【高中数学专项突破】专题25 对数的概念及运算(含答案)
新教材高中数学课后落实24对数的概念含解析北师大版必修第一册
对数的概念(建议用时：40分钟)一、选择题1．将⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9写成对数式，正确的是( ) A ．log 913＝－2B ．log 13 9＝－2C ．log 13(－2)＝9D ．log 9(－2)＝13B [根据对数的定义，得log 13 9＝－2.]2．已知log a 3＝2log 21，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．8D ．9B [∵2log 21＝1，∴log a 3＝1，∴a ＝3.]3．已知log x 8＝3，则x 的值为( ) A ．12 B ．2 C ．3D ．4B [由定义知x 3＝8，所以x ＝2.] 4．方程2log 3x ＝14的解是( ) A ．x ＝19B ．x ＝33C ．x ＝ 3D ．x ＝9A [∵2log 3x ＝14＝2－2， ∴log 3x ＝－2， ∴x ＝3－2＝19.]5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2log 3x 2－1，x ≥2则f (f (2))的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3C [∵f (2)＝log 3(22－1)＝log 33＝1， ∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2×e 0＝2.]二、填空题6．方程log 3(2x －1)＝1的解为x ＝________.2 [原方程同解于log 3(2x －1)＝log 33，所以2x －1＝3，x ＝2.] 7．log 6[log 4(log 381)]＝________.0 [原式＝log 6[log 4(log 334)]＝log 6(log 44)＝log 61＝0.] 8．若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n＝________.12 [∵log a 2＝m ，log a 3＝n ， ∴a m ＝2，a n＝3. ∴a2m ＋n＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.]三、解答题9．求下列各式中的x .(1)log 2(log 5x )＝1；(2)log x 8＝34.[解] (1)由log 2(log 5x )＝1得log 5x ＝2， ∴x ＝25.(2)由log x 8＝34得x ＝8，∴x ＝8，即x ＝(23)， ∴x ＝24＝16.10．已知log 189＝a ，log 1854＝b ，求182a －b的值．[解] ∵log 189＝a ，log 1854＝b ， ∴18a ＝9,18b＝54， ∴182a －b＝182a 18b ＝9254＝32.11．(多选)下列指数式与对数式互化正确的有( ) A ．e 0＝1与ln 1＝0 B ．log 39＝2与9＝3 C ．8＝12与log 812＝－13D ．log 77＝1与71＝7ACD [log 39＝2化为指数式为32＝9，故B 错误，ACD 正确．] 12．已知f (2x＋1)＝x3，则f (4)＝( )A ．13log 25 B ．13log 23 C ．23D ．43B [令2x＋1＝4，得x ＝log 23，所以f (4)＝13log 23.]13．利用对数恒等式alog aN＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．计算：14．已知log 2(log 3(log 4x ))＝0，且log 4(log 2y )＝1.则x ·y 的值为________． 64 [∵log 2(log 3(log 4x ))＝0， ∴log 3(log 4x )＝1， ∴log 4x ＝3， ∴x ＝43＝64.由log 4(log 2y )＝1，知log 2y ＝4， ∴y ＝24＝16.因此x ·y ＝64×16＝8×8＝64.]15．已知log a b ＝log b a (a >0且a ≠1；b >0且b ≠1)，求证：a ＝b 或a ＝1b.[证明] 设log a b ＝log b a ＝k ，则b ＝a k ，a ＝b k， ∴b ＝(b k )k ＝bk 2. ∵b >0且b ≠1， ∴k 2＝1，即k ＝±1.当k ＝－1时，a ＝1b；当k ＝1时，a ＝b . ∴a ＝b 或a ＝1b.。
对数知识点归纳总结高中
对数知识点归纳总结高中一、对数的基本概念1. 指数指数是用来表示一个数的乘方的指数。
对数与指数是互为逆运算的。
如果a的x次方等于b，那么x就是以a为底b的对数，记作x=logab。
其中，a被称为对数的底，b被称为真数，x被称为指数。
2. 对数的性质对数的性质包括：（1）对数的基本定义：loga1=0, logaa=1（2）对数的唯一性：对于任意的a>0，且a≠1，b>0，b>0且b≠1，则a的对数是唯一的。
（3）对数的运算性质：logab+logac=loga(bc)，logab-logac=loga(b/c)，nlogab=loga(b^n)。
3. 对数的运算对数可以进行加法、减法、乘法和除法运算，其中乘方运算是对数最基本的运算。
对数的运算基于对数的定义和性质。
通过对数的运算，可以简化复杂的乘方运算，进而求解各种数学问题。
4. 对数的换底公式对数的换底公式是指当对数的底不同时，如何求解两个底不同的对数之间的关系。
对数换底公式为：logab=logcb/logca。
5. 对数方程对数方程是指方程中包含对数的运算。
通过对数方程的变形和化简，可以求解出未知数的值。
对数方程在实际问题中有着广泛的应用，如生物学、物理学和经济学等领域。
6. 对数不等式对数不等式是指包含对数的不等式。
对数不等式可以通过对数的性质和运算来进行求解。
对数不等式在数学推导和应用问题中有着重要的作用。
二、常用对数1. 自然对数自然对数是以常数e（约等于2.71828）为底的对数。
自然对数在数学和物理中有着广泛的应用，如求解指数函数、微积分和概率统计等问题。
2. 常用对数常用对数是以10为底的对数。
常用对数在数学、工程和科学中常常用到，方便计算和表述。
3. 底为2的对数底为2的对数在计算机和信息技术领域有着特殊的应用，如计算机存储容量的衡量、数据压缩和信息传输等方面。
三、对数的应用1. 对数函数对数函数是指以对数形式表达的函数。
高中数学复习：对数的概念及运算练习及答案
高中数学复习：对数的概念及运算练习及答案题组1 对数的概念1.在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A.a >5或a <2 B.2<a <3或3<a <5 C.2<a <5D.3<a <42.使对数log (21)a a -+有意义的a 的取值范围为( ) A.12a >且1a ≠ B.102a <<C.0a >且1a ≠D.12a <3.使对数()log 21a a -+有意义的a 的取值范围为（ ）A.()1,11,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()()0,11,+∞D.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭对数式与指数式的互化4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A.01e =与ln10=B.13182-=与811log 23=-C.3log 92=与1293= D.7log 71=与177=5.若1log 2m n =，则下列各式正确的是（ ） A.12n m =B.2m n =C.2n m =D.2n m =6.将指数式bc a N =转化为对数式，其中正确的是（ ） A.log ca b N = B.log ab c N =C.log c a b N =D.log ba c N =7.若log xz =，则（ ）A.7zy x =B.7zy x =C.7zy x =D.7xy z=8.若实数a ，b 满足3412a b ==，则11a b+=（ ） A.12B.15C.16D.19.将下列指数式改为对数式： （1）2139-=，对数式为_____________；（2）128=___________； （3）3481x -=，对数式为_____________； （4）9x e =，对数式为_____________.10.根据指数式与对数式的相互转化，由lg1002=得到的指数式为___________11.已知()12409a a =>，则23log a = __________ . 12.设,,x y z R +∈，满足236x y z ==，则112x z y+-的最小值为__________. 13.将下列对数式改写成指数式：（1）2log 646=； （2）31log 481=-； （3）l g0.0013=-； （4）12log 42=-.对数的运算 14.设25a b m ==，且112a b+=，则m =（ ）B.10C.20D.10015.设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A.m n m n mn ->+> B.m n mn m n ->>+C.m n m n mn +>->D.mn m n m n >->+16.若235log log log 1x y z ==<-，则（ ） A.235x y z <<B.532z y x <<C.325y x z <<D.523z x y <<17.已知0a >，0b >，8ab =，则22log log a b ⋅的最大值为（ ）A.32B.94C.4D.818.如果方程2lg (lg 2lg 3)lg lg 2lg 30x x +++=的两根为1x 、2x ，则12x x 的值为（ ） A.lg 2lg3 B.lg 2lg3+C.16D.6-19.化简计算：（1）0160.25361.587-⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭（2）lg5lg 20lg 2lg50lg 25⋅-⋅-.20.