若f (x )是增函数，则a ≤1C.当a ＝－3时，函数f (x )恰有两个零点D.当a ＝3时，函数f (x )恰有两个极值点解析 对A ，f (x )＝sin x ＋x 3－ax 的定义域为R ，且f (－x )＝sin(－x )＋(－x )3＋ax ＝－(sin x ＋x 3－ax )＝－f (x ).故A 正确.对B ，f ′(x )＝cos x ＋3x 2－a ，因为f (x )是增函数， 故cos x ＋3x 2－a ≥0恒成立.即a ≤cos x ＋3x 2恒成立.令g (x )＝cos x ＋3x 2，则g ′(x )＝6x －sin x ，设h(x)＝6x－sin x，h′(x)＝6－cos x>0，故g′(x)＝6x－sin x单调递增，又g′(0)＝0，故当x<0时g′(x)<0，当x>0时g′(x)>0.故g(x)＝cos x＋3x2最小值为g(0)＝1.故a≤1.故B正确.对C，当a＝－3时由B选项知，f(x)是增函数，故不可能有两个零点，故C错误. 对D，当a＝3时f(x)＝sin x＋x3－3x，f′(x)＝cos x＋3x2－3，令cos x＋3x2－3＝0则有cos x＝3－3x2.在同一坐标系中作出y＝cos x，y＝3－3x2的图象易得有两个交点，且交点左右的函数值大小不同.故函数f(x)恰有两个极值点.故D正确.故选ABD.答案ABD高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高中数学一元函数的导数及其应用
高中数学一元函数的导数及其应用
一元函数的导数是描述函数变化率的一个重要概念，它在高中数学中占有重要地位。
本文将从以下几个方面来介绍一元函数的导数及其应用。
1. 导数的定义及其运算法则
首先，我们需要了解导数的定义及其运算法则。
导数的定义是：函数$f(x)$在$x_0$处的导数为$f'(x_0)=limlimits_{Delta
xto0}dfrac{f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x}$。
而导数的运算法则包括：常数求导法则、和差求导法则、积法求导法则、商法求导法则、复合函数求导法则以及反函数求导法则等。
2. 导数的图像及其性质
导数的图像是很有特点的，对于一些数学问题，我们可以通过导数图像来解决。
在本文中，我们将介绍导数图像的性质，如导数曲线的斜率、升降区间、极值和拐点等。
3. 极值与最值问题
极值与最值问题是高中数学中的一个重要问题，它跟导数密切相关。
在本文中，我们将介绍如何通过导数来求得函数的极值与最值，并讲解极值与最值的应用。
4. 函数图像的绘制
函数图像的绘制是高中数学中的一个必修内容，它要求我们能够通过导数来判断函数的升降性、极值和拐点等，从而画出函数的图像。
在本文中，我们将介绍如何通过导数来刻画函数图像的特点，并讲解
函数图像的绘制方法。
总之，本文的目的是让读者对一元函数的导数及其应用有一个全面的认识，从而更好地掌握高中数学的相关知识。
高中数学导数放缩法
高中数学导数放缩法导数作为数学中重要的概念，是微积分中的一个基础知识。
在高中数学中，导数是一个重要的内容，学生需要掌握导数的定义、性质和计算方法。
其中，导数的放缩法是导数的一种重要应用，能够帮助我们简化复杂的导数计算，提高计算的效率。
一、导数的定义及性质回顾在学习导数的放缩法之前，我们先来回顾一下导数的定义及性质。
在数学中，函数y = f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h这个极限表示当自变量在点x处偏离x时，函数值的变化情况。
导数有一些重要的性质，比如：1.常数函数的导数为0：即对于常数k，f(x) = k的导数为f'(x) = 02.和函数的导数：(u + v)' = u' + v'3.差函数的导数：(u - v)' = u' - v'4.常数倍函数的导数：(ku)' = ku'5.积函数的导数：(uv)' = u'v + uv'6.商函数的导数：(u/v)' = (u'v - uv')/v^2这些性质在导数的计算中起着非常重要的作用，能够帮助我们简化计算过程。
接下来，我们将介绍导数的放缩法，以及如何运用这一方法简化导数的计算。
二、导数的放缩法原理导数的放缩法是指根据导数的定义及性质，通过放缩函数的表达式，将复杂的导数计算化简为简单的计算。
具体来说，导数的放缩法主要有以下几种形式：1.基本放缩法：指利用导数的性质，将一个复杂函数拆分成几个简单函数的和、差、积或商，然后利用导数的性质求导，最后将得到的导数组合起来得到原函数的导数。
2.递推放缩法：指通过递推的方式，将一个复杂函数的导数化简为一个或多个简单函数的导数，然后根据导数的性质组合起来得到原函数的导数。
3.反函数放缩法：指利用反函数的性质，将一个函数的导数与其反函数的导数之间建立联系，通过求导得到原函数的导数。
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x 2-导数在高中数学中的应用自从导数加入中学数学教材，我们研究和解决函数等数学问题便有了更加有效、简便的工具。
当前中学数学中导数的应用主要表现在4个方面：1、切线的斜率（导数的几何意义）；2、函数的单调性；3、函数的极值；4、函数的最值。
