离散数学-第七章-图论

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离散数学第七章图论习题课

利用奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，所以，在G中结点度数为奇数的结点，在其补图中的度数也应为奇数，故G和其补图的奇数结点个数也是相同的。
P286 1、在无向图G中，从结点u到结点v有一条长度为偶数的通路，从结点u到结点v又有一条长度为奇数的通路，则在G中必有一条长度为奇数的回路。
证明：
2、运用 (1) 判断有向图或无向图中通路(回路)的类型。 (2) 求短程线和距离。 (3) 判断有向图连通的类型。
三、图的矩阵表示
1、基本概念。无向图的邻接矩阵A 根据邻接矩阵判断:各结点的度, 有向图结点出,入度。由Ak可以求一个结点到另一个结点长度为k 的路条数. 有向图的可达矩阵P 用P可以判定:各结点的度. 有向图的强分图。关联矩阵M:是结点与边的关联关系矩阵. 用M判定:各结点的度
设给定图G(如由图所示)，则图G的点割集
是
．
应该填写：{f}，{c，e}。
定义设无向图G=<V, E>为连通图，若有点集
V1V，使图G删除了V1的所有结点后，所得的子
图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所
得的子图是连通图，则称V1是G的一个点割
集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为
割点。
a c
a c
b
d
b
d
a c
a c
b
d
b
d
推论:任何6人的人群中，或者有3人互相认识，或者有 3人彼此陌生。(当二人x,y互相认识，边(x,y)着红色，否则着兰色。则6人认识情况对应于K6边有红K3或者有兰K3。)
证明简单图的最大度小于结点数。
证明：设简单图G有n个结点。对任一结点u，由于G没

第7章图论 [离散数学离散数学(第四版)清华出版社]

6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
21
例：
a j i h c g d
1(a)
无向图
b
f
e

2(b)
7(j) 8(g) 9(d) 10(i)
6(e)
3(c) 4(h)
5(f)
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
22
例：
1(b)
有向图
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
6
[定义] 相邻和关联
在无向图G中，若e=(a, b)∈E，则称a与 b彼此相邻(adjacent)，或边e关联 (incident) 或联结(connect) a, b。a, b称为边e的端点或结束顶点(endpoint)。在有向图D中，若e=<a, b>∈E，即箭头由a到b，称a邻接到b，或a关联或联结b。a 称为e的始点(initial vertex)，b称为e的终点 (terminal/end vertex)。
证明思路：将图中顶点的度分类，再利用定理1。
6/27/2013 6:02 PM 第四部分：图论（授课教师：向胜军） 9
[定理3] 设有向图D=<V, E>有n个顶点，m 条边，则G中所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和，也等于m。
即：
d ( v i ) d ( v i ) m.
i 1 i 1
n
n
证明思路：利用数学归纳法。
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
10
一些特殊的简单图：
(1) 无向完全图Kn(Complete Graphs)

离散数学图论

例：把下面的m叉树改写为二叉树。
14
第七章图论
信息科学与工程学院
练习：把下面的有序树改写为二叉树。
。。。。。。。。。。知识点提示：
。。。
。。。
。
课下自学
此方法可推广至有序森林到二叉树的转换。此方法具有可逆性。
15
第七章图论
信息科学与工程学院
给定一棵2叉树T，设它有t片树叶。设v为T的一个分枝点，则v至少有一个儿子，最多有两个儿子。若v有两个儿子，在由v引出的两条边上，左边的标上0，右边的标上1；若v有一个儿子，在由v引出的边上可标上0，也
可标上1。设vi为T的任一片树叶，从树根到vi的通路
上各边的标号组成的0，1串组成的符号串放在vi处，t 片树叶处的t个符号串组成的集合为一个二元前缀码。
定义7-8.5
在根树中，科一个结点的通路长度为从树根到此结点的通路中的边学数。与分枝点的通路长度称为内部通路长度。树叶的通路长度称为外部通路长度。
工程学院
。。。。。 A 。。。。
18
第七章图论
信息科
定理7-8.2
若完全二叉树有n个分枝点，且内部通路长度总和为L，外部通路长度总和为E，则 E=L+2n。证明：
学与工程学院
对分枝点数目n进行归纳证明。
。
当n=1时，如右图所示，
L=0， E=2，
。
。
显然， E=L+2n成立。
19
第七章图论
信息科学
定理7-8.2 若完全二叉树有n个分枝点，且内部通路长度总和为L，外部通路长度总和为E，则 E=L+2n。证明：

