倒易点阵与X射线
X射线衍射定律和衍射几何
倒易点阵的3个单位矢量a*，b*，c*的方向分别为(100), (010), (001)面的法线方向，它们的模为相应的面间距的倒 数。由这三个倒易矢量得到与晶体点阵相对应的倒易点阵。
二、正点阵与倒易点阵的单位矢量有以下关系： a•a* = b•b* = c•c* =1 a•b* = a•c* = b•a* = b•c* = c •a* = c•b* = 0 三、倒易点阵的倒易点阵是正点阵。
对于P格子的(100)一级衍射，1和 2的位相差为2。
在面心格子中，对于(100)的一级 衍射，(200)同时产生作用，3和1 的位相差为，引起干涉相消。 对于面心立方格子，(100)面的一 级衍射消光，(110)面消光, 而(111) 不消光。
• 结构因子 原子散射因子 f = 一个原子的相干散射振幅/一个电子的相干 散射振幅
H = (s – s0) 令： a/h • H = b/k • H = c/l • H
= n
则： a • H = nh b • H = nk c • H = nl 衍射指数：H = nh K = nk L = nl
• 面间距公式 三角锥OABC的体积为： V = 1/6 • (a/h) • (b/k) (c/l) 或 V = 1/6 • dhkl • |(a/h – b/k) (b/k – c/l)|
• Bragg衍射实验： 2d100 (0.126) = n1 2d110 (0.178) = n2
2d111(0.109) = n3
得：n1 = n2 = 2 n3 = 1
体心立方格子的(100)面的一 级衍射消光，(111)面消光， (110)不消光。 可以判断NaCl为面心立方格 子。 (111)的一级衍射弱，二级 衍射强，说明Na+和Cl-在 [111]方向上交替排列。
名词解释
名词解释1）短波限:连续X射线谱的X射线波长从一最小值向长波方向伸展，该波长最小值称为短波限。
P7。
2）质量吸收系数指X射线通过单位面积上单位质量物质后强度的相对衰减量，这样就摆脱了密度的影响，成为反映物质本身对X射线吸收性质的物质量。
P12。
3）吸收限吸收限是指对一定的吸收体，X射线的波长越短，穿透能力越强，表现为质量吸收系数的下降，但随着波长的降低，质量吸收系数并非呈连续的变化，而是在某些波长位置上突然升高，出现了吸收限。
每种物质都有它本身确定的一系列吸收限。
P12。
4）X射线标识谱当加于X射线管两端的电压增高到与阳极靶材相应的某一特定值kU时，在连续谱的某些特定的波长位置上，会出现一系列强度很高、波长范围很窄的线状光谱，它们的波长对一定材料的阳极靶有严格恒定的数值，此波长可作为阳极靶材的标志或特征，故称为X射线标识谱。
P9。
5）连续X射线谱线强度随波长连续变化的X射线谱线称连续X射线谱线。
P7。
6）相干散射当入射线与原子内受核束缚较紧的电子相遇，光量子不足以使原子电离，但电子可在X射线交变电场作用下发生受迫振动，这样的电子就成为一个电磁波的发射源，向周围辐射与入射X射线波长相同的辐射，因为各电子所散射的射线波长相同，有可能相互干涉，故称相干散射。
P14。
7）闪烁计数器闪烁计数器利用X射线激发磷光体发射可见荧光，并通过光电管进行测量。
P54。
8）标准投影图对具有一定点阵结构的单晶体，选择某一个低指数的重要晶面作为投影面，将各晶面向此面所做的极射赤面投影图称为标准投影图。
P99。
9）结构因数在X射线衍射工作中可测量到的衍射强度HKL与结构振幅F称为结构因数。
P34。
10）晶带面（共带面）晶带轴我们说这些相交于平行直线的一组晶面属于同一晶带，称晶带面或共带面，其交线即为晶带轴。
P99。
11）选择反射镜面可以任意角度反射可见光，但X射线只有在满足布拉格方程的 角上才能发生反射，因此，这种反射亦称选择反射。
倒易点阵
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 劳厄方程
当相邻原子的散射X射线光程差等于 入射X射线波长整数倍时发生衍射。
a(cosα-cosα0) = Hλ
一维原子列的衍射示意图
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 劳厄方程
设空间点阵的三个平移向量为a ,b和c,入射的X射线与它们的交角分别为α0，β0和γ0。 衍射方向与它们的交角分别为α，β和γ 。根据上述讨论可知，衍射角α，β和γ在x, y, z三个轴上应满足以下条件：
单晶体电子衍射花样标定
