5-不等式约束的极值问题及其经济学应用

§5.3
库恩—塔克条件
对 (5-7) 式的 L 在 s* 处求导可得：
于是，该问题库恩—塔克条件中的
可写为：
…(5-8)
§5.3
库恩—塔克条件
对 (5-7) 式的 L 在λ* 处求导可得：
于是，(5-8) 式可写为：
…(5-9)
§5.3
库恩—塔克条件
所以， (5-5) 式这一极大化问题的库恩—塔克 条件可概括为：
§5.3
库恩—塔克条件
所以 (5-10) 式这一极大化问题的库恩—塔克条 件可概括为：
§5.3
库恩—塔克条件
事实上，无论是 (5-5) 式还是 (5-10) 式极大值问 题库恩—塔克条件的最终结果中都不含有 s ，s 仅是 一个中间辅助变量，所以在实际问题的分析中，在 构造 Lagrange 函数时我们不再引入 s ，直接构造如 下形式的 Lagrange 函数 [ (5-10) 式 ]： L(x1 , x2 ,λ) = f(x1 , x2) +λ[ – g(x1 , x2)] …(5-12)
例子 2 ：利用图解法求解下列极大化模型均衡解
2x2 + y2 – 54 ≤ 0
x ≥ 0， y ≥ 0
首先，确定可行域（见下页图）。
非线性规划的目标就是从可行域内选择一点 (x*, y*) ，使其目标函数值最大。
§5.2
简单不等式约束极值问 题的图解法
对于本题来讲，实际 就是要使得直线与坐标轴 的截距最大。 即：直线与可行域相切。
min C = (x1 – 5)2 + (x2 – 10)2
5x1 + 4x2 ≤ 40
s.t. 0 ≤ x1 ≤ 5 0 ≤ x2 ≤ 10
§5.2
简单不等式约束极值问 题的图解法
x2 10
首先，确定可行域（见下图）。 非线性规划的目标 就是从可行域内选择一 点 (x1*, x2*) ，使其目标 函数值最小。对于本题 来讲，实际上就是要以 (5, 10) 为圆心的同心圆 的半径最小。
§5.3
库恩—塔克条件
将模型 (5-1) 推广至多变量的情形（但仍然只存 在非负约束而无其他约束），则模型 (5-1) 的最优化 问题可写为： (5-2)… max s.t. y = f(x) x≥0
则在 x*处取极 大值的库恩— 塔克条件为： xi x* x* x*
其中： x = (x 1 , x 2 , … , x n ) ， f(x) 为连续可微函数。
在这个切点，椭圆 切线的斜率与直线的斜 率相等。
§5.2
简单不等式约束极值问 题的图解法
所以，我们首先求椭圆的切线的斜率。对椭圆 求全微分，得：4xdx + 2ydy = 0 。
整理得：
，于是有：
与 2x2 + y2 – 54 = 0 建立方程组得：
解方程组，得均衡解：(x*, y*) = (3, 6) 。
…(5-6)
§5.3
库恩—塔克条件
由 (5-6) 可知，在松弛变量 s 的帮助下，不等式 约束问题就变成了相应的等式约束问题，如果没有 非负约束 s ≥ 0 ，我们就可以通过构造 Lagrange 函 数的方法来求解最优值问题。 不管怎样，我们先来构造 Lagrange 函数： L(x1 , x2 ,λ, s) = f(x1 , x2) +λ[ – g(x1 , x2) – s ] 必须要注意的是： s.t. s≥0
由于前述 (5-10) 式极大值问题库恩—塔克条件 与 s 无关，所以，以(5-12) 式建立的 Lagrange 函数 得到的库恩—塔克条件与前述完全一致。
§5.3
库恩—塔克条件
不过，我们还可以进行适当变换。根据 (5-12) 式，可得 ，所以 (5-10) 式
极大值问题库恩—塔克条件可写为：
§5.3
§5.2
简单不等式约束极值问 题的图解法
，整理得：4x1 – 5x2 = –30
于是有
与 5x1 + 4x2 = 40 建立方程组：
4x1 – 5x2 = –30
5x1 + 4x2 = 40
解方程组，得均衡解： 。
§5.2
简单不等式约束极值问 题的图解法
max s.t. f(x, y) = x + y
这三种情况可概括为如下的统一的论述：
f ’(x*) ≤ 0 ， x*f ’(x*) = 0 ，且 x* ≥ 0 。
§5.3
库恩—塔克条件
那么，这一论述即为模型 (5-1) 问题在 x* 处取 得极大值的一阶必要条件，即：
f ’(x*) ≤ 0
x*f ’(x*) = 0
x* ≥ 0
即为模型 (5-1) 最优化问题的库恩—塔克条件。
必须要注意的是：
s.t.
