8升9数学(暑假)-第9讲-一次函数与四边形综合
(完整版)《一次函数与几何图形综合》专题
《一次函数与几何图形综合》专题总论：函数与几何是初中数学中的重点内容,是中考命题重点考查的内容之一；函数中的几何问题，能使代数知识图形化，而几何中的函数问题，能使图形性质代数化；由于函数与几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖，能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法，因而成为近几年各地中考的一类热门试题；函数知识与几何知识有机结合的综合题，根据构成命题的主要要素可分为以下两类：一类是几何元素间的函数关系问题（这类问题不妨称简称为“几函”问题），这类问题的特点是：根据已知几何图形间的位置和数量关系（如平行、全等、相似，特别是成比例）建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系，求出函数关系式，运用函数的性质解决几何图形中的问题；另一类是函数图像中的几何图形的问题（如三角形、四边形，特别是圆）（这类问题不妨简称为“函几”问题），这类问题的特点是：根据已知函数图像中的几何图形的位置特征，运用数形结合方法解决有关函数、几何问题。
一次函数与几何综合题是八年级学生初次接触一种用代几综合解决问题的方法，这种方法和能力是九年级解决中考压轴题所必须具备的。
1.代数（1）表达什么函数（包括其系数的代数意义、几何意义、物理意义）（2）显现怎样的图形（自身、与坐轴、与其他图形）（3）既是一个方程，也是一个坐标4）藏有那些数据，含有什么些关系（5）要建立某种代数关系缺少那些数据2.几何（1）基本图象有几个（2）图象之间有怎样关系（3）图象与所要证明（求解）的结论怎样的关联（4）要建立图象与图象之间的关系缺少那些数据3.代数与几何（1）代数（几何）在那些地方为几何（代数）提供了怎样的数据（2）几何（代数）通过什么方式为几何（代数）提供关系式（3）怎样设数据（坐标或线段长）函数与几何综合题的解题思想方法：“函几问题”与“几函问题”涉及的知识面广、知识跨度大、综合性强，应用数学方法多、纵横联系较复杂、结构新颖灵活、注重基础能力、探索创新和数学思想方法，它要求学生有良好的心理素质和过硬的数学基本功，能从已知所提供的信息中提炼出数学问题，从而灵活地运用所学知识和掌握的基本技能创造性的解决问题，正因如此，解决这类问题时，要注意解决问题的策略，常用的解题策略一般有以下几种：1.综合使用分析法和综合法。
八升九暑期预习——函数小结
第一讲函数第一部分平面直角坐标系与函数的认识1. (2019，河北)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km)．笔直铁路经过A，B两地．(1)A，B间的距离为km；(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C 的距离相等，则C，D间的距离为km.2. (2013，河北)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE＝EF＝FB＝5，DE＝12，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB以每秒1个单位长度的速度运动到点B停止．设运动时间为t s，y＝S△EPF，则y关于t的函数图象大致是()A B C D3. (2011，河北)如图，在矩形中截取两个相同的圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则y关于x的函数图象大致是(A)第3题图A B C D4. (2010，河北)一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15 km/h，水流速度为5 km/h.轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t(h)，航行的路程为s(km)，则s 关于t的函数图象大致是()A BC D平面直角坐标系与点的坐标特征例1 在平面直角坐标系中，将点A(－1，－2)向右平移3个单位长度得到点B，则点B 关于x轴的对称点B′的坐标为()A. (－3，－2)B. (2，2)C. (－2，2)D. (2，－2)针对训练1 (2019，邢台模拟)经过点M(4，－2)与点N(x，y)的直线平行于x轴，且点N 到y轴的距离等于5，则点N的坐标是)A. (5，2)或(－5，－2)B. (5，－2)或(－5，－2)C. (5，－2)或(－5，2)D. (5，－2)或(－2，－2)函数图象的判断与分析例2 (2019，唐山路南区三模)甲、乙两车间同时开始加工一批服装，从开始加工到加工完这批服装甲车间工作了9 h，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y(件)，甲车间加工的时间为x(h)，y与x之间的函数图象如图所示，则下列结论错误的是()A. 甲车间每小时加工服装80件B. 这批服装的总件数为1 140件C. 乙车间每小时加工服装60件D. 乙车间维修设备用了4 h针对训练 2 (2019，北京模拟)如图①所示的为某立交桥示意图(道路宽度忽略不计)，A －F－G－J为高架，以O为圆心的圆盘B－C－D－E位于高架下方，其中AB，AF，CH，DI，EJ，GJ为直行道，且AB＝CH＝DI＝EJ，AF＝GJ，弯道FG是以点O为圆心的圆上的一段弧(立交桥的上下高度差忽略不计)，点B，C，D，E是圆盘O的四等分点．某日凌晨，甲、乙、丙、丁四辆车均以10 m/s的速度由A口驶入立交桥，并从出口驶出．若各车到圆心O的距离y(m)与从A口进入立交桥后的时间x(s)的对应关系如图②所示，则下列说法错误的是()训练2题图A. 甲车在立交桥上共行驶10 sB. 从I口出立交桥的车比从H口出立交桥的车多行驶30 mC. 丙、丁两车均从J口出立交桥D. 从J口出立交桥的两辆车在立交桥行驶的路程相差60 m函数自变量的取值范围例3 (2019，内江)在函数y＝1x＋3＋4－x中，自变量x的取值范围是()A. x＜4B. x≥4C. x＞4D. x≤4且x≠－3针对训练3 (2019，哈尔滨)在函数y＝3x2x－3中，自变量x的取值范围是（）.一、选择题1. (2019，东莞模拟)在平面直角坐标系中，点P(3，4)到原点的距离是()A. 3B. 4C. 5D. ±52. (2019，上海模拟)在平面直角坐标系中，若点A(－m，n)在第四象限，则点B(1－n，m)在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 若点A(a＋1，a－2)在第二、四象限的角平分线上，则点B(－a，1－a)在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 课间操时，小华、小军、小刚的位置如图所示，小军对小华说，如果我的位置用(0，－2)表示，小刚的位置用(2，0)表示，那么你的位置可以表示为()A. (－2，－3)B. (－3，－2)C. (－3，－4)D. (－4，－3)5. 已知点P(m－2，6－2m)在坐标轴上，则点P的坐标为()A. (2，0)B. (0，3)C. (0，2)或(1，0)D. (2，0)或(0，3)6. 若点M(3，－2)与点N(x，y)在同一条平行于x轴的直线上，且MN＝1，则点N的坐标为()A. (4，－2)B. (3，－1)C. (3，－1)或(3，－3)D. (4，－2)或(2，－2)7. (2019，包头)在函数y＝3x－2－x＋1中，自变量x的取值范围是()A. x＞－1B. x≥－1C. x＞－1且x≠2D. x≥－1且x≠28. (2019，重庆B)根据如图所示的程序计算函数y的值．若输入x的值是7，则输出y 的值是－2；若输入x的值是－8，则输出y的值是()A. 5B. 10C. 19D. 219. (2019，邯郸模拟)弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间有下面的关系：x/kg012345y/cm1010.51111.51212.5下列说法不正确的是()A. x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数B. 弹簧不挂重物时的长度为0 cmC. 所挂物体质量每增加1 kg，弹簧长度增加0.5 cmD. 所挂物体质量为7 kg时，弹簧长度为13.5 cm二、填空题10. 在平面直角坐标系中，点(－7，2m＋1)在第三象限，则m的取值范围是（）.11. 已知平面直角坐标系内不同的两点A(3a＋2，4)和B(3，2a＋2)到x轴的距离相等，则a的值为.三、解答题12. 如图，在正方形网格中，点A的坐标是(1，1)，点B的坐标是(2，0)．(1)依题意，在图中建立平面直角坐标系；(2)图中点C的坐标是(－1，－2)，点C关于x轴对称的点C′的坐标是；(3)若点D的坐标为(3，－1)，在图中标出点D的位置；(4)将点B向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得的点B′的坐标是，△AB′C的面积为.13. 小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30 min.小东骑自行车以300 m/min的速度直接回家，两人离家的路程y(m)与各自离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示．(1)家与图书馆之间的路程为m，小玲步行的速度为m/min；(2)求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；(3)求两人相遇的时间．14. (2019，石家庄43中模拟)已知O为原点，点A(8，0)及在第一象限的动点P(x，y)，且x＋y＝8，设△OP A的面积为S.(1)求S关于x的函数解析式；(2)求x的取值范围；(3)当S＝12时，求点P的坐标；(4)画出函数S的图象．1. (2019，娄底)如图，在单位长度为1 m 的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2 m ，圆心角为120°的AB 多次复制并首尾连接而成．现有一点P 从点A (A 为坐标原点)出发，以每秒2π3m 的速度沿曲线向右运动，则在第2 019 s 时点P 的纵坐标为( )A. －2B. －1C. 0D. 12. (2019，郴州)若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数解析式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x （x ≤－1），|x －1|（x ＞－1）的图象与性质．x … －3 －52 －2 －32 －1 －120 12 1 32 2 52 3 … y…2345143232112121322…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图所示．第2题图(1)如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象； (2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点A (－5，y 1)，B ⎝⎛⎭⎫－72，y 2，C ⎝⎛⎭⎫x 1，52，D (x 2，6)在函数图象上，则y 1 y 2， x 1 x 2；(填“＞”“＜”或“＝”)②当函数值y ＝2时，求自变量x 的值；③在直线x ＝－1的右侧的函数图象上有两个不同的点P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，且y 3＝y 4，求x 3＋x 4的值；④若直线y ＝a 与函数图象有三个不同的交点，求a 的取值范围．第二部分 一次函数的图象和性质1. (2016，河北)若k ≠0，b ＜0，则y ＝kx ＋b 的图象可能是( )A B C D2. (2015，河北)如图，直线l ：y ＝－23x －3与直线y ＝a (a 为常数)的交点在第四象限，则a 可能在( )A. 1<a <2B. －2<a <0C. －3≤a ≤－2D. －10<a <－43. (2014，河北)如图，直线l 经过第二、三、四象限，直线l 的解析式是y ＝(m －2)x ＋n ，则m 的取值范围在数轴上的表示为( )A BC D4. (2011，河北)一次函数y ＝6x ＋1的图象不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限一次函数的图象例1 (2019，辽阳)若ab＜0，且a＞b，则函数y＝ax＋b的图象可能是()A B C D针对训练1 (2019，承德模拟)一次函数y＝kx＋k的图象可能是()A B C D针对训练2 (2019，潍坊)当直线y＝(2－2k)x＋k－3经过第二、三、四象限时，k的取值范围是.