下列结论正确的是____________ ①1()2(0,1)x f x aa a -=+>≠的图像经过定点(1,3)；②已知28log 3,43yx ==，则2x y +的值为3； ③若3()6f x x ax =+-，且(2)6f -=，则(2)18f =；④11()()122x f x x =--为偶函数； ⑤已知集合{}{}1,1,|1A B x mx =-==；且B A ⊆，则m 的值为1或-1.21.1051lg 2lg 2222-⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭______. 22.已知4log 9a =，2log 5b =，则22a b +=_________. 23.已知1a b >>，若10log log 3a b b a +=，b a a b =，则+a b = .24.已知a ＝2020log b ＝2019log c ＝201912020，则__.（比较大小）25.若幂函数()()257mf x m m x =-+在R 上为增函数,1log2log2lg 5lg 4mmm++=____________.答案1.在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A.a >5或a <2 B.2<a <3或3<a <5 C.2<a <5 D.3<a <4【答案】B【解析】由对数的定义知505202213a a a a a a -><⎧⎧⎪⎪->⇒>⎨⎨⎪⎪-≠≠⎩⎩所以2<a <3或3<a <5.选B.2.使对数log (21)a a -+有意义的a 的取值范围为( ) A.12a >且1a ≠ B.102a <<C.0a >且1a ≠D.12a <【答案】B【解析】要使对数有意义，则21001a a a -+>⎧⎪>⎨⎪≠⎩，解得102a <<， 故选：B.3.使对数()log 21a a -+有意义的a 的取值范围为（ ）A.()1,11,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()()0,11,+∞D.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】使对数()log 21a a -+有意义的a 需满足01210a a a >⎧⎪≠⎨⎪-+>⎩,解得102a <<. 故选B.4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）A.01e =与ln10=B.13182-=与811log 23=-C.3log 92=与1293= D.7log 71=与177=【答案】C【解析】01ln10e =⇔=，故A 正确；13182-=⇔811log 23=-，故B 正确；23log 9239=⇒=，129193log 32=⇒=，故C 不正确； 17log 7177=⇔=，故D 正确.故选：C . 5.若1log 2m n =，则下列各式正确的是（ ） A.12n m =B.2m n =C.2n m =D.2n m =【答案】B【解析】由log a b c =得c a b =，从而由1log 2m n =可知12m n =，即2m n =. 故选:B.6.将指数式bc a N =转化为对数式，其中正确的是（ ） A.log ca b N = B.log ab c N =C.log c a b N =D.log ba c N =【答案】C 【解析】()bbc c a a N ==，则log c a b N =，()b cbc a a N ==，则log b a c N =.故选：C.7.若log xz =，则（ ）A.7zy x = B.7zy x =C.7zy x =D.7xy z=【答案】B【解析】由指数与对数的转化,可得log x z =则z x =即7zy x = 故选:B8.若实数a ，b 满足3412a b ==，则11a b+=（ ） A.12B.15C.16D.1【答案】D【解析】因为3412a b ==，所以34log 12,log 12a b ==，121212341111log 3log 4log 1211212a b log log +=+=+==. 故选D.9.将下列指数式改为对数式： （1）2139-=，对数式为_____________； （2）128=___________； （3）3481x -=，对数式为_____________；（4）9x e =，对数式为_____________.【答案】31log 29=-81log 2= 813log 4=-x ln9=x【解析】(1) 利用互化公式可得，2139-=31log 29⇔=-.(2)利用互化公式可得，128=81log 2⇔=(3) 利用互化公式可得，3481x -=813log 4x ⇔=-(4) 利用互化公式可得，9x e =ln9x ⇔=. 故答案为: 31log 29=-；81log 2=；813log 4=-x ；ln9=x .10.根据指数式与对数式的相互转化，由lg1002=得到的指数式为___________ 【答案】210100=【解析】由指数式与对数式的相互转化关系：log (0,1)xa a N x N a a =⇔=≠＞，可得lg1002=得到的指数式为：210100=， 故答案为：210100=. 11.已知()12409a a =>，则23log a = __________ . 【答案】4【解析】2124293a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴423a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴23log 4a =.故答案为：4.12.设,,x y z R +∈，满足236x y z ==，则112x z y+-的最小值为__________.【答案】【解析】,,x y z R +∈，令1236x y z t ==>=， 则236log ,log ,log ,x t y t z t ===11log 3,log 6t t y z==，21122log log 2t x t z y+-=+≥当且仅当2x =时等号成立.故答案为:13.将下列对数式改写成指数式：（1）2log 646=； （2）31log 481=-； （3）l g0.0013=-； （4）12log 42=-.【答案】（1）6264=；（2）41381-=；（3）3100.001-=；（4）2142-⎛⎫= ⎪⎝⎭. 【解析】（1）62log 646264=⇔=. （2）4311log 438181-=-⇔=. （3）3l g0.0013100.001-=-⇔=.（4）2121log 4242-⎛⎫=-⇔= ⎪⎝⎭.14.设25a b m ==，且112a b+=，则m =（ ） A.10 B.10C.20D.100【答案】A【解析】因为25a b m ==， 所以25log ,log a m b m ==， 所以11log 2log 5log 102m m m a b+=+==， 210m ∴=，又0m >，∴10m =.故选：A15.设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A.m n m n mn ->+> B.m n mn m n ->>+C.m n m n mn +>->D.mn m n m n >->+【答案】A【解析】0.30.3log 0.6log 10m =>=,2211log 0.6log 1022n =<=,则0mn < ()()20m n m n n --+=->,m n m n ∴->+0.60.60.60.611log 0.3log 4log 1.2log 0.61m n+=+=<= m n mn ∴+>故选:A.16.若235log log log 1x y z ==<-，则（ ） A.235x y z << B.532z y x <<C.325y x z <<D.523z x y <<【答案】B 【解析】235log log log 1x y z ==<-∴设235log log log k x y z ===，则1k <-，则2,3,5k k kx y z === 则11122,33,55k k k x y z +++===设函数()1k f t t+=，1,10k k <-∴+<()f t ∴在()0,t ∈+∞单调递减 ()()()532f f f <<即111532k k k +++<<，因此532z y x << 故选B 项.17.已知0a >，0b >，8ab =，则22log log a b ⋅的最大值为（ ） A.32B.94C.4D.8【答案】B【解析】0a >，0b >，8ab =， 则22log log a b 222(log 8log )log b b =- 22(3log )log b b =-2223log (log )b b =- 22939log 424b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.当且仅当322b =时，函数取得最大值94. 故选：B.18.如果方程2lg (lg 2lg 3)lg lg 2lg 30x x +++=的两根为1x 、2x ，则12x x 的值为（ ）A.lg 2lg3B.lg 2lg3+C.16D.6-【答案】C【解析】由题意1lg x 、2lg x 是关于t 的方程2lg 6lg 2lg 30t t +⋅+=的两根， ∴()12121lg lg lg lg 6lg 6x x x x =+=-=，∴1216x x =， 故选：C. 19.化简计算：（1）0160.25361.587-⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭（2）lg5lg 20lg 2lg50lg 25⋅-⋅-. 【答案】（1）110；（2）-1 【解析】（1）原式113133234432222323-⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113322210833⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭110=（2）原式()()22lg5lg 25lg 2lg 510lg5=⨯⨯-⋅⨯-()()lg52lg2lg5lg2lg512lg5=⨯+-⋅+-()22lg 2lg5lg5lg 2lg5lg 22lg5=⋅+-⋅-- ()()2lg 2lg5lg5lg 2lg5lg5=⋅+-+-()lg5lg2lg51lg5=⋅+--lg51lg51=--=-20.