s ≥ 0 , x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
§5.3
库恩—塔克条件
同样，求解不等式约束极值问题 (5-10) 就变成 了求解带有非负约束的 Lagrange 函数的极值问题， 即 (5-9) 等价于： max s.t. L(x1 , x2 ,λ, s) = f(x1 , x2) +λ[ – g(x1 , x2) – s ] s ≥ 0 , x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 …(5-11)
整理得：
。然后，对圆求全微分，得：
于是有 x* = 0 ，代入椭圆方程得 y* = 所以，均衡解为：
。
§5.3
库恩—塔克条件
一、简单不等式约束（仅存在非负约束） 极值问题的库恩—塔克条件
为得到一般化的不等式约束的库恩—塔克条 件，我们首先来分析简单的不等式约束的库恩— 塔克条件，即仅有非负约束而无其他约束。
A
O
x*
x
§5.3
库恩—塔克条件
第二种情况：y 的极大值对应的均衡解 x* 出现在可 行域的边界上，但仍能保证一阶必要 条件 。 在这种情况下，一阶 必要条件为：
y B
且： x* = 0
O
x*
x
§5.3
库恩—塔克条件
第三种情况：y 的极大值对应的均衡解 x* 出现在可 行域的边界上，但不能保证一阶必要 条件 。 在这种情况下，一阶 必要条件为：
§5.3
库恩—塔克条件
这样一来，求解原不等式约束极值问题 (5-5) 就 变成了求解仅带有非负约束的 Lagrange 函数的极值 问题，即 (5-5) 等价于： max s.t. L(x1 , x2 ,λ, s) = f(x1 , x2) +λ[ – g(x1 , x2) – s ] s≥0 …(5-7)
§5.3
库恩—塔克条件
如果模型 (5-5) 式中的决策变量也有非负约束，即： max y = f(x1 , x2)
s.t.
g(x1 , x2) ≤ 0
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
…(5-10)
构造 Lagrange 函数：
L(x1 , x2 ,λ, s) = f(x1 , x2) +λ[ – g(x1 , x2) – s ]
即亦为前述 (5-2) 式的情形。
§5.3
库恩—塔克条件
假设这一非负约束极大值问题的均衡解为（x1*, x2*,λ*, s* ），注意 (5-11) 式对变量 s 、x1*、x2* 均有 非负约束，所以其库恩—塔克条件为：
§5.3
库恩—塔克条件
类似于 (5-8) 式 → (5-9) 式 的变换过程和结果，有：
则在 x*处取极 小值的库恩— 塔克条件为： xi x* x* x*
其中： x = (x 1 , x 2 , … , x n ) ， f(x) 为连续可微函数。
§5.3
库恩—塔克条件
二、简单的不等式约束（不局限于仅存在 非负约束）极值问题的库恩—塔克条件
前面的分析，我们仅仅是考虑了非负约束而 未考虑其他约束，下面我们就开始研究考虑不等 式约束效应的情形，即本章开头给出的一般化的 模型。我们仍然从简单的情形入手。
§5.3
库恩—塔克条件
同样，我们也可以研究非负约束的极小值问题。
我们还是先来看 单变量的情形： min y = f(x) …(5-3)
s.t.
x≥0
同样，最优解也可能会存在三种情况：
§5.3
库恩—塔克条件
则模型 (5-3) 问题在 x* 处取得极小值的一阶必 要条件可写为：
f ’(x*) ≥ 0
§5.3
库恩—塔克条件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1. 两变量一约束极值问题的库恩—塔克条件
两个变量一个约束条件的极值问题可写为：
max
s.t.
y = f(x1 , x2)
g(x1 , x2) ≤ 0
…(5-5)
在约束条件中 引入松弛变量 s， 则 (5-5) 可写为：
max
s.t.
y = f(x1 , x2)
g(x1 , x2) + s = 0 s≥0
满足不等式组的 x 构成的集合 D 称为可行域， D 中的点称为可行点。如果均衡解在可行域的内部 则称为内部解，如果均衡解在可行域的边界上则称 为角点解。
§5.2
简单不等式约束极值问 题的图解法
所谓的简单的不等式约束极值问题是指自变量 个数不超过两个的极值问题。
例子 1 ：利用图解法求解下列极小化模型均衡解
库恩—塔克条件
举个例子：求下列最优化问题的可能极值点
max f(x, y) = x + y
§5.2
简单不等式约束极值问 题的图解法
对于本题来讲，实际 就是要使得以 (0, 0) 为圆 心的同心圆半径最大。 即：圆与可行域相切。
在这个切点，椭圆 切线的斜率与同心圆切 线的斜率相等。
§5.2
简单不等式约束极值问 题的图解法