一次函数的性质例2 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线y＝kx＋b上，且直线经过第一、二、四象限，当x1＜x2时，y1与y2的大小关系为.针对训练3 已知一次函数y＝kx－m－2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是()A. k＜2，m＞0B. k＜2，m＜0C. k＞2，m＞0D. k＜0，m＜0一次函数解析式的确定例3 (2019，石家庄模拟)如图，已知点A，B，C，D的坐标分别为(－2，2)，(－2，1)，(3，1)，(3，2)．线段AD，AB，BC组成的图形为图形G，点P沿D→A→B→C移动，设点P移动的距离为s，直线l：y＝－x＋b过点P，且在点P移动过程中，直线l随P运动而运动．(1)若直线l过点D，求直线l的解析式；(2)当直线l 过点C 时，求s 的值；(3)①若直线l 与图形G 有一个交点，直接写出b 的取值范围； ②若直线l 与图形G 有两个交点，直接写出b 的取值范围．针对训练4 已知函数y ＝(2m ＋1)x ＋m －3. (1)若函数图象经过原点，求m 的值；(2)若函数的图象平行于直线y ＝3x －3，求m 的值；(3)若这个函数是一次函数，y 随x 的增大而增大，且图象不经过第二象限，求m 的取值范围．一次函数图象的平移例4 (2019，陕西)在平面直角坐标系中，将函数y ＝3x 的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x 轴的交点坐标为( )A. (2，0)B. (－2，0)C. (6，0)D. (－6，0)针对训练5 (2019，哈尔滨道外区三模)将直线y ＝2x ＋1沿x 轴向左平移1个单位长度，再沿y 轴向下平移1个单位长度后得到的直线的解析式为( )A. y ＝2x ＋2B. y ＝2x －2C. y ＝2x ＋1D. y ＝2x －1一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式的关系例5 如图，一次函数y ＝－x －2与y ＝2x ＋m 的图象相交于点P (n ，－4)，则关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋m ＜－x －2，－x －2＜0的解集为 .针对训练6 如图，直线y ＝kx 与y ＝ax ＋4相交于点A (1，k )，则不等式kx －6＜ax ＋4＜kx 的解集为( )A. 1＜x ＜52B. 1＜x ＜3C. －52＜x ＜1D. 52＜x ＜3一、 选择题1. (2019，石家庄28中模拟)在函数y ＝－3x ＋4，y ＝74x ，y ＝1＋2x ，y ＝x 2＋2中，一次函数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. (2019，石家庄桥西区模拟)下列各点在直线y ＝2x ＋6上的是( ) A. (－5，4) B. (－7，20) C. (－5，－4) D. (7，－20)3. (2019，保定曲阳县模拟)已知直线l 经过点A (4，0)，B (0，3)，则直线l 的解析式为( )A. y ＝－34x ＋3 B. y ＝3x ＋4 C. y ＝4x ＋3 D. y ＝－3x ＋34. (2019，石家庄43中模拟)已知y 与x －2成正比例，当x ＝1时，y ＝－2，则当x ＝3时，y 的值为( )A. 2B. －2C. 3D. －35. (2019，杭州)已知一次函数y 1＝ax ＋b 和y 2＝bx ＋a (a ≠b )，函数y 1和y 2的图象可能是( )A B C D6. 下列关于一次函数y ＝kx ＋b (k ＜0，b ＞0)的说法，错误的是( ) A. 图象经过第一、二、四象限 B. y 随x 的增大而减小 C. 图象与y 轴相交于点(0，b ) D. 当x ＞－bk 时，y ＞07. (2019，北京丰台区一模)函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，那么当y ＞0时，x 的取值范围是( )A. x ＞1B. x ＞2C. x ＜1D. x ＜28. (2019，唐山路南区模拟)已知一次函数y ＝－0.5x ＋2，当1≤x ≤4时，y 的最大值是( )A. 1.5B. 2C. 2.5D. －69. (2019，河北模拟)若一次函数y ＝ax ＋b (a ，b 为常数，且a ≠0)图象上的点满足下表，则方程ax ＋b ＝0的解是( )x －2 －1 0 1 2 3 y642－2－4A. x ＝1B. x ＝－1C. x ＝2D. x ＝3二、 填空题10. 在平面直角坐标系中，已知一次函数y ＝－2x ＋1的图象经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点．若x 1＜x 2，则y 1 y 2.(填“＞”“＜”或“＝”)11. (2019，上海模拟)如果关于x 的一次函数y ＝mx ＋(4m －2)的图象不经过第二象限，那么m 的取值范围是（ ）.12. 一次函数y ＝－32x ＋3的图象如图所示，当－3＜y ＜3时，x 的取值范围是13. 如图，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与x 轴相交于点(2，0)，与y 轴相交于点(0，4)．结合图象可知，关于x 的方程ax ＋b ＝0的解是 .14. (2019，葫芦岛模拟)在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(1，3)，(2，0)，直线y＝3x＋b与线段AB有公共点，则b的取值范围为.三、解答题15. (2019，石家庄43中模拟)已知一次函数y＝－2x－6.(1)画出函数的图象；(2)求图象与x轴、y轴的交点A，B的坐标；(3)求A，B两点间的距离；(4)求△AOB的面积；(5)利用图象求当x为何值时，y＞0.1. (2019，盐城)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x－1的图象分别交x轴、y 轴于点A，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的解析式是（）.2. (2019，唐山路南区一模)如图，直线l1：y＝2x＋1分别与x轴、y轴相交于点D，A，直线l2：y＝mx＋4分别与x轴、y轴相交于点C，B，两直线相交于点P(1，b)．(1)求b，m的值；(2)求S△PDC－S△P AB的值；(3)垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别相交于点M，N.若线段MN的长为2，求a 的值．第三部分 一次函数与几何图形1. (2018，河北)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝－12x ＋5的图象l 1分别与x ，y 轴相交于A ，B 两点，正比例函数的图象l 2与l 1相交于点C(m ，4)．(1)求m 的值及l 2的解析式； (2)求S △AOC －S △BOC 的值；(3)一次函数y ＝kx ＋1的图象为l 3，且l 1，l 2，l 3不能围成三角形，直接写出k 的值．2. (2017，河北)如图，在直角坐标系xOy 中，A(0，5)，直线x ＝－5与x 轴交于点D ，直线y ＝－38x －398与x 轴及直线x ＝－5分别交于点C ，E.点B ，E 关于x 轴对称，连接AB.(1)求点C ，E 的坐标及直线AB 的解析式；(2)设面积的和S ＝S △CDE ＋S 四边形ABDO ，求S 的值；(3)在求(2)中S 时，嘉淇有个想法：“将△CDE 沿x 轴翻折到△CDB 的位置，而△CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成△AOC ，这样求S 便转化为直接求△AOC 的面积不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S △AOC ≠S ，请通过计算解释他的想法错在哪里．3. (2008，河北)如图，直线l 1的解析式为y ＝－3x ＋3，且l 1与x 轴相交于点D ，直线l 2经过点A ，B ，直线l 1，l 2相交于点C.(1)求点D 的坐标； (2)求直线l 2的解析式； (3)求△ADC 的面积；(4)在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，请直接写出点P 的坐标．求b 的取值范围(平移)例1 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线y ＝12x ＋b 与△ABC 有交点时，b 的取值范围是(B )A. －1≤b ≤1B. －12≤b ≤1C. －12≤b ≤12 D. －1≤b ≤12针对训练1 如图，正方形ABCD 的边长为2，BC 边在x 轴上，BC 的中点与原点O 重合，过定点M (－2，0)与动点P (0，t )的直线MP 记作l .(1)若l 的解析式为y ＝2x ＋4，判断此时点A 是否在直线l 上，并说明理由； (2)当直线l 与AD 边有公共点时，求t 的取值范围．求k 的取值范围(旋转)例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，4)，B (3，0)，以AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，直线l ：y ＝kx ＋3.(1)当直线l 经过点D 时，求点D 的坐标及k 的值； (2)当直线l 与正方形有两个交点时，求k 的取值范围．针对训练2 如图，已知一次函数y ＝kx ＋3－2k (k ≠0)，A (－2，1)，C (－2，－3)，B (1， －3)．(1)求证：点M (2，3)在直线y ＝kx ＋3－2k (k ≠0)上；(2)当直线y ＝kx ＋3－2k (k ≠0)经过点C 时，P 是直线y ＝kx ＋3－2k (k ≠0)上一点．若S △CBP ＝2S △ABC ，求点P 的坐标；(3)当直线y ＝kx ＋3－2k (k ≠0)与△ABC 有公共点时，求k 的取值范围．一次函数与图形面积的问题例3 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A (－2，6)，且与x 轴相交于点B ，与正比例函数y ＝3x 的图象相交于点C ，点C 的横坐标为1.(1)求k ，b 的值；(2)若点D 在y 轴的负半轴上，且满足S △COD ＝13S △BOC ，求点D 的坐标．针对训练3 如图，在平面直角坐标系中，已知点A (5，3)，点B (－3，3)，过点A 的直线y ＝12x ＋m (m 为常数)与直线x ＝1相交于点P ，与x 轴相交于点C ，直线BP 与x 轴相交于点D .(1) 求点P 的坐标；(2) 求直线BP 的解析式，并直接写出△PCD 与△P AB 的面积比；(3)若反比例函数y ＝kx (k 为常数，且k ≠0)的图象与线段BD 有公共点时，请直接写出k的最大值和最小值．一、 选择题 1. (2019，石家庄27中模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，2)，△OAB 沿x 轴向右平移后得到△O ′A ′B ′，点A 的对应点A ′在直线y ＝23x 上，则点B 与其对应点B ′间的距离为( )A. 94B. 3C. 4D. 52. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点C 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(0，2)，对角线AC ⊥x 轴，点A 在第二象限，直线y ＝－12x ＋5与x 轴、y 轴分别相交于点N ，M .将菱形ABCD 沿x 轴向右平移m 个单位长度，当点A 落在MN 上时，m 的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 43. 在平面直角坐标系中，过点(1，2)作直线l .若直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则满足条件的直线l 的条数是( )A. 5B. 4C. 3D. 24.如图，直线l 的解析式为y ＝3x ＋3.若直线y ＝a 与直线l 的交点在第二象限，则a 的取值范围是( )A. 1＜a ＜2B. 3＜a ＜4C. －1＜a ＜0D. 0＜a ＜3 5. (2019，深圳福田区模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝－24x ＋1与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ，直线l 2：y ＝kx (k ≠0)与直线l 1在第一象限相交于点C .