离散数学7-1图论

图7-1.9 不同构的图
作业
P279 (1) (4)
如图7-1.6中的(a)和(b)互为补图。
[定义] 子图(subgraph) 设图G=<V,E>，如果有图G’= <V’,E’>，若有 V’ V ，E’ E，则称图G’是图G的子图。 [定义] 生成子图(spanning subgraph) 如果图G的子图G’包含G的所有结点,则称该图 G’为G的生成子图。如图7-1.8中G'和G"都是 G的生成子图。
[定义] 相对于图G的补图设图G'＝〈V',E'〉是图G＝〈V,E〉的子图,若给定另外一个图G"＝〈V",E"〉使得E"＝EE', 且 V" 中仅包含 E"的边所关联的结点。则称G"是子图G'的相对于图G的补图。
图7-1.7 (c )为(b)相对于(a)的补图
如图 7-1.7 中的图 (c) 是图 (b) 相对于图 (a) 的补图。而图 (b) 不是图 (c) 相对于图 (a) 的补图 , 因为图(b)中有结点c。在上面的一些基本概念中,一个图由一个图形表示,由于图形的结点的位置和连线长度都可任意选择 , 故一个图的图形表示并不是唯一的。下面我们讨论图的同构的概念。
表7-1.1
结点出度入度
a 2 0
b 1 1
c 0 2
d 1 1
结点出度
入度
v1 1 1
v2 0 2
v3 2 0
v4 1 1
分析本例还可以知道 , 此两图结点的度数也分别对应相等,如表7-1.1所示。
两图同构的一些必要条件: 1.结点数目相等; 3.边数相等; 3.度数相等的结点数目相等。需要指出的是这几个条件不是两个图同构的充分条件,例如图7-1.9中的(a)和(b)满足上述的三个条件,但此两个图并不同构。

离散数学——图论

2021/10/10
11
哥尼斯堡七桥问题
❖ 把四块陆地用点来表示，桥用点与点连线表示。
2021/10/10
12
❖ 欧拉将问题转化为：任何一点出发，是否存在通过每条边一次且仅一次又回到出发点的路？欧拉的结论是不存在这样的路。显然，问题的结果并不重要，最为重要的是欧拉解决这个问题的中间步骤，即抽象为图的形式来分析这个问题。
2021/10/10
2
图论的发展
❖ 图论的产生和发展经历了二百多年的历史，从1736年到19世纪中叶是图论发展的第一阶段。
❖ 第二阶段大体是从19世纪中叶到1936年，主要研究一些游戏问题：迷宫问题、博弈问题、棋盘上马的行走线路问题。
2021/10/10
3
❖ 一些图论中的著名问题如四色问题(1852年)和哈密尔顿环游世界问题(1856年)也大量出现。同时出现了以图为工具去解决其它领域中一些问题的成果。
❖ P（G）表示连通分支的个数。连通图的连通分支只有一个。
2021/10/10
40
练习题---图的连通性问题
❖ 1.若图G是不连通的，则补图是连通的。 ❖ 提示：直接证法。
根据图的不连通，假设至少有两个连通分支；任取G中两点，证明这两点是可达的。
2021/10/10
41
❖ 2.设G是有n个结点的简单图，且 |E|>(n-1)(n-2)/2，则G是连通图。
❖ 例子
2021/10/10
29
多重图与带权图
❖ 定义多重图：包含多重边的图。 ❖ 定义简单图：不包含多重边的图。 ❖ 定义有权图：具有有权边的图。 ❖ 定义无权图：无有权边的图。
2021/10/10
30

