第四章 异方差打印

第四 异方差（Heterscedasticity） 第一节 异方差性 在线性回归模型中，我们首先做了GM假定，其中有一个假定就是假定误差

项误差是相同的。即：22

uiiuEuVar。而在实际中这一假定经常不被满足，那

么在这种情况下，我们想知道的是： 1、异方差造成什么样的结果？ 2、异方差的性质是什么？ 3、怎样去诊断它？ 4、有什么补救措施？ 由于经济现象是错综复杂的，所以用等方差假定在许多情况下不符合实际情况。比如说：

例1、研究家庭的收入和储蓄的关系，用iX表示第I户的收入量，iY表示第I户的储蓄量，储蓄函数可以用模型表示为：

iiiuXbbY10 这一问题中，随机项iu等方差假定是不符合实际情况的，因为在储蓄行为中，高收入家庭的储蓄平均来说高于低收入的家庭，但是低收入家庭的储蓄差异性比较小，而高收入家庭的储蓄差异性比较大，这是因为低收入的家庭，他们除了必要的支出之外剩余比较少，为了某种目的而储蓄（如为了购买高档商品，准备喜事之类的。）所以，他们的储蓄形势较有规律，差异很小。而收入高的家庭，由于他们的收入高，不必要的支出外剩余很多，就有更大的使用选择余地。 例2、边错边改进模型（error-learning models）.我们用函数模型表示打字出错个数与用于练习打字的时间数的关系。

iiiuXbbY10 其中：iY表示出错个数；iX表示练习打字的小时数。 U表示什么？表示除了之外的所有因素对出错个数的影响。这些影响随时间而逐渐减弱。换句说Y的变小是由于U的变小所至。 异方差产生的原因： 因为随机项包括了测量误差和模型中被省略的一些因素对因变量的影响。这样一方面由于解释变量越大，测量误差就会越大。另一方面，测量误差又有可能随着时间的变化而变化，比如测量技术与收集资料的改进，测量误差有可能较少。再者，模型中被省略的变量中，有许多变量随解释变量的变化而变化。

第二节 异方差性的后果 在存在异方差的情况下，如果我们还是用原来的OLS对参数进行估计。就会得到一个线性无偏但是并不满足最小方差的估计量。 一、线性和无偏性 为了简单期间，我们来研究一元线性回归， iiiuXY10 可以得到参数1b的估计量

1ˆb=2iiixyx=iiukb1

其中 2iiixxk 所以线性性肯定不会改变。 同样无偏性也不会改变。 二、有效性： 1、异方差参数OLS估计的方差增大：

对于参数1b，其方差应该是：





22221)(ˆvariiixxb

证明：22)()ˆ()ˆ(iiukEE ＝)(22jijijiiiuukkukE＝22iik＝2222)(iiixx

这显然不同于同方差假定下的常用方差公式： 221ˆvar

iu

x



可以证明在异方差存在的情况下，我们如果还是用原来的OLS对参数进行估计，将会出现：估计量的方差增大。 2、加权最小二乘估计的方差：

iiiiiuX10Y则方程变换为：

***1*0*iiiuXY此方程为同方差1)(/1)/(iiiiuEuE

而此方程的残差平方和为：2*1*02)](ˆ)1(ˆ)[()(iiiiiiiXYuQ

对1ˆ求导：0)1)]((ˆ)1(ˆ)[(2*1*0iiiiiiXY 01)](ˆ1(ˆ)[(2*1*0iiiiii

XY



解得：2*1)())(())(())((iiiiiiiiiiiiXwXwwYwXwYXww

)())(()(22*12iiiiiiXwXwww

其中：iiw/1



iiiiiiiwwXXw,)()(1)(22

*12

而)ˆ(12＝2222)(iiixx， 令：****,,,YYyXXxwYwYwXwXiiiiiiiiii 2*

***1ii

iii

xw

yxw



3.系数的最小二最小二乘估计量失去有效性 （1）可以证明：)ˆ(12>)ˆ(*12，二者的比值可以证明大于1。

（2）理解加权的意义：由2*1*02)](ˆ)1(ˆ)[()(iiiiiiiXYuQ 可以看出WLS与OLS相比是在对数据的处理上，OLS对每个样本的iuˆ都给与相同的权重，前提是iu的方差都差不多，同方差，iu对1的影响相同。但WLS对于产生较大iuˆ以较小的权重，对较小iuˆ以较大的权重，从而使RSS比OLS的更小。 三、出现异方差时使用OLS的后果： 1、忽略异方差的OLS估计：