若∠BOC ＝∠BCO ，则k 的值为( )A.23 B. 22C. 2D. 2 2 6. 如图，直线y ＝23x ＋4与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ，C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，P 为OA 上一动点．当PC ＋PD 的值最小时，点P 的坐标为( )A. (－3，0)B. (－6，0)C. ⎝⎛⎭⎫－32，0D. ⎝⎛⎭⎫－52，07. (2019，廊坊安次区二模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(0，1)，点C 的坐标为(2，2)．若直线y ＝kx ＋5＋2k (k ≠0)与菱形ABCD 有交点，则k 的取值范围是( )A. －23≤k ≤－14B. －2≤k ≤－23C. －2≤k ≤34 D. －2≤k ≤2且k ≠0二、 填空题8. (2019，营口一模)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO 是正方形，点B 的坐标为(4，4)，直线y ＝mx －2恰好把正方形ABCO 的面积分成相等的两部分，则m ＝ .9. (2019，青岛模拟)有一种动画设计，屏幕上的长方形ABCD 是灰色区域(含长方形的边界)，如图所示，其中A (－1，1)，B (2，1)，C (2，2)，D (－1，2)．用信号枪沿直线y ＝kx －2发射信号，当信号遇到灰色区域时，区域便由灰变白，则能够使灰色区域变白的k 的取值范围是（ ）.10. (2019，长春模拟)如图，在平面直角坐标系中，点P (a ，1)在直线y ＝－2x ＋2与直线 y ＝－2x ＋4之间，则a 的取值范围是( ).11. 如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，⊙O 经过A ，B 两点．已知AB ＝2，则kb的值为( ).三、解答题12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(－2，0)的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着点O顺时针旋转90°后，分别与x轴、y轴相交于点D，C.(1)若OB＝4，求直线AB的解析式；(2)连接BD，若△ABD的面积是5，求点B的运动路径长．13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(－6，0)的直线l1与直线l2：y＝2x相交于点B(m，4)．(1) 求直线l1的解析式；(2)直线l1与y轴相交于点M，求△AOM的面积；(3)过动点P(n，0)且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C在点D 上方时，直接写出n的取值范围．1. (2019，包头一模)如图，已知点A 的坐标为(3，0)，直线y ＝kx ＋b (b ＞0)与直线y ＝x 平行，且与x 轴、y 轴分别交于点C ，B ，连接AB .若α＝75°，则直线y ＝kx ＋b 的解析式为.2. 如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝12x 与直线l 2的交点A 的横坐标为2，将直线l 1沿y 轴向下平移4个单位长度，得到直线l 3 ，直线l 3与y 轴相交于点B ，与直线l 2相交于点C ，点C 的纵坐标为－2，直线l 2与y 轴相交于点D .求：(1)直线l 2的解析式；(2)△BDC 的面积．第四部分一次函数的实际应用1. (2019，河北)长为300 m的春游队伍，以v(m/s)的速度向东行进，如图①和图②，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v(m/s)，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t(s)，排头与O的距离为s头(m)．①②第1题图(1)当v＝2时，解答：①求s头与t之间的函数关系式；(不写t的取值范围)②当甲赶到排头位置时，求s头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为s甲(m)，求s甲与t之间的函数关系式；(不写t的取值范围)(2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s)，求T与v之间的函数关系式(不写v的取值范围)，并写出队伍在此过程中行进的路程．2. (2015，河北)如图，水平放置的容器内原有210 mm高的水，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4 mm，每放入一个小球水面就上升3 mm，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y mm.(1)只放入大球，且个数为x大，求y关于x大的函数解析式；(不必写出x大的取值范围)(2)仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球的个数为x小．①求y关于x小的函数解析式；(不必写出x小的取值范围)②限定水面高不超过260 mm，最多能放入几个小球？3. (2011，河北)已知A，B两地之间的路程为240 km.某经销商每天都要用汽车或火车将x t保鲜品一次性由A地运往B地．受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订．现有货运收费项目及收费标准表、行驶路程s(km)与行驶时间t(h)的函数图象(如图①)、上周货运量折线统计图(如图②)等信息如下：货运收费项目及收费标准表运输工具运输费单价/[元/(t·km)]冷藏费单价/[元/(t·h)]固定费用/(元/次)汽车25200火车 1.65 2 280(1)汽车的速度为km/h，火车的速度为km/h；(2)设每天用汽车和火车运输的总费用分别为y汽(元)和y火(元)，分别求y汽，y火关于x 的函数解析式(不必写出x的取值范围)，及x为何值时y汽＞y火；(总费用＝运输费＋冷藏费＋固定费用)(3)请你从平均数、折线图走势两个角度分析，建议该经销商应提前为下一周预定哪种运输工具，才能使每天的运输总费用较省．图象型一次函数应用题例1 (2019，长春)已知A，B两地之间有一条270 km 长的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60 km/h 的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y(km)与甲车的行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示．(1)乙车的速度为km/h，a＝，b＝；(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式；(3)当甲车到达距B地70 km处时，求甲、乙两车之间的路程．针对训练1 (2019，大连)甲、乙两人沿同一条直路行走，如果两人分别从这条直路上的A，B两处同时出发，都以不变的速度相向而行．图①是甲离开A处后行走的路程y(单位：m)与行走的时间x(单位：min)之间的函数图象，图②是甲、乙两人之间的距离(单位：m)与甲行走时间x(单位：min)之间的函数图象，则a－b＝( ).表格型一次函数应用题例2 (2019，邯郸一模)某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种新型商品成本为20元/件，第x 天销售量为p 件，销售单价为q 元．经跟踪调查发现，这40天中p 与x 的关系保持不变，前20天(包含第20天)，q 与x 的关系满足关系式q ＝30＋ax ；从第21天到第40天中，q 是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与x 第x 天 10 21 35 q /(元/件)354535(1)a 的值为 ；(2)求从第21天到第40天中，q 与x 满足的关系式； (3)若该网店第x 天获得的利润为y 元，并且已知这40天里前20天中y 与x 的函数关系式为y ＝－12x 2＋15x ＋500.①这40天中p 与x 的关系式为 ； ②求这40天里该网店第几天获得的利润最大．针对训练2 (2019，威海)甲、乙施工队分别从两端修一段长度为380 m 的公路．在施工过程中，乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务．下表是根据每天工程进度制作而成的.施工时间/天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 累计完成施工量/m3570105140160215270325380下列说法错误的是( ) A. 甲队每天修路20 m B. 乙队第一天修路15 mC. 乙队技术改进后每天修路35 mD. 前七天，甲、乙两队修路长度相等文字型一次函数应用题例3某公司在甲、乙两个仓库共存放某种原料450 t ．如果运出甲仓库所存原料的60%，乙仓库所存原料的40%，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30 t.(1)求甲、乙两个仓库各存放原料多少吨；(2)现公司需将300 t原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120元/t和100元/t.经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠a元/t(10≤a≤30)，从乙仓库到工厂的运价不变．设从甲仓库运m t原料到工厂，请求出总运费W关于m的函数解析式；(不要求写出m的取值范围)(3)在(2)的条件下，请根据函数的性质说明：随着m的增大，W的变化情况．针对训练3 实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是15 cm，底面的长是30 cm，宽是20 cm，容器内的水深为x cm.现往容器内放入如图所示的长方体实心铁块(铁块一面平放在容器底面)，过顶点A的三条棱的长分别10 cm，10 cm，y cm(y≤15)，当铁块的顶部高出水面2 cm时，x，y满足的关系式是( )．一、选择题1. 2017年某省财政收入比2016年增长8.9%，2018年比2017年增长9.5%.若2016年和2018年该省财政收入分别为a亿元和b亿元，则a，b之间满足的关系式为()A. b＝a(1＋8.9%＋9.5%)B. b＝a(1＋8.9%×9.5%)C. b＝a(1＋8.9%)(1＋9.5%)D. b＝a(1＋8.9%)2(1＋9.5%)2. 等腰三角形的周长为20 cm，底边长y cm与腰长x cm 之间的函数关系式是()A. y＝20－2xB. y＝20－2x(5＜x＜10)C. y＝10－0.5xD. y＝10－0.5x(10＜x＜20)3. (2019，聊城)某快递公司每天上午9：00—10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y(件)与时间x(min)之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为()A. 9：15B. 9：20C. 9：25D. 9：304. 某工厂加工一批零件，为了提高工人工作的积极性，工厂规定每名工人每天薪金如下：生产的零件不超过a 件，则每件3元；超过a 件，超过部分每件b 元．如图所示的是一名工人一天获得薪金y (元)与其生产的零件数量x (件)之间的函数关系，则下列结论错误的是( )A. a ＝20B. b ＝4C. 若工人甲一天获得薪金180元，则他共生产零件50件D. 若工人乙一天生产零件m 件，则他获得薪金4m 元5. (2019，宜宾模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2，P 为BC 上的一点．设BP ＝x (0＜x ＜2)，则△APC 的面积S 与x 之间的函数关系式是( )A. S ＝12x 2 B. S ＝2x C. S ＝2(x －2) D. S ＝2(2－x )6. (2019，辽阳)一条公路旁依次有A ，B ，C 三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A 村、B 村同时出发前往C 村，甲、乙之间的距离s (km)与骑行时间t (h)之间的函数关系如图所示，下列结论：①A ，B 两村相距10 km ； ②出发1.25 h 后两人相遇； ③甲每小时比乙多骑行8 km ；④相遇后，乙又骑行了15 min 或65 min 两人相距2 km. 