西安交通大学-刘国荣-离散数学 第八章 图论[2]
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西安交通大学15年7月课程考试《离散数学》作业考核试题标准答案
取定 u ∊ G. ∀g1,g2∊G，定义： g1*g2= g1·u-1·g2. 证明: (G,*)是群。
证明:
(1) 封闭性
(2) 可以结合性
(3) 幺元 e*=u. 事实上, g*e*=g*u=g·u-1·u=g·e=g e**g=u*g=u·u-1·g=e·g=g
(4) 逆元
对于∀g∊G,
在代数运算*下的逆元记为
g -1 *
于是,
g*-1=u·g-1·u 这里, g-1 是在代数运算·下的逆元
以下内容可以删除： （一）非标准劳动关系产生的原因
非标准劳动关系是从标准劳动关系发展而来。标准劳动关系是一种典型的劳动契约关系， 产生于资本主义社会，并一直延续至今。自 20 世纪 60 年代始，随着经济的迅速发展，信息技 术的普遍应用，各国的产业结构和知识结构发生了巨大变化，进而要求劳动力作为生产要素流 动性增强，灵活就业、弹性就业需求增大。因为，在工业、机械制造业占主导的产业结构模式 下，固定用工制度、长期就业合同是主流的用工和就业形式，但随着商业、服务业的不断扩大， 简单、统一的传统就业形式已经不能满足劳动关系双方主体的自身需求，取而代之的应是形式 灵活、富于弹性的就业形式，非标准劳动关系也就应运而生。一方面，企业可以根据市场的需 求变化，通过灵活多样的用工形式来雇佣非核心员工，弹性用工能够降低企业劳动力成本，提 高企业竞争力，追逐利益最大化。“企业想要更好的迎接全球化带来的巨大的挑战，人力资源的 运用必须要有弹性，也就是劳动弹性化。”
公理 B 代入 公理 D 代入 公理 C (4)(5)分离 (5)(6)分离
(8) (pq) ((qp) (pq))
公理 A
(9) (p(p∨p)) (((p∨p)p) (p(p∨p))) 代入
证明:
(1) 封闭性
(2) 可以结合性
(3) 幺元 e*=u. 事实上, g*e*=g*u=g·u-1·u=g·e=g e**g=u*g=u·u-1·g=e·g=g
(4) 逆元
对于∀g∊G,
在代数运算*下的逆元记为
g -1 *
于是,
g*-1=u·g-1·u 这里, g-1 是在代数运算·下的逆元
以下内容可以删除： （一）非标准劳动关系产生的原因
非标准劳动关系是从标准劳动关系发展而来。标准劳动关系是一种典型的劳动契约关系， 产生于资本主义社会，并一直延续至今。自 20 世纪 60 年代始，随着经济的迅速发展，信息技 术的普遍应用，各国的产业结构和知识结构发生了巨大变化，进而要求劳动力作为生产要素流 动性增强，灵活就业、弹性就业需求增大。因为，在工业、机械制造业占主导的产业结构模式 下，固定用工制度、长期就业合同是主流的用工和就业形式，但随着商业、服务业的不断扩大， 简单、统一的传统就业形式已经不能满足劳动关系双方主体的自身需求，取而代之的应是形式 灵活、富于弹性的就业形式，非标准劳动关系也就应运而生。一方面，企业可以根据市场的需 求变化，通过灵活多样的用工形式来雇佣非核心员工，弹性用工能够降低企业劳动力成本，提 高企业竞争力，追逐利益最大化。“企业想要更好的迎接全球化带来的巨大的挑战，人力资源的 运用必须要有弹性，也就是劳动弹性化。”
公理 B 代入 公理 D 代入 公理 C (4)(5)分离 (5)(6)分离
(8) (pq) ((qp) (pq))
公理 A
(9) (p(p∨p)) (((p∨p)p) (p(p∨p))) 代入
离散数学第8章课件PPT,高等教育出版社,屈婉玲,耿素云,张立昂主编
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证明
(2) 假设存在x1, x2∈A使得 由合成定理有 f g(x1)=f g(x2)
g(f(x1))=g(f(x2)) 因为g:B→C是单射的, 故 f(x1)=f(x2). 又由于f:A→B是单射的, 所 以x1=x2. 从而证明f g:A→C是单射的. (3)由(1)和(2)得证. 注意：定理逆命题不为真, 即如果f g:A→C是单射(或满射、双 射)的, 不一定有 f:A→B 和 g:B→C都是单射(或满射、双射)的.
16
函数复合与函数性质
定理8.2 设f:A→B, g:B→C (1) 如果 f:A→B, g:B→C是满射的, 则 fg:A→C也是满射的 (2) 如果 f:A→B, g:B→C是单射的, 则 fg:A→C也是单射的 (3) 如果 f:A→B, g:B→C是双射的, 则 fg:A→C也是双射的 证 (1) 任取c∈C, 由g:B→C的满射性, b∈B使得 g(b)=c. 对于这个b, 由 f:A→B的满射性，a∈A使得 f(a)=b. 由合成定理有 fg(a) = g(f(a)) = g(b) = c 从而证明了fg:A→C是满射的
4
实例
例1 设A={1,2,3}, B={a,b}, 求BA. 解BA={ f0, f1, … , f7}, 其中 f0 = {<1,a>,<2,a>,<3,a>} f1 = {<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2 = {<1,a>,<2,b>,<3,a>} f3 = {<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4 = {<1,b>,<2,a>,<3,a>} f5 = {<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6 = {<1,b>,<2,b>,<3,a>} f7 = {<1,b>,<2,b>,<3,b>}
证明
(2) 假设存在x1, x2∈A使得 由合成定理有 f g(x1)=f g(x2)
g(f(x1))=g(f(x2)) 因为g:B→C是单射的, 故 f(x1)=f(x2). 又由于f:A→B是单射的, 所 以x1=x2. 从而证明f g:A→C是单射的. (3)由(1)和(2)得证. 注意：定理逆命题不为真, 即如果f g:A→C是单射(或满射、双 射)的, 不一定有 f:A→B 和 g:B→C都是单射(或满射、双射)的.