导数一旦与函数、向量、解析几何等结合起来，问题的设计便更加广阔。
在近年高考中有不少精彩的题目，而且有些是压轴题，在本文中，我将对“导数在高中数学中的应用”作一些初步的探讨。
1 在代数中的应用1.1对导数几何意义的考查例1（2005年江西卷）已知函数()y xf x'=的图象如图1（其中()f x'是函数()f x的导数）f图象大致是（）。
B D分析：这是考察求导法则，函数图象与x轴交点情况和方程实根的关系等基础知识，考察导数的意义。
由图象可知(1)0f'=，(1)0f'-=，所以()f x在1±处有平行与轴的切线，故选C。
1.2 判断函数的单调性函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的，其思维方法有：一、利用增（减）函数的定义判断单调性；二、导数法。
利用在(,)a b内可导的函数()f x在(,)a b上递增（或递减）的充要条件是()0f x'≥（或()0f x'≤），(,)x ab∈恒成立（但()f x'在(,)a b的任意子区间内都不恒等于0）。
方法一化简较为繁琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.，特别是对于具体函数更加适用。
例2.已知()1xf x e ax=--。
（1）求()f x的单调增区间；（2）若()f x在定义域R内单调递增，求a的取值范围；（3）是否存在a使()f x在(,0]-∞上单调递减，在[0,)+∞上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。
分析：本题是关于函数单调性的问题，若用定义来判断函数单调性，在计算方面必遇到一些困难，因此，我们采用导数法解题。
函数增区间是()0f x'≥恒成立的区间，函数的减区间是()0f x'≤恒成立的区间（导数值为零的点为有限个）。
解：（1）()1,()x xf x e ax f x e a'=--∴=-令()0f x'≥，得x e a≥，当0a ≤时，有()0f x '>在R 上恒成立；当0a >时，有ln x a ≥。
综上情况，当0a ≤时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调增区间为[ln ,)a +∞。
（2）()1,()x x f x e ax f x e a '=--∴=-()f x 在R 上单调递增，()0x f x e a '∴=-≥（等号只能在有限个点处取得）恒成立，即xe a ≥，x R ∈恒成立。
x R ∈ 时，(0,)x e ∈+∞，0a ∴≤。
（3）由已知()f x 在(,0]-∞上单调递减，在区间[0,)+∞上单调递增可知，(0)f 是()f x 的极值。
(0)01f e a a '∴=-=⇒=，∴存在1a =满足条件。
1.3 求函数极值或最值最值问题是高中数学的一个重点，也是一个难点.它涉及到了高中数学知识的各个方面，要解决这类问题往往需要各种技能，并且需要选择合理的解题途径.用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，学生也好掌握[1].应注意函数的极值与最值的区别与联系，极值是一个局部性概念，最值是某个区间的整体性概念。
例3．（2005年山东卷）已知函数1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,m n R ∈，0m <。
（1）求m 与n 的关系表达式； （2）求()f x 的单调区间；（3）当[1,1]x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围。
分析：这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识，第1小题根据极值点处导数为零，可确定m 与n 的关系；第2小题求函数的单调区间可根据求导法得到，列出表格，答案一目了然；第3小题根据导数的几何意义结合一元二次函数的性质即可得到结论。
解：（1）2()36(1)3f x mx m x m n '=-+++由1x =是()f x 的一个极值点，知(1)0f '=，即36(1)0m m n -++=， 36n m ∴=+（2）由（1），得2()36(1)35f x mx m x m '=-+++23(1)[(1)]m x x m=--+由0m <知，211x >+，当x 变化时，()f x 与()f x '的变化如下：由上可知, ()f x 在区间(1,)+∞和(,1)m -∞+上递减,在区间(1,1)m+上递增. (3)由已知得()3f x m '>,即22(1)20mx m -++>,即当11x -≤≤时,有2122(1)0x x m m-++<.① 设212()2(1)g x x x m m=-++,其函数开口向上,由题意①式恒成立,所以(1)0(1)0;{g g -<<即22120,10.{m m+++<-<解之得, 43m -<,又0m <,所以403m -<<.即m 的取值范围为4(,0)3-. 1.4 证明不等式例4.求证：1(0)x e x x >+>分析：本题通过导数与函数单调性的关系，自然地将导数与不等式结合在一起，灵活考查了学生全面分析解决问题的能力.