2019年高考理数测试卷(一)

2019年高考理数测试卷（―）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}2|230A x x x =--≥，{}2|4B x x =≤，则A ∩B ＝（ ）A ．[]2,1--B ．[)1,2-C ．[]1,1-D ．[)1,22．i 为虚数单位，复数2ii 1z =-在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第二象限B ．第一象限C ．第四象限D ．第三象限3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为甲x 、乙x ，标准差分别为,甲乙σσ，则（ ） A ．甲乙x x <，甲乙σσ< B ．甲乙x x <，甲乙σσ> C ．甲乙x x >，甲乙σσ< D ．甲乙x x >，甲乙σσ>4．已知函数()324x f x x =+，则()f x 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知向量()3,1=a ，()0,1=-b ，(),3k =c ，若()2-⊥a b c ，则k 等于（ ）A ．23B ．2C ．3-D ．16．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，()0,0ωϕ><<π的部分图像如图所示，则ω，ϕ的值分别是（ ） A ．31,4π B ．2,4π C ．34ππ,D ．24ππ,7．若过点()2,0有两条直线与圆222210x y x y m +-+++=相切，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．()1,-∞+C ．()1,0-D ．()1,1-8．抛物线()2:20E y px p =>的焦点为F ，点()0,2A ，若线段AF 的中点B 在抛物线上，则BF =（ ）A ．54B ．52C ．22D ．3249．运行如右图所示的程序框图，若输出的S 的值为21-，则判断框中可以填（ ） A ．64?a < B ．64?a ≤ C ．128?a <D ．128?a ≤10．将半径为3，圆心角为23π的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（ ）A ．23πB ．33πC ．43πD ．2π 11．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 1sin sin A bB C a c+=++，则C 为（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π 12．已知可导函数()f x 的定义域为(),0-∞，其导函数()f x '满足()()20xf x f x -'>，则不等式()()()22017201710f x x f +-+-<的解集为（ ）A ．(),2018-∞-B ．()2018,2017--C ．()2018,0-D ．()2017,0- 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．13．已知实数x ，y 满足约束条件2060 230x y x y x y -≥⎧⎪⎨+-≤-≤⎪⎩-，则23z x y =-的最小值是_____． 14．已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该三棱柱最大侧面的面积为__________．15. 已知函数()()()21sin ,02f x x ωω=->的周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位()0a >，所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为 。

16．在直角坐标系xOy 中，如果相异两点(),A a b ，(),B a b --都在函数()y f x =的图象上，那么称A ，B 为函数()f x 的一对关于原点成中心对称的点（A ，B 与B ，A 为同一对）函数()6sin 0 2log 0x x f x xx π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩的图象上有____________对关于原点成中心对称的点．三、解答题：（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()2*2n n n S n +=∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()*3n a n n b a n =⋅∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）某少儿游泳队需对队员进行限时的仰卧起坐达标测试．已知队员的测试分数y 与仰卧起坐个数x 之间的关系如下：0,03060,304080,4050100,50x x y x x ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩；测试规则：每位队员最多进行三组测试，每组限时1分钟，当一组测完，测试成绩达到60分或以上时，就以此组测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行三组；根据以往的训练统计，队员“喵儿”在一分钟内限时测试的频率分布直方图如右： （1）计算a 值；（2）以此样本的频率作为概率，求①在本次达标测试中，“喵儿”得分等于80的概率； ②“喵儿”在本次达标测试中可能得分的分布列及数学期望．19．（12分）如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点． （1）求证：AB 1⊥平面A 1BD ；（2）求锐二面角A －A 1D －B 的余弦值；20．（12分）已知()23f x x =--，()21n g x x x ax =-且函数()f x 与()g x 在1x =处的切线平行．（1）求函数()g x 在()()1,1g 处的切线方程；（2）当()0,x ∈+∞时，()()0g x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围．21．（12分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为，AB =． （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程是()0,12x m m t y t ⎧⎪⎪⎨=+⎩>=⎪⎪为参数，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于点A ，B ，且1PA PB ⋅=，求实数m 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数()212f x x x =--+． （1）解不等式()0f x >；（2）若0x ∃∈R ，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．