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函数复合与函数性质
定理8.2 设f:A→B, g:B→C (1) 如果 f:A→B, g:B→C是满射的, 则 fg:A→C也是满射的 (2) 如果 f:A→B, g:B→C是单射的, 则 fg:A→C也是单射的 (3) 如果 f:A→B, g:B→C是双射的, 则 fg:A→C也是双射的 证 (1) 任取c∈C, 由g:B→C的满射性, b∈B使得 g(b)=c. 对于这个b, 由 f:A→B的满射性，a∈A使得 f(a)=b. 由合成定理有 fg(a) = g(f(a)) = g(b) = c 从而证明了fg:A→C是满射的
4
实例
例1 设A={1,2,3}, B={a,b}, 求BA. 解BA={ f0, f1, … , f7}, 其中 f0 = {<1,a>,<2,a>,<3,a>} f1 = {<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2 = {<1,a>,<2,b>,<3,a>} f3 = {<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4 = {<1,b>,<2,a>,<3,a>} f5 = {<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6 = {<1,b>,<2,b>,<3,a>} f7 = {<1,b>,<2,b>,<3,b>}
离散数学教学课件-第8章 图论
解：以a,b,c,d,e,f,g作为顶点，能讲同一语言作一边
b
d
f
连通
a
g
c
e
§8.5 图的矩阵表示
复习：
R
传递闭包 R R R2 Rn
8.5.1 图的矩阵表示
G V , E V {v1, v2 , v3 ,, vn }
E {e1, e2 , e3 ,, em }
邻接矩阵
A (aij ) nn
起点
P v0 , v1,, vq
回
终点
路
P e1, e2 ,, eq
长度
8.2.1通路与回路
1
4
2 (1,2),(2,3) 1,2,3 (1,4),(4,3) 1,4,3
3
(1,2),(2,4),(4,1)
回路
8.2.1通路与回路
1
2 P:1,2,4,1,4,3
4
3 Q:1,2,4,3 复杂通路
8.5.1 图的矩阵表示
1
3
0 1 0 0 0
2
4
1 0 1 0 0
A 0 1 0 0 0
图1
5
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
1 0 1 0 0
0 2 0
0
0
A2 1 0 1 0 0
0 0 0
1
0
0 0 0 0 1
8.5.1 图的矩阵表示
1
3
1 0 1 0 0
2
4
0 2 0
cij 表示从 vi 到 v j 长度为 l 的通路数目
8.5.1 图的矩阵表示
定理 设邻接矩阵为A的无向简单图，则 Ak (k 1,2,....) 的元素
离散数学 集合
18
离散数学
无重复性是集合的四大性质之一。 五.空集（empty,null,void set）：记为 空集是没有成员的集合。即 注.将空集作为集合实 际上是集合运算的封 x(x）（所谓的空集公理）； 闭性所要求的 ! 所以={ }； 空集是集合(作这点规定是运算封闭性的要求)。 空集是唯一的。因为若有两个空集，则它们有完全 相同的元素(都没有任何元素)，所以它们相等，是同 一集合。 六.全集（universe of discourse）：记为X 全集是所要研究的问题所需的全部对象（元素） 所构成的集合。 全集给个体（研究的对象）划定适当的范围。
12
离散数学
两个集合不相等，记为AB ； 根据这个定义，关于集合我们可得下列性质： (1) 无序性：集合中的元素是无序的。例如 {a,b,c}= {b, a, c} = {b , c, a} 因此，为了使用方便，我们可任意书写集合中元 素的顺序。 但一般情况下，通常采用字母序、字典序；有时， 还需要强行命名一种序； 无序性是集合的四大性质之一。 (2)无重复性：集合中元素的重复是无意义的。例如 {a, a, a, a, b, b, b, c , c}= {a, b, c} 包（bag）：若允许元素重复称为包。例如 {a, a, a, a, b, b, b, c , c} 一般记布尔系统 图论
2
离散数学 Discrete Mathematics
序言：
离散数学是现代数学的一个重要分支，计算机科学 基础理论的核心课程。它充分描述了计算机科学的 离散性特点，是随着计算机科学的发展而逐步建立 起来的新兴的基础性学科。 本课程作为计算机科学的基础性课程，把握离散数 学的关键性问题，介绍五大块内容：集合论、代数 系统、布尔代数、图论、数理逻辑。 这些和计算机科学密切相关的理论的结构按排，既 着重于各部分之间的紧密联系，又深入探讨各部分 内容的概念、例子、理论、算法、以及实际应用。
离散数学
无重复性是集合的四大性质之一。 五.空集（empty,null,void set）：记为 空集是没有成员的集合。即 注.将空集作为集合实 际上是集合运算的封 x(x）（所谓的空集公理）； 闭性所要求的 ! 所以={ }； 空集是集合(作这点规定是运算封闭性的要求)。 空集是唯一的。因为若有两个空集，则它们有完全 相同的元素(都没有任何元素)，所以它们相等，是同 一集合。 六.全集（universe of discourse）：记为X 全集是所要研究的问题所需的全部对象（元素） 所构成的集合。 全集给个体（研究的对象）划定适当的范围。
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离散数学
两个集合不相等，记为AB ； 根据这个定义，关于集合我们可得下列性质： (1) 无序性：集合中的元素是无序的。例如 {a,b,c}= {b, a, c} = {b , c, a} 因此，为了使用方便，我们可任意书写集合中元 素的顺序。 但一般情况下，通常采用字母序、字典序；有时， 还需要强行命名一种序； 无序性是集合的四大性质之一。 (2)无重复性：集合中元素的重复是无意义的。例如 {a, a, a, a, b, b, b, c , c}= {a, b, c} 包（bag）：若允许元素重复称为包。例如 {a, a, a, a, b, b, b, c , c} 一般记布尔系统 图论
