四川省绵阳市高中2013届第三次诊断性考试理科数学试题(扫描版,含word版答案)
绵阳三诊数学理科(详细)答案
绵阳市高2012级第三次诊断性考试 数学(理)参考解答及评分标准（详解）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BCD BA CACAB AD11题：两个方程联立，消x 用向量得到y1与y2的关系，从而得到a 与c 的关系12题：先排十位和千位的数字，在分析其他位置的数字 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．(410-，) 14．±2 15．arcc os 31 16．①④三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（I ）由m //n ，可得3sin x =-c os x ，于是tan x =31-．∴922)31(31312tan 31tan cos 2sin 3cos sin -=--⋅+-=-+=-+x x xx x x ． …………………………4分（II ）∵在△ABC 中，A +B =π-C ，于是C B A sin )sin(=+， 由正弦定理知：C A C s in s in 2s in 3⋅=， ∴23sin =A ，可解得3π=A ． ………………………………………………6分又△ABC 为锐角三角形，于是26ππ<<B ，∵ )(x f =(m +n )·n=(sin x +c os x ，2)·(sin x ，-1) =sin 2x +sin x c os x -2 =22sin 2122cos 1-+-x x=23)42sin(22--πx ，∴ 232sin 2223]4)8(2sin[22)8(-=--+=+B B B f πππ．……………………10分由26ππ<<B 得ππ<<B 23，∴ 0<sin2B ≤1，得23-<232sin 22-B ≤2322-．即]232223()8(--∈+，πB f ．………………………………………………12分18．解：（I ）设“i 个人游戏A 闯关成功”为事件A i (i =0，1，2)，“j 个人游戏B闯关成功”为事件B j (j =0，1，2)，则“游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关的人数”为A 1B 0+A 2B 1+A 2B 0． ∴ P (A 1B 0+A 2B 1+A 2B 0) =P (A 1B 0)+P (A 2B 1)+P (A 2B 0)=P (A 1)·P (B 0)+P (A 2)·P (B 1)+P (A 2)·P (B 0)=202222120222200212)31()21(3132)21()21()31()32(2121⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅C C C C C C 367=．即游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关的人数的概率为367．……4分（II ）由题设可知：ξ=0，1，2，3，4．361)31()21()0(202202=⋅⋅==C C P ξ， 61366)21(3132)31(2121)1(2021222212==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C C C C P ξ， 361331322121)21()32()31()21()2(1212222222222222=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C C C C C C P ξ， 3136122121)32(3132)21()3(1222212222==⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==C C C C P ξ，91364)32()21()4(22==⋅==ξP ．∴ ξ的分布列为：10分 ∴ E ξ=37914313361326113610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯． ………………………12分19．解法一：（I ）证明：连结AD 1交A 1D 于F ，则F 为中点，连结EF ，如图．∵ E 为中点， ∴ EF //BD 1．又EF ⊂面A 1DE ，BD 1⊄面A 1DE ，∴ BD 1//面A 1DE ．……………………………………………………………3分 （II ）在Rt △ABD 中，AB =2AD =2，可得BD =5， ∴ 252111=⨯⨯=∆DD BD S BDD ，212111111=⨯⨯=∆DD D A S DD A ，设A 1到面BDD 1的距离为d ，则由1111DD A B BDD A V V --=有1113131DD A BDD S AB S d ∆∆⋅=⋅⋅， 即212312531⋅⋅=⋅⋅d ，解得 552=d ，即A 1到面BDD 1的距离为552．……………………………………………8分（III ）连结EC ． 由ABAE 21=，有32=AE ，34=EB ，过D 作DH ⊥EC 于H ，连结D 1H ， 由已知面AA 1D 1D ⊥面ABCD 且DD 1⊥AD ，∴DD 1⊥面ABCD ．由三垂线定理知：D 1H ⊥EC ， ∴ ∠DHD 1为D 1-EC -D 的平面角． Rt △EBC 中，由34=EB ，BC =1，得35=EC ．又DH ·EC =DC ·BC ，代入解得56=DH ，∴在Rt △DHD 1中，65561t an 11===∠DHDD DHD ．∴65arctan1=∠DHD ，即二面角D 1-EC -D 的大小为65arctan ．…………12分解法二：（I ）同解法一．………………3分A 1D 1ADECFH（II ）由面ABCD ⊥面ADD 1A ，且四边形AA 1D 1D 为正方形，四边形ABCD 为矩形，可得D 1D ⊥AD ，D 1D ⊥D C ，DC ⊥DA ．于是以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由AB =2AD =2知：D (0，0，0)，D 1(0，0，1)，A 1(1，0，1)，B (1，2，0)， ∴ DB =(1，2，0)，1DD =(0，0，1)，B A 1=(0，2，-1)． 设面BDD 1的一个法向量为n 1)1(11z x ，，=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，00111DD DB n n 即⎩⎨⎧==+，，00211z x ∴)012(1，，-=n ．∴ 点A 1到面BDD 1的距离552||||111=⋅=n n B A d ． …………………………8分（III ）由（II ）及题意知：E (1，32，0)，C (0，2，0)，)1321(1-=，，E D ，)0341(，，-=EC ．设面D 1EC 的一个法向量为)1(222，，y x =n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，00212EC E D n n 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+，，03401322222y x y x 可得)12132(2，,n =．又易知面DEC 的一个法向量是=1DD (0，0，1)， 设D 1-EC -D 的大小为θ，则6161616611cos 1212=⨯==θ，得61616arccos=θ．即D 1-EC -D 的大小为61616arccos ．………………………………………12分20．解：（I ）)0()(2>+-='a xb xa x f ，由题，1)1(='f ，得-a +b =1． ∴ b =a +1．又切点(1，a+c )在直线x -y -2=0上，得1-(a +c )-2=0，解得c =-a -1． ………………………………………………………………4分 （II ）g (x )cx b xa x ---=ln1ln )1(+++--=a x a x a x ， ∴ 222))(1()1(11)(xa x x xax a x xa xa x g --=++-=+-+='2，令0)(='x g ，得x =1，或x =a ．………………………………………………8分 i)当a ≥1时，由0<x ≤1知，)(x g '≥0， ∴ g (x )在(0，1]上递增． ∴ g (x )ma x =g (1)=2．于是a ≥1符合条件． ………………………………………………………10分 ii)当0<a <1时，当0<x <a 时，0)(>'x g ；a <x <1时，g '(x )<0， ∴ g (x )在(0，a )上递增，g (x )在(a ，1)上递减． 得g (x )max =g (a )>g (1)=2，与题意矛盾． ∴ 0<a <1不符合题意．综上知实数a 的取值范围为[)∞+，1．………………………………………12分 21．解：（I ）由题知⎩⎨⎧=+=，，a cb a 22得b +c =4，即|AC |+|AB |=4（定值）．