下列结论正确的是____________ ①1()2(0,1)x f x aa a -=+>≠的图像经过定点(1,3)；②已知28log 3,43yx ==，则2x y +的值为3； ③若3()6f x x ax =+-，且(2)6f -=，则(2)18f =；④11()()122x f x x =--为偶函数； ⑤已知集合{}{}1,1,|1A B x mx =-==；且B A ⊆，则m 的值为1或-1.【答案】①②④【解析】①当1x =时，f （1）02123a =+=+=，则函数的图象经过定点(1,3)；故①正确，②已知2log 3x =，843y=，则2823y =，282log 3y =， 则2222882log 3log log (3)log 8333x y +=+=⨯==；故②正确， ③若3()6f x x ax =+-，且(2)6f -=，则32266a ---=，即10a =-，则f （2）32210618=-⨯-=-，故③错误；④函数的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，1112()()?1222(12)xx x f x x x +=-=--， 则122112()?··()2(12)2(21)2(12)x x xx x x f x x x x f x --+++-=-=-==---， 即()f x 为偶函数，故④正确，⑤已知集合{1A =-，1}，{|1}B x mx ==，且B A ⊆，当0m =时，B =∅，也满足条件，故⑤错误， 故正确的是①②④，故答案为：①②④ 21.1051lg 2lg 2222-⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭______. 【答案】0 【解析】1025155lg 2lg 22lg lg 221lg(4)102222-⎛⎫+-+=+-+=⨯-= ⎪⎝⎭. 故答案为：0.22.已知4log 9a =，2log 5b =，则22a b +=_________.【答案】45.【解析】根据对数的运算性质，可得422log 9log 3,log 5a b ===，则22log 3log 5223,225a b ====，所以()2222223545a b a b +=⋅=⨯=.23.已知1a b >>，若10log log 3a b b a +=，b a a b =，则+a b = .【答案】【解析】因为1a b >>，所以log 1b a >，又10log log 3a b b a +=， 110log log 3b b a a +=，整理得2103(log )10log 3,3b b a a -+= 解得log 3b a =或1log 3b a =（舍去） 因此3a b =，因为b a a b =，所以33b b b b =，33,1,b b b b a =>∴==a b +=24.已知a ＝2020log b ＝2019log c ＝201912020，则__.（比较大小） 【答案】c ＞b ＞a【解析】因为c ＝201912020＞1，a ＝2020log 202011log 201922<，b ＝2019log 20191log 20202∈（12，1），∴c ＞b ＞a ， 故答案为：c ＞b ＞a 25.若幂函数()()257m f x m m x =-+在R 上为增函数,则1log2log 2lg 5lg 4m m m++=____________ . 【答案】4【解析】()()257m f x m m x =-+在R 上为增函数， 25710m m m ⎧-+=∴⎨>⎩，解得3m =，1log2log 2lg 5lg 4m m m∴++31log 23log lg 25lg 43=++ 3231log 3lg1002=++ 312422=++=，故答案为4.。
对数及其运算基础知识及例题
对数及其运算基础知识及例题1、定义：对数是指用一个数b（b>0且不等于1）作为底数，将一个正数a表示成幂b的指数的形式，即a=b^x（x为实数），则x称为以b为底a的对数，记作logb a。
2、性质：①logb 1=0（b>0且不等于1）②logb b=1（b>0且不等于1）③logb (mn)=logb m+logb n（m>0，n>0，b>0且不等于1）④logb (m/n)=logb m-logb n（m>0，n>0，b>0且不等于1）⑤logb m^k=klogb m（m>0，b>0且不等于1，k为任意实数）3、对数的运算性质：①logb (mn)=logb m+logb n②logb (m/n)=logb m-logb n③logb m^k=klogb m④logb (a^k)=klogb a⑤logb a=logc a/logc b（b>0，且不等于1，c>0，且不等于1）4、换底公式：XXX b（b>0，且不等于1，c>0，且不等于1）5、对数的其他运算性质：①logb a=logb c，则a=c②logb a=logc a/logc b=logd a/logd b6、常用对数和自然对数：常用对数：以10为底数的对数，记作XXX。
自然对数：以自然常数e（e≈2.）为底数的对数，记作ln。
典型例题】类型一、对数的概念例1.求下列各式中x的取值范围：1）log2(x-5)≥0；（2）log(x-1)-log(x+2)0.改写为：1）x≥5；2）x>1且x<2；3）x>1且x1且x>1.类型二、指数式与对数式互化及其应用例2.将下列指数式与对数式互化：1)log2 16=4；(2)log1/27=-3；(3)log3 1/2= -1/log2 3；(4)53=125；(5)2^-1=1/2；(6)(1/3)^x=9.改写为：1)2^4=16；2)1/27=3^-3；3)3^-1/2=2/log2 3；4)5^3=125；5)2^-1=1/2；6)x=log(1/3)9/log(1/3)2.类型三、利用对数恒等式化简求值1+log5 77=log5 500.类型四、积、商、幂的对数例4.用loga x,loga y,loga z表示下列各式：1)loga (xy/z)=loga x+loga y-loga z；2)loga (xy)=loga x+loga y；3)loga (x^2/y^3z)=2loga x-3loga y-loga z；4)loga (x^2y^3/z)=2loga x+3loga y-loga z。
高一 对数与对数函数知识点+例题+练习 含答案
1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝nm log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0)．(2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性 质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当0<x <1时，y <0 (4)当x >1时，y >0 当0<x <1时，y >0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线__y ＝x __对称． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( × )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( × )(4)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (5)函数y ＝ln 1＋x 1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ )1．(2015·湖南改编)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则有关f (x )的性质判断正确的是________(填序号)．①奇函数，且在(0,1)上是增函数； ②奇函数，且在(0,1)上是减函数； ③偶函数，且在(0,1)上是增函数； ④偶函数，且在(0,1)上是减函数． 答案 ①解析 易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0,1)上是增函数．2．设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <b <a解析 ∵a ＝log 1312＝log 32，b ＝log 1323＝log 332，c ＝log 343.log 3x 是定义域上的增函数，2>32>43，∴c <b <a .3．函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是________．(填图象序号)答案 ②解析 由函数f (x )＝lg(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R .又当x >1时，函数单调递增，所以只有②正确．4．(2015·浙江)若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 答案4 33解析 2a＋2－a ＝4log 32＋4log 32－＝3log log 322＋＝3＋33＝4 33. 5．(教材改编)若log a 34<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 解析 当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞).题型一 对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________.(2)lg 5＋lg 20的值是________． 答案 (1)10 (2)1解析 (1)∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.(2)原式＝lg 100＝lg 10＝1.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算．(1)计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.