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离散数学 Discrete Mathematics
序言：
离散数学是现代数学的一个重要分支，计算机科学 基础理论的核心课程。它充分描述了计算机科学的 离散性特点，是随着计算机科学的发展而逐步建立 起来的新兴的基础性学科。 本课程作为计算机科学的基础性课程，把握离散数 学的关键性问题，介绍五大块内容：集合论、代数 系统、布尔代数、图论、数理逻辑。 这些和计算机科学密切相关的理论的结构按排，既 着重于各部分之间的紧密联系，又深入探讨各部分 内容的概念、例子、理论、算法、以及实际应用。
离散数学第8章 图论及其应用
重要课题。
38
第八章 图论及其应用 例如图8-5中（a）与（b）均有6个结点，5条边；3个1度结点
，2个2度结点，1个3度结点。 满足上述3个条件，然而并不同构。
因为在图8-5（a）中的结点x应和图8-5（b）中结点y对应， 它们的度数均为3，而图8-5（a）中的结点x与两个度数为1 的结点邻接，图8-5（b）中结点y仅与一个度数为1的结点
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},
e1=(a,b),e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),
e7=(b,b)
则图G可用图(a)或(b)表示。
一个图G可用一个图形来
表示且表示形式不唯一
6
第八章 图论及其应用
有向图与无向图
• 在图G中，如果每条边都是有向边，则称该图为有向图； • 若每条边都是无向边，则称该图为无向图； • 如果有些边是有向边，另一些边是无向边，图G称为混合
•
(1)
(2)
37
第八章 图论及其应用 图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.
若两图同构，则两图必然满足： （1）有相同结点数目； （2）有相同边数； （3）度数相同的结点数目相同； （4）有相同重数的边数相同，等等。
但这仅仅是必要条件而不是充分条件。
寻找一种简单 有效的方法来 判定图的同构， 至今仍是图论 中悬而未决的
• 若边e所对应的结点对是有序对〈a,b〉,则称e是有向边。a叫 边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。 • 若边e所对应的结点对是无序对(a,b) ,则称e是无向边。 • 这时统称e关联顶点a和b，端点a和b是邻接的。
5
第八章 图论及其应用
例 设G=〈V,E〉,其中V={a,b,c,d},
38
第八章 图论及其应用 例如图8-5中（a）与（b）均有6个结点，5条边；3个1度结点
，2个2度结点，1个3度结点。 满足上述3个条件，然而并不同构。
因为在图8-5（a）中的结点x应和图8-5（b）中结点y对应， 它们的度数均为3，而图8-5（a）中的结点x与两个度数为1 的结点邻接，图8-5（b）中结点y仅与一个度数为1的结点
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},
e1=(a,b),e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),
e7=(b,b)
则图G可用图(a)或(b)表示。
一个图G可用一个图形来
表示且表示形式不唯一
6
第八章 图论及其应用
有向图与无向图
• 在图G中，如果每条边都是有向边，则称该图为有向图； • 若每条边都是无向边，则称该图为无向图； • 如果有些边是有向边，另一些边是无向边，图G称为混合
•
(1)
(2)
37
第八章 图论及其应用 图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.
若两图同构，则两图必然满足： （1）有相同结点数目； （2）有相同边数； （3）度数相同的结点数目相同； （4）有相同重数的边数相同，等等。
但这仅仅是必要条件而不是充分条件。
寻找一种简单 有效的方法来 判定图的同构， 至今仍是图论 中悬而未决的
• 若边e所对应的结点对是有序对〈a,b〉,则称e是有向边。a叫 边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。 • 若边e所对应的结点对是无序对(a,b) ,则称e是无向边。 • 这时统称e关联顶点a和b，端点a和b是邻接的。
5
第八章 图论及其应用
例 设G=〈V,E〉,其中V={a,b,c,d},
离散数学第八章(第4讲)
韦尔奇·鲍威尔（WelchPowell）给出了一种对图的着色 方法，步骤如下：
（1）将图G中的顶点按度数递减次序排列。 （2）用第一种颜色对第一顶点着色，并将与已着色顶点不
邻接的顶点也着第一种颜色。 （3）按排列次序用第二种颜色对未着色的顶点重复（2）。
用第三种颜色继续以上做法，直到所有的顶点均着上色为 止。
4
5
6
定义1 ：设G=<V,E>是一个无向图，如果能够把G的所 有结点和边画在平面上，且使得任何两条边除了端点外 没有其它的交点，就称G是一个平面图。
判断一个图是否为平面图的简单方法是观察法： 找出基本循环，将交叉的边分别放置在基本循环内或 外而避免交叉。如下图所示：
但并非所有的图经过处理之后都可变为平面图。
2. 着色问题 在地图上，相邻国家涂不同的颜色，最少需要多少种 颜色？100多年前，有人提出了“四色猜想”，即只 用四种颜色就能做到，但一直无法证明，直到1976年 美国数学家才用电子计算机证明了这一猜想。 地图着色自然是对平面图的面着色，利用对偶图，可 将其转化为相对简单的顶点着色问题，即对图中相邻 的顶点涂不同的颜色。
设m=k-1（k≥1）时公式成立，现在考虑m=k时的 情况。因为在连通图上增加一条边仍为连通图， 则有三种情况：