其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 二、 填空题7. 某商户购进一批苹果到农贸市场零售．已知卖出的苹果数量x (kg)与收入y (元)的关系如下表：数量x /kg 1 2 3 4 5 … 收入y /元2＋0.14＋0.26＋0.38＋0.410＋0.5…则收入y (元)与卖出苹果数量x (kg)之间的函数关系式是y ＝ .8. (2019，重庆B)一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的54快步赶往学校，并在从家出发后23 min 到学校(小明被爸爸追上时交流时间忽略不计)．两人之间相距的路程y (m)与小明从家出发到学校的步行时间x (min)之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 .三、 解答题9. 某新建小区要修一条1 050 m 长的路，甲、乙两个工程队都想承建这项工程．经了工程队 每天修路的 长度/m单独完成 所需天数每天所需 费用/元 甲队 30 n 600 乙队mn －141 160(1)甲队单独完成这项工程所需天数n ＝ ，乙队每天修路的长度m ＝ m ； (2)甲队先修了x m 之后，甲、乙两队一起修路，又用了y 天完成这项工程(其中x ，y 为正整数)．①当x ＝90时，求出乙队修路的天数；②求y 关于x 的函数解析式；(不用写出x 的取值范围)③若总费用不超过22 800元，求甲队至少要先修多少米．10. 小明放学后从学校回家，出发5 min 后，同桌小强发现小明的数学作业忘记拿了，他立即拿着数学作业按照同样的路线去追赶小明．小强出发10 min 后，小明才想起没拿数学作业，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程y (m)与小强所用时。
新初三丨八升九暑假天天练中考数学基础巩固05 一次函数(原卷+解析)打印版
巩固练05一次函数变量与常量的定义：在问题研究的过程中，可以取不同数值的量叫做，数值不变的量叫做。
函数的定义：一般的，在一个变化过程中，有两个变量x、y，如果给定任意一个x的值，都会有一个的y与之对应，那么就称y是x的函数，其中是x，y是。
自变量的取值范围：①被开方数；②分母。
画函数图像的三个步骤：①；②；③。
函数的三中表示方法：①；②；③。
正比例函数：形如的函数，其中是比例系数。
一次函数：形如的函数。
正比例函数、一次函数的图像和性质与k、b的关系：函数K的值b的值与x轴的交点与y轴交点经过象限y随x的变化情况大致图像正比例函数)0(≠=kkxy＞k0=b（0，0）0＜k一次函数)0(≠+=kbkxy＞k＞b＜b＜k＞b＜b函数的平移：平移规则：①左右平移：，在上进行加减。
②上下平移：，在后面进行加减。
待定系数法求一次函数解析式的步骤：①设——设一次函数解析式：。
②代——找出题目中或函数图像上的已知点代入函数解析式得到关于方程或方程组。
③求——求解出方程或方程组的。
④反代——将求出的的值反代入函数解析式得出函数解析式。
一次函数与方程：①若一次函数)0(≠+=k b kx y 过点（m ，n ），则方程n b kx =+的解为。
②若一次函数)0(≠+=k b kx y 与一次函数)0(≠+=a c ax y 的交点坐标为)(n m ，，则方程c ax b kx +=+的解为;方程组⎩⎨⎧-=--=-c y ax by kx 的解为。
一次函数与不等式：①若一次函数)0(≠+=k b kx y 过点（m ，n ），则不等式n b kx ＞+就是函数图像在坐标系中函数值大于n 的部分所对应的x 的值；不等式n b kx ＜+就是函数图像在坐标系中函数值小于n 的部分所对应的x 的值。
②若一次函数)0(≠+=k b kx y 与一次函数)0(≠+=a c ax y 的交点坐标为)(n m ，，则c ax b kx ++＞就是)0(≠+=k b kx y 的图像在)0(≠+=a c ax y 的图像上方的部分所对应的x 的值；c ax b kx ++＜就是)0(≠+=k b kx y 的图像在)0(≠+=a c ax y 的图像下方的部分对应的x 的值。
高考数学重难点第9讲-函数的定义域、解析式与值域8大题型(新高考用)(解析版)(全国通用)(老师专用
重难点第9讲 函数定义域、解析式与值域8大题型——每天30分钟7天掌握函数定义域、解析式与值域8大题型【命题趋势】函数的定义域、解析式与值域问题是高考数学的必考内容。
函数问题定义域优先，在解答函数问题时切记要先考虑定义域；函数解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、数形结合问题；基本不等式及“耐克函数”、“瘦腰函数”模型；数列的最大项、最小项；向量与复数的四则运算及模的最值；向量与复数的几何意义的最值；解析几何的函数性研究问题等；都需要转化为求最值问题。
在复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，要多加训练综合性题目。
第1天 认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、求函数的定义域的依据函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零.2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，(2,)n k k N *=∈其中中0,x ≥(21,)n k k N *=+∈其中中.3、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。
【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。
二、抽象函数及定义域求法1、已知)(x f 的定义域为A ，求))((x g f 的定义域，其实质是)(x g 的取值范围为A ，求x 的取值范围;2、已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中的x 的取值范围为B ，求)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域.3、已知))((x g f 的定义域，求))((x h f 的定义域，要先按（2）求出)(x f 的定义域.三、函数解析式的四种求法1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
中考数学专题复习：一次函数与几何变换综合
中考数学专题复习：一次函数与几何变换综合1．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个2．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y＝2x﹣4上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是（）A．（﹣，﹣）B．（，）C．（﹣，）D．（，﹣）3．如图，点B，C分别在直线y＝2x和直线y＝kx上，A，D是x轴上两点，若四边形ABCD 是长方形，且AB：AD＝1：2，则k的值是（）A．B．C．D．4．如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，∠BAO的平分线所在的直线AM的解析式是（）A．B．C．D．5．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°．则过B、C两点直线的解析式为（）A．y＝x+3B．y＝x+3C．y＝x+3D．y＝x+36．已知，如图点A（1，1），B（2，﹣3），点P为x轴上一点，当|P A﹣PB|最大时，点P的坐标为（）A．B．C．D．（1，0）7．如图，若直线P A的解析式为y＝x+b，且点P（4，2），P A＝PB，则点B的坐标是（）A．（5，0）B．（6，0）C．（7，0）D．（8，0）8．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y＝x+4上的一个动点，若∠EAB＝∠ABO，则点E的坐标为__________．9．如图，直线y＝﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y＝x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A作匀速运动，运动时间为t秒，连接CQ．（1）求出点C的坐标__________；（2）若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为__________；（3）若CQ平分△OAC的面积，求直线CQ对应的函数关系式__________．10．如图，正方形ABCD的边长为2，A为坐标原点，AB和AD分别在x轴、y轴上，点E 是BC边的中点，过点A的直线y＝kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为__________．11．如图所示，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（12，5），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分．那么b＝__________．12．若四条直线x＝1，y＝﹣1，y＝3，y＝kx﹣3所围成的凸四边形的面积等于12，则k的值为__________．13．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x+1和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则B5的坐标是__________．14．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为__________．15．如果直线y＝﹣2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为__________．16．如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（3，4），点P为x轴上的一点，若点B关于直线AP的对称点B′恰好落在x轴上，则点P的坐标为__________．17．一次函数y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C的坐标为__________．18．如图，在直角坐标系中有一个缺失了右上格的九宫格，每个小正方形的边长为1，点A 的坐标为（2，3）．要过点A画一条直线AB，将此封闭图形分割成面积相等的两部分，则直线AB解析式是__________．19．如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（3，4），直线CD分别交OB、AB于点D、E，若BD＝BE，则点D的坐标为__________．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿过点A的直线折叠，使点B落在x轴负半轴上，记作点C，折痕与y轴交点交于点D，则点C的坐标为__________，点D的坐标为__________．21．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数y＝x+b的图象交于点C（﹣2，m）．（1）求m和b的值；（2）函数y＝x+b的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒．①当△ACE的面积为12时，求t的值；②在点E运动过程中，是否存在t的值，使△ACE为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+4交x轴于点A，交y轴于点B，OC ⊥AB于点C，点P从B点出发，以每秒4个单位的速度沿BA运动，点Q从O点出发，以每秒3个单位的速度沿OC向终点C运动，当Q点到达点C时，点P也随之停止运动，连接OP，连接AQ并延长交OP于点H，设运动时间为t秒．（1）BP＝__________，OQ＝__________；（用含t的代数式表示）（2）求证：AH⊥OP．（3）当△APH为等腰直角三角形时，求t的值．23．如图，长方形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x 轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6．