《离散数学》word版

第七章图在自然界和人类社会的实际生活中，用图形来描述和表示某些事物之间的关系既方便又直观。

例如用工艺流程图来描述某项工程中各工序之间的先后关系，用网络图来描述某通讯系统中各通讯站之间信息传递关系，用开关电路图来描述IC中各元件电路导线连接关系等等。

图论起源于18世纪，它是研究由线连成的点集的理论。

一个图中的结点表示对象，两点之间的连线表示两对象之间具有某种特定关系(先后关系、胜负关系、传递关系和连接关系等)。

事实上，任何一个包含了某种二元关系的系统都可以用图形来模拟。

由于我们感兴趣的是两对象之间是否有某种特定关系，所以图形中两点之间连接与否最重要，而连接线的曲直长短则无关紧要。

由此经数学抽象产生了图的概念。

研究图的基本概念和性质、图的理论及其应用构成了图论的主要内容。

7.1 图的基本概念7.1.1图的定义7.1.1.1无向图定义7.1.1 设A，B是任意集合。

集合{(a,b)|aA且bB}称为A和B的无序积，记为A＆B。

在无序积中，两个元素间的顺序是无关紧要的，即(a,b)＝(b,a)。

定义7.1.2 无向图G是一个二元组<V，E>，记作G＝<V，E>，其中V是一个非空有限集合，其元素称为结点(顶点)。

E是一个V＆V的多重子集，其元素称为边(无向边)。

我们可用平面上的点来表示顶点，两点间的连线表示边，从而将任一个无向图用图形表示出来。

［例7.1.1］无向图G＝<V，E>，其中V={a，b，c，d，e，f}，E={(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,b)，(b,c)，(b,c)，(b,d)，(c,d)}。

7.1.1.2有向图定义7.1.3 有向图G是一个二元组<V，E>，记作G＝<V，E>，其中V是一个非空有限集合，其元素称为顶点，E是一个V V的多重子集，其元素称为有向边或弧，简称为边。

注：1)在有向图G＝<V，E>中，若e=〈u，v〉，则称u和v为e的起点和终点；2)自回路既可看成是有向边又可看成是无向边；3)去掉有向图中边的方向得到的图称为该有向图的基图。

《离散数学之图论》课件

二分图
二分图是指一个图中的所有顶点可以被分成两个不相交的集合，即两个集合内的点之间没有边。
树
树是一种特殊的无向图，他是一个无环连通图。
图的表示
1
邻接矩阵
邻接矩阵是表示图的最直观的一种方法，它将图中的每个点与其他点之间的连接关系用一个矩阵来表示。
2
邻接表
邻接表是图中比较常见的一种数据结构，用于存储有向图或无向图中顶点的邻接关系。
Kruskal算法是一种贪心算
2 自反闭包
3 反对称闭包
在一个有向图中，如果由顶点i到顶点j有路径，由顶点j 到顶点k有路径，则从i到k也有路径。这种情况称为传递闭包。
在一个有向图中，如果自己只能到自己，则称之为自反闭包。
在一个有向图中，如果存在有向边从i到j，同时存在一个从j到i的反向边，则称之为反对称闭包。
3
关联矩阵
关联矩阵是一个图矩阵，它将图中的所有点和边都表示为元素，可以将和特定边相关的点和总结点联系起来。
图的遍历
1 深度优先遍历
深度优先遍历是从图中的起始点开始，递归地访问所有可达的顶点。它通常用堆栈来实现。
2 广度优先遍历
广度优先遍历是从图中的起始点开始访问每一层可达的顶点。它通常用队列来实现。
最短路径
Dijkstra算法
Dijkstra算法是一种用来求图中单个源点到其他所有点的最短路径的平均算法。
Floyd算法
Floyd算法是一种用于发现非负权重图中所有点对之间的最短路径的算法。
最小生成树
1
Prim算法
Prim算法用于寻找加权无向连通图的最小生
Kruskal算法
2
成树，该树包含了关键点并且保证了所有点都连通。