（1）所增边为悬挂边，此时G的面数不变，顶点 数增1，公式成立。 （2）在图的任意两个不相邻点间增加一条边，此 时G的面数增1，边数增1，但顶点数不变，公式 成立。
（3）所增边为一个环，此时G的面数增1，边数增 1
于是有 r 2 m n 2m l
故 m l (n 2)
l2
(r为G的面数)
推论1:设图G是一个包含n个结点,m条边的连通简单平 面图，若n≥3,则m≤3n-6。
《离散数学图论》课件
最短路径问题
实现方法：使用 队列数据结构， 将起始节点入队， 然后依次处理队 列中的每个节点， 直到找到目标节
点或队列为空
Dijkstra算法和Prim算法
Dijkstra算法：用于 求解单源最短路径问 题，通过不断更新最 短路径来寻找最短路 径。
Prim算法：用于求解 最小生成树问题，通过 不断寻找最小权重的边 来构建最小生成树。
图的矩阵表示
邻接矩阵的定义和性质
定义：邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其 中n是图的顶点数，矩阵中的元素表示 图中顶点之间的连接关系。
性质：邻接矩阵中的元素只有0和1， 其中0表示两个顶点之间没有边相连， 1表示两个顶点之间有一条边相连。
应用：邻接矩阵可以用于表示图的连通 性、路径长度等信息，是图论中常用的 表示方法之一。
图像处理：优化图像分割， 提高图像质量
物流配送：优化配送路径， 降低配送成本
社交网络：优化社交网络 结构，提高用户活跃度
感谢您的观看
汇报人：PPT
数学：用于图论、组合数 学、代数拓扑等领域
物理学：用于量子力学、 统计力学等领域
生物学：用于蛋白质结构、 基因调控等领域
社会科学：用于社会网络 分析、经济模型等领域
图的基本概念
图的定义和表示方法
图的定义：由节点和边组成的数学结构，节点表示对象，边表示对象之间的关系
节点表示方法：用点或圆圈表示 边表示方法：用线或弧线表示 图的表示方法：可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示
顶点和边的基本概念
顶点：图中的基本元素，表示一个对象或事件 边：连接两个顶点的线，表示两个对象或事件之间的关系 度：一个顶点的度是指与其相连的边的数量 路径：从一个顶点到另一个顶点的边的序列 连通图：图中任意两个顶点之间都存在路径 强连通图：图中任意两个顶点之间都存在双向路径
实现方法：使用 队列数据结构， 将起始节点入队， 然后依次处理队 列中的每个节点， 直到找到目标节
点或队列为空
Dijkstra算法和Prim算法
Dijkstra算法：用于 求解单源最短路径问 题，通过不断更新最 短路径来寻找最短路 径。
Prim算法：用于求解 最小生成树问题，通过 不断寻找最小权重的边 来构建最小生成树。
图的矩阵表示
邻接矩阵的定义和性质
定义：邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其 中n是图的顶点数，矩阵中的元素表示 图中顶点之间的连接关系。
性质：邻接矩阵中的元素只有0和1， 其中0表示两个顶点之间没有边相连， 1表示两个顶点之间有一条边相连。
应用：邻接矩阵可以用于表示图的连通 性、路径长度等信息，是图论中常用的 表示方法之一。
图像处理：优化图像分割， 提高图像质量
物流配送：优化配送路径， 降低配送成本
社交网络：优化社交网络 结构，提高用户活跃度
感谢您的观看
汇报人：PPT
数学：用于图论、组合数 学、代数拓扑等领域
物理学：用于量子力学、 统计力学等领域
生物学：用于蛋白质结构、 基因调控等领域
社会科学：用于社会网络 分析、经济模型等领域
图的基本概念
图的定义和表示方法
图的定义：由节点和边组成的数学结构，节点表示对象，边表示对象之间的关系
节点表示方法：用点或圆圈表示 边表示方法：用线或弧线表示 图的表示方法：可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示
顶点和边的基本概念
顶点：图中的基本元素，表示一个对象或事件 边：连接两个顶点的线，表示两个对象或事件之间的关系 度：一个顶点的度是指与其相连的边的数量 路径：从一个顶点到另一个顶点的边的序列 连通图：图中任意两个顶点之间都存在路径 强连通图：图中任意两个顶点之间都存在双向路径
西安交通大学-刘国荣-离散数学 第八章 图论[2]
![西安交通大学-刘国荣-离散数学 第八章 图论[2]](https://img.taocdn.com/s3/m/c7421e01844769eae009ed9a.png)
17
图9
离散数学
连通图的笔画是由图中奇结点的个数决定的。 本章§2定理2已经证明过：图中奇结点的个数是偶数。 所以奇结点是成对出现的，即为2k个。 (1)当k=0,1时，此连通图是一笔画的； (2) 当 k>1时，此连通图是 k 笔画的 ( 更进一步地，存在 着k 条边不重的路)。 应用三：中国邮路问题 一个邮递员，每次送信，领取邮件，由邮局出发，要 走遍他所负责的投递范围内的每一条街道，完成投递任 务后，再返回邮局。 问题是：他应该沿着怎样的路线走，使所走的总路程 最短？
离散数学
No2. 若此简单圈 C 已是 Euler 圈，则此图 G 就是 Euler 图， 算法结束(出口)。 No3.(插圈)否则，图G中必还有若干条边不属于圈C。 由图G的连通性可知： G 必有圈C外的边ej与圈C G 上的结点vi相关联(vi称 vi ej 为接触点)。由于在图G C C 中除去圈C(只删边，不 删结点)后所得的子图G 中，每个结点仍都是偶 结点(因为在圈C上的结 图1 点，都是一边进，另一
6
离散数学
边出。因此圈 C 每穿过某结点一次，该结点的度数就被 消耗掉2。故这些结点在删除圈C的边时，它们的度数都 减少一个偶数)。由于图G中每个结点都仍是偶结点，于 是从此结点vi出发，经过边ej 及子图G中的其它边，必可 走出一个简单圈C，回到出发点vi 。故圈C与圈C必由结 点vi相连(如图1所示)。将圈C插入圈C中，形成一条新的 更长的简单圈C:=CC ，goto No2。 由于图 G中的边数是有限的，故算法不可能无穷的进 行下去，所以算法必定在有限步结束。最后一定能得到 一个包括图 G 中所有边在其上的简单圈 C ，此圈 C 即是 Euler圈。所以图G即为Euler图。