由椭圆定义知，顶点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆（除去左右顶点）， 且其长半轴长为2，半焦距为1，于是短半轴长为3． ∴ 顶点A 的轨迹方程为)0(13422≠=+y yx．………………………………4分（II ）由⎩⎨⎧=-++=，，0124322y x m kx y消去y 整理得(3+4k 2)x 2+8k mx +4(m 2-3)=0． ∴ Δ=(8k m )2-4(3+4k 2)×4(m 2-3)>0， 整理得：4k 2>m 2-3．①令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+，，222122143)3(4438k m x x k km x x设MN 的中点P (x 0，y 0)，则，2210434)(21kkm x x x +-=+=2021210433)(21)(21km kx m m kx m kx y y y +=+=+++=+=，…………………7分i)当k =0时，由题知，)30()03(，，⋃-∈m ．……………………………8分 ii)当k ≠0时，直线l 方程为x k y 121-=+，由P (x 0，y 0)在直线l 上，得2243421433km km +=++，得2m =3+4k 2．②把②式代入①中可得2m -3>m 2-3，解得0<m <2. 又由②得2m -3=4k 2>0，解得23>m ．∴223<<m ．验证：当(-2，0)在y =k x+m 上时，得m =2k 代入②得4k 2-4k +3=0，k 无解． 即y =k x+m 不会过椭圆左顶点. 同理可验证y =k x +m 不过右顶点．∴ m 的取值范围为(223，)．………………………………………………11分综上，当k =0时，m 的取值范围为)30()03(，，⋃-；当k ≠0时，m 的取值范围为(223，)．……………………………12分22．解：（I ）由题意，得22n n n a a S +=（n ∈N *）．于是21112++++=n n n a a S ，两式相减，得221112n n n n n a a a a a -+-=+++，即a n +1+a n =(a n +1+a n )(a n +1-a n )， 由题，a n >0，a n +1+a n ≠0，得a n +1-a n =1，即{a n }为公差为1的等差数列． 又由21112a a S +=，得a 1=1或a 1=0（舍去）．∴ a n =1+(n -1)·1=n (n ∈N *)．……………………………………………5分 （II ）证法一：由（I ）知na n11=，于是nT n 131211+⋅⋅⋅+++=，于是当n ≥2时，13211--+⋅⋅⋅+++=n n T T T T R=)1131211()31211()211(1-+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++++n=113322)1(-+⋅⋅⋅+-+-+-n n n n=11113121-+--+⋅⋅⋅+-+-+-n n n n n n n=n n n -+⋅⋅⋅+++)131211(=n (T n -1). ………………………………………………………………10分 法二：①当n =2时，R 1=T 1=11a =1，2(T 2-1)=2()1211-+=1，∴ n =2时，等式成立．②假设n =k （k ≥2）时，等式成立，即)1(1-=-k k T k R ， 当n =k +1时，k k k T R R +=-1 =k k T T k +-)1( =k T k k -+)1( =k a T k k k --+++)1)(1(11=k k T k k -+-++)11)(1(1=k T k k --++1)1(1 =)1)(1(1-++k T k ． ∴ 当n =k +1时，等式也成立．综合①②知，原等式对n ≥2，n ∈N *均成立． …………………………10分（III ）由（I ）知，∑∑==-=ni ni iia 13131．由分析法易知，112++->k k k ， 当k ≥2时，11123-⋅<k k kkk k 2112⋅-⋅+=)11(112++-+⋅-<k k k k1111+⋅---+=k k k k 1111+--=k k ，∴ 333131211n+⋅⋅⋅+++)121()4121()311(1nn --+⋅⋅⋅+-+-+<)1111(+--+n n111222+--+=n n．即22211113+<+++∑=-ni ia n n． ………………………………………14分。
绵阳市届高三第三次诊断考试数学试题及答案(理)
绵阳市高中2015届第三次诊断性考试（理工类）本试卷分第I卷（选择题）和第B卷（非选择题）。
第I卷1至2页，第B卷2至4 页．共4页．满分150分考试时间120分钟。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第I卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第I卷共10小题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1.已知i是虚数单位，则32ii-+等于（）A.－l＋iB. －1－iC. 1＋iD. 1－i2.已知向量为非零向量，则的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.己知函数的图象在同一直角坐标系中对称轴相同，则ω的值为（）A. 4B. 2C. 1D.1 24.一机器元件的三视图及尺寸如图示（单位：dm），则该组合体的体积为（）A. 80 dm3B. 88 dm3C. 96 dm}3D. 112 dm35.若则下列不等式成立的是（）A.答案AB.答案BC.答案CD.答案D6.已知S为执行如图所示的程序框图愉出的结果，则二项式的展开式中常数项的系数是（）A.－20B.20C.－203D.607.绵阳市某高中的5名高三学生计划在高考结束后到北京、上海、杭州、广州等4个城市去旅游，要求每个城市都到北京，则不同的出行安排有A. 180种B. 72种C. 216种D.204种8.已知函数给出如下四个命题：①f (x)在上是减函数；②在R恒成么③函数y＝f(x)图象与直线有两个交点．其中真命题的个数为（）A.3个B.2个C.1个D.0个9.己知四梭锥P-ABCD的各条棱长均为13, M, N分别是PA, BD上的点，且PM：MA=BN：ND=5：8，则线段MN的长（）A.5B.6C. 7D.810.已知点是抛物线y2＝4x上相异两点，且满足＝4，若AB 的垂直平分线交x轴于点M，则△AMB的面积的最大值是A.答案AB.答案BC.答案CD.答案D第II卷（非选择题共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答．作图题可先用铂笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。
四川省绵阳市2013届高中第三次诊断性考试(word版)理综
保密★启用前【考试时间：2013年4月22日上午9:00〜ll:30】绵阳市高中2010级第三次诊断性考试理科综合化学部分可能用到的相对原子质量Hl C1.2N14016C135.5Fe 56第I 卷（选择题、共42分）选择题（共7小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1近年来，食品安全事故频繁发生，人们对食品添加剂的认识逐渐加深。
下列关于食品添加剂的认识正确的是A.食品添加剂必须用纯天然物质才对人体无害B.S02漂白生成的无色物质不稳定，可广泛用于食品漂白C.我们每一个人都要多食用加碘食盐和加铁酱油D.食醋中含少量乙酸，可同时用作防腐剂和调味剂2实现下列实验目的的装置或操作正确的是3.下列离子或分子在溶液中能大量共存，加入足量Na 202后仍能大量共存的是A. B.C.D.4.已知X、Y,Z、W 为短周期元素，原子序数依次增大。
X、Z 同族且均为金属元素，Y、w 同族，w 的最高价氧化物对应的水化物是强酸。
下列说法错误的是A 原子半径：Z>W>YB.X 的最高价氧化物的水化物一定是强碱C.氢化物的沸点:W—定小于YD.Y 与Z 形成的化合物一定是离子晶体5.用H 202和H 2S04的混合溶液可溶出废旧印刷电路板上的铜。
已知:在H 2S04溶液中，Cu 与H 202反应生成Cu 2+(aq)和H 20(l)的反应热ΔH 等于A.-417.91kJ·mol -1 B.-319.68kJ·mol -1C +546.69kJ·mol -1 D.-448.46kJ·mol -16.25°C 时，的醋酸、醋酸钠混合溶液中，与pH 的关系如图所示。
下列有关该溶液的叙述不正确的是A.pH=4的溶液中：B.W 点所表示的溶液中：C.将W 点所表示的1.0L 溶液稀释到10L，用pH 计测量，溶液的pH 应为5.75D.pH=5.5的溶液中：7.为减小C02对环境的影响，在倡导“低碳”的同时，还需加强对C02创新利用的研究。
四川省绵阳市高考数学第三次诊断性考试 理