在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B'点．（1）B'点的坐标是__________．（2）求折痕CM所在直线的解析式．（3）在x轴上是否能找到一点P，使△B'CP的面积为12？若存在，直接写出点P的坐标？若不存在，请说明理由．24．如图，已知直线l1经过点B（0，3）、点C（2，﹣3），交x轴于点D，点P是x轴上一个动点，过点C、P作直线l2．（1）求直线l1的表达式；（2）已知点A（7，0），当S△DPC＝S△ACD时，求点P的坐标；（3）设点P的横坐标为m，点M（x1，y1），N（x2，y2）是直线l2上任意两个点，若x1＞x2时，有y1＜y2，请直接写出m的取值范围．25．已知直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是x轴上一定点，其坐标为C（1，0），一个动点P从原点出发沿O﹣B﹣A﹣C﹣O方向移动，连接PC．（1）当线段PC与线段AB平行时，求点P的坐标，并求此时△POC的面积与△AOB的面积的比值．（2）当△AOB被线段PC分成的两部分面积相等时，求线段PC所在直线的解析式；（3）若△AOB被线段PC分成的两部分面积比为1：5时，求线段PC所在直线的解析式．26．在如图的平面直角坐标系中，直线n过点A（0，﹣2），且与直线l交于点B（3，2），直线l与y轴交于点C．（1）求直线n的函数表达式；（2）若△ABC的面积为9，求点C的坐标；（3）若△ABC是等腰三角形，求直线l的函数表达式．27．如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2）．（1）求直线AC的表达式；（2）求△OAC的面积；（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC 的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．28．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+1与x轴交于点A，直线l2：y＝3x ﹣3与x轴交于点B，与l1相交于点C．（1）请直接写出点A、点B、点C的坐标：A__________，B__________，C__________．（2）如图2，动直线x＝t分别与直线l1，l2交于P，Q两点．①若PQ＝2，求t的值．②若存在S△AQC＝2S△ABC，求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：①以A为直角顶点，可过A作直线垂直于AB，与y轴交于一点，这一点符合点P 的要求；②以B为直角顶点，可过B作直线垂直于AB，与y轴交于一点，这一点也符合P点的要求；③以P为直角顶点，与y轴共有2个交点．所以满足条件的点P共有4个．故选：B．2．解：过A作AB⊥直线y＝2x﹣4，垂足为B，过B作BD⊥x轴，令y＝0，得到x＝2，即C（2，0），设B（a，2a﹣4）（a＞0），即BD＝|2a﹣4|，|OD|＝a，∵∠ABD+∠BAD＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°，∴∠BAD＝∠DBC，∵∠BDC＝∠ADB＝90°，∴a＝或a＝2（不合题意，舍去），则B（，﹣）．故选：D．3．解：设长方形的AB边的长为a，则BC边的长度为2a，B点的纵坐标是a，把点B的纵坐标代入直线y＝2x的解析式得：x＝，则点B的坐标为（，a），点C的坐标为（+2a，a），把点C的坐标代入y＝kx中得，a＝k（+2a），解得：k＝．故选：B．4．解：对于直线y＝﹣x+8，令x＝0，求出y＝8；令y＝0求出x＝6，∴A（6，0），B（0，8），即OA＝6，OB＝8，根据勾股定理得：AB＝10，在x轴上取一点B′，使AB＝AB′，连接MB′，∵AM为∠BAO的平分线，∴∠BAM＝∠B′AM，∵在△ABM和△AB′M中，，∴△ABM≌△AB′M（SAS），∴BM＝B′M，设BM＝B′M＝x，则OM＝OB﹣BM＝8﹣x，在Rt△B′OM中，B′O＝AB′﹣OA＝10﹣6＝4，根据勾股定理得：x2＝42+（8﹣x）2，解得：x＝5，∴OM＝3，即M（0，3），设直线AM解析式为y＝kx+b，将A与M坐标代入得：，解得：，则直线AM解析式为y＝﹣x+3．故选：B．5．解：∵一次函数y＝﹣x+3中，令x＝0得：y＝3；令y＝0，解得x＝4，∴B的坐标是（0，3），A的坐标是（4，0）．如图，作CD⊥x轴于点D．∵∠BAC＝90°，∴∠OAB+∠CAD＝90°，又∵∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠BAO．在△ABO与△CAD中，，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴OB＝AD＝3，OA＝CD＝4，OD＝OA+AD＝7．则C的坐标是（7，4）．设直线BC的解析式是y＝kx+b，根据题意得：，解得，∴直线BC的解析式是y＝x+3．故选：A．6．解：作A关于x轴对称点C，连接BC并延长交x轴于点P，∵A（1，1），∴C的坐标为（1，﹣1），连接BC，设直线BC的解析式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣2x+1，当y＝0时，x＝，∴点P的坐标为：（，0），∵当B，C，P不共线时，根据三角形三边的关系可得：|P A﹣PB|＝|PC﹣PB|＜BC，∴此时|P A﹣PB|＝|PC﹣PB|＝BC取得最大值．故选：A．7．解：过点P作PC⊥AB，∵解析式y＝x+b过点P（4，2），∴2＝×4+b，∴b＝﹣，∴A（1，0），又∵P（4，2），∴AC＝3，∵P A＝PB，∴BC＝3，∴点B的坐标是（7，0）．故选：C．8．解：当点E在y轴右侧时，如图1，连接AE，∵∠EAB＝∠ABO，∴AE∥OB，∵A（0，8），∴E点纵坐标为8，又E点在直线y＝x+4上，把y＝8代入可求得x＝4，∴E点坐标为（4，8）；当点E在y轴左侧时，过A、E作直线交x轴于点C，如图2，设E点坐标为（a，a+4），设直线AE的解析式为y＝kx+b，把A、E坐标代入可得，解得，∴直线AE的解析式为y＝x+8，令y＝0可得x+8＝0，解得x＝，∴C点坐标为（，0），∴AC2＝OC2+OA2，即AC2＝（）2+82，∵B（4，0），∴BC2＝（4﹣）2＝（）2﹣+16，∵∠EAB＝∠ABO，∴AC＝BC，∴AC2＝BC2，即（）2+82＝（）2﹣+16，解得a＝﹣12，则a+4＝﹣8，∴E点坐标为（﹣12，﹣8）．方法二：设C（m，0），∵∠ACB＝∠CBA，∴AC＝BC，∴（4﹣m）2＝m2+82，解得m＝﹣6，∴直线AE的解析式为y＝x+8，由，解得．∴E（﹣12，﹣8）．综上可知，E点坐标为（4，8）或（﹣12，﹣8）．故答案为：（4，8）或（﹣12，﹣8）．9．解：（1）∵由，得，∴C（2，2）；（2）如图1，当∠CQO＝90°，CQ＝OQ，∵C（2，2），∴OQ＝CQ＝2，∴t＝2，②如图2，当∠OCQ＝90°，OC＝CQ，过C作CM⊥OA于M，∵C（2，2），∴CM＝OM＝2，∴QM＝OM＝2，∴t＝2+2＝4，即t的值为2或4，故答案为：2或4；（3）令﹣x+3＝0，得x＝6，由题意：Q（3，0），设直线CQ的解析式是y＝kx+b，把C（2，2），Q（3，0）代入得：，解得：k＝﹣2，b＝6，∴直线CQ对应的函数关系式为：y＝﹣2x+6．故答案为：（1）（2，2）；（3）y＝﹣2x+6．10．解：①如图，作AG⊥EF交EF于点G，连接AE，∵AF平分∠DFE，∴DA＝AG＝2，在RT△ADF和RT△AGF中，，∴RT△ADF≌RT△AGF（HL），∴DF＝FG，∵点E是BC边的中点，∴BE＝CE＝1，∴AE＝＝，∴GE＝＝1，∴在RT△FCE中，EF2＝FC2+CE2，即（DF+1）2＝（2﹣DF）2+1，解得DF＝，∴点F（，2），把点F的坐标代入y＝kx得：2＝k，解得k＝3；②当点F与点C重合时，∵四边形ABCD是正方形，∴AF平分∠DFE，∴F（2，2），把点F的坐标代入y＝kx得：2＝2k，解得k＝1．故答案为：1或3．11．解：∵将矩形OABC分成面积相等的两部分，∴直线经过矩形的中心，∵B点坐标为B（12，5），∴矩形中心的坐标为（6，），∴×6+b＝，解得b＝1．故答案为：1．12．解：在y＝kx﹣3中，令y＝﹣1，解得x＝；令y＝3，x＝；当k＜0时，四边形的面积是：[（1﹣）+（1﹣）]×4＝12，解得k＝﹣2；当k＞0时，可得[（﹣1）+（﹣1）]×4＝12，解得k＝1．即k的值为﹣2或1；故答案为：﹣2或1．13．解：∵点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），∴点B3的坐标为（7，4），∴Bn的横坐标是：2n﹣1，纵坐标是：2n﹣1．则B n的坐标是（2n﹣1，2n﹣1）．∴B5的坐标是（25﹣1，24）．即：B5的坐标是（31，16）．故答案为：（31，16）．14．解：先过点A作AB′⊥OB，垂足为点B′，由垂线段最短可知，当B′与点B重合时AB最短，∵点B在直线y＝x上运动，∴△AOB′是等腰直角三角形，过B′作B′C⊥x轴，垂足为C，∴△B′CO为等腰直角三角形，∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OC＝CB′＝OA＝×1＝，∴B′坐标为（﹣，﹣），即当线段AB最短时，点B的坐标为（﹣，﹣）．故答案为：（﹣，﹣）．15．解：当x＝0时，y＝k；当y＝0时，x＝．∴直线y＝﹣2x+k与两坐标轴的交点坐标为A（0，k），B（，0），∴S△AOB＝＝9，∴k＝±6．故填空答案：±6．16．解：如图，连接AB、AB′∵A（0，2），B（3，4）∴AB＝＝∵点B与B′关于直线AP对称∴AB′＝AB＝，在Rt△AOB′中，B′O＝＝3∴B′点坐标为（﹣3，0）或（3，0），∵A（0，2），点B（3，4）关于直线AP的对称点B′恰好落在x轴上，∴点B（3，4）关于直线y＝2的对称点B′（3，0），∴B′点坐标为（3，0）不合题意舍去，设直线BB′方程为y＝kx+b将B（3，4），B′（﹣3，0）代入得：，解得k＝，b＝2∴直线BB′的解析式为：y＝x+2，∴直线AP的解析式为：y＝﹣x+2，当y AP＝0时，﹣x+2＝0，解得：x＝，∴点P的坐标为：（）；故答案为：（）．17．解：当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣3，即A（﹣3，0），B（0，4），OA＝3，OB＝4，由勾股定理得：AB＝5，有三种情况：①以A为圆心，以AB为半径交x轴于两点，此时AC＝AB＝5，C的坐标是（2，0）和（﹣8，0）；②以B为圆心，以AB为半径交x轴于一点（A除外），此时AB＝BC，OA＝OC＝3，C的坐标是（3，0）；③作AB的垂直平分线交x轴于C，设C的坐标是（a，0），A（﹣3，0），B（0，4），∵AC＝BC，由勾股定理得：（a+3）2＝a2+42，解得：a＝，∴C的坐标是（，0），故答案为：（﹣8，0）（3，0）（2，0）（，0）．18．解：设直线AB与x轴交于B（x，0），依题意，得×（x+2）×3＝4，解得x＝，∴B（，0），设直线AB：y＝kx+b，则，解得，∴直线AB：y＝x﹣．故答案为：y＝x﹣．19．解：∵四边形ABCD是矩形，点B的坐标为（3，4），∴BC＝OA＝3，OC＝AB＝4，∴C（0，4），∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED，∵∠OCE＝∠BED，∠CDO＝∠BDE，∴∠OCD＝∠ODC，∴OD＝OC＝4，∵OB＝＝5，∴BD＝BE＝1，∴E（3，3），∴直线CE的解析式：y＝﹣，直线OB的解析式：y＝x，解得，∴D（，），故答案为：（，）．20．解：由折叠的性质得：△ADB≌△ADC，∴AB＝AC，BD＝CD，对于直线y＝﹣x+3，令x＝0，得到y＝3；令y＝0，得到x＝4，∴OA＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB＝5，∴OC＝AC﹣OA＝AB﹣OA＝5﹣4＝1，即C（﹣1，0）；在Rt△COD中，设CD＝BD＝x，则OD＝3﹣x，根据勾股定理得：x2＝（3﹣x）2+1，解得：x＝，∴OD＝，即D（0，）．故答案为：（﹣1，0）；（0，）21．解：（1）∵点C（﹣2，m）在直线y＝﹣x+2上，∴m＝﹣（﹣2）+2＝2+2＝4，∴点C（﹣2，4），∵函数y＝x+b的图象过点C（﹣2，4），∴4＝×（﹣2）+b，得b＝，即m的值是4，b的值是；（2）①∵函数y＝﹣x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，∴点A（2，0），点B（0，2），∵函数y＝x+的图象与x轴交于点D，∴点D的坐标为（﹣14，0），∴AD＝16，由题意可得，DE＝2t，则AE＝16﹣2t，由，得，则点C的坐标为（﹣2，4），∵△ACE的面积为12，∴＝12，解得，t＝5．