第五节 古典概型

D)
【解析】 甲、乙两人最后一个小时可选择 6 个景点 1 中任意一个，∴选择相同景点的概率 P＝ . 6
3．(2011·江苏高考)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个
1 ． 数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________ 3
【解析】 从 1,2,3,4 中随机取两个数，不同的结果为{1,2}， {1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共有 6 个基本事件． 满足一个数是另一个数两倍的取法为{1,2}，{2,4}， 1 ∴所求事件的概率为 . 3
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为 m，放回后，再从袋中随 机取一个球，记下编号为 n，其一切可能的结果(m，n)有： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)， (3,3)， (3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)， (4,4)，共 16 个. 又满足条件 n≥m＋2 的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共 3 个， 3 所以满足条件 n≥m＋2 的事件的概率为 P1＝ . 16 3 13 故满足条件 n＜m＋2 的事件的概率为 1－ P1＝1－ ＝ . 16 16
将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求： (1)两数中至少有一个奇数的概率；
(2)以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点
(x，y)在圆x2＋y2＝15的外部或圆上的概率． 【思路点拨】 (1)运用“树状图”可确定基本事件的总数为36；
(2)第(1)(2)两小题可转化为求对立事件的概率．
5 5 5 91 P( A) 1 6 6 6 216
1
18 18

4、将一颗质地均匀的骰子（各面分别标有点 数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后 抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率为
5 25 31 91 A. B. C. D. 216 216 216 216
【思路点拨】 (1)先找出所有的一等品，然后用古典概型求 解．(2)按顺序列出所有情况，再寻找零件直径相等的情况
【解】 (1)由所给数据可知，一等品零件共有 6 个，设“从 10 个零件中随机抽取一个为一等品”为事件 A， 6 3 则 P(A)＝ ＝ . 10 5 (2)①一等品零件的编号为 A1，A2，A3，A4，A5，A6.从这 6 个一等 品零件中随机抽取 2 个，所有可能的基本事件为： {A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}， {A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4， A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共 15 个． ②“从一等品零件中，随机抽取 2 个零件直径相等”(记为事件 B)包含的基本事件有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2， A5}，{A3，A5}，共 6 个． 6 2 ∴ P(B)＝ ＝ ., 15 5
(2011·山东高考)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2 男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，
并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出
的2名教师来自同一学校的概率． 【思路点拨】 依题意，所求事件的概率满足古典概型，分别列举 所有的基本事件，求出m，n的值，求出古典概型的概率．
A包含的基本事件的个数 (2)概率公式：P(A)＝ 基本事件的总数
___________________.
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一个判定标准
试验结果有限且等可能．
两种方法
(1)列举法：适合于较简单的试验． (2)树状图法： 适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求． 另 外在确定基本事件时， (x， y)可以看成是有序的， 如(1,2)与(2,1) 不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同．
第五节
古典概型
考点梳理
1．基本事件的特点
互斥 的． (1)任何两个基本事件是_______ (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
(1)定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古 典概型． ①试验中所有可能出现的基本事件___________. 只有有限个 相等 ②每个基本事件出现的可能性_______.
【解】
(1)由题意可得，
x 2 y ＝ ＝ ， 18 36 54
所以 x＝1，y＝3. (2)记从高校 B 抽取的 2 人为 b1、b2，从高校 C 抽取的 3 人为 c1， c2，c3. 则从高校 B、 C 抽取的 5 人中选出 2 人作专题发言的基本事件有(b1， b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)， (c1，c3)，(c2，c3)共 10 种． 设选中的 2 人都来自高校 C 的事件为 X， 则 X 包含的基本事件有(c1， c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共 3 种， 3 因此 P(X)＝ . 10 故选中的 2 人都来自高校 C 的概率为 3 . 10
考向四 古典概型与统计的综合问题
【例 4】► (2012· 潍坊一模)PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒 物，也称为可入肺颗粒物 .2012 年 2 月 29 日，国家环保部发布了新修订的 《环境空气质量标准》 ，其中空气质量等级标准见下表： PM2.5 日均值 k(单位：微克) 空气质量等级 k≤35 一级 35<k≤75 二级 k>75 超标 某环保部门为了解近期甲、乙两居民区的空气质量状况，在过去 30 天中分 别随机抽测了 5 天的 PM2.5 日均值作为样本，样本数据如茎叶图所示 (十位 为茎，个位为叶 )． (1)分别求出甲、 乙两居民区 PM2.5 日均值的样本平均数， 并由此判断哪个小 区的空气质量较好一些； (2)若从甲居民区这 5 天的样本数据中随机抽取 2 天的数据，求恰有 1 天空 气质量超标的概率．
(2012·惠州质检)设平面向量am＝(m,1)，bn＝(2，n)，其
中m，n∈{1,2,3,4}．
(1)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果； (2)记“使得am⊥(am－bn)成立的(m，n)”为事件A，求事件A发生的
概率．
【解】 (1)有序数组(m，n)的所有可能结果为：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)， (3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共 16 个． (2)由 am⊥(am－bn)得 m2－2m＋1－n＝0，即 n＝(m－1)2，由于 m、 n∈{1,2,3,4}，故事件 A 所包含的基本事件为(2,1)，(3,4)共两个．又基 本事件的总数为 16，故所求的概率 P＝ 2 1 ＝ ., 16 8
2 2
3、求较复杂事件的概率问题，可将所求事件转化成彼此互 斥的事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互 斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．
1、从含有两件正品和一件次品的3件产品 中每次取出1件，每次取出后不放回，连 续取两次，求恰有一件次品的概率。
2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 P( A) 或P( A) 3 2 3 2 3 3 2 3
(2012· 揭阳质检)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校 A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表 (单位：人)． 高校 A B C (1)求x，y； (2)若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高 校C的概率． 相关人数 18 36 54 抽取人数 x 2 y
【解】 (1)甲校两男教师分别用 A、B 表示，女教师用 C 表示； 乙校男教师用 D 表示，两女教师分别用 E、F 表示． 从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名的所有可能的结果为： (A， D)， (A，E)，(A， F)， (B，D)， (B，E)， (B， F)， (C，D)， (C， E)，(C， F)共 9 种，从中选出两名教师性别相同的结果有：(A， D)，(B，D)， (C，E)，(C， F)共 4 种，选出的两名教师性别相同的概 4 率为 P＝ . 9 (2)从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果为： (A，B)， (A，C)，(A，D)， (A，E)， (A， F)， (B， C)， (B，D)， (B， E)，(B， F)， (C，D)， (C，E)， (C， F)， (D， E)，(D， F)， (E， F)共 15 种， 从中选出两名教师来自同一学校的结果有： (A，B)， (A，C)， (B， C)， (D，E)， (D， F)，(E， F)共 6 种． 6 2 选出的两名教师来自同一学校的概率为 P＝ ＝ ., 15 5
D
5、(2010·山东高考)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球 的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率； (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后 再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．
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【解】 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本 事件有 1 和 2,1 和 3,1 和 4,2 和 3,2 和 4,3 和 4，共 6 个. 从袋中取出的球的编号之和不大于 4 的事件共有 1 和 2,1 和 3 两个． 2 1 因此所求事件的概率 P＝ ＝ . 6 3
【解析】 一枚硬币连掷 3 次，共有 8 种可能性， 3 只有一次出现正面的情况有 3 种，故所求概率为 P＝ . 8
2．(2011· 陕西高考)甲乙两人一起去游“2011 西安世园会”，他们 约定，各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览，每个景点参 观 1 小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( 1 A. 36 1 B. 9 5 C. 36 1 D. 6