离散数学第七章图的基本概念

4.无向图的连通性
若无向图G中任何两顶点都连通,则称G是连通图.
对于任意的无向图G.设V1,V2,…,Vk是顶点之间连通关系的等价类,则称他们的导出子图为G的连通分支.用p(G)表示G 的连通分支数.
V1 e1
e2 e3
V3
e4 V2
V4
a
de
h
i
b
c
f
g
5.有向图的连通性
若略去有向图D中各边的键头,所得无向图是无向连通图,则称D是弱连通图(或称D是连通图).
(2) mij d (vi )(i 1,2,..., n)
j 1
mn
nm
n
(3) mij mij d(vi ) 2m
j1 i1
i1 j1
i 1
m
(4) mij 0 vi是孤立点 j 1
(5)若第j列与第k列相同, 则说明e j与ek为平行边.
2.有向图的关联矩阵
设有向图D=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em} 1, vi为ej的始点
e1,e2,e3},{e1,e2,
e2
e4},{e9}等边割集 ,e9是桥.
e3 V4
e5 e6
V5 e4
V6
e9
V7
7.3 图的矩阵表示
1.无向图的关联矩阵
设无向图G=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em}
令mij为顶点vi与ej的关联次数, 则称(mij)n×m为G的关联矩阵.记为M(G)
若Γ 满足:vi-1,vi为ei的端点(若G为有向图,vi-1是ei的始点,vi是ei的终点)i=1,2,…,k,则称Γ 为G中通路,v0,vk分别称为通路的始点和终点,Γ 中边的数目k称为通路长度.

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为方便起见，常将无序对{a,b}记为(a,b)
定义1.1 一个无向图是一个有序的二元组<V,E>，
记为G，其中
（1）Ｖ≠称为结点集，元素称为结点或顶点；
第（2）Ｅ称为边集，它是无序积V&V的多重子集，
七其元素称为无向边，简称为边。
章
图
常把无向图记为G=<V,E>
论
12/22/2019 9:31 PM
5
离例1、G1=<V,E>
散数
V＝{v0, v1, v2,v3}
学 E＝{(v0,v2),(v0,v3),(v1,v2),(v1,v3),(v2，v3)}
v0
v3
v1
第
七
章
v2
图
论
12/22/2019 9:31 PM
G1
6
离例2、
散数学
G2=<V,E> V＝{v0, v1, v2,v3}
E＝{(v0,v3),(v1,v3),(v1,v3),(v2，v3),(v0,v0)}
环
v0
v1
第七
G
v3
v2
G2
平行边
章
简单图
多重图
（图
论
不含平行边也不含环） 12/22/2019 9:31 PM7Βιβλιοθήκη 离散数学旧金山
丹佛
洛杉矶
第七章
图
论
12/22/2019 9:31 PM
底特律
芝加哥
纽约华盛顿
散数
解： K4的所有非同构的生成子图如下图所示。
学
第七章
图
论
12/22/2019 9:31 PM
33
离
二、路与回路
散
数定义2.1 设Ｇ为无向标定图，G中结点与边学的交替序列 =vi0ej1vi1ej2…ejlvil 称为 vi0 到
vil的路。vi0，vil分别称为的始点和终点，中边的条数称为它的长度。
怎样定义有向图的同构？
第七章
图
论
12/22/2019 9:31 PM
28
离
散例7、
数学
a
d
第七章
图
论
12/22/2019 9:31 PM
b