即当△ACE的面积为12时，t的值是5；②当t＝4或t＝6时，△ACE是直角三角形，理由：当∠ACE＝90°时，AC⊥CE，∵点A（2，0），点B（0，2），点C（﹣2，4），点D（﹣14，0），∴OA＝OB，AC＝4，∴∠BAO＝45°，∴∠CAE＝45°，∴∠CEA＝45°，∴CA＝CE＝4，∴AE＝8，∵AE＝16﹣2t，∴8＝16﹣2t，解得，t＝4；当∠CEA＝90°时，∵AC＝4，∠CAE＝45°，∴AE＝4，∵AE＝16﹣2t，∴4＝16﹣2t，解得，t＝6；由上可得，当t＝4或t＝6时，△ACE是直角三角形．22．解：（1）BP＝4t，OQ＝3t．（2）∵OC⊥AB，∴∠CAO+∠COA＝90°．又∵∠CAO+∠B＝90°，∴∠COA＝∠B．∵直线AB：y＝﹣x+4，∴直线与x轴交点A（3，0），B（0，4）．Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，AB＝5．∴∠BOP＝∠QAO．∴∠AHO＝∠POA+∠QAO＝∠POA+∠BOP＝90°．∴AH⊥OP．（3）当△APH为等腰直角三角形时，∠CAQ＝45°，△QCA也为等腰直角三角形．Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，AB＝5．∵．∴OC＝．∴OQ＝3t＝．即t＝．23．解：（1）∵长方形OABC，∴BC＝OA，∵OA＝10，∴BC＝10，∵△CBM沿CM翻折，∴B′C＝BC＝10，在Rt△B′OC中，B′C＝10，OC＝6，∴B′O＝＝8，∴B′（8，0），故答案为：（8，0）；（2）设AM＝x，则BM＝AB﹣AM＝6﹣x，∵OA＝10，B′O＝8，∴B′A＝2，∵△CBM沿CM翻折，∴B′M＝BM＝6﹣x，在Rt△AB′M中，B′A2+AM2＝B′M2，∴22+x2＝（6﹣x）2，解得x＝，∴M（10，），设CM所在直线的解析式为y＝kx+b，将C（0，6）、M（10，）代入得：，解得k＝﹣，b＝6，∴CM所在直线的解析式为y＝﹣x+6；（3）∵△B'CP的面积为12，∴B′P•OC＝12，∴B′P×6＝12，∴B′P＝4，∵B′（8，0），∴P（12，0）或P（4，0）．24．解：（1）设直线l1的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵B（0，3）、点C（2，﹣3）在直线l1上，∴，解之得，，∴直线l1的表达式为y＝﹣3x+3；（2）∵直线y＝﹣3x+3交x轴于D，∴D（1，0），∵A（7，0），∴AD＝6，过点C作CE⊥x轴于E，∵C（2，﹣3），∴CE＝3，∴，∴，∴S△DPC＝3，设点P（x，0），∴，∴x＝3或x＝﹣1，∴P的坐标（3，0）或（﹣1，0）；（3）如图，过点C作CE⊥AO于E，∵x1＞x2时，有y1＜y2，∴直线l1的图象从左向右成下降趋势，∴m＜2．25．解：根据题意可画出图形，如图所示，∵直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B，∴A（2，0），B（0，2），∴OA＝OB＝2，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∴．（1）当线段PC与线段AB平行时，可画出图形，设PC所在直线为：y＝﹣x+m，∵C（1，0），∴﹣1+m＝0，解得，m＝1，∴PC所在直线的解析式为：y＝﹣x+1，∴P（0，1）；此时，，∴．故答案为：P（0，1）；△POC的面积与△AOB的面积的比值为．（2）由题意可知，点C是线段OA的中点，当△AOB被线段PC分成的两部分面积相等时，点P与点B重合，此时P（0，2），设PC所在直线的解析式为：y＝kx+b，∴，解得，，∴线段PC所在直线的解析式为：y＝﹣2x+2．（3）根据题意，需要分类讨论：①当点P在线段AB上时，如图所示，此时，过点P作PD⊥x轴于点D，∴S△APC＝＝，解得PD＝，∴AD＝PD＝，∴OD＝OA﹣AD＝2﹣＝，∴P（，），设线段PC所在直线的解析式：y＝k1x+b1，∴，解得，，∴线段PC所在直线的解析式：y＝2x﹣2；②当点P在线段OB上时，如图所示，此时，∴＝，解得，OP＝，∴P（0，），设线段PC所在直线的解析式：y＝k2x+b2，∴，解得，，∴线段PC所在直线的解析式：y＝﹣x+；综上可知，线段PC所在直线的解析式为：y＝2x﹣2或y＝﹣x+．26．解：（1）设直线n的解析式为：y＝kx+b，∵直线n：y＝kx+b过点A（0，﹣2）、点B（3，2），∴，解得：，∴直线n的函数表达式为：y＝x﹣2；（2）∵△ABC的面积为9，∴9＝•AC•3，∴AC＝6，∵OA＝2，∴OC＝6﹣2＝4或OC＝6+2＝8，∴C（0，4）或（0，﹣8）；（3）分四种情况：①如图1，当AB＝AC时，∵A（0，﹣2），B（3，2），∴AB＝＝5，∴AC＝5，∵OA＝2，∴OC＝3，∴C（0，3），设直线l的解析式为：y＝mx+n，把B（3，2）和C（0，3）代入得：，解得：，∴直线l的函数表达式为：y＝﹣x+3；②如图2，AB＝AC＝5，∴C（0，﹣7），同理可得直线l的解析式为：y＝3x﹣7；③如图3，AB＝BC，过点B作BD⊥y轴于点D，∴CD＝AD＝4，∴C（0，6），同理可得直线l的解析式为：y＝﹣x+6；④如图4，AC＝BC，过点B作BD⊥y轴于D，设AC＝a，则BC＝a，CD＝4﹣a，根据勾股定理得：BD2+CD2＝BC2，∴32+（4﹣a）2＝a2，解得：a＝，∴OC＝﹣2＝，∴C（0，），同理可得直线l的解析式为：y＝x+；综上，直线l的解析式为：y＝﹣x+3或y＝3x﹣7或y＝﹣x+6或y＝x+．27．解：（1）设直线AC的解析式是y＝kx+b，根据题意得：，解得：．则直线AC的解析式是：y＝﹣x+6；（2）∵C（0，6），A（4，2），∴OC＝6，∴S△OAC＝×6×4＝12；（3）设OA的解析式是y＝mx，则4m＝2，解得：m＝．则直线的解析式是：y＝x，∵当△OMC的面积是△OAC的面积的时，∴M到y轴的距离是×4＝2，∴点M的横坐标为2或﹣2；当M的横坐标是2时，在y＝x中，当x＝2时，y＝1，则M的坐标是（2，1）；在y＝﹣x+6中，x＝2则y＝4，则M的坐标是（2，4）．则M的坐标是：M1（2，1）或M2（2，4）．当M的横坐标是﹣2时，在y＝﹣x+6中，当x＝﹣2时，y＝8，则M的坐标是（﹣2，8）．综上所述：M的坐标是：M1（2，1）或M2（2，4）或M3（﹣2，8）．28．解：（1）对于直线l2：y＝3x﹣3①，令y＝3x﹣3＝0，解得x＝1，故点B（1，0），对于l1：y＝x+1，同理可得：点A（﹣1，0），则，解得，故点C的坐标为（2，3），故答案为：（﹣1，0）、（1，0）、（2，3）；（2）①点P在直线l1上，则设点P（t，t+1），同理点Q（t，3t﹣3），则PQ＝|t+1﹣3t+3|＝2，解得t＝1或3；②当点Q在x轴下方时，如下图，设直线l1交y轴于点K，过点B作直线n∥AC交y轴于点N，在y轴负半轴取点M使NM＝2NK，过点M作直线m∥AC交l2于点Q，则点Q为所求点，理由：∵M、Q在直线m上，且m∥AC，则S△MAC＝S△QAC，同理S△NAC＝S△BAC，而MN＝2KN，则m、l1之间的距离等于2倍n、l1之间的距离，故S△AQC＝2S△ABC，由直线l1的表达式知点K（0，1），设直线n的表达式为y＝x+b，将点B的坐标代入上式并解得b＝﹣1，故点N（0，﹣1），则NK＝1﹣（﹣1）＝2，则MN＝2NK＝4，故点M（0，﹣3），在直线m的表达式为y＝x﹣3②，联立①②并解得，故点Q（0，﹣3）；②当点M在x轴上方时，同理可得点M（0，5），同理可得，过点M且平行于AC的直线表达式为y＝x+5③，联立①③并解得，故点Q的坐标为（4，9）；综上，点Q的坐标为（0，﹣3）或（4，9）。
第9讲一次函数与方程不等式综合
一次函数与方程、不等式综合一、知识要点（一）一次函数与一元一次方程的关系1.从函数的观点来看一元一次方程b 0(0)kx k +=≠，可以认为：当自变量取什么值时，一次函数y b k 0kx =+≠（）的函数值为值0。
所以，直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。
2.求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x bk=-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)bk -，b k -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。
（二）一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。
（三）一次函数与二元一次方程（组）的关系1.一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。
2.求一个二元一次方程组的解就是求构成这个方程组的两个二元一次方程对应的一次函数图象的交点的坐标。
二、例题精讲（一）一次函数与一元一次方程综合【例1】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．1-D ．0【例2】 已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，，则a b +=______． 【例3】 已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，()13，，则不求k b ，的值，可直接得到方程3kx b +=的解是x =______．（二）一次函数与一元一次不等式综合【例4】 已知一次函数25y x =-+．（1）画出它的图象；（2）求出当32x =时，y 的值；（3）求出当3y =-时，x 的值；（4）观察图象，求出当x 为何值时，0y >，0y =，0y <【例5】 当自变量x 满足什么条件时，函数41y x =-+的图象在：（1）x 轴上方；（2）y 轴左侧；（3）第一象限．【例6】 已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值范围是（ ）A ．5x >B ．12x <C ．6x <-D ．6x >-【例7】 已知一次函数23y x =-+（1）当x 取何值时，函数y 的值在1-与2之间变化?（2）当x 从2-到3变化时，函数y 的最小值和最大值各是多少?【例8】 直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式21k x k x b >+的解集为______．【例9】 若解方程232x x +=-得2x =，则当x _________时直线2y x =+上的点在直线32y x =-上相应点的上方．【例10】 如图，直线y kx b =+经过()21A ，，()12B --，两点，则不等式122x kx b >+>-的解集为______．【例11】 已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并求： （1）当2x =时，y 的值；（2）x 为何值时，0y <？（3）当21x -≤≤时，y 的值范围；（4）当21y -<<时，x 的值范围．（三）一次函数与二元一次方程（组）综合 【例12】已知直线3y x =-与22y x =+的交点为（-5，-8），则方程组30220x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解是________．【例13】已知方程组y ax c y kx b -=⎧⎨-=⎩（a b c k ，，，为常数，0ak ≠）的解为23x y =-⎧⎨=⎩，则直线y ax c =+和直线y kx b =+的交点坐标为______．【例14】 已知24x y =⎧⎨=⎩，是方程组73228x y x y -=⎧⎨+=⎩的解，那么一次函数y = 和y =的交点是________．【例15】 一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中，正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【例16】 已知一次函数y 6kx b =++与一次函数2y kx b =-++的图象的交点坐标为A（2，0），求这两个一次函数的解析式及两直线与y 轴围成的三角形的面积．【例17】 若直线(2)6y m x =--与x 轴交于点()60，，则m 的值为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0【例18】 如图，直线y kx b =+与x 轴交于点()40-，，则0y >时，x 的取值范围是（ ） A.4x >- B ．