2019年高考理数测试卷（―）答案一、选择题：1．【解析】由一元二次不等式的解法可得，集合{}{}223031A x x x x x x =--≥=≥≤-或，{}{}2|4|22B x x x x =≤=-≤≤，所以{}[]212,1AB x x =-≤≤-=--，故选A ．2．【解析】()()2i 12i i 11i i 1i 1z --===--=---，复数2ii 1z =-在复平面内对应坐标为()1,1-，所以复数2ii 1z =-在复平面内对应的点在第四象限，故选C ．3．【解析】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知甲乙x x >，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故甲乙σσ<．故选C ．4．【解析】因为()()324x f x f x x --==-+，所以函数为奇函数，排除B 选项，求导：()()42221204x x f x x'+=≥+，所以函数单调递增，故排除C 选项，令10x =，则()1000104104f =>，故排除D ．故选A ．5．【解析】因为()2-⊥a b c ，)2-=a b 0+=，3k =-，故选C ． 6．【解析】因为51244T =-，2T ∴=，2T ωπ∴==π，又因为324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以32sin 24ϕ⎛⎫π+=- ⎪⎝⎭，3sin 14ϕ⎛⎫∴π+=- ⎪⎝⎭，()3242k k ϕπ∴π+=-+π∈Z ， ()524k k ϕπ∴=-+π∈Z ，0ϕ<<π，34ϕπ∴=，故选C ． 7．【解析】由已知圆的方程满足2240D E F +->，则()44410m +-+>解得1m <；过点有两条直线与圆相切，则点在圆外，代入有4410m -++>，解得1m >-，综上实数m 的取值范围11m -<<，故选D ．8．【解析】点F 的坐标为,02p⎛⎫⎪⎝⎭，所以A 、F 中点B 的坐标为,14p⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为B 在抛物线上，所以将B 的坐标代入抛物线方程可得：212p =，解得：p =，则点F 坐标为⎫⎪⎪⎝⎭，点B 的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭，由两点间距离公式可得BF =故选D ． 9．【解析】运行程序如下：1a =，0S =，1S =，2a =-，12S =-，4a =，124S =-+，8a =-，1248S =-+-，16a =，124816S =-+-+，32a =-，1248163221S =-+-+-=-，64a =，故答案为A ．10．【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则2233r ππ=⨯，1r ∴=，h =设内切球的半径为R 13=，2R ∴=，334433V R =π=π=⎝⎭，故选A ．11．【解析】∵由正弦定理可得：sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2cC R=， ∴sin 1sin sin A b a bB C a c b c a c+=+=++++，整理可得：222a b c ab +-=，∴由余弦定理可得：2221cos 22a b c C ab +-==，∴由()0,C ∈π，可得：3C π=．故选B ．12．【解析】令()()2,0f x g x x x =<，()()()()()243220x f x xf x xf x f x g x x x '--∴'==<'，因为()()()22017201710f x x f +-+-<， 所以()()()()2220172017201710x g x x g +--<++，因为()g x 在(),0-∞单调递减， 所以()()2017020170201820172017120171x x x g x g x +<+⎧⎪⎨⎪<⎧⇒⇒-<<-⎩⎨+<-+>-⎩，故选B ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．【答案】8-【解析】实数x ，y 满足约束条件2060 230x y x y x y -≥⎧⎪⎨+-≤-≤⎪⎩-的可行域如图：目标函数23z x y =-，点()2,4A ，z 在点A 处有最小值：22348z =⨯-⨯=-，故答案为8-．14．【答案】5【解析】正视图、侧视图为长方形，俯视图为三 角形的几何体为三棱柱，由图形可知面DA '的面 积最大为5．15. 【答案】4π【解析】x x f ϖ2cos 21)(-=周期为π，得1=ϖ，向右平移a 个单位得)()(a x f x g -=图象关于原点对称，0)0(=g ，得0)2cos(=-a ，22ππ+=k a ，实数a 的最小值为4π16．【答案】3【解析】()y f x =关于原点的对称图像的解析式为()y f x =--，因此()f x 关于原点对称的点的个数实际上就是()()f x f x =--在()0,+∞上解的个数． 又当0x >时，()sin 2f x x π--=，考虑sin 2y x π=与6log y x =在()0,+∞上的图像的交点的个数．如下图所示，它们有3个公共点，从而()f x 有3对关于原点对称的点．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【解析】（1）当2n ≥时，1n n n a S S n -=-=；当1n =时，111a S ==，符合上式．综上，n a n =． ………………………6分 （2）3n n b n =⋅，则1231323333n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅， ………………………7分234131323333n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，∴()2311313233333313n n n n n T n n ++--=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅-，………………………10分∴1313424n n nT +⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭． ………………………12分 18．【解析】（1）()0.010.010.05101a +++⨯=，∴0.03a =．………………………2分（2）由直方图可知，“喵儿”的得分ξ情况如下：①在本次的三组测试中，“喵儿”得80分为事件A ，则“喵儿”可能第一组得80分， 或者第二组得80分，或者第三组得80分，则()0.50.10.50.10.10.50.555P A =+⨯+⨯⨯=；………………………6分 ②()00.10.10.10.001P δ==⨯⨯=，()600.30.10.30.10.10.30.333P δ==+⨯+⨯⨯=，()10010.0010.3330.5550.111P δ==---=，………………………9分分布列如下：数学期望()00.001600.333800.5551000.11175.48E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………12分19．【解析】（1）取BC 中点O ，连结AO ．∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC ．∵在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，∴AO ⊥平面BCC 1B 1． 取B 1C 1中点O 1，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系：O xyz -，如图所示，则B (1，0，0)，D (-1，1，0)， A 1(0，2，3)， A (0，0，3)，B 1(1，2，0)，∴()11,2,3AB =-，()2,1,0BD =-，()11,2,3BA =-． ∴10AB BD ⋅=，110AB BA ⋅=， ∴1AB BD ⊥，11AB BA ⊥，∴AB 1⊥平面A 1BD ．………………………6分 （2）设平面A 1AD 的法向量为(),,x y z =n ．1,1,3()AD =--，1,2,0(0)AA =．∵AD ⊥n ，1AA ⊥n ，∴100AD AA ⋅=⋅⎧⎪⎪⎩=⎨n n ，∴3020x y z y ⎧-+-==⎪⎨⎪⎩，03y x z==-⎧⎪⎨⎪⎩，令1z =得(3,,1)0-=n 为平面A 1AD 的一个法向量． 由（1）知AB 1⊥平面A 1BD ，1AB 为平面A 1BD 的法向量， ∴111336cos 4222AB AB AB ⋅--===-⨯⋅n n,n ． ∴锐二面角A －A 1D －B 的大小的余弦值为64．………………………12分 20．【解析】（1）()2f x x '=-，()21n 2g x x a =+'-因为函数()f x 与()g x 在1x =处的切线平行所以()()11f g '='解得4a =，所以()14g =-，()12g '=-，所以函数()g x 在()()1,1g 处的切线方程为220x y ++=．………………………4分（2）解当()0,x ∈+∞时，由()()0g x f x -≥恒成立得()0,x ∈+∞时，221n 30x ax x -++≥即321n a x x x≤++恒成立，………………………8分 设()321n (0)h x x x x x =++>， 则()()()2223123x x x x h x x x+='-+-=， 当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以()()min 14h x h ==，所以a 的取值范围为(],4-∞．………………………12分21．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a=，又由222a b c =+，可得23a b =．由AB =3a =，2b =．所以椭圆的方程为22194x y +=．………………………4分（2）设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ， 由题意，210x x >>，点Q 的坐标为()11,x y --．由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ， 从而()21112x x x x -=--⎡⎤⎣⎦，即215x x =．………………………6分 易知直线AB 的方程为236x y +=， 由方程组236x y y kx+==⎧⎨⎩，消去y ，可得2632x k =+．……………7分由方程组22194x y y kx⎧+==⎪⎨⎪⎩，消去y，可得1x =由215x x =，可得()532k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=， 解得89k =-，或12k =-．……………………10分 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去； 当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意． 所以，k 的值为12-．………………………12分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【解析】（1）直线l的参数方程是()0,12x m m t y t ⎧⎪⎪⎨=+⎩>=⎪⎪为参数， 消去参数t可得x m +．由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，可得C 的直角坐标方程：222x y x +=．………………5分（2）把()12x m t y t ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩=+=为参数，代入222x y x +=，得2220t t m m ++-=． 由0∆>，解得13m -<<，∴2122t t m m =-， ∵121PA PB t t ⋅==，∴221m m -=±，解得1m =或1．又满足0∆>，0m >，∴实数1m =或1．………………………10分23．【解析】（1）函数()3,21212=31,2213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=--+---≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，令()0f x =，求得13x =-，或3x =，故不等式()0f x >的解集为1|33x x x ⎧⎫⎨<>⎩⎭-⎬或；………………………5分（2）若存在0x ∃∈R ，使得()2024f x m m +<，即()2042f x m m <-有解，由（1）可得()f x 的最小值为11531222f ⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭， 故25422m m -<-，解得1522m -<<．………………………10分。