(2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝________. 答案 (1)1 (2)12 解析 (1)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋(1－log 63)(1＋log 63)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.(2)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是________．(填序号)(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是____________．答案 (1)③ (2)(22，1) 解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除①、②； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除④.故③正确．(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图象， 可知f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12， 即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1. 思维升华 应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(1)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是____________． 答案 (1)② (2)(10,12)解析 (1)∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∵g (x )＝－log b x 的定义域是(0，＋∞)，故排除①. 若a >1，则0<b <1，此时f (x )＝a x 是增函数，g (x )＝－log b x 是增函数，②符合，排除④.若0<a <1，则b >1，g (x )＝－log b x 是减函数，排除③，故填②.(2)作出f (x )的大致图象(图略)．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6，∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c .由图知10<c <12，∴abc ∈(10,12)．题型三 对数函数的性质及应用命题点1 比较对数值的大小例3 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系为__________． 答案 a >b >c解析 由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c . 命题点2 解对数不等式例4 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是__________． 答案 (12，1)解析 由题意得a >0，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，所以a >12.综上，a ∈(12，1)．命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为__________． (3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是__________________．答案 (1)c >a >b (2)[1,2) (3)(－1,0)∪(1，＋∞) 解析 (1)∵3<2<3,1<2<5，3>2，∴log 33<log 32<log 33，log 51<log 52<log 55，log 23>log 22， ∴12<a <1,0<b <12，c >1，∴c >a >b . (2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12(－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.2．比较指数式、对数式的大小典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是__________． (2)设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(3)已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5，＝，＝，＝a b c 则a ，b ，c 大小关系为__________．思维点拨 (1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或比商法确定a ，b 的大小关系，然后利用中间值比较a ，c 大小．(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c 比较．(3)化为同底的指数式．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性， 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1.所以b <a <c . (2)∵a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝log 12π＝log 21π<log 21＝0,0<c ＝1π2<1，∴b <c <a .(3)c ＝(15)3log 0.3＝53log 0.3－＝5310log 3.方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示．由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x 为增函数， ∴52log 3.4>5310log 3>54log 3.6.即52log 3.4>(15)3log 0.3 >54log 3.6，故a >c >b . 答案 (1)b <a <c (2)a >c >b (3)a >c >b温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.[方法与技巧]1．对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0. 2．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定． [失误与防范]1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x 12-＝________.答案24解析 由条件知，log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3， ∴x ＝8，∴x12-＝24. 2．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 12-，则x ，y ，z 的大小关系为____________．答案 y <z <x解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1. ∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e12-＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1， x ≤0，log 2x ， x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是__________．答案 (－1,0]∪(2，＋∞)解析 当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，综上所述：－1<x ≤0或x >2.4．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是__________． 答案 (－1,0)解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1,1)． 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0. 5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝________.答案 －1解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝－(224log 5＋15)＝－1. 6．(2015·安徽)lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝________. 答案 －1解析 lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2 ＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4－2＝1－2＝－1.7．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f (12)log 2x ，则f (2)＝_____________________. 答案 32解析 由已知得f (12)＝1－f (12)·log 22，则f (12)＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32.8．(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是_____________________________________．答案 (1,2]解析 由题意f (x )的图象如右图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2. 9．