10
图9
离散数学
连通图的笔画是由图中奇结点的个数决定的。 本章§2定理2已经证明过：图中奇结点的个数是偶数。 所以奇结点是成对出现的，即为2k个。 (1)当k=0,1时，此连通图是一笔画的； (2) 当 k>1时，此连通图是 k 笔画的 ( 更进一步地，存在 着k 条边不重的路)。 应用三：中国邮路问题 一个邮递员，每次送信，领取邮件，由邮局出发，要 走遍他所负责的投递范围内的每一条街道，完成投递任 务后，再返回邮局。 问题是：他应该沿着怎样的路线走，使所走的总路程 最短？
离散数学
No2. 若此简单圈 C 已是 Euler 圈，则此图 G 就是 Euler 图， 算法结束(出口)。 No3.(插圈)否则，图G中必还有若干条边不属于圈C。 由图G的连通性可知： G 必有圈C外的边ej与圈C G 上的结点vi相关联(vi称 vi ej 为接触点)。由于在图G C C 中除去圈C(只删边，不 删结点)后所得的子图G 中，每个结点仍都是偶 结点(因为在圈C上的结 图1 点，都是一边进，另一
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离散数学
边出。因此圈 C 每穿过某结点一次，该结点的度数就被 消耗掉2。故这些结点在删除圈C的边时，它们的度数都 减少一个偶数)。由于图G中每个结点都仍是偶结点，于 是从此结点vi出发，经过边ej 及子图G中的其它边，必可 走出一个简单圈C，回到出发点vi 。故圈C与圈C必由结 点vi相连(如图1所示)。将圈C插入圈C中，形成一条新的 更长的简单圈C:=CC ，goto No2。 由于图 G中的边数是有限的，故算法不可能无穷的进 行下去，所以算法必定在有限步结束。最后一定能得到 一个包括图 G 中所有边在其上的简单圈 C ，此圈 C 即是 Euler圈。所以图G即为Euler图。
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离散数学
[证]. (采用增边删边法及抻路法) G中有Euler路P=(v1, v2,, vk) G=G{(v1, vk)}中有Euler圈C=(v1, v2,, vk , v1) G是连通的且G中全是偶结点 (Euler定理) G是连通的且G中恰有两个奇结点v1, vk (删掉边e=(v1, vk)) 。
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6 11
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图6
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离散数学
定理2. 设G＝(V,E)是无孤立点的有向图。那么， G是Euler图 G是(弱)连通的且G中每个结点的出度都等于进度。 [ 证 ] . 仿定理 1 的证明可证。只不过这里的 Euler 圈应是有 向圈。 定理3 设 G＝(V,E) 是无孤立点的有向图。那么， G中有Euler路 G是(弱)连通的且G中除两个结点外，其余每个结点的 出度都等于进度。而这两个结点：一个结点的进度比 出度大1(终点)，另一个结点的出度比进度大1(起点)。 [ 证 ] . 仿定理 1 推论的证明可证。只不过这里的 Euler 路应 是有向路。
离散数学
注：此序列称为De Bruijn序列。这一应用是由Good(1946)提出的。
按此序列来设计磁鼓绝 缘体及导体的位置最为合 理(如图9所示)，可以读出 全部(八个)三位二进制数： 通电 000,001,011,111, 110,101,010,100 。
c
b a
旋转方向
应用二：一笔画问题 对于一个给定的图，究竟需要多少笔才能画成？这里 只讨论连通图的一笔画问题。因为假若一个图是不连通 的，则此图的笔画问题就可以归结成对各连通支笔画的 讨论。
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图9
离散数学
连通图的笔画是由图中奇结点的个数决定的。 本章§2定理2已经证明过：图中奇结点的个数是偶数。 所以奇结点是成对出现的，即为2k个。 (1)当k=0,1时，此连通图是一笔画的； (2) 当 k>1时，此连通图是 k 笔画的 ( 更进一步地，存在 着k 条边不重的路)。 应用三：中国邮路问题 一个邮递员，每次送信，领取邮件，由邮局出发，要 走遍他所负责的投递范围内的每一条街道，完成投递任 务后，再返回邮局。 问题是：他应该沿着怎样的路线走，使所走的总路程 最短？
注： C.L.Liu美籍华人。著有《离散数学基础》(刘振宏译)； 条件：全是偶结点保证可走出简单圈；
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离散数学
条件：连通性保证边(从而结点)可走完。
例1. 图G如图2所示。问图G是否为一Euler图？若是，试 求出其Euler圈。 [解].由于图G中的六个结点全都是 1 偶结点，并且图G显然是连通的， 故根据上述Euler定理可知，图G为 2 3 Euler图。 按照C.L.Liu算法，可求得图G中 5 4 的Euler圈。具体步骤如下： 在图中任意找一简单圈C＝ 6 (1,2,3,1)。 图2 发现还有7条边不在此圈 8
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离散数学
注：这类通过各边恰好一次的问题就是通常所说的一笔画问题 （即 笔不离纸，线不重复）。
定理1. (Euler定理) 设 G ＝ (V,E) 是无孤立点的无向图。那么， G是Euler图 G是连通的且G中无奇结点。
注： G中无奇结点即是G中每个结点都是偶结点。
[证].先证必要性)： (采用蹦圈法) 设C是G的一条Euler圈。则 (1)图G是连通的：首先，由于图G中无孤立点，所以 图G中的每个结点都有一些边与之关联，而Euler圈C包 含了图G中的每一条边，于是圈C在通过各边的同时必通 过图G中每个结点。因而图G中每个结点都在Euler圈C上。