绵阳市高中2012级第三次诊断性考试数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷1至2页，第II 卷3至4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5亳米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置.2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3. 考试结束后，将答题卡收回. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k kn k n n P k C P P -=-第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足z •(1－i)=2i(其中i 为虚数单位)，则z 的值为 (A) –1－i (B) -1+i( C) 1-i (D) 1+i2. 已知集合，，则= (A)(B)(C)(D)3. 若函数/(X)=在R 上连续，则实数a 的值为 (A) -1 (B)O(C)(D) 14. l1,l2是空间中两条不同的直线，a,β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(A)(B)(C)(D)5. 已知两非零向量a,b,则是“a与b共线”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件6. 设f(X)是定义在R上周期为4的奇函数，当时，，则f(5)的值为(A) 4 (B) -4 (C) 2 (D) -27. 已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，且S15=45,M为a5, a11的等比中项，则M的最大值为(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 368. 已知点是圆内一点，直线l是以M为中点的弦所在的直线，直线m的方程为，那么(A)且m与圆C相切（B)且/W与圆C相切(C)且m与圆C相离（D)且w与圆C相离9. 某运输公司有7辆载重量为8吨的J型卡车与4辆载重量为10吨的5型卡车，有9名驾驶员.在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360吨沥青的任务.己知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次，B型卡车6次.每辆卡车每天往返的成本费为A型车160元，B型车180元.该公司每天合理派出A型车与B型车，使得每天所花的最低成本费为(A) 1200 元 (B) 1320 元(C) 1340 元（D) 1520 元10. 已知函数在一个周期内的图象如图所示.则的图象可由函数y=cosx的图象（纵坐标不变）(A) 先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位(B) 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位(C) 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位(D) 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位11. 已知双曲线C:(a>09 b>0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A,B 两点,若，则C的离心率为(A) (B) (C) 2 (D)12. 形如34021这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字、千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，现从由0, 1, 2, 3, 4, 5组成的数字不重复的五位数中任取一个，则该数是“波浪数”的概率为(A) (B) (C) (D)第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. 抛物线的焦点坐标为.________14. 若展开式中常数项为60,则实数a=________15. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的体积是，则A、B两点的球面距离为________16. 对于定义在区间D上的函数f(X),若存在闭区间和常数c，使得对任意x1,都有，且对任意x2D,当时，恒成立，则称函数f(x)为区间D上的“平顶型”函数.给出下列说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数为R上的“平顶型”函数；③函数f(x)=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数；④当时，函数，是区间上的“平顶型”函数.其中正确的是________.(填上你认为正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本题满分12分）已知向量.(I )当m//n时，求的值；(II)已知在锐角ΔABC中，a, b, c分别为角A,B,C的对边，，函数，求的取值范围.18. (本题满分12分）某电视台有A、B两种智力闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B.已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为.(I )求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；(II) 记游戏A、B被闯关成功的总人数为，求的分布列和期望.19. (本题满分12分）如图，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB上一点(I) 当点E为AB的中点时,求证；BD1//平面A1DE(II )求点A1到平面BDD1的距离；(III) 当时，求二面角D1-EC-D的大小.20. (本题满分12分）已知函数的图象在点(1, f(1))处的切线方程为x-y-2=0(I )用a表示b, c；(II) 若函数g(x)=x-f(x)在上的最大值为2，求实数a的取值范围.21. (本题满分12分）在ΔABC中，顶点A,B, C所对三边分别是a,b,c已知B(-1, 0), C(1, 0),且b,a, c成等差数列.(I )求顶点A的轨迹方程；(II) 设顶点A的轨迹与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，如果存在过点P(0,-)的直线l,使得点M、N关于l对称，求实数m的取值范围.22. (本题满分14分）已知数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项和，对于，总有成等差数列.(I )求数列{an}的通项an；(II )设数列的前n 项和为Tn,数列{Tn}的前n 项和为Rn,求证：时，；(III)对任意，试比较与的大小绵阳市高2012级第三次诊断性考试 数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． BCDBA CACAB AD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．(410-，)14．±215．arccos 3116．①④三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（I ）由m//n ，可得3sinx=-cosx ，于是tanx=31-．∴ 922)31(31312tan 31tan cos 2sin 3cos sin -=--⋅+-=-+=-+x x x x x x ． …………………………4分（II ）∵在△ABC 中，A+B=π-C ，于是C B A sin )sin(=+， 由正弦定理知：C A C sin sin 2sin 3⋅=， ∴23sin =A ，可解得3π=A ． ………………………………………………6分又△ABC 为锐角三角形，于是26ππ<<B ，∵ )(x f =(m+n)·n=(sinx+cosx ，2)·(sinx ，-1)=sin2x+sinxcosx-2=22sin 2122cos 1-+-x x =23)42sin(22--πx ， ∴232sin 2223]4)8(2sin[22)8(-=--+=+B B B f πππ．……………………10分由26ππ<<B 得ππ<<B 23，∴ 0<sin2B ≤1，得23-<232sin 22-B ≤2322-． 即]232223()8(--∈+，πB f ．………………………………………………12分18．解：（I ）设“i 个人游戏A 闯关成功”为事件Ai(i=0，1，2)，“j 个人游戏B 闯关成功”为事件Bj(j=0，1，2)，则“游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关的人数”为A1B0+A2B1+A2B0． ∴ P(A1B0+A2B1+A2B0) =P(A1B0)+P(A2B1)+P(A2B0)=P(A1)·P(B0)+P(A2)·P(B1)+P(A2)·P(B0)=22222120222200212)31()21(3132)21()21()31()32(2121⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅C C C C C C 367=．