0x > C.4x <- D ．0x <【例19】 当自变量x 满足什么条件时，函数23y x =-+的图象在：（1）x 轴下方；（2）y 轴左侧； （3）第一象限．【例20】 一次函数y kx b =+的图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是（ ）A ．0x >B ．0x <C ．2x >D ．2x <【例21】 已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当1x <时，y 的取值范围是（ ）A ．20y -<<B ．40y -<<C ．2y <-D ．4y <-【例22】 如图所示的是函数y kx b =+与y mx n =+的图象，求方程组kx b ymx n y +=⎧⎨+=⎩的解关于原点对称的点的坐标是________．【例23】 一次函数y kx b =+（k b ，是常数，0k ≠）的图象如图所示，则不等式0kx b +>的解集是（ ） A ．2x >-B ．0x >C ．2x <-D ．0x <【例24】 如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式0ax b +<的解集是________．【例25】 把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象，所得的两条直线平行，则此方程组（ ） A.无解B.有唯一解C.有无数个解D.以上都有可能【例26】 b 取什么整数值时，直线32y x b =++与直线2y x b =-+的交点在第二象限？三、小试牛刀1. （2010湖北孝感，7，3分）一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地.若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地.设轮船从甲地出发后所用的时间为t （小时）,航行的路程为s （千米）,则s 与t 的函数图象大致是（ ）2. （2011广东广州市，9，3分）当实数x 的取值使得x －2有意义时，函数y=4x+1中y 的取值范围是（ ）． A ．y ≥－7B ．y ≥9C ．y ＞9D ．y ≤93. （2011山东烟台，11,4分）在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y （千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示.有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比y=kx+b2-2Oy x-1B A 2O y x2乙甲乙甲815105 1.510.5O时y/千米乙先到达终点；④两人都跑了20千米.其中正确的说法有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C.3 个 D. 4个4. （2011浙江杭州，7，3）一个矩形被直线分成面积为x ，y 的两部分，则y 与x 之间的函数关系只可能是5．（2011浙江衢州，9,3分）小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路（如图）.若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为123v v v 、、，且123v v v <<，则小亮同学骑车上学时，离家的路程s 与所用时间t 的函数关系图像可能是（ ）6. （2011山东枣庄，10，3分）如图所示，函数x y =1和34312+=xy 的图象 相交于（－1，1），（2，2）两点．当21y y >时，x 的取值范围是（ ） A ．x ＜－1 B ．—1＜x ＜2 C ．x ＞2 D ． x ＜－1或x ＞27. （2011江苏盐城，8，3分）小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 图中的折线表示小亮的行程s(km)与所花时间t(min)之间的函数关系. 下列说法错误的是（ ） A ．他离家8km 共用了30min B ．他等公交车时间为6min C ．他步行的速度是100m/min D ．公交车的速度是350m/min8.某产品的生产流水线每小时可生产100件产品，生产前没有产品积压， 生产3小时后安排工人装箱，若每小时装产品150件，未装箱的产品数量为y ， •生产时间为t ，那么y 与t 的大致图象只能是（ ）9．如图，向高为H 的圆柱形空水杯里注水，表示注水量y 与水深x 的关系的图象是（ ）10．一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶，•过了一段时间，汽车到了下一个车站，乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，则图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情学校小亮家stststts（－1，1y（2，2） 2yxyO（第7题图）况的是（）11．星期天晚饭后，小红从家里出去散步，下图描述了她散步过程中离家的距离s（•米）与散步所用的时间t（分）之间的函数关系，依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（）．A．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了B．从家出发，一直散步（没有停），然后回家了C．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了， 18分钟后才开始返回12．甲、乙两人在一次赛跑中，路程与时间的关系如图所示，•那么可以知道：①这是一次___ _ _米赛路；②甲、乙两人先到达终点的是______ ___；•③在这次赛跑中甲的速度为___ _____，乙的速度为____ __．13．如图所示，表示的是某航空公司托运行李的费用y（元）与托运行李的质量x（千克）的关系，由图中可知行李的质量只要不超过_________千克，•就可以免费托运．14.俊宇某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况如图所示：①图象表示了哪两个变量的关系？②10•时和13时，他分别离家有多远？③他可能在什么时间内休息，并吃午餐？。
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暑期衔接-锐角三角比 暑期衔接-解直角三角形 暑期衔接-解直角三角形的应用 暑期衔接-二次函数的概念
一次函数-图像与性质 一次函数-解析式
一次函数-几何应用 一次函数-实际应用 代数方程-整式方程与分式方程 代数方程-无理方程与二元二次方程组 平行四边形-多边形 平行四边形-平行四边形
平行四边形-矩形 平行四边形-菱形 平行四边形-正方形 平行四边形-梯形 平行四边形-三角形与梯形的中位线
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理解二次函数的概念，知道二次函数的一般形式 掌握二次函数的图像与性质
数学 教案人教版 八升九-9 一次函数的应用
第九讲一次函数的应用［教学内容］《动态数学思维》暑期衔接版，八升九第九讲“一次函数的应用”.［教学目标］知识技能1.使学生能够将实际问题转化为一次函数的问题；2.学生能够根据实际意义准确地列出解析式并画出函数图象；3.能够利用一次函数解决实际生活中的方案选择问题.数学思考通过利用一次函数解决实际问题的过程，使学生数学抽象思维能力得到发展，体验到数学与实际生活的联系.问题解决通过利用一次函数解决实际问题，使学生面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，进一步发展学生解决问题的能力.情感态度学生在小组合作学习中体验学习的快乐，合作交流的好氛围，让学生更有机会体验自己与他人的想法，从而掌握知识，发展技能，获得愉快的心里体验，通过小组合作学习，培养学生的合作精神.[教学重点、难点]重点：利用一次函数解决实际生活问题.难点：利用一次函数解决实际生活问题.[教学准备]动画多媒体语言课件.第一课时据实际意义列不等式组，求不等式组的正整数解；（3）根据求出的解，利用一次函数的性质求函数的最值.例 2 手机上网已经成为当今年轻人时尚的网络生活，某网络公司看中了这种商机，推出了两种手机上网的计费方式：方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外，再以每分钟0.06元的价格按上网时间计费．假设某客户每月手机上网的时间为x分钟，上网费用为y元．（1）分别写出该该客户按A,B两种方式的上网费y（元）与每月上网时间x（分钟）的函数关系式，并在下图的坐标系中画出这两个函数的图象；（2）如何选择计费方式能使该客户上网费用更合算？（1）答案：动画作出图象如图所示.（直接在原图中给出）.解：方式A∶y=0.1x，方式B∶y=0.06x+20.（2）解析：结合函数图象，利用一次函数与一元一次不等式的关系解题.答案：当0.1x=0.06x+20时，解得x=500，所以，当x＜500时，选择方式A上网更合算；当x=500时，选择方式A与方式B上网一样合算；当x＞500时，选择方式B上网更合算.学生独立完成此题，教师指定学生讲解.探究类型之二分段函数的应用例3 某工程队做一项工作，工作时间x（天）和完成工作的百分比y的关系如图所示，其中线段OA所在直线的函数关系式是y=112x.工作3天后，该工程队提高了工作效率，结果提前完成了此项工程．分两题出（1）图中a的值是_________；（2）求该工程队实际完成此项工程所用天数．（1）解析：画线段OA，描点A.将点A的横坐标3代入y=112x就可以求出a值；答案：∵A（3，a）在y=112x的图象上，∴a=112×3=14=25%.（2）解析：描点A B，直线AB设直线AB的解析式为y AB=kx+b，由待定系数法求出解析式，再将y=1代入求出x的值即为实际完成此项工程所用天数．答案：解：设直线AB的解析式为y AB=kx+b,由题意，得13,415,2k bk b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得1,81,8kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴y AB=18x-18.当y=1时，18x-18=1，解得x=9.答：该工程队实际完成此项工程所用的天数为9天.学生独立完成此题，教师指定学生讲解.师：接下来我们一起做几道练习题.学生独立完成课后类似性问题1-4题.类似性问题1.如图是小明从学校到家里行进的路程s（米）与时间t（分）的函数图象，观察图象，从中得到如下信息，其中不正确的是( )A.学校离小明家1 000米B.小明用了20分钟到家C.小明前10分钟走了路程的一半D.小明后10分钟比前10分钟走得快学生独立完成此题，集体核对答案.2.小文、小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一段时间后，小亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行.他们的路程差s（米）与小文出发时间t （分）之间的函数关系如图所示.下列说法：①小亮先到达青少年宫；②小亮的速度是小文速度的2.5倍；③a=24；④b=480.其中正确的是( )A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④解析：根据图象我们可以知道：当小文出发9分后，小亮开始骑自行车出发；在小文出发15分后，小亮追上小文；在小文出发19分后，小亮到达青少年宫，故①正确.（下一步）由图象得出小文9分步行720米，故速度为720÷9=80（米/分）；当第15分时，小亮骑自行车行了15-9=6（分），路程为15×80=1200（米），∴小亮的速度为1200÷6=200（米/分），∴200÷80=2.5，故②正确.（下一步）小亮从学校到青少年宫共用19-9=10（分），∴学校到青少年宫的距离为10×200=2000（米），∴小文从学校步行到青少年宫需2000÷80=25（分钟），即a=25，故③错误；（下一步）∵小文19分步行了19×80=1520（米），∴b=2000-1520=480，故④正确．1.学生小组讨论整个运动过程.2.教师指定某小组汇报自己小组的讨论结果，其他小组补充指正.3.学生根据探究得到的整个运动过程，在小组内具体讨论分析每一项结论是否正确.4.教师指定小组汇报自己小组的判断结果及理由.5.教师讲解.3.甲、乙两个工程队完成某项工程，首先是甲单独做了10天，然后乙队加入合做，完成剩下的全部工程，设工程总量为单位1，工程进度满足如图所示的函数关系，那么实际完成这项工程所用的时间比甲单独完成这项工程所需时间少_________天．