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离散数学
现在由于圈C穿过图G中的每条边一次且仅一次，因 而C必定穿过图G中的每条边一次。而图G中各边的总权 和w(E)是固定不变的，所以要使 Euler圈C取得最小权值w(C) 平行边集E1取得最小权值w(E1) 边集E1取得最小权值w(E1) 因而，中国邮路问题就转化为：在一给定的带权图 G=(V,E,w)中，寻求这样一个边集E1E ，其对应的平行 边集为E1，使带权多重图G= GE1无奇结点，并使 w(e) 达到最小。 w(E1)= e E 我们称这样的边集E1是最优的。 管梅谷教授解决此问题的思想方法我们总结为如下的 定理。 21
离散数学
西安交通大学 电子与信息工程学院 计算机软件所 刘国荣
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离散数学
§6. Euler图
Euler图的定义 Euler图的理论 中国邮路问题
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离散数学
§6 Euler图
Euler 图产生的背景就是前面介绍的 Konigsberg 七桥问 题，有了前面几节的知识后，我们可以讨论Euler图的解 决方法了。
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离散数学
应用一：高效率计算机磁鼓的设计 计算机旋转磁鼓的表面被等分成2n个部分，与n个电刷 相接触。绝缘体 ( 空白部分 ) 不通电表示信号 0 ；导体 ( 阴 影部分)通电表示信号 1。从而n个电刷上就产生一 n位二 进制信号。 我们的问题是：如何合理的按排磁鼓表面上的空白与 阴影部分，使的磁鼓转动n个位置，就可读出2n个不同的 二进制数。 c 图7表示有三个 b 电刷a,b,c的磁鼓，磁鼓 表面被分成了八个部分 a 通电 。它旋转一周只能读出 六个不同的二进制数： 旋转方向 110,101,011,100,000,001。 图7 因此按排不合理。 如何设计？我们考虑四个两位二进制数： 00,01,10,11
离散数学
设这些需重复的边的集合是E1(E1E)，所增加的那些 平行边的集合是E1={e e//eeE1}，所获得新的带权 多重图G=(V,E,w) ，其中E=EE1，并且eE1， w(e)=w(e)(这里e//e，eE1)(参见图10) 。
5 5
பைடு நூலகம்
2 2 2 5 5 v1 v1 v2 v2 1 e2 e2 1 1 e1 1 e1 e2 1 1 e 5 1 v4 v4 v3 v3 5 3 3 3 3 5 5 图G 图G = GE1 E1={e1, e2} E1 ={e1, e2} (a) (b) 图10 2
定义1. Euler路 Euler 圈 Euler图 设 G ＝ (V, E) 是连通的、无孤立点的图。 (1)Euler路是一条简单路P，路P穿过图G中每条边一次 且仅一次； (2)Euler圈是一条简单圈C，圈C穿过图G中每条边一次 且仅一次； (3)含有Euler 圈的图G称为Euler图(简称为E-图)。
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离散数学
这个问题抽象成图论语言就是：在给定的一个连通的 带权图 G=(V,E,w)( 每条边上一个非负的权 w(e))中，要求 一个圈C，过每条边至少一次，并使圈C上的总权和w(C) 达到最小。 我们设图G的奇结点个数是2k(参见应用二)。 这个问题的存在性是不容质疑的。 我国山东师院的管梅谷教授于1962年首次研究并解决 了上述问题。因此国际上将其称为中国邮路问题。 (1) 当 k=0 时 ( 即无奇结点 ) ，这时 G 是 Euler 图，有 Euler 圈，设其为C 。显然，若按Euler圈C走，每条边走且仅 走一次，总权和w (C) 显然是最小的； (2)当k1时(即有奇结点)，我们解决问题的思路是给图 G 增加一些重复边，使其变成无奇结点的多重图 G。由 于图G是连通的，故图G也是连通的。因而根据Euler定 理可知，图G必有Euler圈，设其为C 。 19
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离散数学
定义2.割边(cut edge) 设G＝(V,E)是无向图，eE。若W(G\e)>W(G)，则称 边e为图G的割边。 这里W(G)表示图G中的连通支数。 例3.图G如图5所示。 G中的边e是割边。因为 W(G\e)=2>1=W(G)。
e
图5
如何在恰有两个奇结点的连通图中寻找Euler路，可采 用下面的算法。 Fleury算法：寻找在两个奇结点间的一条Euler路的算法 (1) 从一个奇结点出发，每走一边标记一边；下次不走 标记过的边；
离散数学
No2. 若此简单圈 C 已是 Euler 圈，则此图 G 就是 Euler 图， 算法结束(出口)。 No3.(插圈)否则，图G中必还有若干条边不属于圈C。 由图G的连通性可知： G 必有圈C外的边ej与圈C G 上的结点vi相关联(vi称 vi ej 为接触点)。由于在图G C C 中除去圈C(只删边，不 删结点)后所得的子图G 中，每个结点仍都是偶 结点(因为在圈C上的结 图1 点，都是一边进，另一
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离散数学
将其作为一图G的结点。对于图G的任二结点p1p2和q1q2 ， 若p2=q1 ，则在它们之间连一条有向边(p1p2, q1q2 )，并用 三位二进制数p1p2q2标记该边。图G如图8所示。 000 图8所示的图G是一有向图， 它显然是(弱)连通的，并且每 00 001 100 个结点的进度=出度=2，满足 101 定理2中的条件，因此存在着 10 01 010 Euler圈。 其Euler圈为：(000,001,011, 011 110 11 111,110,101,010,100,000)。 两位重复此八个三位二进 111 制数，上述Euler圈可用一个 图8 八位二进制序列： 00011101 来表示。 16
