2016版步步高考前三个月复习数学理科(鲁、京、津专用) 第42练

(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极x＝ 2cos t 由 (t 为参数)， 得曲线 C 的普通方程为 y＝ 2sin t
x2＋y2＝2.
则在点(1,1)处的切线l的方程为y－1＝－(x－1)， 即x＋y－2＝0.又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
设
1 P3＋ t， 2
3 t，又 C(0， 3)， 2
1 2 3＋2t ＋
3 2 2 则|PC|＝ ＝ t ＋12， t － 3 2 故当 t ＝ 0 时， |PC| 取得最小值，
此时，P点的直角坐标为(3,0).
答案 (3,0)
3.圆锥曲线的参数方程
x＝acos θ， x2 y2 (1)椭圆a2＋b2＝1 的参数方程为 (θ 为参数). y＝bsin θ x＝2pt2， (2)抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为 (t 为参数). y＝2pt
x＝4－2t， y＝t－2
解析
x＝4－2t， 由于直线 l 的参数方程为 (t 为参数)， y＝t－2
专题9 系列4 选讲
第42练 坐标系与参数方程
题型分析·高考展望
高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆 的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线 的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程 与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲 线位置关系等解析几何知识.
常考题型精析 高考题型精练
π π 射线 θ＝3与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1＝4sin 3， π π 射线 θ＝3与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2＝8sin3.
π π 射线 θ＝3与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2＝8sin3.
所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2 3.
答案 2 3
高考题型精练
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x＝3t2＋2， 6.将参数方程 (0≤t≤5)化为普通方程为 2 y＝t －1
x－3y－5＝0，x∈[2,77] _______________________. 解析 化为普通方程为x＝3(y＋1)＋2，
即x－3y－5＝0，由于x＝3t2＋2∈[2,77]，
故曲线为线段.
变式训练 3
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
x＝2cos α， → (α 为参数).M 是 C1 上的动点， P 点满足OP＝ y＝2＋2sin α
→ 2OM，点 P 的轨迹为曲线 C2.
(1)C2的参数方程为________；
解析 设 P(x，y)，则由条件知
x y M2，2 .由于
C3 交点的直角坐标为(0,0)和
3 3 ， . 2 2
(2) 若 C1 与 C2 相交于点 A ， C1 与 C3 相交于点 B ，则 |AB| 的最
4 大值为________.
解析 曲线 C1 的极坐标方程为 θ ＝ α(ρ∈R ， ρ≠0) ，其中 0≤α＜π.
π α|＝4sinα－3.
即线段 AB 的长为 16 2.
答案
16 2
点评
(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点
所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.
(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，
要注意转化的等价性.
变式训练 1
x＝ 2cos t (1)已知曲线 C 的参数方程为 y＝ 2sin t
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2.以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l x＝t＋1， 的参数方程是 (t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ y＝t－3 ＝4cos θ，则直线l被圆C截得的弦长为________________. x＝t＋1， 解析 直线 l 的参数方程 (t 为参数)化为直角坐标 y＝t－3
方程是 y＝x－4，
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圆C的极坐标方程 ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是 x2＋y2－
2 圆 C 的圆心(2,0)到直线 x－y－4＝0 的距离为 d＝ ＝ 2. 2 又圆 C 的半径 r＝2， 因此直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 r2－d2
＝2 2.
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(－3 3，－3)
11 解析 点 M 的直角坐标为 x＝ρcos θ＝6cos 6 π＝3 3， 11 y＝ρsin θ＝6sin π＝－3.即 M(3 3，－3)， 6
所以它关于 y 轴对称的点为(－3 3，－3).
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C2交点的直角坐标为________.
解析 因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
由ρsin2θ＝cos θ，得ρ2sin2θ＝ρcos θ，
所以曲线C1的普通方程为y2＝x.
由ρsin θ＝1，得曲线C2的普通方程为y＝1.
y2＝x， x＝1， 由 得 y＝1 y＝1，
故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为(1,1).
4x＝0.
答案 2 2
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x＝3＋1t， 2 3 y＝ 2 t
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由 ρ＝2 3sin θ，得 ρ2＝2 3ρsin θ，
从而有 x2＋y2＝2 3y， 所以 x2＋(y－ 3)2＝3.
M 点在 C1 上，
x＝2cos α， 2 所以 y ＝2＋2sin α， 2
x＝4cos α， 即 y＝4＋4sin α.
x＝4cos α， 从而 C2 的参数方程为 (α 为参数) y＝4＋4sin α.
答案
x＝4cos α， (α 为参数) y＝4＋4sin α
答案 (1,1)
题型二 参数方程与普通方程的互化
1.直线的参数方程 过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为
x＝x0＋tcos α， (t为参数). y＝y0＋tsin α
2.圆的参数方程 圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为 x＝x0＋rcos θ， (θ为参数，0≤θ≤2π). y ＝ y ＋ r sin θ 0
常考题型精析
题型一 极坐标与直角坐标的互化 题型二 参数方程与普通方程的互化
题型三 极坐标与参数方程的综合应用
题型一 极坐标与直角坐标的互化
直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点， x 轴正半轴 作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单 位.如图，设M是平面内的任意一点，它的直 角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
ρ2＝x2＋y2 x＝ρcos θ ， y y ＝ ρ sin θ tan θ＝ x≠0 x
.
π π π 解析 ∵ρcos(θ＋4)＝ρcos θcos 4－ρsin θsin 4
2 2 ＝ ρcos θ－ ρsin θ＝3 2， 2 2 ∴直线l对应的直角坐标方程为x－y＝6.
故直线l的普通方程为x＋2y＝0. x2 2 因为 P 为椭圆 4 ＋y ＝1 上的任意一点，
故可设P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈R. |2cos θ＋2sin θ| 因此点 P 到直线 l 的距离是 d＝ 12＋22
2 ＝
π 2sinθ＋4
3 3 (0,0)， ， 2 2 ； (1)C2与C3交点的直角坐标分别为________________
3 x＝ ， x2＋y2－2y＝0， x＝0， 2 联立 2 2 解得 或 3 x ＋y －2 3x＝0， y＝0， y＝2.
所以 C2 与
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结合图形知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆心到
直线的距离再加上半径.
4 圆心(0,4)到直线 y＝ 3x 的距离为 2 2 ＝2， 3 ＋－1
又圆的半径r＝4，所以圆上的点到直线的最大距离为6.
答案 6
高考题型精练
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解析
1 1 2 2 2 由题意得圆的标准方程为x－2 ＋y ＝ 2 ，
设圆与x轴的另一交点为Q，则Q(1,0)， 设点P的坐标为(x，y)， 则OP＝OQcos θ＝cos θ.
x＝OPcos θ＝cos2θ＝1＋1cos 2θ， 2 2 ∴ 1 y＝OPsin θ＝cos θ· sin θ＝2sin 2θ
x＝1＋1cos 2θ， 2 2 1 y＝2sin 2θ
0≤θ<π.
答案
0≤θ<π
题型三
极坐标与参数方程的综合应用
解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注 意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决 与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等.
x＝tcos α， y＝tsin α