即游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关的人数的概率为367．……4分（II ）由题设可知：ξ=0，1，2，3，4．361)31()21()0(202202=⋅⋅==C C P ξ，61366)21(3132)31(2121)1(2021222212==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C C C C P ξ，361331322121)21()32()31()21()2(1212222222222222=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==CCCCCCPξ，3136122121)32(3132)21()3(1222212222==⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==CCCCPξ，91364)32()21()4(22==⋅==ξP．∴ξ的分布列为：……………………………………………………………………10分∴ Eξ=37914313361326113610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯．………………………12分19．解法一：（I）证明：连结AD1交A1D于F，则F为中点，连结EF，如图．∵ E为中点，∴ EF//BD1．又EF⊂面A1DE，BD1⊄面A1DE，∴ BD1//面A1DE．……………………………………………………………3分（II）在Rt△ABD中，AB=2AD=2，可得BD=5，∴252111=⨯⨯=∆DDBDSBDD，212111111=⨯⨯=∆DDDASDDA，设A1到面BDD1的距离为d，则由1111DDABBDDAVV--=有1113131DDABDDSABSd∆∆⋅=⋅⋅，即212312531⋅⋅=⋅⋅d，解得552=d，即A1到面BDD1的距离为552．……………………………………………8分（III）连结EC．A1D1由AB AE 21=，有32=AE ，34=EB ， 过D 作DH ⊥EC 于H ，连结D1H ，由已知面AA1D1D ⊥面ABCD 且DD1⊥AD ， ∴DD1⊥面ABCD ．由三垂线定理知：D1H ⊥EC ，∴ ∠DHD1为D1-EC-D 的平面角．Rt △EBC 中，由34=EB ，BC=1，得35=EC ． 又DH ·EC=DC ·BC ，代入解得56=DH ，∴在Rt △DHD1中，65561tan 11===∠DH DD DHD ．∴65arctan1=∠DHD ，即二面角D1-EC-D 的大小为65arctan．…………12分 解法二：（I ）同解法一．………………3分 （II ）由面ABCD ⊥面ADD1A ，且四边形AA1D1D 为正方形，四边形ABCD 为矩形，可得D1D⊥AD ，D1D ⊥DC ，DC ⊥DA ．于是以D 为原点，DA ，DC ，DD1分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由AB=2AD=2知：D(0，0，0)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，B(1，2，0)，∴ =(1，2，0)，1DD =(0，0，1)，B A 1=(0，2，-1)．设面BDD1的一个法向量为n1)1(11z x ，，=， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，00111DD n n 即⎩⎨⎧==+，，00211z x ∴)012(1，，-=n ． ∴ 点A1到面BDD1的距离552||||111=⋅=n n A d ． …………………………8分（III ）由（II ）及题意知：E(1，32，0)，C(0，2，0)，)1321(1-=，，E D ，)0341(，，-=EC ．设面D1EC 的一个法向量为)1(222，，y x =n ， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，00212D n n 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+，，03401322222y x y x 可得)12132(2，,n =．又易知面DEC 的一个法向量是=1DD (0，0，1)，设D1-EC-D 的大小为θ，则6161616611||||cos 1212=⨯=⋅=DD n θ，得61616arccos=θ．即D1-EC-D 的大小为61616arccos．………………………………………12分20．解：（I ）)0()(2>+-='a x bx a x f ，由题，1)1(='f ，得-a+b=1．∴ b=a+1．又切点(1，a+c)在直线x-y-2=0上，得1-(a+c)-2=0，解得c=-a-1． ………………………………………………………………4分（II ）g(x)cx b x ax ---=ln1ln )1(+++--=a x a x ax ，∴ 222))(1()1(11)(x a x x x a x a x x a x a x g --=++-=+-+='2，令0)(='x g ，得x=1，或x=a ．………………………………………………8分i)当a ≥1时，由0<x ≤1知，)(x g '≥0，∴ g(x)在(0，1]上递增．∴ g(x)max=g(1)=2．于是a ≥1符合条件． ………………………………………………………10分 ii)当0<a<1时，当0<x<a 时，0)(>'x g ；a<x<1时，g '(x)<0，∴ g(x)在(0，a)上递增，g(x)在(a ，1)上递减． 得g(x)max=g(a)>g(1)=2，与题意矛盾． ∴ 0<a<1不符合题意．综上知实数a 的取值范围为[)∞+，1．………………………………………12分 21．解：（I ）由题知⎩⎨⎧=+=，，a cb a 22得b+c=4，即|AC|+|AB|=4（定值）．由椭圆定义知，顶点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆（除去左右顶点）， 且其长半轴长为2，半焦距为1，于是短半轴长为3．∴ 顶点A 的轨迹方程为)0(13422≠=+y y x ．………………………………4分（II ）由⎩⎨⎧=-++=，，0124322y x m kx y消去y 整理得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0．∴ Δ=(8km)2-4(3+4k2)×4(m2-3)>0， 整理得：4k2>m2-3．①令M(x1，y1)，N(x2，y2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+，，222122143)3(4438k m x x k km x x设MN 的中点P(x0，y0)，则，2210434)(21k kmx x x +-=+=2021210433)(21)(21k mkx m m kx m kx y y y +=+=+++=+=，…………………7分 i)当k=0时，由题知，)30()03(，，⋃-∈m ．……………………………8分 ii)当k ≠0时，直线l 方程为x k y 121-=+，由P(x0，y0)在直线l 上，得2243421433k m k m +=++，得2m=3+4k2．②把②式代入①中可得2m-3>m2-3，解得0<m<2.又由②得2m-3=4k2>0，解得23>m ．∴ 223<<m ．验证：当(-2，0)在y=kx+m 上时，得m=2k 代入②得4k2-4k+3=0，k 无解． 即y=kx+m 不会过椭圆左顶点.同理可验证y=kx+m 不过右顶点．∴ m 的取值范围为(223，)．………………………………………………11分 综上，当k=0时，m 的取值范围为)30()03(，，⋃-；当k ≠0时，m 的取值范围为(223，)．……………………………12分22．解：（I ）由题意，得22n n n a a S +=（n ∈N*）．于是21112++++=n n n a a S ，两式相减，得221112n n n n n a a a a a -+-=+++，即an+1+an=(an+1+an)(an+1-an)，由题，an>0，an+1+an ≠0，得an+1-an=1，即{an}为公差为1的等差数列．又由21112a a S +=，得a1=1或a1=0（舍去）．∴ an=1+(n-1)·1=n (n ∈N*)．