已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解 函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )是由函数y ＝log 12t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数y ＝log 12t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a 2)上单调递减，又因为函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a 2，(2)2－2a ＋a ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥22，a ≤2(2＋1)，即22≤a ≤2(2＋1)．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．(2015·陕西改编)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则p 、q 、r 的大小关系是____________．答案 p ＝r <q解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ， 又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ， 故p ＝r ＜q .12．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则f ⎝⎛⎭⎫13，f ⎝⎛⎭⎫12，f (2)的大小关系是______________．答案 f (12)<f (13)<f (2) 解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|， ∴f (12)<f (13)<f (2)． 13．若函数f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)在区间(m ，m ＋1)上是增函数，则m 的取值范围是__________． 答案 [1,3]解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤4，－m 2＋8m －7≥0，解得1≤m ≤3， 所以答案应填[1,3]．14．已知函数f (x )＝ln x 1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b ＝0， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14， 又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝⎛⎭⎫a －122＋14<14. 15．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2) ＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13， 此时f (x )取得最小值时，x ＝1332(2)＝--2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f(x)取得最小值时，x＝(12)32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a＝12.。
对数及其运算(附答案)
3.2 对数与对数函数3．2.1 对数及其运算知识点一：对数的概念1．若对数log (x －1)(4x －5)有意义，则x 的取值范围是A.54≤x<2B.52<x<2 C.54<x<2或x>2 D ．2≤x≤3 2．若log x 7y ＝z ，则A ．y 7＝x zB ．y ＝x 7zC ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x3．lg10＋lg100＋lg1 000等于A ．10B ．100C ．1 000D ．6 知识点二：积、商、幂的对数4．若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y ，下列式子中正确的个数是①log a x·log a y ＝log a (x ＋y)②log a x －log a y ＝log a (x －y)③log a x y＝log a x÷log a y ④log a xy ＝log a x·log a yA ．0B ．1C ．2D ．35．lg8＋3lg5的值为A ．－3B ．－1C ．1D ．36．若x·log 34＝1，则4x ＋4－x 等于A.103 B ．6 C.83 D.163 7．若lg(x －y)＋lg(x ＋2y)＝lg2＋lgx ＋lgy ，则x y＝__________. 8．lg20＋log 10025＝__________.知识点三：换底公式9．若log a b·log 3a ＝5，则b 等于A ．a 3B ．a 5C ．35D ．5310．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________.11.log 23log 89·e ln1的值是__________． 12．已知log 189＝a,18b＝5，求log 3645.(用含a ，b 的式子表示)能力点一：对数的运算13．计算2log 525＋3log 264－8log 71等于A ．14B ．220C ．8D ．2214．若a>0且a≠1，则满足a x ＝lg0.3的x 值有A ．0个B ．1个C ．3个D ．无穷多个15．设5lgx ＝25，则x 的值为A ．10B ．±10C ．100D ．±10016．log (2－1)(3＋22)＝__________. 17．求log 52·log 79log 513·log 734＋log 2(3＋5－3－5)的值． 18．化简：lg3＋25lg9＋35lg 27－lg 3lg81－lg27.能力点二：对数与方程、对数与不等式的综合19．如果方程lg 2x ＋(lg2＋lg3)lgx ＋lg2·lg3＝0的两根为lgx 1、lgx 2，那么x 1·x 2的值为A ．lg2·lg3B ．lg2＋lg3 C.16D ．－6 20．若log (1－x)(1＋x)2＝1，则x ＝__________. 21．如果lgx ＋lgy lgx ＋lgx ＋lgy lgy ＋[lg x－y ]2lgx·lgy ＝0，求x ，y 及log 2(xy)的值．22.比较a ＝log 123，b ＝(13)0.2，c ＝213的大小．23．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z,2x ＝py.(1)求p ；(2)证明1z －1x ＝12y.24．设log a c ，log b c 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a b c 的值．答案与解析基础巩固1．C 2.B 3.D 4.A5．D 原式＝lg8＋lg53＝lg(8×53)＝lg1 000＝lg103＝3.6．A ∵x＝1log 34＝log 43， ∴4x ＋4－x ＝4log 43＋4－log 43＝3＋13＝103. 7．28．2 原式＝lg20＋log 10252＝lg20＋lg5＝lg100＝lg102＝2.9．C 由换底公式，得lgb lga ·lga lg3＝lgb lg3＝log 3b ＝5， ∴b＝35.10．9 11.3212．解：∵18b ＝5，∴b＝log 185.∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 185＋log 189log 1818＋log 182 ＝a ＋b 1＋log 1818－log 189＝a ＋b 2－a . ∴log 3645＝a ＋b 2－a. 能力提升13．D14．A 设lg0.3＝t ，则10t ＝0.3<1.∵t<0，即a x <0，∴不存在x 的值使a x ＝lg0.3.15．C16．－2 原式＝log (2－1)(2＋1)2 ＝2log (2－1)(2＋1)＝2log (2－1)12－1＝2log (2－1)(2－1)－1＝－2.17．解：原式＝12·2log 52·log 73 －log 53 ·23·log 72＋log 4(3＋5－3－5)2＝(－12log 32)·3log 23＋log 42 ＝－32＋12＝－1. 18．解：方法一：原式＝lg3＋45lg3＋910lg3－12lg34lg3－3lg3＝ 1＋45＋910－12 lg3 4－3 lg3＝115. 方法二(逆用公式)：原式＝lg 3×925×2712×35×3－12 lg 8127＝lg3115lg3＝115. 19．C 由已知，得lgx 1＋lgx 2＝－(lg2＋lg3)＝lg 16. ∴lgx 1＋lgx 2＝lgx 1x 2＝lg 16. ∴x 1x 2＝16. 20．－3 x 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x≠－1，1－x>0，1－x≠1， 1＋x 2＝1－x ，解得x ＝－3.21．解：去分母，得lgy(lgx ＋lgy)＋lgx(lgx ＋lgy)＋[lg(x －y)]2＝0，即(lgx ＋lgy)2＋[lg(x －y)]2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ lgx ＋lgy ＝0，lg x－y ＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，x －y ＝1.∴x，－y 是方程t 2－t －1＝0的两个实根．又x ，y>0，且x≠1，y≠1，x>y ， ∴x＝5＋12，y ＝5－12. ∴log 2(xy)＝log 21＝0.22．解：由指数函数y ＝(13)x 及y ＝2x 的性质可知， b ＝(13)0.2∈(0,1)， c ＝213∈(1，＋∞)， ∴c>b.由对数的定义知，(12)a ＝3， 由函数y ＝(12)x 的性质知，a<0. 综上知，c>b>a.拓展探究23．解：(1)设3x ＝4y ＝6z ＝k(显然k>0且k≠1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k.由2x ＝py 2log 3k ＝plog 4k ＝p·log 3k log 34， 又log 3k≠0，∴p＝2log 34.(2)证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12y. ∴1z －1x ＝12y. 24．解：∵log a c ，log b c 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ log a c ＋log b c ＝3，log a c·log b c ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1log c a ＋1log c b ＝3，log c a·log c b ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧log c a ＋log c b ＝3，log c a·log c b ＝1. ∴log a b c ＝1log c a b＝1log c a －log c b ＝1± log c a ＋log c b 2－4log c a ·log c b ＝1±5＝±55.。