先构造函数()1x f x e x =--；再对()f x 进行求导，得到'()f x ；然后观察得到当0x >时，'()0f x >，即()f x 在0x >时是增函数；最后可得当0x >时，()(0)0f x f >=，即1x e x >+[6].解：令()1x f x e x =-- 则'()10x f x e =->()f x ∴在(0,)+∞上是增函数.∴ 当0x >时，()(0)0f x f >=即1(0)x e x x >+> 1.5 证明组合恒等式例6.求证：1231232n n n n n n c c c nc n -+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=⨯ 分析：先观察等式左边，很容易联想到二项式(1)n x +；然后对二项式进行求导，得到11232(1)23n nnn n n nn x c c x c xn c x --+=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+；最后令1x =，就可以得到我们要证的等式. 证明：012233(1)n n nn n n n n x c c x c x c x c x +=++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+对上面等式两边求导，得112321(1)23n n n n n n n n x c c x c x nc x --+=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 令1x =，得1123223n nn n n n n c c c nc -⋅=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+原题得证.1.6 解决数列中的问题例7.求和2123(0,)n n s x x nx x n N +=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≠∈分析：当1x =时，n s 是等差数列1，2，⋅⋅⋅⋅⋅⋅的和；当1x ≠时，n s 可看作2m n T x x x =++⋅⋅⋅+ 的导数，而n T 是等比数列，易知11n n x x T x+-=-，最后再对n T 求导即可得到n s [4].解：当1x =时，112(1)2n s n n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=+ 当1x ≠时，由121n nx x x x x x +-++⋅⋅⋅+=-，得12''()()1n n x x x x x x+-++⋅⋅⋅+=-即1121(1)12(1)n n n n n x nx s x nxx +--++=++⋅⋅⋅+=- 1.7 讨论方程解的个数例8.a R ∈，讨论关于x 的方程ln x ax =的解的个数. 分析：这道题是属于超越方程的问题,直接求出x 有一定的困难,因此可以利用导数的知识，用数形结合的方法来做.先作一条与曲线相切的直线y kx =，求出k 的值；再根据a 的取值范围，讨论方程ln x ax =的解的个数.解：依题意可知，方程ln x ax =的解的个数就是直线y ax =与曲线ln y x =的交点的个数，设直线y kx =与曲线ln y x =相切于点(,ln ),P t t 则ln kt t ='1(ln )1,1ln 1,t tk kt t tt e k e=∴===∴==由图可知，原方程当0a ≤或1a e=时，有一个解；当10a e <<时，有两个解；当1a e >时，无解.2.解决几何问题2.1解决解析几何中的问题例10.（2004年湖南卷）已知函数21()ln ,(),02f x xg x ax bx a ==+≠。
（1） 若2b =，且()()()h x f x g x =-存在单调递减区间，求a 的取值范围；（2） 设函数()f x 的图象1C 与函数()g x 图象2C 交于,P Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交1C ，2C 于点M ，N ，证明1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行。
解：（1）2b =时，且21()ln 2(0)2h x x ax x x =-->，2121()2ax x h x ax x x+-'=--=-因为()h x 存在单调递减区间，所以()0h x '<在区间(0,)+∞上有解。
即2210ax x +->在区间(,)x +∞上有解。
①当0a >时，221y ax x =+-为开口向上的抛物线，2210ax x +->总有一解；②当0a <时，221y ax x =+-为开口向下的抛物线，若2210ax x +->有解，则440a =+> ，且方程2210ax x +-=至少有一正根，此时10a -<<。
综上所述，a 的取值范围是(,0)(0,)a -+∞ 。
（2）设点,P Q 的坐标分别是1122(,),(,)x y x y ，120x x <<，则点,M N 的横坐标为122x x x +=， 1C 在点M 处的切线斜率为11212k x x x ==+， 2C 在点N 处的切线斜率为122()2a x x k axb b +=+=+。