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离散数学
因此，图G中任何两结点，沿着Euler圈C可相互到达， 故图G是连通的。 (2)图G中无奇结点：其次，当圈C穿过某结点时，必 从一边进，从另一边出，因此给该结点度数的贡献是2； 尽管圈C可能会多次穿过某些结点，但由上述原因和 Euler圈C仅穿过每条边一次(C是Euler圈)及每个结点都在 圈C上可知：圈C穿过某结点k次，就给该结点的度数贡 献2 k ；因此，图G中每个结点的度数必全为偶数，即图 G中无奇结点。 再证充分性)： (C.L.Liu算法) No1.从任一结点出发，走成一个简单圈C； 由于图G中每个结点都是偶结点(无奇结点)，且图G连 通，故图G中至少存在一个简单圈C。 5
例2．哥尼斯堡七桥问题无解。 [解].在七桥图中(图3)，由于每个结点均为奇结点，故由 Euler定理的充要条件知，该图中不存在经过每条边一次 且仅一次的Euler圈。即七桥图不是Euler图。该问题无解。 9
离散数学
[证]. (采用增边删边法及抻路法) G中有Euler路P=(v1, v2,, vk) G=G{(v1, vk)}中有Euler圈C=(v1, v2,, vk , v1) G是连通的且G中全是偶结点 (Euler定理) G是连通的且G中恰有两个奇结点v1, vk (删掉边e=(v1, vk)) 。
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定理2. 设G＝(V,E)是无孤立点的有向图。那么， G是Euler图 G是(弱)连通的且G中每个结点的出度都等于进度。 [ 证 ] . 仿定理 1 的证明可证。只不过这里的 Euler 圈应是有 向圈。 定理3 设 G＝(V,E) 是无孤立点的有向图。那么， G中有Euler路 G是(弱)连通的且G中除两个结点外，其余每个结点的 出度都等于进度。而这两个结点：一个结点的进度比 出度大1(终点)，另一个结点的出度比进度大1(起点)。 [ 证 ] . 仿定理 1 推论的证明可证。只不过这里的 Euler 路应 是有向路。
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注：此序列称为De Bruijn序列。这一应用是由Good(1946)提出的。
按此序列来设计磁鼓绝 缘体及导体的位置最为合 理(如图9所示)，可以读出 全部(八个)三位二进制数： 通电 000,001,011,111, 110,101,010,100 。
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b a
旋转方向
应用二：一笔画问题 对于一个给定的图，究竟需要多少笔才能画成？这里 只讨论连通图的一笔画问题。因为假若一个图是不连通 的，则此图的笔画问题就可以归结成对各连通支笔画的 讨论。
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连通图的笔画是由图中奇结点的个数决定的。 本章§2定理2已经证明过：图中奇结点的个数是偶数。 所以奇结点是成对出现的，即为2k个。 (1)当k=0,1时，此连通图是一笔画的； (2) 当 k>1时，此连通图是 k 笔画的 ( 更进一步地，存在 着k 条边不重的路)。 应用三：中国邮路问题 一个邮递员，每次送信，领取邮件，由邮局出发，要 走遍他所负责的投递范围内的每一条街道，完成投递任 务后，再返回邮局。 问题是：他应该沿着怎样的路线走，使所走的总路程 最短？
注： C.L.Liu美籍华人。著有《离散数学基础》(刘振宏译)； 条件：全是偶结点保证可走出简单圈；
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条件：连通性保证边(从而结点)可走完。
例1. 图G如图2所示。问图G是否为一Euler图？若是，试 求出其Euler圈。 [解].由于图G中的六个结点全都是 1 偶结点，并且图G显然是连通的， 故根据上述Euler定理可知，图G为 2 3 Euler图。 按照C.L.Liu算法，可求得图G中 5 4 的Euler圈。具体步骤如下： 在图中任意找一简单圈C＝ 6 (1,2,3,1)。 图2 发现还有7条边不在此圈 8
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注：这类通过各边恰好一次的问题就是通常所说的一笔画问题 （即 笔不离纸，线不重复）。
定理1. (Euler定理) 设 G ＝ (V,E) 是无孤立点的无向图。那么， G是Euler图 G是连通的且G中无奇结点。
注： G中无奇结点即是G中每个结点都是偶结点。
[证].先证必要性)： (采用蹦圈法) 设C是G的一条Euler圈。则 (1)图G是连通的：首先，由于图G中无孤立点，所以 图G中的每个结点都有一些边与之关联，而Euler圈C包 含了图G中的每一条边，于是圈C在通过各边的同时必通 过图G中每个结点。因而图G中每个结点都在Euler圈C上。
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现在由于圈C穿过图G中的每条边一次且仅一次，因 而C必定穿过图G中的每条边一次。而图G中各边的总权 和w(E)是固定不变的，所以要使 Euler圈C取得最小权值w(C) 平行边集E1取得最小权值w(E1) 边集E1取得最小权值w(E1) 因而，中国邮路问题就转化为：在一给定的带权图 G=(V,E,w)中，寻求这样一个边集E1E ，其对应的平行 边集为E1，使带权多重图G= GE1无奇结点，并使 w(e) 达到最小。 w(E1)= e E 我们称这样的边集E1是最优的。 管梅谷教授解决此问题的思想方法我们总结为如下的 定理。 21
离散数学
西安交通大学 电子与信息工程学院 计算机软件所 刘国荣
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离散数学
§6. Euler图
Euler图的定义 Euler图的理论 中国邮路问题
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离散数学