对数的概念及练习(带解析)
4．3对数4．3.1对数的概念1．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是a>0，且a≠1．2．常用对数与自然对数3．对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)log a1＝0(a>0，且a≠1)．(3)log a a＝1(a>0，且a≠1)．1．log b N＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是() A．a b＝N B．b a＝N C．a N＝b D．b N＝aB解析：因为log b N＝a，所以b a＝N.2．若a2＝M(a>0，且a≠1)，则有()A．log2M＝a B．log a M＝2 C．log22＝M D．log2a＝M B解析：∵a2＝M，∴log a M＝2.3．若log3x＝3，则x＝()A．1 B．3C．9 D．27D 解析：∵log 3x ＝3，∴x ＝33＝27. 4．ln 1＝________，lg 10＝________．0 1 解析：∵log a 1＝0，∴ln 1＝0.又log a a ＝1，∴lg 10＝1. 5．已知log x 16＝2，则x ＝________．4 解析：因为log x 16＝2，所以x 2＝16，所以x ＝±4.又x >0，且x ≠1，所以x ＝4.【例1】(1)对数式log (x －2)(x ＋2)中实数x 的取值范围是________． (2)已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________.(1)(2，3)∪(3，＋∞) (2)10 解析：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x －2>0，x －2≠1，解得x >2，且x ≠3，所以实数x 的取值范围是(2，3)∪(3，＋∞)．(2)因为4a ＝2，所以a ＝12.又lg x ＝a ，所以x ＝10a ＝10.指数式与对数式互化的方法(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式．(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．将下列指数式与对数式互化： (1)log 216＝4；(2)log 1327＝－3；(3)log 3x ＝6；(4)43＝64； (5)3－2＝19；(6)⎝⎛⎭⎫14－2＝16.解：(1)24＝16.(2)⎝⎛⎭⎫13－3＝27. (3)(3)6＝x . (4)log 464＝3. (5)log 319＝－2.(6)log 1416＝－2.【例2】求下列各式中的x 的值． (1)log x 27＝32；(2)log 2x ＝－23；(3)x ＝log 2719；(4)x ＝log 1216.解：(1)由log x 27＝32，可得x 32＝27，∴x ＝2723＝(33)23＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，可得x ＝2－23，∴x ＝⎝⎛⎭⎫1223＝314＝322.(3)由x ＝log 2719，可得27x ＝19，∴33x ＝3－2，∴x ＝－23.(4)由x ＝log 1216，可得⎝⎛⎭⎫12x＝16， ∴2－x ＝24，∴x ＝－4.利用指数式与对数式的互化求变量值的策略(1)若已知的式子为指数式，则直接利用指数运算求值． (2)若已知的式子为对数式，则先把对数式化为指数式，再求值．1．已知log 2m ＝2.016，log 2n ＝1.016，则nm 等于( )A ．2 B.12 C ．10 D.110B 解析：因为log 2m ＝2.016，log 2n ＝1.016， 所以m ＝22.016，n ＝21.016，所以n m ＝21.01622.016＝12.2．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m －n ＝________． 43解析：因为log a 2＝m ，log a 3＝n ， 所以a m ＝2，a n ＝3， 所以a 2m －n ＝a 2m a n ＝223＝43.探究题1 求下列各式中x 的值． (1)log 5(log 3x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1； (3)ln[log 2(lg x )]＝0.解：(1)设t ＝log 3x ，则log 5t ＝0，∴t ＝1， 即log 3x ＝1，∴x ＝3.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝3，∴x ＝103＝1 000. (3)∵ln[log 2(lg x )]＝0，∴log 2(lg x )＝1， ∴lg x ＝2，∴x ＝102＝100.探究题2 若log 2[log 3(log 4x )]＝log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值． 解：∵log 2(log 3(log 4x ))＝0，∴log 3(log 4x )＝1，∴log 4x ＝3.∴x ＝43＝64. 同理求得y ＝16.∴x ＋y ＝80.1．利用对数的性质求解的两类问题(1)求多重对数式的值应由内到外，如求log a (log b c )的值，先求log b c 的值，再求log a (log b c )的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内，逐步脱去“log ”后再求解． 2．性质a log a N ＝N 与log a a b ＝b 的作用(1)a log a N ＝N 能把任意一个正实数转化为以a 为底的指数形式． (2)log a a b ＝b 能把以a 为底的指数转化为一个实数．1．计算下列各式的值． (1)2512log 54＝________．(2)31＋log32＝________．(1)4 (2)6 解析：(1)2512log 54＝(52)12log 54＝5 log 54＝4.(2)31＋log32＝3×3 log 32＝3×2＝6.2．求下列各式中的x . (1)ln 2x －ln x ＝0； (2)log 7[log 3(log 2x )]＝0.解：(1)因为ln 2x －ln x ＝0，所以ln x (ln x －1)＝0， 所以ln x ＝1或ln x ＝0， 所以x ＝e 或x ＝1.(2)由题意，log 3(log 2x )＝1，故log 2x ＝3， 所以x ＝23＝8.对数的概念练习 (30分钟 60分)1.(5分)在log3(m －1)中，实数m 的取值范围是( ) A ．R B ．(0，＋∞)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)D解析：由m－1>0得m>1，故选D.2．(5分)下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A．100＝1与lg 1＝0B．27－13＝13与log2713＝－13C．log39＝2与912＝3D．log55＝1与51＝5C解析：C不正确，由log39＝2可得32＝9.3．(5分)log(2＋1)(3－22)等于()A．－2 B．－4C．2 D．4A解析：3－22＝2－22＋1＝(2)2－22＋12＝(2－1)2＝12＋12＝(2＋1)－2.设log(2＋1)(3－22)＝t，则(2＋1)t＝3－22＝(2＋1)－2，∴t＝－2.4．(5分)若3x＝2，则x等于()A．log23B．log32C．32 D．23B解析：3x＝2⇔x＝log32.5．(5分)方程2log3x＝14的解是()A．x＝19 B．x＝33C．x＝3 D．x＝9A解析：∵2 log3x＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝19.6．(5分)下列四个等式：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x＝10，则x＝10；④若ln x＝e，则x＝e2.其中正确的是()A．①③B．②④C．①②D．③④C解析：①lg(lg 10)＝lg 1＝0；②lg(ln e)＝lg 1＝0；③若lg x＝10，则x＝1010；④若ln x ＝e，则x＝ee.7.(5分)设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝________．107解析：∵a＝log310，b＝log37，∴3a＝10，3b＝7，∴3a－b＝3a3b＝107.8.(5分)已知f(log2x)＝x，则f12＝________．2解析：令log2x＝12，则x＝212＝2，即f12＝f(log22)＝2.9.(5分)已知x＝log23，则23x－2－3x2x－2－x＝________．919解析：由x＝log23，得2x＝3，∴2－x＝12x＝13，23x＝(2x)3＝33＝27，2－3x＝123x＝127，∴23x－2－3x2x－2－x＝27－1273－13＝272－13×27－9＝72872＝919.10.(5分)求值．(1)912log34；(2)51＋log52.解：(1)912log34＝(32) 12log34＝3 log34＝4.(2)51＋log52＝5×5 log52＝5×2＝10.11.(10分)若log12x＝m，log14y＝m＋2，求x2y的值．解：∵log12x＝m，∴12m＝x，x2＝122m.∵log14y＝m＋2，∴14m＋2＝y，即y＝122m＋4，∴x2y＝122m122m＋4＝122m－（2m＋4）＝12－4＝16.。