• 确定零层倒易截面上各ghkl矢量端点(倒易阵点)的指数，定出零层倒易截面的 法向(即晶带轴[uvw])，并确定样品的点阵类型、物相及位向。 (1)测量靠近中心斑点的几个衍射斑点至中心斑点距离R1、R2、R3、R4…及 R1与R2、R1与R3等衍射斑点之间的夹角。 (2) 计算R12∶R22∶R32∶…=N1∶N2∶N3∶… 其中N = h2 + k2 + l2
故
于是，它们的点乘 根据倒易基矢定义式，显然有
和
都为0。
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• „ 劳厄的一个科学假设
1911年埃瓦尔德在索末菲的指导下在慕尼黑大学从事博士论文研究，劳厄在 与他的讨论中了解到晶格的平移周期与X射线的波长属于同一量级，因此想到 在二维光栅的两个衍射方程组中再加一个类似的方程，就可以描述X射线在三 维晶体中的衍射。 在此假设的指导下，Knipping和Friedrich在1912年4月开始用CuSO4 后来 用闪锌矿（立方ZnS）进行实验，很快就得到X射线衍射的证据。这不但证明 了X射线的波动性，还确定了晶体的三维周期性。
a*、b*、c*
即倒易基矢
1.倒易格子理论2.倒易格子与X射线衍射3.倒易点阵与电子衍射4.典型0层倒易面举例
倒易格子与衍射—1.倒易格子理论2.倒易格子与X射线衍射3.倒易点阵与电子衍射4.典型0层倒易面举例一、倒易格子概念及性质1. 倒易点阵的定义设有一正点阵，用三个基矢(a,b,c)描述，记为S=S(a,b,c)。
引入三个新基矢(a*,b*,c*)描述，记为S*=S(a*,b*,c*)。
二者之间的关系：a*•a=1a*•b=0 a*•c=0b*•a=0b*•b=1b*•c=0c*•a=0c*•b=0c*•c=1则S*称作S的倒易点阵(Reciprocal lattice)。
2. 正倒格子的关系：a*=(b×c)/V b*=(c×a)/V c*=(a×b)/V其中V= a•(b×c)正格子的体积或为：a=(b*×c*)/V*b=(c*×a*)/V* c=(a*×b*)/V*其中V*=a*•(b*×c*)倒格子的体积亦有：V* = 1/V正倒格子的角度换算：|a*| = bcsinα/V|b*| = casinβ/V |c*|= absinγ/V或：|a| = b*c*sinα*/V* |b| = c*a*sinβ*/V* |c|= a*b*sinγ*/V*上式中：cosα* = (cosβcosγ-cosα)/sinβsinγcosβ* = (cosγcosα -cosβ)/sinγsinαcosγ* = (cosαcosβ -cosγ)/sinαsinβ当晶体的对称中，α=β=γ=90°时|a*| = 1/a|b*| =1/b|c*| = 1/c单斜晶系时，α=γ=90°，β≠90°，即：α*=γ*=90°，β*=180°-β则：|a*| =1/asinβ |b*| = 1/b |c*| =1/csinβ图1-1.三斜晶系的倒易点阵如图1-1所示为三斜晶系的倒易点阵，其中a*在与bc平面垂直的方向，b*与ac平面垂直，长度为1/b，c*与ab平面垂直，长度为1/c。
X射线衍射原理
2
I m q c 2 o d I c s q c 2 o d G s 2 F H 2m K 2 e c 4 4 R L 2 ( 1 c 2 2 2 o ) I 0 s
影响衍射强度的其它因素
• 多重性因子--PHKL 晶体中晶面间距相等的晶面(组)称为等同晶面(组)．晶体中 各面的等同晶面(组)的数目称为各自的多重性因子。
•例如的一组晶面间距从大到小的顺序：2.02Å，1.43Å，1.17Å，1.01 Å，
0.90 Å，0.83 Å，0.76 Å……当用波长为λkα=1.94Å的铁靶照射时，因
λkα/2=0.97Å，只有四个d大于它，故产生衍射的晶面组有四个。如用铜
靶进行照射， 因λkα/2=0.77Å， 故前六个晶面组都能产生衍射。
3、面心点阵
单胞中有四种位置的原子，它们的坐标分别是（0，0，0）、 （0,1/2,1/2）、 （1/2,0,1/2)、（1/2,1/2,0）
FHK2L[f1co2s(0)f2co2s(K 2L 2)f3co2s(H 2K 2)f4co2s (H 2L 2)2][fssi2n(0)f2si2n(K 2L 2)f3si2n(H 2K 2)f4si2n (HL)2]f2[1cos(KL)cos(HK)cos(HL)2]
1
d HKL
S
S0
N
由倒易矢量性质可知，（HKL）晶面对 应的倒易矢量r*HKL//N且 r*HKL=1/dHKL，引入r*HKL，则上式可
写为
SS0
rHaKbLc
衍射矢量方程
厄瓦尔德图解