……………………………………………5分（II ）证法一：由（I ）知n a n 11=，于是n T n 131211+⋅⋅⋅+++=，于是当n ≥2时，13211--+⋅⋅⋅+++=n n T T T T R =)1131211()31211()211(1-+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++++n=113322)1(-+⋅⋅⋅+-+-+-n n n n =11113121-+--+⋅⋅⋅+-+-+-n nn n nn n =n n n -+⋅⋅⋅+++)131211(=n(Tn-1). ………………………………………………………………10分法二：①当n=2时，R1=T1=11a =1，2(T2-1)=2()1211-+=1，∴ n=2时，等式成立．②假设n=k （k ≥2）时，等式成立，即)1(1-=-k k T k R ，当n=k+1时，k k k T R R +=-1=k k T T k +-)1(=k T k k -+)1( =ka T k k k --+++)1)(1(11 =k k T k k -+-++)11)(1(1=k T k k --++1)1(1=)1)(1(1-++k T k ．∴ 当n=k+1时，等式也成立．综合①②知，原等式对n ≥2，n ∈N*均成立． …………………………10分（III ）由（I ）知，∑∑==-=n i n i i i a 13131． 由分析法易知，112++->k k k ，当k ≥2时，11123-⋅<k k k k k k 2112⋅-⋅+=)11(112++-+⋅-<k k k k 1111+⋅---+=k k k k1111+--=k k ，∴ 333131211n +⋅⋅⋅+++ )121()4121()311(1n n --+⋅⋅⋅+-+-+<)1111(+--+n n111222+--+=n n ． 即22211113+<+++∑=-ni i a n n ． ………………………………………14分。
四川省绵阳市高中2013届高三第三次诊断性考试理科综合试题.pdf
四川省绵阳市高三第三次诊断性考试理科数学试题 Word
2016届四川省绵阳市高三三诊考试理科数学试题（解析版）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i +=，则复数z 所对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知{|{|2,1}x U x y M y y x ====≥，则U M =ðA. [1,2)B. (0,)+∞C. [2,)+∞D. (0,1]3．执行如图所示的程序框图，则输出的n 为A. 4B. 6C. 7D. 84、“0x ∃>，使a x b +<”是“a b <”成立的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5、已知实数[1,1],[0,2]x y ∈-∈，则点(,)P x y 落在区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩内的概率为A.34B.14C.18D.386．甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1名至第5名（没有重复名次）. 已知甲、乙均为得到第1名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况可能有 A. 27种 B. 48种 C. 54种 D. 72种7．若函数()f x 同时满足以下三个性质：①()f x 的最小正周期为π；②对于任意的x R ∈，都有()()4f x f x π-=-；③()f x 在3,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，则()f x 的解析式可能是A. ()cos 8f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. ()sin 2cos2f x x x =-C. ()sin cos f x x x =D. ()sin 2cos2f x x x =+8．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，P Q 、分别是棱1CD CC 、上的动点，如图，当1BQ QD +的长度取得最小值时，二面角11B PQ D --的余弦值的取值范围为 A. 1[0,]5B.C. 1[5D.9．设,M N 是抛物线24y x =上分别位于x 轴两侧的两个动点，且0OM ON =，过点()4,0A 作MN 的垂线与抛物线交于点P Q 、两点，则四边形MPNQ 面积的最小值为A. 80B. 100C. 120D. 160 10．已知函数()||xe f x x =，关于x 的方程2()2()10()f x af x a m R -+-=∈有四个相异的实数根，则a 的取值范围是A.21(1,)21e e ---B. (1,)+∞C. 21(,2)21e e --D. 21(,)21e e -+∞-第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 11．已知向量(),1a t =与()4,b t =共线且方向相同，则______.t =12．若n⎛⎝的展开式各项系数之和为64，则展开式的常数项为________.13．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示.请根据以上数据分析，这个经营部定价在________元/桶才能获得最大利润14．在平面直角坐标系xOy 中，点()0,1A ，()0,4B . 若直线20x y m -+=上存在点P ，使得12PA PB =，则实数m 的取值范围是__________.15．已知函数||,0()||,0a x a x f x x a a x --≥⎧=⎨+-<⎩，其中常数0a >，给出下列结论：①()f x 是R 上的奇函数；②当4a ≥时，2()()f x a f x -≥对任意的x R ∈恒成立； ③()f x 的图像关于x a =和x a =-对称；④若对1(,2)x ∀∈-∞-，()2,1x ∃∈-∞-，使得12()()1f x f x =，则1(,1)2a ∈.其中正确的结论有_________. （写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6个小题，共75分. 16．（本小题满分12分）体育课上，李老师对初三（1）班50名学生进行跳绳测试. 现测得他们的成绩（单位：个）全部介于20到70之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：(20,30]，第二组：(30,40]，……，第五组：(60,70]），并绘制成如右图所示的频率分布直方图. （I ）求成绩在第四组的人数和这50名同学跳绳成绩的中位数；（II ）从成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.17．（本小题满分12分） 已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且满足cos sin b a C c A =+. （I ）求A 的大小；（II ）若3cos ,55B BC ==，17BD BA =，求CD 的长18．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S 满足()2*12n n a S n N +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若1n n T a λ+≤对*n N ∀∈恒成立，求实数λ的最小值. 19．（本小题满分12分） 如图，图②为图①空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形.在图①中，设平面BEF 与平面ABCD 相交于直线l .（I ）求证：l ⊥平面CDE ； （II ）在图①中，线段DE 上是否存在点M ，使得直线MC 与平面BEF 所成的角的正？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为2，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆E 截得的线段长为2.（I ）求椭圆E 的方程；（II ）直线1y kx =+与椭圆交于A B 、两点，以AB 为直径的圆与y 轴正半轴交于点C ，是否存在实数k ，使得ABC ∆的内切圆的圆心在y 轴上？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由. 21．（本小题满分14分）设函数()ln g x x =，()[(1)]()f x g x a g x λλλ=+--，其中,a λ是正常数，且01λ<<.（I ）求函数()f x 的最值；（II ）对于任意的正数m ，是否存在正数0x ，使不等式00(1)|1|g x m x +-<成立？并说明理由；（III ）设120,0λλ>>，且121λλ+=，证明：对于任意正数12,a a 都有12121122a a a a λλλλ≤+.参考答案一、 选择题AADCD CBBAD 二、 填空题11. 212. -54013. 11.514 m -≤ 15.①②三、 解答题 16.（I ）第四组的人数为16人，中位数为47.5 （II ）据题意，第一组有2人，第五组有4人 于是0,1,2ξ=， ξ∴的分布列为E ∴17．