对数知识点总结高中
对数知识点总结高中一、概念对数是指数运算的逆运算，是一种用来求解指数方程的运算方法。
对数可以帮助我们快速计算复杂的指数运算，简化数学问题的求解过程。
二、对数的定义1.定义：设a是一个大于0且不等于1的实数，a ≠ 1，且a≠0。
若aⁿ=x（n∈R），则称n 是以a为底x的对数，记作n=logₐx，其中a称为底数，x称为真数，n称为指数。
2.对数的性质：（1）logₐa = 1（2）aⁿ=x（n∈R），则x>0（3）a>1时，n>0 <=> logₐx>0a<1时，n>0 <=> logₐx<0（4）a>1时，m>n <=> logₐm>logₐna<1时，m>n <=> logₐm<logₐn（5）logₐmn=logₐm+logₐn（6）logₐm/n=logₐm-logₐn（7）log_a(x^n)=nlog_ax（8）logₐ1=0,logₐa=1三、对数的运算1.换底公式若已知log_bx的值，要求log_ax的值时，可以利用换底公式来求解。
设log_bx=y，则x=b^y则log_ax=log_ab^y=ylog_ab2.对数的加减法logₐm+logₐn=logₐmnlogₐm-logₐn＝logₐ(m/n)3.对数的乘方法则logₐ(x^m)=mlogₐx4.对数的除法法则logₐ(x/n)=logₐx-logₐn四、对数方程对数方程是指含有对数的方程，形式为logₐx=b。
求解对数方程时，我们需要根据对数的性质和换底公式来化简方程，从而得到方程的解。
五、对数不等式对数不等式是含有对数的不等式，形式为logₐx>b。
求解对数不等式时，我们需要根据对数的性质来化简不等式，然后利用不等式的性质来解决问题。
六、对数函数对数函数是指y=logₐx（a>0且a≠1）这样的函数。
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【高中数学专项突破】专题25 对数的概念及运算题组1 对数的概念1.在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A.a >5或a <2 B.2<a <3或3<a <5 C.2<a <5D.3<a <42.使对数log (21)a a -+有意义的a 的取值范围为( ) A.12a >且1a ≠ B.102a <<C.0a >且1a ≠D.12a <3.使对数()log 21a a -+有意义的a 的取值范围为（ ）A.()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()()0,11,+∞D.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭题组2 对数式与指数式的互化4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A.01e =与ln10=B.13182-=与811log 23=-C.3log 92=与1293=D.7log 71=与177=5.若1log 2m n =，则下列各式正确的是（ ） A.12n m =B.2m n =C.2n m =D.2n m =6.将指数式bc a N =转化为对数式，其中正确的是（ ） A.log ca b N = B.log ab c N =C.log c a b N =D.log ba c N =7.若7log xy z =，则（ ）A.7z y x =B.7z y x =C.7z y x =D.7x y z =8.若实数a ，b 满足3412a b ==，则11a b+=（ ）A.12 B.15 C.16D.19.将下列指数式改为对数式：（1）2139-=，对数式为_____________； （2）128=___________； （3）3481x -=，对数式为_____________； （4）9x e =，对数式为_____________.10.根据指数式与对数式的相互转化，由lg1002=得到的指数式为___________ 11.已知()12409a a =>，则23log a = __________ . 12.设,,x y z R +∈，满足236x y z ==，则112x z y+-的最小值为__________. 13.将下列对数式改写成指数式：（1）2log 646=； （2）31log 481=-； （3）l g0.0013=-； （4）12log 42=-.题组3 对数的运算14.设25a b m ==，且112a b+=，则m =（ ）10 B.10 C.20 D.10015.设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A.m n m n mn ->+> B.m n mn m n ->>+C.m n m n mn +>->D.mn m n m n >->+16.若235log log log 1x y z ==<-，则（ ） A.235x y z <<B.532z y x <<C.325y x z <<D.523z x y <<17.已知0a >，0b >，8ab =，则22log log a b ⋅的最大值为（ ） A.32B.94C.4D.818.如果方程2lg (lg 2lg 3)lg lg 2lg 30x x +++=的两根为1x 、2x ，则12x x 的值为（ ） A.lg 2lg3 B.lg 2lg3+C.16D.6-19.化简计算：（1）201630.25343621.5822373-⎛⎫⎛⎫⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）lg5lg 20lg 2lg50lg 25⋅-⋅-.20.下列结论正确的是____________①1()2(0,1)x f x a a a -=+>≠的图像经过定点(1,3)；②已知28log 3,43y x ==，则2x y +的值为3；③若3()6f x x ax =+-，且(2)6f -=，则(2)18f =；④11()()122xf x x =--为偶函数； ⑤已知集合{}{}1,1,|1A B x mx =-==；且B A ⊆，则m 的值为1或-1.21.151lg 2lg 2222-⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭______.22.已知4log 9a =，2log 5b =，则22a b +=_________. 23.已知1a b >>，若10log log 3a b b a +=，b a a b =，则+a b = . 24.已知a ＝2020log 2019b ＝2019log 2020c ＝201912020，则__.（比较大小）25.若幂函数()()257mf x m m x =-+在R 上为增函数,1log 2log 272lg 5lg 4mm m++=____________ .专题25 对数的概念及运算题组1 对数的概念1.在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A.a >5或a <2B.2<a <3或3<a <5C.2<a <5D.3<a <4【答案】B【解析】由对数的定义知505202213a a a a a a -><⎧⎧⎪⎪->⇒>⎨⎨⎪⎪-≠≠⎩⎩所以2<a <3或3<a <5.选B.2.使对数log (21)a a -+有意义的a 的取值范围为( ) A.12a >且1a ≠ B.102a <<C.0a >且1a ≠D.12a <【答案】B【解析】要使对数有意义，则21001a a a -+>⎧⎪>⎨⎪≠⎩，解得102a <<， 故选：B.3.使对数()log 21a a -+有意义的a 的取值范围为（ ） A.()1,11,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()()0,11,+∞D.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】使对数()log 21a a -+有意义的a 需满足01210a a a >⎧⎪≠⎨⎪-+>⎩, 解得102a <<. 故选B.题组2 对数式与指数式的互化4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A.01e =与ln10=B.13182-=与811log 23=-C.3log 92=与1293=D.7log 71=与177=【答案】C【解析】01ln10e =⇔=，故A 正确；13182-=⇔811log 23=-，故B 正确； 23log 9239=⇒=，129193log 32=⇒=，故C 不正确； 17log 7177=⇔=，故D 正确.故选：C . 5.若1log 2m n =，则下列各式正确的是（ ） A.12n m =B.2m n =C.2n m =D.2n m =【答案】B【解析】由log a b c =得c a b =，从而由1log 2m n =可知12m n =，即2m n =. 故选:B.6.将指数式bc a N =转化为对数式，其中正确的是（ ） A.log ca b N = B.log ab c N =C.log c a b N =D.log ba c N =【答案】C 【解析】()bbc c a a N ==，则log c a b N =，()bcbc a a N ==，则log b a c N =.故选：C.7.若log xz =，则（ ）A.7z y x =B.7z y x =C.7z y x =D.7x y z =【答案】B【解析】由指数与对数的转化,可得log x z =则z x =即7zy x =故选:B8.