• 以球的1 为倒半易径点作对球应，的得晶到面厄组瓦均尔可德参球与。衍所射有。落在厄瓦尔德
hkl
S/
X射线
一、X 射线性质1、波粒二象性：X 射线的波长约为1281010---m ，是一种波长很短的电磁波，所以具有波动性。
又因E=h ν=h/λ，X 光本身具有能量E ，且具有动量 p=h/λ，所以又具有粒子性。
故x 光本身表现为波粒二象性。
2、直线传播：X 射线具有相当强的穿透力，几乎不产生折射，其折射率为1。
它基本无发散产生，不改变传播方向，沿直线传播。
3、具有杀伤力：可以杀死生物的组织和细胞。
4、具有光电效应：（1）它可以使气体电离，产生电离效应。
（2）它可以使照相底片感光，产生感光效应。
（3）它可以使铂氰化钾溶液发出荧光，产生荧光效应。
（4）当光子能量足够大时，将使被照射原子中的电子被击出成为光电子，原子被激发，而光子本身则被吸收，产生光电吸收或真吸收。
（5）当光子能量进一步升高，将使被照射物原子的内层电子相碰撞，使其激发并形成空位，导致电子重排，产生二次x 射线，即荧光x 射线。
（6）若被照射物原于内层电子空位，被外层电子填补后，其多余的能量不以x 射线的形式放出，而是传递给其余外层电子，使之脱离原子本身。
此种现象称为俄歇效应。
5、散射现象：x 射线与物体碰植将使其前进方向发生改变而产生散射现象。
依据散射线与入射线间是否产生干涉，又可分为相干散射与不相干散射。
6、吸收现象：x 射线穿过被照物体时，因为散射、光电效应和热损耗曲影响、所出现强度衰减的现象称为X 射线的吸收。
二、1、布拉格定律推导：当一束平行X 射线射入晶体后，晶体内部的不同晶面将使散射线具有不同光程。
设一组晶面中，两任意面网间距为d ，则两面网上相邻原子A 和B 的光程差为δ=CB+BD=ABSin θ+ABsin θ=2dsin θ。
因为只有光程差为波长的整数倍时，相邻面网的衍射线之间才能相互干涉而加强成为衍射线，则产生衍射线条件为2dsin θ=n λ。
2、倒易点阵定义：倒易点阵又叫倒易格子，是一种虚构的数学工具，是想象的几何构图，是与晶体点阵互为倒易点的虚点阵，可用于解释衍射图的成因。
倒易点阵
§2.3倒易点阵与爱瓦尔德球图解法一、倒易点阵的概念X 射线衍射晶体结构分析工作是通过衍射花样（包含衍射方向和强度信息）反推出衍射晶体的结构特征。
通过衍射花样反推晶体结构是复杂而困难的工作。
1921年爱瓦尔德（P.P. Ewald ）通过倒易点阵可以把晶体的衍射斑点直接解释成晶体相应晶面的衍射结果。
也可以说，电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵中某一截面上阵点排列的像。
倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的三维空间（倒易空间）点阵，它是一个虚拟点阵（通常将晶体点阵称为正点阵）。
它的真面目只有从它的性质及其与正点阵的关系中才能真正了解。
一、 倒易点阵中基本矢量的定义设正点阵的原点为O ，基矢为a 、b 、c ，倒易点阵的原点为O *，基矢为a *、b *、c *（图2-9），则有V b a c V a c b V c b a ⨯=⨯=⨯=***,, （2-11） 式中，V 为正点阵中单胞的体积：)()()(b a c a c b c b a V ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅= 图2－9 倒易基矢和正空间基矢的关系二、 倒易点阵的性质a ） 根据式（2-11）有（因为00cos *=⋅⋅=⋅=⋅b a b a b a θ）0******=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅b c a c c b a b c a b a （2-12）1***=⋅=⋅=⋅c c b b a a （2-13）b ） 在倒易点阵中，由原点O *指向任意坐标为hkl 的阵点的倒易矢量g hkl 为***lc kb ha g hkl ++= （2-14）Φ3在倒易空间中，画出衍射晶体的倒易点阵，以倒易原点O*为端点作入射波的波矢量k ，该矢量平行于入射束方向，长度等于波长的倒数，即λ1=k ，以O 为中心，1/λ为半径作一个球，这就是爱瓦尔德球。
若有倒易阵点G （指数为hkl ）正好落在爱瓦尔德球的球面上，则相应的晶面组（hkl ）与入射束的方向必满足布拉格条件，而衍射束的方向就是，或者写成衍射波的波矢量k ´，其长度也等于反射球的半径1/λ。
第二章 X射线运动学衍射理论
性 ❖ 7个晶系、14种布拉菲点阵 ❖ 晶向指数 [μνω] <μνω> ❖ 晶面指数 （h k l） {h k l}