（I ）在ABC ∆中，原式利用正弦定理可化简为sin sin cos sin sin B A C C A =+ 又()()()sin sin sin sin cos cos sinB AC A C A C A C π=-+=+=+cos sin sin sin A C C A ∴= 又sin 0C≠ sin cos A A ∴= 4A π∴=（II ）在ABC ∆中，4sin 5B ==由sin sin AC BCB A =，即45AC =AC = 又cos cos()C A B =-+2222cos49AB AC BC AC BC C ∴=+-= 7AB ∴=由17BD BA =，得1BD =2222cos 20CD BD BC BD BC B ∴=+-= CD ∴=18．（I ）当1n =时，()211114a a S +==，解得11a =当2n ≥时，()()22111144n n n n n a a a S S --++=-=-整理得()()1120n n n n a a a a --+--= 100n n n a a a ->∴+> 12n n a a -∴-=21n a n ∴=-（II ）1111122121n n a a n n +⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭21n nT n ∴=+由题意得()221nn λ≥+对*n N ∀∈恒成立令()221n nb n =+，则()()()212221202321n n n b b n n +-++-=<++即1n n b b +<对*n N ∀∈恒成立即数列{}n b 为单调递减数列，最大值为119b =19λ∴≥，即λ的最小值为1919．（I ）证明：由题意，//AD EF EF ⊂面BEF ，AD ⊄面BEF //AD ∴面BEF 又AD ⊂平面ABCD ，面ABCD 面BEF l = //AD l ∴ 由主视图可知，AD CD ⊥，由侧视图可知DE AD ⊥，AD CD D =AD ∴⊥面CDE l ∴⊥面CDE（II ）建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()1,0,01,1,00,2,00,0,11,0,1A B C E F 、、、、()()1,0,0,0,1,1EF BF ∴==-则面BEF 的一个法向量为()0,1,1n = 设()0,0,M m ，则()0,2,MC m =-cos ,MC n ∴<>==解得23m =或6m =（舍） 即存在满足题意的点M ，此时M 的位置在线段DE 的23处（靠近E 点） 20．（I ）设焦点(),0F c ，则2c a =222a c =由题意得，2211c a b⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得22b =，又222a b c =+，24a ∴=故椭圆的方程为22142x y +=（II ）依题意可知BC AC ⊥，且45BCO ACO ∠=∠=于是直线BC 的斜率1BC k =，直线AC 的斜率1AC k =- 设()()()11220,,,,0,A x y B x y C y 则2021BC y y k x -==，1011AC y y k x -==-联立可得()1221x x k x x +=-①联立22124y kx x y =+⎧⎨+=⎩，可得()2212420k x kx ++-= 12122242,1212k x x x x k k ∴+=-=-++②将①式平方，并将②式代入可得2412k +=或者20k =故存在满足条件的k 值，分别为12k =±或0k =21． （I ）()()'(1)()[1]x a f x x a xλλλλ--=+-0,10,0,0a x λλ>->>>∴当x a >时，'()0;0f x x a ><<时，'()0f x <()f x ∴在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增。
四川省绵阳市高三数学第三次诊断性考试试题理(扫描版)
绵阳市高2013级第三次诊断性考试 数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．AADCD CBBAD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．2 12．-540 13．11.514．-52≤m ≤52 15．①② 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．解 ：（I ）第四组的人数为[1-(0.004+0.008+0.016+0.04)×10]×50=16，中位数为40+[0.5-(0.004+0.016)×10]÷0.04=47.5．………………………4分 （II ）据题意，第一组有0.004×10×50=2人，第五组有0.008×10×50=4人， 于是ξ=0，1，2，∴ P (ξ=0)=513634=C C ，P (ξ=1)=53362412=C C C ，P (ξ=2)=51361422=C C C ， ∴ ξ的分布列为ξ 0 1 2P51 53 51 (10)分∴ E ξ=0×51+1×53+2×51=1． ………………………………………………12分17．解：（I ）在△ABC 中，由正弦定理有，a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ， 代入b =a cos C +c sin A 中，即得2R sin B =2R sin A cos C +2R sin C sin A ，∴ sin B =sin A cos C +sin C sin A ．…………………………………………………3分 ∵ sin B =sin[π-(A +C )]=sin(A +C )， ∴ sin(A +C )=sin A cos C +sin C sin A ，即sin A cos C +cos A sin C =sin A cos C +sin C sin A ， 整理得，cos A sin C =sin C sin A ， 由sin C ≠0，可得cos A =sin A ，∴ A =4π． ………………………………………………………………………5分（II ）在△ABC 中，sin B =54cos 12=-B ， 由A BCB AC sin sin =即22554=AC ，解得AC =24，………………………………7分 又∵ cos C =cos[π-(A +B )]=-cos(A +B )=-cos A cos B +sin A sin B=-5322⨯+5422⨯=102， ∴ AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos C =32+25-2×24×5×102=49，∴ AB =7， ……………………………………………………………………10分于是由BA BD 71=可得BD =1，∴ CD 2=BD 2+BC 2-2BD ·BC ·cos B =1+25-2×1×5×53=20，∴ CD =52．…………………………………………………………………12分18．解：（I ）当n =1时，a 1=S 1=4)1(21+a ，整理得(a 1-1)2=0，解得a 1=1．当n ≥2时，a n =S n -1-n S =4)1(4)1(212+-+-n n a a ， 整理得0)1()1(212=+---n n a a ，即0)2)((11=--+--n n n n a a a a ， ∵ a n >0，∴ 1-+n n a a >0， ∴ 21=--n n a a ，∴ {a n }是首项为1，公差为2的等差数列，∴ a n =1+2(n -1)=2n -1． ………………………………………………………5分（II ）)121121(21)12)(12(111+--=+-=+n n n n a a n n ， ∴ T n =211a a +321a a +…+11+n n a a=)]121121()5131()311[(21+--+⋅⋅⋅+-+-n n=)1211(21+-n=12+n n， …………………………………………………………………8分由题知12+n n≤λ(2n +1)对∀n ∈N *恒成立，即 λ≥2)12(+n n对∀n ∈N *恒成立， …………………………………………9分 令b n =2)12(+n n ，则222221)12()32(2)12()12()32(1++++-=+-++=-+n n n n n n n b b n n ， ∵ 对∀n ∈N *，2n +1≥3，∴ -(2n +1)2+2<0，即01<-+n n b b ，于是n n b b <+1，∴ {b n }是单调递减数列， ……………………………………………………11分即数列{b n }的最大值为b 1=91，∴ λ≥91，即λ的最小值为91．………………………………………………12分19．（I ）证明：由题意，AD //EF ，∵ EF ⊂面BEF ，AD ⊄面BEF ，∴ AD //面BEF ． ………………………………………………………………2分 又∵ AD ⊂面ABCD ，面ABCD ∩面BEF =l ，∴ AD //l ， ………………………………………………………………………3分 由主视图可知，AD ⊥CD ，由侧视图可知，DE ⊥AD ， ∵ CD ∩AD =D ， ∴ AD ⊥面CDE ．