第二课时初步性问题探究类型之二分段函数的应用例4国家发改委日前表示，居民阶梯电价方案将在今年上半年推出，按发改委先前公布的《居民用电实行阶梯电价的指导意见（征求意见稿）》的标准，绘制了居民每月电费y（元）随本月用电量x（千瓦时）变化的图象（如图）.根据图象中的有关数据解答下列问题：（1）当x≤110时，按方案一，每千瓦时电的价格为_____元；当x≤140时，按方案二，每千瓦时电的价格为_________元．解析：描线段实线0-110 虚线0-14057.2÷110=0.52（元/千瓦时），74.2÷140=0.53（元/千瓦时）.答案：0.52；0.53（直接填在横线上）（2）当110≤x≤210时，按方案一，求y与x的函数关系式．解析：描线段实线110-210当110≤x≤210时，设y=kx+b，用待定系数法求解.答案：解：当110≤x≤210时，设方案一中y与x的函数关系式为y=kx+b，把点（110，57.2）和点（210，114.2）的坐标代入y=kx+b中，注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图9-4（b）所示.根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）如图（b）中折线ABC表示_____槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示_______槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点B的纵坐标表示的实际意义是 ________.答案：动画描折线ABC 线段DE乙；甲；乙槽内的圆柱形铁块的高度为14厘米.（直接填在横线上）（2）注水多长时间时,甲、乙两个水槽中的水的深度相同？解析：描AB，DE由待定系数法求线段AB，DE的解析式，联立方程组求交点坐标，得到相同深度所对应的时间.答案：解：设线段DE的函数关系式为y=k1x+b1,则11160,12,k bb+=⎧⎨=⎩解得112,12,kb=-⎧⎨=⎩故线段DE的函数关系式为y=-2x+12.下一步设线段AB的函数关系式为y=k2x+b2,则222414,2,k bb+=⎧⎨=⎩解得223,2,kb=⎧⎨=⎩故线段AB的函数关系式为y=3x+2.由题意得212,32,y xy x=-+⎧⎨=+⎩解得2,8.xy=⎧⎨=⎩所以注水2分钟时,甲、乙两水槽中水的深度相同.得前4分钟乙槽水所占底面积与甲槽底面积之比为（12-4）:（14-2）=2:3；设甲槽底面积为S cm2,则根据题意可得42853S S-=，解得S=60.答案：若乙槽中铁块的体积为112立方厘米（壁厚不计），甲槽底面积为60平方厘米.1.学生独立完成第（1）（2）问，教师指定学生讲解.2.学生小组讨论、合作探究第（3）（4）问，在学生讨论的时候，教师巡视，参与其中，对于没有思路的小组，教师给予适当引导.3.教师指定小组派代表说一说自己小组的思路，其他小组评价指正.4.教师详细讲解并总结：解决用函数图象描述容器里容积的问题,通过对图象分析观察,结合容器的有关体积公式描述变化过程,并建立数学模型(如一次函数、二元一次方程组等)，转化为数学问题加以解答.师：自己独自把类似性问题5解决吧.类似性问题5.为发展旅游经济,某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客.门票定价为50元/人,非节假日打a折售票,节假日按团队人数分段定价售票,即m人以下(含m人)的团队按原价售票；超过m人的团队,其中m人仍按原价售票,超过m人部分的游客打b折售票.设某旅游团人数为x,非节假日购票款为y1(元),节假日购票款为y2(元).y1,y2与x之间的函数图象如图所示.（1）观察图象可知:a=______；b=______；m=_____；（2）直接写出y1,y2与x之间的函数关系式;(3)某旅行社导游王娜于5月1日带A团,5月20日(非节假日)带B团都到该景区旅游,共付门票款1 900元,A,B两个团队合计50人,求A,B两个团队各有多少人.解析：（3）中设A团x人，则B团（50-x）人，分0≤x≤10和10＜x≤50两种情况考虑，答案：【类似性问题】1. C2. B3. 184.解：（1）当上网时间为18小时时，选用A方案时应付费，18×3+1.2×18=75.6（元），选用B方案时应付费，60+18×1.2=81.6（元），所以当上网时间为18小时时，选用A方案计时制比较合适．（2）A方案计时制该用户应支付的费用为3a+1.2a=4.2a(元)；B方案包月制该用户应支付费用为60+1.2a（元）.5. 解：(1)6；8；10(2)y1=30x；y2=50(010), 40100(10).x xx x≤≤⎧⎨+>⎩(3)设A团有x人,则B团有(50-x)人.当0≤x≤10时,50x+30(50-x)=1900,解得x=20,这与x≤10矛盾；当x＞10时,40x+100+30(50-x)=1900,解得x=30,∴50-30=20.答:A团有30人,B团有20人.手册答案1. C2. 145分或195分3. 解：（1）甲旅行社：y=2000x×0.7=1400x，乙旅行社：y=2000×0.6×（x+2）=1200x+2400.（2）令1400x=1200x+2400，解得x=12，所以，当x=12时，选择两家旅行社一样合算；令1400x＜1200x+2400，解得x＜12，所以，当x＜12时，选择甲旅行社合算；令1400x＞1200x+2400，解得x＞12，所以，当x＞12时，选择乙旅行社合算．4.解：由图表可知，甲库到A地每吨的路费为20×12=240（元），甲库到B地每吨的路费为25×10=250（元），乙库到A地每吨的路费为15×12=180（元），乙库到B地每吨的路费为20×8=160（元）．设甲库向A地运送水泥x吨，则向B地运送（100-x）吨，乙库向A地运送水泥（70-x）吨，向B地运送水泥110-（100-x）=10+x（吨），x的取值范围为0≤x≤70，则总运费为W=240x+250（100-x）+180（70-x）+160（10+x）=39200-30x，又因为-30＜0，0≤x≤70，所以当x为70时，W有最小值.所以要使总运费最少，甲库应向A地运送70吨水泥.5. 解：（1）设y1=k1x（k1≠0）．把点（20，360）的坐标代入得360=20k1，解得k1=18，则y1与x的函数关系式是y1=18x；当0≤x ≤10时，设函数的解析式为y 2=k 2x （k 2≠0）．把点（10，200）的坐标代入得200=10k 2， 解得k 2=20，则y 2=20x ；当x ＞10时，设函数的解析式为y 2=k 3x+b （k 3≠0）．把点（10，200），（20，360）的坐标分别代入3320010,36020,k b k b =+⎧⎨=+⎩解得316,40,k b =⎧⎨=⎩则y 2=16x+40.综上所述，220(010),1640(10).x x y x x ≤≤⎧=⎨+>⎩（2）甲商场给出的打折方案是：每个旅行包打九折优惠；乙商场给出的打折方案是：买10个旅行包以内不优惠，超过10个，超过部分按八折优惠. （3）由图象知，①当0≤x ＜20时，去甲商场买费用低； ②当x=20时，去两家商场买费用一样； ③当x ＞20时，去乙商场买费用低．。
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8升9数学（暑假）辅导教案
1．熟练运用一次函数解决特殊四边形存在问题；
2．体会数形结合的思想方法；体会一次函数与几何图形的内在联系．
（此环节设计时间在10－15分钟）
教法说明：回顾上次课的预习思考内容，要求学生在函数图像中找出符合要求的点。
1．已知点A、B、C、D可以构成平行四边形，且点A（－1，0），点B（0，3），点C（3，0），则第四个顶点D的坐标为_________________________；
参考答案：（4，3）或（—4，3）或（2，—3）；
2．已知一次函数
3
3
4
y x
=-+的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，如果点C在y轴上，存在点D使以
x
y
B
C A O
x
y
D2
D3
D1
B
C
A O
A 、
B 、
C 、
D 为顶点的四边形是菱形，则D 的坐标为 ．
参考答案：123(4,0),(4,5),(4,5)D D D --；
（此环节设计时间在50－60分钟）
例题1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 为菱形，点A 的坐标为（0，1），点D 在y 轴上，经过点B 的直线4+-=x y 与AC 相交于横坐标为2的点E ． （1）求直线AC 的表达式； （2）求点B 、C 、D 的坐标．
参考答案：（1）∵点直线4y x =-+经过横坐标为2的点E ，∴E （2，2）． 由点A （0，1），设直线AC 的表达式为1y kx =+，
∴1221,2k k =+=； ∴直线AC 的表达式为1
12
y x =+．
（2）设点C 的坐标为（2,1m m +），
∵在菱形ABCD 中，BC //AD ，∴点B 的坐标为（2,24m m -+）．
∵BA ＝BC ，∴2
2
BA BC =； ∴22
2
(20)(241)(124)m m m m -+-+-=++-．
∴2
1260,0(),6m m m m -===舍去． ∴点B 、C 的坐标分别为（12,8-）、（12,7）．
∵AD ＝BC ＝15，∴OD ＝16， ∴D （0，16）．
例题2：如图，在平面直角坐标系中，点C （－3,0），B （0，3），且∠OBA ＝∠BCO ，直线BA 与x 正半轴
交于点A 。
x
y B
A
O
x
y
D 2
D 1
D 3
B
A
O
E A O
x y
B
C
D
(2)过点A 作BC 的平行线交y 轴于点E ，求点E 的坐标；
(3)在(2)的条件下，点P 是直线AB 上一动点且在x 轴的上方，如果以点D 、E 、P 、Q 为顶点的平行四边形的面积等于ABC ∆面积，请求出点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标。
参考答案：(1)4y x =+
(2)直线:22BC y x =--；则直线:24AE y x =-+； 点E 的坐标(2,0) (3)1
(0,2)62
ABC B C S AC x -∴=
⋅=V Q 设(,4),(4)P a a a +>-∴1
22(4)3122
PDEQ PDE
S S DE a a ==⨯⋅⋅+=+Y V
∴2a =- ∴(2,2)P - 1(1,2)Q 2(5,2)Q - 3(3,2)Q -
此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。
1．如图，一次函数24y x =+的图像与x 、y 轴分别相交于点A 、B ，以AB 为边作正方形ABCD ． （1）求点A 、B 、D 的坐标；
（2）设点M 在x 轴上，如果△ABM 为等腰三角形，求点M 的坐标．
参考答案：（1）过点D 作x 轴的垂线，垂足为点E ．
由函数24y x =+，当y = 0时，得x = -2， 即得点A 的坐标为A （-2，0）． 当x = 0时，得y = 4，即得点B 的坐标为B （0，4）． 由正方形ABCD ，可证得△ADE ≌△BAO ．
∴DE = OA = 2，AD = BO = 4，即得OE = 2． ∴点D 的坐标为D （2，-2）．
（2）由A （-2，0），B （0，4），得2
2
2425AB =+=．
x
y
C
D
B
A
O
x
y D
C
B
A O
∴∠AED=∠ABC=60º，∠ADE=30º，∴AE=4，AD=43，
∴AH=23，OH=33，DH=6，∴点D（33,6）．
∴点D的坐标为（53,3）或（33,6）．
（此环节设计时间在5－10分钟内）
让学生回顾本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科教师引导为辅，为本次课做一个总结回顾【巩固练习】
1．如图，一次函数
1
3
y x b
=+的图像与x轴相交于点A（6，0）、与y轴相交于点B，点C在y轴的正半轴
上，BC=5．
（1）求一次函数的解析式和点B、C的坐标；
（2）如果四边形ABCD是等腰梯形，求点D的坐标．
参考答案：（1）解：∵一次函数
1
3
y x b
=+的图像与x轴相交于点A（6，0），
∴1
60,2
3
b b
⨯+==-；∴一次函数解析式为
1
2
3
y x
=-，点B（0，–2）．
∵BC=5，OB=2，∴OC=3，∴点C为（0，3）．
（2）解：当AD//BC时，CD=AB，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，
x y
A
C
B
O。