第一节 倒易点阵 第二节 X射线衍射方向 第三节 X射线衍射强度
第一节 倒易点阵
❖ 晶体中的原子在三维空间 周期性排列，这种点阵称 为正点阵或真点阵。
X射线衍射和可见光反射的区别： ❖ X射线衍射是入射线在晶体中所经过路程上的所有原子散射
波干涉的结果，晶体表面及内层原子面都参与了反射作用； 可见光反射只发生在两种介质的界面上。 ❖ X射线衍射只在满足布拉格方程的角度上产生；而可见光反 射可在任意角度产生。 ❖ 可见光在良好的镜面上反射，其效率可接近100％ ，而X射 线衍射的强度比起入射线强度却微乎其微。
衍射方向反映了晶胞的形状和大小。
❖ 研究衍射方向可以确定晶胞的形状与大小，同时可以看到， 若晶胞由不同原子组成或排列方式不同，衍射方向(θ)却没 有反映，该问题可通过衍射强度的研究来解决。
3、布拉格方程的应用
❖ 结构分析－X射线衍射学 利用已知波长的特征X射线，通过测量θ角，可以计算晶面间 距d,分析晶体结构。
（2）衍射的限制条件
❖ 由布拉格方程2dsinθ=nλ可知，sinθ=nλ/2d，因sinθ≤1， 故nλ/2d ≤1。
❖ 当d一定时，λ减小，n可增大，说明对同一种晶面，当 采用短波长X射线时，可获得较多级数的反射，即衍射 花样会复杂。
❖ 对衍射而言，n的最小值为1，此时λ/2≤d， 这就是能产 生衍射的限制条件。
即一个g*与一组（hkl）晶面对应，g*的方向与大小表达了 （hkl）晶面在正点阵中的方位与晶面间距；反之，（hkl） 晶面决定了g*的方向与大小。
❖ g*的基本性质也建立了作为终点的倒易（阵）点与（hkl）晶 面的一一对应关系：
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1. 1895年伦琴发现X射线后，认为是一种波， 但无法证明。
2. 当时晶体学家对晶体构造（周期性）也没有 得到证明。
1912年劳厄将X射线用于CuSO4晶体衍射同时证明 了这两个问题,从此诞生了X射线晶体衍射学
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劳厄用X射线衍射同时证明了 这两个问题
1.人们对可见光的衍射现象有了确切的了解：光栅常数(a+b)只要与点光 源的光波波长为同一数量级，就可产生衍射，衍射花样取决于光栅形 状。
都有一个对应的倒易点阵，其基轴满足
ba
a
*
b*
1
Hale Waihona Puke c* 0
0 1
0 0
构成倒易点阵， c
0 0 1
rhkl*
ha*
kb*
lc*
又称波矢空间。 a ·a* = b ·b* = c ·c* =1，
a ·b* = a ·c* = b ·c* = 0，
1 d
/h
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倒易点阵性质
证明： （１）利用向量几何 的知识。
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倒易点阵的性质
rh*kl (hk l)
rh*kl 1 d hkl
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性质一证明
r同hk理l 可OA证BA：rrr(hhahhkkklall/hBAAkObBCCB
(仅当正交晶系）a 1 ，b 1，c 1
a
b
c
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倒易点阵
倒易点阵是傅立叶空间中的点阵，倒易点阵的 阵点告诉我们一个具有晶体点阵周期性的函数 傅立叶级数中的波矢在波矢空间的分布情况， 倒易点阵阵点分布决定于晶体点阵的周期性质， 一个给定的晶体点阵，其倒易点阵是一定的， 因此，一种晶体结构有两种类型的点阵与之对 应：晶体点阵是真实空间中的点阵，量纲为[L]； 倒易点阵是傅立叶空间中的点阵,量纲为[L-1]。
b* = r*010 = 1/d010 = 1/b
c* = r*001 = 1/d001 = 1/(c·cos[b-90])= 1/(c·sinb)
b* 180-b
101 r*001
r*100
b
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3、底心点阵
对于C底心型，指数h, k和为偶 数的晶面才出现；
r*110
b a
d110
a* = r*200 = 1/d200 = 2/a b* = r*020 = 1/d020 = 2/b c* = r*001 = 1/d001 = 1/c