若实数a ，b 满足3412a b ==，则11a b+=（ ） A.12B.15C.16D.1【答案】D【解析】因为3412a b ==，所以34log 12,log 12a b ==，121212341111log 3log 4log 1211212a b log log +=+=+==. 故选D.9.将下列指数式改为对数式： （1）2139-=，对数式为_____________； （2）128=___________； （3）3481x -=，对数式为_____________； （4）9x e =，对数式为_____________.【答案】31log 29=-81log 2= 813log 4=-x ln9=x【解析】(1) 利用互化公式可得，2139-=31log 29⇔=-.(2)利用互化公式可得，128=81log 2⇔= (3) 利用互化公式可得，3481x -=813log 4x ⇔=- (4) 利用互化公式可得，9x e =ln9x ⇔=. 故答案为: 31log 29=-；81log 2=；813log 4=-x ；ln9=x .10.根据指数式与对数式的相互转化，由lg1002=得到的指数式为___________ 【答案】210100=【解析】由指数式与对数式的相互转化关系：log (0,1)xa a N x N a a =⇔=≠＞，可得lg1002=得到的指数式为：210100=， 故答案为：210100=.11.已知()12409a a =>，则23log a = __________ . 【答案】4【解析】2124293a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴423a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴23log 4a =.故答案为：4.12.设,,x y z R +∈，满足236x y z ==，则112x z y+-的最小值为__________.【答案】【解析】,,x y z R +∈，令1236x y z t ==>=， 则236log ,log ,log ,x t y t z t ===11log 3,log 6t t y z==，21122log log 2t x t z y+-=+≥当且仅当2x =时等号成立.故答案为:13.将下列对数式改写成指数式：（1）2log 646=； （2）31log 481=-； （3）l g0.0013=-； （4）12log 42=-.【答案】（1）6264=；（2）41381-=；（3）3100.001-=；（4）2142-⎛⎫= ⎪⎝⎭.【解析】（1）62log 646264=⇔=.（2）4311log 438181-=-⇔=. （3）3l g0.0013100.001-=-⇔=.（4）2121log 4242-⎛⎫=-⇔= ⎪⎝⎭.题组3 对数的运算14.设25a b m ==，且112a b+=，则m =（ ） A.10 B.10C.20D.100【答案】A【解析】因为25a b m ==， 所以25log ,log a m b m ==， 所以11log 2log 5log 102m m m a b+=+==， 210m ∴=，又0m >，∴10m =.故选：A15.设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A.m n m n mn ->+> B.m n mn m n ->>+C.m n m n mn +>->D.mn m n m n >->+【答案】A【解析】0.30.3log 0.6log 10m =>=,2211log 0.6log 1022n =<=,则0mn < ()()20m n m n n --+=->,m n m n ∴->+0.60.60.60.611log 0.3log 4log 1.2log 0.61m n+=+=<= m n mn ∴+> 故选:A.16.若235log log log 1x y z ==<-，则（ ）A.235x y z <<B.532z y x <<C.325y x z <<D.523z x y <<【答案】B 【解析】235log log log 1x y z ==<-∴设235log log log k x y z ===，则1k <-，则2,3,5k k kx y z ===则11122,33,55k k k x y z +++===设函数()1k f t t+=，1,10k k <-∴+<()f t ∴在()0,t ∈+∞单调递减 ()()()532f f f <<即111532k k k +++<<，因此532z y x << 故选B 项.17.已知0a >，0b >，8ab =，则22log log a b ⋅的最大值为（ ） A.32B.94C.4D.8【答案】B【解析】0a >，0b >，8ab =， 则22log log a b 222(log 8log )log b b =-22(3log )log b b =-2223log (log )b b =- 22939log 424b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.当且仅当322b =时，函数取得最大值94. 故选：B.18.如果方程2lg (lg 2lg 3)lg lg 2lg 30x x +++=的两根为1x 、2x ，则12x x 的值为（ ） A.lg 2lg3 B.lg 2lg3+C.16D.6-【答案】C【解析】由题意1lg x 、2lg x 是关于t 的方程2lg 6lg 2lg 30t t +⋅+=的两根， ∴()12121lg lg lg lg 6lg 6x x x x =+=-=，∴1216x x =， 故选：C. 19.化简计算：（1）0160.25361.587-⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭（2）lg5lg 20lg 2lg50lg 25⋅-⋅-. 【答案】（1）110；（2）-1 【解析】（1）原式113133234432222323-⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113322210833⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭110=（2）原式()()22lg5lg 25lg 2lg 510lg5=⨯⨯-⋅⨯-()()lg52lg2lg5lg2lg512lg5=⨯+-⋅+-()22lg 2lg5lg5lg 2lg5lg 22lg5=⋅+-⋅-- ()()2lg 2lg5lg5lg 2lg5lg5=⋅+-+-()lg5lg2lg51lg5=⋅+--lg51lg51=--=-20.下列结论正确的是____________①1()2(0,1)x f x a a a -=+>≠的图像经过定点(1,3)； ②已知28log 3,43yx ==，则2x y +的值为3； ③若3()6f x x ax =+-，且(2)6f -=，则(2)18f =； ④11()()122x f x x =--为偶函数； ⑤已知集合{}{}1,1,|1A B x mx =-==；且B A ⊆，则m 的值为1或-1.【答案】①②④【解析】①当1x =时，f （1）02123a =+=+=，则函数的图象经过定点(1,3)；故①正确，②已知2log 3x =，843y =，则2823y=，282log 3y =， 则2222882log 3log log (3)log 8333x y +=+=⨯==；故②正确，③若3()6f x x ax =+-，且(2)6f -=，则32266a ---=，即10a =-， 则f （2）32210618=-⨯-=-，故③错误；④函数的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，1112()()?1222(12)xx x f x x x +=-=--， 则122112()?··()2(12)2(21)2(12)x x xx x x f x x x x f x --+++-=-=-==---， 即()f x 为偶函数，故④正确，⑤已知集合{1A =-，1}，{|1}B x mx ==，且B A ⊆，当0m =时，B =∅，也满足条件，故⑤错误， 故正确的是①②④， 故答案为：①②④21.1051lg 2lg 2222-⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭______.【答案】0【解析】1025155lg 2lg 22lg lg 221lg(4)102222-⎛⎫+-+=+-+=⨯-= ⎪⎝⎭.故答案为：0.22.已知4log 9a =，2log 5b =，则22a b +=_________. 【答案】45.【解析】根据对数的运算性质，可得422log 9log 3,log 5a b ===， 则22log 3log 5223,225ab ====，所以()2222223545a ba b +=⋅=⨯=.23.已知1a b >>，若10log log 3a b b a +=，b a a b =，则+a b = .【答案】【解析】因为1a b >>，所以log 1b a >，又10log log 3a b b a +=， 110log log 3b b a a +=，整理得2103(log )10log 3,3b b a a -+= 解得log 3b a =或1log 3b a =（舍去） 因此3a b =，因为b a a b =，所以33b b b b =，33,1,b b b b a =>∴==a b +=24.已知a ＝2020log b ＝2019log c ＝201912020，则__.（比较大小）【答案】c ＞b ＞a【解析】因为c ＝201912020＞1，a ＝2020log 202011log 201922<，b ＝2019log 20191log 20202∈（12，1），∴c ＞b ＞a ，故答案为：c ＞b ＞a25.若幂函数()()257mf x m m x =-+在R 上为增函数,则1log2log 2lg 5lg 4mm m++=____________ .【答案】4 【解析】()()257m f x m m x =-+在R 上为增函数，25710m m m ⎧-+=∴⎨>⎩，解得3m =， 1log2log 2lg 5lg 4mm m ∴++31log 23log lg 25lg 43=++3231log 3lg1002=++312422=++=，故答案为4.。