∴ l ⊥面CDE ．……………………………………………6分 （II ）如图，建立空间直角坐标系D -xyz ，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，2，0)，E (0，0，1)，F (1，0，1)，∴ EF =(1，0，0)，BF =(0，-1，1)，……7分 设面BEF 的一个法向量n =(x ，y ，z )，E F z M则由EF ·n =0，BF ·n =0可得 ⎩⎨⎧=+-=，，00z y x 令y =1，则z =1， ∴ n =(0，1，1)， …………………………9分 设M (0，0，m )，则MC =(0，2，-m )， ∴ cos<MC ，n >=554222=+⋅-m m ， 解得m =32或m =6（舍）， 即存在满足点M ，此时M 的位置在线段DE 的32处（靠近E 点）．……12分 20．解：（I ）设焦点F (c ，0)，则22=a c ，从而a 2=2c 2， 由题意有11)(22=+ba c ，即11212=+b ，解得b 2=2，又由a 2=b 2+c 2，于是2c 2=2+c 2，解得c 2=2，a 2=4，∴ 椭圆E 的方程为12422=+y x ． ………………………………………………4分（II ）依题意可知BC ⊥AC ，且∠BCO =∠ACO =45º，于是直线BC 的斜率为k BC =1，直线AC 的斜率为k AC =-1， ………………6分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (0，y 0)，则1101-=-=x y y k AC ，1202=-=x y y k BC ， ∴ x 1=y 0-y 1=-k (x 1-1)+y 0，x 2=y 2-y 0=k (x 2+1)-y 0， 相加得x 1+x 2=k (x 2-x 1)． ………………8分联立⎩⎨⎧=++=，，42122y x kx y 消去y ， 整理得(1+2k 2)x 2+4kx -2=0，∴ x 1+x 2=2214k k +-，x 1x 2=2212k+-．………………………………………10分 把x 1+x 2=k (x 2-x 1)两边同时平方，可得(x 1+x 2)2=k 2[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]，代入可得(2214k k +-)2=k 2[(2214k k +-)2-4×(2212k+-)]， 化简可得4k 2+1=2，或k 2=0，解得k =21±，或k =0，即存在满足条件的k 值，k =21±，或k =0．…………………………………13分21．解：（I ）xa x a x x a x x f ])1([))(1()1()(λλλλλλλλ-+--=--+='，∵ a >0，1-λ>0，λ>0，x >0，∴ 当x >a 时，)(x f '>0；0<x <a 时，)(x f '<0．∴ f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，+∞)上单调递增，∴ f (x )有最小值f (a )=(1-λ)ln a ，没有最大值． ………………………………4分（II ）对∀m >0，∃x 0>0，使得1)1(00-+x x g <m 成立．其理由如下：………5分 x y CB A O令h (x )=ln(x +1)-x ，则1)(+-='x xx h ， 显然当x ≥0时，)(x h '≤0，所以h (x )在[)∞+，0上单调递减， ∴ h (x )≤h (0)=0，即ln(x +1)-x ≤0，于是可得当x >0时，ln(x +1)<x ，则01)1ln(<-+xx ，故1)1(-+xx g <m 等价于ln(x +1)+(m -1)x >0． ………………………………7分 设)(x ϕ=ln(x +1)+(m -1)x ，m >0，x >0，则1)1(111)(++-=-++='x m x m m x x ϕ， 当m ≥1时，)(x ϕ'>0，)(x ϕ在(0，+∞)上单调递增， ∴ 对∀x 0>0均有φ(x 0)> φ(0)=0恒成立，当0<m <1时，由)(x ϕ'>0可得0<x <m m -1，由)(x ϕ'<0可得x >mm-1，于是)(x ϕ在(0，m m -1)上是增函数，在(m m-1，+∞)是减函数，∴ 对∀x 0∈(0，mm-1)均有φ(x 0)> φ(0)=0恒成立．综上，对任意正数m ，都存在正数x 0满足条件． ………………………10分 （Ⅲ）证明：由（I ）知，对∀x >0，a >0，0<λ<1时， 都有ln[λx +(1-λ)a ]-λln x ≥(1-λ)ln a ．即ln x λ+λ-1ln a ≤ln[λx +(1-λ)a ]，令λ1=λ，λ2=1-λ，a 1=x ，a 2=a ，则)ln(2121λλa a ≤)ln(2211λλa a +， ∵ y =ln x 在(0，+∞)上是增函数，∴ 2121λλa a ≤2211λλa a +．……………………………………………………14分。
四川省绵阳市2013届高三第二次诊断性考试(2013绵阳二诊)(word版)数学理 2
绵阳市高中2010级第二次诊断性考试数学（理科）第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.A. 30°B. 60°C. 120°D. 150° 2. 计算：1+i+i 2+i 3+…+i 100（i 为虚数单位）的结果是 A. 0B. 1C. iD. i+13. 已知R b a ∈、,那么“ab <0”是“方程ax 2+by 2=l 表示双曲线”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件5. —个正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的三视图 如右图所示，则这个正三棱柱的体积为7. 现有1位老师、2位男学生、3位女学生共6人站成一排照相，若男学生站两端，3位 女学生中有且只有两位相邻，则不同排法的种数是 A. 12 种B. 24 种C. 36 种D. 72 种9. 已知关于X 的一元二次方程x 2-2x+b-a+3=0,其中a 、b 为常数，点(a,b)是区域 Ω: ⎩⎨⎧≤≤≤≤40,40b a 内的随机点.设该方程的两个实数根分别为x 1、x 2则x 1、x 2满足2110x x ≤≤≤的概率是只小球的半径是 A. 3 或 8B. 8 或 11C. 5 或 8D. 3 或 11第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 《人再冏途之泰冏》首映结束，为了了解观众对该片的看法，决定从500名观众中抽 取10%进行问卷调查，在这500名观众中男观众占40%,若按性别用分层抽样的方法 抽取釆访对象，则抽取的女观众人数为______人围是______15. 已知函数f (x),若对给定的三角形ABC,它的三边的长a 、b 、c 均在函数f (x)的定 义域内，都有f(a)、f (b ), f(c)也为某三角形的三边的长，则称f(x)是ΔABC 的“三角形函数”.下面给出四个命题：以上命题正确的有_______(写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤• 16. (本小题满分 12 分）已知函数f(x)=(sinx+cosx)2- 2sin 2x (I)求f(x)的单调递减区间；17. (本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD 丄 底面ABCD, PD=DC ，点E 是PC 的中点，作EF 丄PB 交PB 于F. (I )求证：PA//平面EDB ； (II )求证：PB 丄平面EFD(II) 假设甲投了一次篮，乙投了两次篮，设X 是甲这次投篮得分减去乙这两次投篮 得分总和的差，求随机变量X (I )试问数列是否成等比数列，请说明理由；且使等式成立？若存在，求(III) 己知数列{a n }满足a 1=1,求证:(e 为 自然对数的底数).绵阳市高中2010级第二次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CBCAA BBDAD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．3012．30 13．-914．44[]215，∪521[]44， 15．①④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）f (x )=1+sin2x -1+cos2x x+4π)，∴ 当22k ππ+≤2x+4π≤322k ππ+时，f (x )单调递减，即f (x )的单调递减区间为[k ππ+，58k ππ+](k ∈Z )． ……………………6分（Ⅱ）f (8A4A +4πsin(4A +4π∴ 4A +4π=3π或23π，即A=3π或53π（舍）．由AB AC ⋅=c ·b ·cos A =12，cos A =12，得bc =24．