（1）如在有异方差的情形下，我们不但使用了1ˆ，而且继续使用同方差性公式

221ˆvar

iu

x

，这是经常发生的严重事情。OLS回归软件，忽略异方差时会按

221ˆvar

iu

x

给出方差，这是一个有偏的估计量，平均而言和真正的方差2222

)(iiixx

相比不估就是低估。同时2ˆ22neiu已经不是2u的无偏估计量，所以

统计推断会产生严重的误导。 2、具体而言，由于方差过大，预测时置信区间过宽，预测不准；而且此时的t

检验)ˆ(ˆiisT，由于异方差的存在已经不是t分布了，所以对估计量的t检验失效。同样F检验也一样。

第三节 异方差的诊断 计量经济学检验有两种基本方法：图示法和解析法导出检验统计量的解析式，根据一些准则，进行检验。例如：检验异方差的Goldfeld-Quandt检验

一，残差图法 1、异方差就是随机项的方差与解释变量的变化有关，因此我们可以用因变量Y和解释变量x的散点图。若散点图出现随着解释变量变化而变化，则随机项出现了异方差。

2、也可以用残差图即2i与x的散点图，在多个解释变量时可作残差2i与因变量

或者残差2i与人为何异方差有关的x的散点图。

有图 3、怎样通过Eviews作x- e2 散点图 1）、键入 LS y c x 作回归 2）、键入 GENR E1=resid 调用残差 3） 键入 GENR E2=E1^2 生成残差平方 4）、键入 SCAT E2 X 或 SCAT E1 X 如果呈现出某种有规律的分布，说明残差中蕴涵作模型（1）未提取净的信息，或（2）可能存在异方差或自相关，或（3）设定有误。

二、戈德菲尔特—夸特（Goldfeld—Quandt）检验 戈德菲尔特—夸特（Goldfeld—Quandt）检验,也称为G—Q检验。这种检验适

合于大样本检验，随机项iu的方差随着一个解释变量的增加而增大。检验的前提

是要求随机项iu不存在序列相关。检验步骤如下： 1、将解释变量观测值iX按大小的顺序排列，被解释变量观测值iY保持原来与解释变量iX的对应关系。 2、按照上述顺序排列的观测值，把位于中间的c个删除，这里删除的数目c是Goldfeld和Quandt通过实验的方法确定的。对于30n时，删去的中心观测

值数目为整个观测值数目的四分之一最合适，比如说，当8,30cn。将剩下

的n-c个观测值划分为大小相等的两个子样本，每个子样本的容量分别为2cn，其中以个子样本是相应的观测值iX较大的部分，另一部分是相应的观测值iX较小的部分。 3、对于这两个子样本分别求出回归方程，并计算出相应的残差平方和。设

211ieRSS为iX较小值的子样本的残差平方和，222ieRSS为iX较大值的子

样本的残差平方和，它们的自由度均为kcn2，其中k为模型中参数的个数。 4、构造统计量



kcnkcnFRSSRSSkcnRSSkcnRSSF2,2~

)2(

)2(

121

2

5、查出显著性水平为的临界值，如果： FF，则拒绝原假设，接受异方差性。

FF，则接收原假设，接受模型不存在异方差性。 6、Goldfeld-Quant检验在EViews上的实现 （1）用SORT X 以X为条件排序 （2）用SMPL命令定义两个子样 （3）用LS命令进行两次回归，计算出残差平方和（可以直接读出）与自由度 （4）进行F检验 7、Goldfeld-Quant检验适用条件：G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较大、异方差递增或递减的情况 8、例子： 三、怀特检验：（white heteroskedasticity）

1、思想：为找到2i与X的原因，把ie与所有解释变量iX的二次项作辅回归求

出2R。 假如模型有三个自变量，

的关系与此确定哪一回归系数显著，借回归，判断分别对那么用xexxxxxxxxxxxxeiiixxx3231212322213212321,,,,,,,, ,,,ˆ