c
c' (a)
a' (b) d' (d)
b' (c)
29
离
散
数
学
1
2
6
10
7
9 8
2
5
3
第
3
4
七章
彼得松图(petersen)
图
论
12/22/2019 9:31 PM
离
散数学
一个具n有=410个顶点，每个结点m的=度45 都为6的图，
v1
有多少顶结条点边度？之和为810
e5
e1
e3 e4
v2 e2
v3
v4
定理1.1 设G=<V，E>为无向图， |V(G)|= n， |E(G)|=m，则
n
握手定理 deg(vi) 2m
第
i 1
即使出现多重边和环，这
W（G）=2
39
离设G=<V,E>为无向图
散数
(1)设eE，用G-e表示从G中去掉边e，称为删
c
d
G″´
d
G″
27
离定义1.8 设G1=<V1,E1>,G2= <V2,E2>为两个无向
散数
图，若存在一一映射
学
g： V1 V2
对于vi,vjV1，
(vi,vj)E1 当且仅当 (g(vi),g(vj))E2,
并且(vi,vj)与(g(vi),g(vj))的重数相同，
则称G1与G2是同构的，记作G1 G2
华盛顿
11
离
散数
e0
学
v1
v5
v3
孤立点
标定图
非标定图
e1 e3
v2
在无向图G=<V,E>中，若ek= （vi，vj） ∈Ｅ，则称vi，vj 为
e2 边ek的端点,
e4
ek与vi或ek与vj是彼此关联的；
(v3e，5 v4) v4
关联次数邻接点、邻接边
第七章
图
论
12/22/2019 9:31 PM
七章
边，构成一个无向重图，问题化为图论中简单道路
的问题。
图
论
12/22/2019 9:31 PM
3
离一、图的基本概念
散数学
旧金山
丹佛
洛杉矶
第七章
图
论
12/22/2019 9:31 PM
底特律
芝加哥
纽约华盛顿
4
离
散设A、B是两个集合，称
数
学
A&B={{a,b}|aA, bB}
为A与B的无序积。
35
有向图中，路、回路等概念与无向图类似
离
散
b
数
学
e1
e4
a
e2
d
e5 e3
c
（ｅ，ｅ，ｅ，ｅ，ｅ）是迹，不是通路，因
5
1
2
3
4
第为（ｃ，ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｂ）中ｂ，ｃ均出现了
七章
两次。（c，d，b，c）是圈。
图
论
12/22/2019 9:31 PM
36
离
散
数学
定理2.1 在n阶图中，若从结点vi到vj（vivj）存在一条路，则从vi到vj存在长度不大于n-1的路。
a e
b c 图G d
a
b e
c d
图 G3
23
离散数学
k4
G
第七章
图
论
12/22/2019 9:31 PM
G
24
离定义1.6 设G=<V,E>，G’= <V’,E’>为两个图，
散数
若V’ V且E’ E，则称Ｇ’为Ｇ的子图，G为
学 G’的母图，记作Ｇ’Ｇ；
又若V’V或E’ E，则称Ｇ’为Ｇ的真子图。
第
任意一个连通无向图的任两个不同结
七点都存在一条通路。
章
图
论
12/22/2019 9:31 PM
38
离
非连通图Ｇ可分为几个不相连通的子图，
散每一子图本身都是连通的。称这几个子图为
数学
Ｇ的连通分支,G的连通分支数记为W（G）。
k4
B A
第
七
W（G）=1
章
图
论
12/22/2019 9:31 PM
viV1
viV2
偶数
e1 v1
偶数 v2
偶数
第七章
e3
e2
e4
因此|V2 |为偶数
图
v3
v4
论
12/22/2019 9:31 PM
18
离例4、已知无向图G中结点数n与边数m相等，2度
散数学
结点与3度结点各2个，其余结点的度数均为1，试求G的边数m。
解：由握手定理
n
2m deg(vi) =22+ 32+ 1(n-4)
推论在n阶图中，若从结点vi到vj（vivj）存在一条路，则从vi到vj存在长度小于n的通路。
第七章
图
论
12/22/2019 9:31 PM
37
离
散数
定义2.2
设无向图Ｇ＝<Ｖ，Ｅ>， u,vＶ，若
学 u,v之间存在路，则称u,v是连通的，记作uv 。
定义2.3 设无向图Ｇ是平凡图或G中任何两个结点都是连通的，则称G为连通图，否则称G为非连通图或分离图。
1
5
6
10 7 8
9
4
30
离散数学

第七章
图
论
12/22/2019 9:31 PM
31
离散数学
两个图同构必有：（1）结点数相同；
但不是充分条件
（满足这三个条件的两图不一定同构）
第（2）边数相同；
七
章（3）度数列相同
图
论
12/22/2019 9:31 PM
32
离例8、画出K4的所有非同构的生成子图。
v3
章图
degv+3 (v1)=3
degv+4(v2)= deg+(v4)=1 dve2g+(v3)=0
论 ddeegg-1((2vv/2112/))2==019dd9e:3eg1gP(M-v(4v)2=)=2ddeegg-((vv42))==1deg(dve3g)=-(3v3)=2
14
离散数
学
定义1.5 设Ｇ＝<Ｖ，Ｅ>为n阶无向简单图，以V为结点集，以所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为Ｇ的相对于完全图的补图，记作 G
第
七
章
图
k4
G
论
12/22/2019 9:31 PM
G
22
离
图 K5 a
散
数
学
b
e
c
d
a
b
e
第
七
c
d
章
图 G1
图
论
12/22/2019 9:31 PM

离散数学-第七章-图论