①又cos A =222122b c a a bc +-==，b 2+c 2=52．∵ b 2+c 2+2bc =(b+c )2=100，b >0，c >0， ∴ b+c=10，②联立①②，且b <c ，解得b =4，c =6． ………12分 17．解：如图所示建立空间直角坐标系，设DC =1．（Ⅰ）连结AC ，交BD 于G ，连结EG ．依题意得 A (1，0，0)，P (0，0，1)，E (0，12，12)． ∵ 底面ABCD 是正方形，所以G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为(12，12，0)， 且11(101)(0)22PA EG =-=-，，，，，．∴ 2=，这表明PA //EG ．而EG ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ，∴ PA //平面EDB ． ……………………………………………………………4分 （Ⅱ）依题意得B (1，1，0)，PB =(1，1，-1)．又11(0)22DE =，，， 故110022PB DE ⋅=+-=．∴DE PB ⊥．由已知PB EF ⊥，且E DE EF = ，∴⊥PB 平面EFD ．…………………………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知PB EF⊥，PB DF ⊥，故EFD ∠是所求二面角的平面角．设点F 的坐标为(x 0，y 0，z 0)，PF kPB =，则(x 0，y 0，z 0-1)=k (1，1，-1)，从而x 0=k ，y 0=k ，z 0=1-k ， ∵PB FD ⋅=0，所以(1，1，-1)·(k ，k ，1-k )=0，解得13k =， ∴ 点F 的坐标为112()333，，，且111()366FE =--，，，112()333FD =---，， ∴ 1cos 2||||FE FD EFD FE FD ⋅∠==，得3π=∠EFD ． ∴ 二面角C -PB -D 的大小为3π．…………………………………………12分18．解：（Ⅰ）甲投篮三次恰好得三分即1次投中2次不中，∵ 甲投篮三次中的次数x ～B (3，13)，∴ P (x =1)=123114(1)339C ⋅⋅-=， 甲投篮三次恰好得三分的概率为49．…………………………………………4分（Ⅱ）设甲投中的次数为m ，乙投中的次数为n ， ①当m =0，n =2时，X =-6， ∴ P (X =-6)=222211()3424C ⋅⋅=． ②当m =1，n =2或m =0，n =1时，X =-3， ∴ P (X =-3)=2121121313()3434448C ⋅+⋅⋅⋅=． ③当m =1，n =1或m =0，n =0时，X =0， ∴ P (X =0)=10222113231()344342C C ⋅⋅⋅+⋅⋅=． ④当m =1，n =0时，X =3， ∴ P (X =3)=022139()3448C ⋅⋅=． ∴X 的分布列为…………………………………12分19．解：（Ⅰ）由 2a n +1a n =ka n -a n +1，可得11n a +=12n nka a +， ∴11n a +21k --=12n nka a +21k --=112()1n k a k --，首项为11242131a k k -=---． 若42031k -=-，即k=52时，数列12{}1na k --为零数列，不成等比数列． 若42031k -≠-，即k>0，k ≠1且k ≠52时， 数列12{1n a k --是以4231k --为首项，1k为公比的等比数列． ∴ 综上所述，当k=52时，数列12{}1n a k --不成等比数列；当k>0，k ≠1且k ≠52时，数列12{1n a k --是等比数列．……………………………………6分 （Ⅱ）当k =3时，数列1{1}n a -是以13为首项，13为公比的等比数列． ∴ 111(3n n a -=，即a n =331nn +=1-131n +， ∴ a n -3435n n ++=1-131n +-(1-135n +)=135n +-131n +=334(35)(31)n nn n --++， 令F (x ) =3x -3x -4(x ≥1)，则()F x '=3xln3-3≥(1)F '>0，∴ F (x )在[1)+∞，上是增函数． 而F (1)=-4<0，F (2)=-1<0，F (3)=14>0，∴ ①当n =1和n =2时， a n <3435n n ++；②当n ≥3时，3n+1>3n +5，即135n +>131n +，此时a n >3435n n ++．∴ 综上所述，当n =1和n =2时，a n <345n ++；当n ≥3时，a n >3435n n ++．…12分20．解：12=，化简得：22143x y +=，即轨迹E 为焦点在x 轴上的椭圆． ………………5分（Ⅱ）设A (x 1，x 2)，B (x 2，y 2)． ∵OA OB ⋅=(OP PA +)۰(OP PB +)=2OP +OP PB ⋅+PA OP ⋅+PA PB ⋅，由题知OP ⊥AB ，故OP PB ⋅=0，PA OP ⋅=0．∴OA OB ⋅=2OP +PA PB ⋅=2OP -AP PB ⋅=0．假设满足条件的直线m 存在，①当直线m 的斜率不存在时，则m 的方程为x =代入椭圆22143x y +=，得y = ∴ OA OB ⋅=x 1x 2+y 1y 2=-2-64≠0，这与OA OB ⋅=0矛盾，故此时m 不存在．②当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y =kx +b ，∴ |OP =b 2=2k 2+2．联立22143x y +=与y =kx+b 得，(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2-12=0，∴ x 1+x 2=2348kbk -+，x 1x 2=2241234k b -+，y 1y 2=(kx 1+b )(kx 2+b )=k 2x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2=22231234b k k +-，∴ OA OB ⋅=x 1x 2+y 1y 2=2241234k b -++22231234b k k+-=0． ∴ 7b 2-12k 2-12=0， 又∵ b 2=2k 2+2，∴ 2k 2+2=0，该方程无解，即此时直线m 也不存在．综上所述，不存在直线m 满足条件．………………………………………13分 21．解：（Ⅰ）由已知有(+1)()+1f xg x x x =-=ln(+1)x x -， 于是1()1=+11xg x x x '=--+． 故当x ∈(-1，0)时，()g x '>0；当x ∈(0，+∞)时，()g x '<0．所以g (x )的单调递增区间是(-1，0)，单调递减区间是(0，+∞)，g (x )的极大值是g (0)=0． ……………………………………………………………………4分 （Ⅱ）因为()ln +1f x x '=，所以0ln +1x =2121()()f x f x x x --，于是02ln ln x x -=21221()()ln 1f x f x x x x ----=2211221ln ln ln 1x x x x x x x ----=121121ln ln 1x x x x x x ---=2121ln11x x x x --， 令21x x =t (t >1)，ln ln 1()111t t t h t t t -+-=--=， 因为10t ->，只需证明ln +10t t -<．令ln +1t t t ϕ=-（)，则110t tϕ'=-<()， ∴ t ϕ()在(1+)t ∈∞，递减，所以10t ϕϕ<()()=， 于是h (t )<0，即02ln ln x x <，故02x x <．仿此可证10x x <，故102x x x <<．……………………………………………10分（Ⅲ）因为11a =，1211(1)2n n n n a a a n+=++>，所以{}n a 单调递增，n a ≥1． 于是1222111111(1)(1)=(1)222n n n n n n n n a a a a a n n n+=++≤++++，所以1211ln ln ln(1)2n n n a a n+≤+++． （*）由（Ⅰ）知当x >0时，ln 1+x ()<x ． 所以（*）式变为1211ln ln 2n n n a a n +<++． 即11211ln ln 2(1)kk k a a k ---<+-(k ∈N ，k ≥2)， 令k =2，3，…，n ，这n -1个式子相加得1121222111111ln ln +++)[]22212(1)n n a a n --<++++-（1221111111)[]2122334(2)(1)n n n -<++++++⨯⨯--(-=1111111111)[1()()()]24233421n n n -+++-+-++---(-=111111)1)2421n n -+++--(-(1111111=4214n n --<--， 即11111ln ln 44n a a <+=，所以114n a e <．……………………………………14分薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。