§6 Euler图
Euler 图产生的背景就是前面介绍的 Konigsberg 七桥问 题，有了前面几节的知识后，我们可以讨论Euler图的解 决方法了。
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离散数学
应用一：高效率计算机磁鼓的设计 计算机旋转磁鼓的表面被等分成2n个部分，与n个电刷 相接触。绝缘体 ( 空白部分 ) 不通电表示信号 0 ；导体 ( 阴 影部分)通电表示信号 1。从而n个电刷上就产生一 n位二 进制信号。 我们的问题是：如何合理的按排磁鼓表面上的空白与 阴影部分，使的磁鼓转动n个位置，就可读出2n个不同的 二进制数。 c 图7表示有三个 b 电刷a,b,c的磁鼓，磁鼓 表面被分成了八个部分 a 通电 。它旋转一周只能读出 六个不同的二进制数： 旋转方向 110,101,011,100,000,001。 图7 因此按排不合理。 如何设计？我们考虑四个两位二进制数： 00,01,10,11
离散数学
设这些需重复的边的集合是E1(E1E)，所增加的那些 平行边的集合是E1={e e//eeE1}，所获得新的带权 多重图G=(V,E,w) ，其中E=EE1，并且eE1， w(e)=w(e)(这里e//e，eE1)(参见图10) 。
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பைடு நூலகம்
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定义1. Euler路 Euler 圈 Euler图 设 G ＝ (V, E) 是连通的、无孤立点的图。 (1)Euler路是一条简单路P，路P穿过图G中每条边一次 且仅一次； (2)Euler圈是一条简单圈C，圈C穿过图G中每条边一次 且仅一次； (3)含有Euler 圈的图G称为Euler图(简称为E-图)。
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离散数学
这个问题抽象成图论语言就是：在给定的一个连通的 带权图 G=(V,E,w)( 每条边上一个非负的权 w(e))中，要求 一个圈C，过每条边至少一次，并使圈C上的总权和w(C) 达到最小。 我们设图G的奇结点个数是2k(参见应用二)。 这个问题的存在性是不容质疑的。 我国山东师院的管梅谷教授于1962年首次研究并解决 了上述问题。因此国际上将其称为中国邮路问题。 (1) 当 k=0 时 ( 即无奇结点 ) ，这时 G 是 Euler 图，有 Euler 圈，设其为C 。显然，若按Euler圈C走，每条边走且仅 走一次，总权和w (C) 显然是最小的； (2)当k1时(即有奇结点)，我们解决问题的思路是给图 G 增加一些重复边，使其变成无奇结点的多重图 G。由 于图G是连通的，故图G也是连通的。因而根据Euler定 理可知，图G必有Euler圈，设其为C 。 19
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离散数学
定义2.割边(cut edge) 设G＝(V,E)是无向图，eE。若W(G\e)>W(G)，则称 边e为图G的割边。 这里W(G)表示图G中的连通支数。 例3.图G如图5所示。 G中的边e是割边。因为 W(G\e)=2>1=W(G)。
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如何在恰有两个奇结点的连通图中寻找Euler路，可采 用下面的算法。 Fleury算法：寻找在两个奇结点间的一条Euler路的算法 (1) 从一个奇结点出发，每走一边标记一边；下次不走 标记过的边；
离散数学
No2. 若此简单圈 C 已是 Euler 圈，则此图 G 就是 Euler 图， 算法结束(出口)。 No3.(插圈)否则，图G中必还有若干条边不属于圈C。 由图G的连通性可知： G 必有圈C外的边ej与圈C G 上的结点vi相关联(vi称 vi ej 为接触点)。由于在图G C C 中除去圈C(只删边，不 删结点)后所得的子图G 中，每个结点仍都是偶 结点(因为在圈C上的结 图1 点，都是一边进，另一
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离散数学
将其作为一图G的结点。对于图G的任二结点p1p2和q1q2 ， 若p2=q1 ，则在它们之间连一条有向边(p1p2, q1q2 )，并用 三位二进制数p1p2q2标记该边。图G如图8所示。 000 图8所示的图G是一有向图， 它显然是(弱)连通的，并且每 00 001 100 个结点的进度=出度=2，满足 101 定理2中的条件，因此存在着 10 01 010 Euler圈。 其Euler圈为：(000,001,011, 011 110 11 111,110,101,010,100,000)。 两位重复此八个三位二进 111 制数，上述Euler圈可用一个 图8 八位二进制序列： 00011101 来表示。 16
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因此，图G中任何两结点，沿着Euler圈C可相互到达， 故图G是连通的。 (2)图G中无奇结点：其次，当圈C穿过某结点时，必 从一边进，从另一边出，因此给该结点度数的贡献是2； 尽管圈C可能会多次穿过某些结点，但由上述原因和 Euler圈C仅穿过每条边一次(C是Euler圈)及每个结点都在 圈C上可知：圈C穿过某结点k次，就给该结点的度数贡 献2 k ；因此，图G中每个结点的度数必全为偶数，即图 G中无奇结点。 再证充分性)： (C.L.Liu算法) No1.从任一结点出发，走成一个简单圈C； 由于图G中每个结点都是偶结点(无奇结点)，且图G连 通，故图G中至少存在一个简单圈C。 5
例2．哥尼斯堡七桥问题无解。 [解].在七桥图中(图3)，由于每个结点均为奇结点，故由 Euler定理的充要条件知，该图中不存在经过每条边一次 且仅一次的Euler圈。即七桥图不是Euler图。该问题无解。 9