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(一）定义倒易点阵
定义（一）倒易点阵的初基矢量垂直于正点阵异名 矢量构成的平面
a bc V
b c a V
c a b V
所以有: c c a a b b 1
a b a c b a b c c a c b 0
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（二）、倒易点阵与正点阵的关系 220
1、简单点阵
r*110 b
a
010
110
r*110 b*
000 a* 100
d110
注意：具有公因子指数的简单型
正点阵的倒易阵点，如（220）
等，不对应于真正的晶面。
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2、简单单斜点阵
r*001 c
r*100 a
b
a* = r*100 = 1/d100 = 1/(a·cos[b-90])= 1/(a·sinb)
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（四）倒易点阵性质
根据定义在倒易点阵中,从倒易原点到任一倒易点的矢
量称倒易矢量ghkl g* hkl = ha kb lc
可以证明:
1. g*矢量的长度等于其对应晶面间距的倒数 g* hkl =1/dhkl ，其方向与晶面相垂直即 g* //N(晶面法线
)
２.倒点阵矢量与正点阵矢量的点积比为整数
2.晶体学家和矿物学家对晶体的认识：晶体是由原子或分子为单位的共 振体（偶极子）呈周期排列的空间点阵，各共振体的间距大约是10-810-7cm，M.A.Bravais已计算出14种点阵类型。
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研究X射线衍射可归结为两方 面的问题：
衍射方向和衍射强度。 衍射方向问题是依靠布拉格方程（或倒易点阵）的理论导出的； 衍射强度主要介绍多晶体衍射线条的强度，将从一个电子的衍射强度
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倒易点阵的本质
如果把晶体点阵本身理解为周期函数，则倒 易点阵就是晶体点阵的傅立叶变换，所以倒 易点阵也是晶体结构周期性的数学抽象，只 是在不同空间(波矢空间)来反映,其所以要变 换到波矢空间是由于研究周期性结构中波动 过程的需要。
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定义（二）：对于一a 个b 由c
定义的正点阵，
b/k
lc
)
OC
c/
l
(b / k - a / h) 1-1 0
c
C
b
B
r (hk l)
* hkl
O
a
A
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设：OM垂直于ABC面，
n
c
n
OM方向上的单位矢量为
C
b
OM dhkl
M
B
n
rhkl
dhkl OA
rh*kl
/ rhkl
n a
研究起，接着研究一个原子的、一个晶胞的以至整个晶体的衍射强度 ，最后引入一些几何与物理上的修正因数，从而得出多晶体衍射线条 的积分强度。
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倒易点阵
晶体中的原子在三维空 间周期性排列，这种点 阵称为正点阵或真点阵 。
以长度倒数为量纲与正 点阵按一定法则对应的 虚拟点阵------称倒易 点阵
020 b*
110 r*110
000
a* 200
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4、立方点阵的倒易点阵
简立方 面心立方 体心立方
a=
a
y
z-
x
2
, b=
a
z
x-
y
2
c=,
a
x
y-
z
2
a=
a
y
z
2
, b=
a
z
x
2
c=,
a
x
y
2
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（三）正、倒点阵参数之 间的关系
正点阵与倒点阵二者互为倒易的。 点阵参数之间的关系式 书中P１４公式（１－２６）至（１－３１） 晶面间距和晶面夹角
晶面间距和晶面夹角公式的推导是根据向量几何的知识，在根据晶体学 的知识，很容易的推出。这里必须强调的是，这些公式（P17表１－３ ）不要求大家记住，但是一定会推导出。