2018年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组六平面向量试题文

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2018年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷全书文

重组一集合与常用逻辑用语测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·全国卷Ⅰ]设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎪⎫－3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3答案 D解析由题意得，A ＝{x |1<x <3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >32，则A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.选D.2．[2017·河北百校联盟联考]已知全集U ＝Z ，A ＝{x |x 2－5x <0，x ∈Z }，B ＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合等于( )A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}答案 B解析 x 2－5x <0的解为0<x <5，所以集合A ＝{1,2,3,4}，(∁U A )∩B 是指不在集合A 中，但在集合B 中的全集中的元素，即－1,0，所以图中的阴影部分表示的集合等于{－1,0}，故选B.3．[2017·湖北武汉联考]命题“∀n ∈N *，∃x ∈R ，使得n 2<x ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，∃x ∈R ，使得n 2≥x B ．∀n ∈N *，∀x ∈R ，使得n 2≥x C ．∃n ∈N *，∃x ∈R ，使得n 2≥x D ．∃n ∈N *，∀x ∈R ，使得n 2≥x 答案 D解析命题的否定是条件不变，结论否定，同时存在量词与全称量词要互换，因此命题“∀n ∈N *，∃x ∈R ，使得n 2<x ”的否定是“∃n ∈N *，∀x ∈R ，使得n 2≥x ”．故选D.4．[2016·江西九校联考]已知A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x x ＋1x －1≤0，B ＝{－1，0,1}，则card(A ∩B )＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析由A ＝{x |－1≤x <1}可得A ∩B ＝{－1,0}，所以A ∩B 的元素个数为2.5．[2016·北京东城模拟]集合A ＝{x |x ≤a }，B ＝{x |x 2－5x <0}，若A ∩B ＝B ，则a 的取值范围是( )A ．a ≥5 B．a ≥4 C．a ＜5 D ．a ＜4 答案 A解析 B ＝{x |x 2－5x <0}＝{x |0<x <5}，A ∩B ＝B 说明B 是A 的子集，故a ≥5. 6．[2016·安徽六校测试]设非空集合P ，Q 满足P ∩Q ＝P ，则( ) A ．∀x ∈Q ，有x ∈P B ．∀x ∉Q ，有x ∉P C ．∃x 0∉Q ，使得x 0∈P D ．∃x 0∈P ，使得x 0∉Q 答案 B解析因为P ∩Q ＝P ，所以P ⊆Q ，所以∀x ∉Q ，有x ∉P ，故选B.7．[2016·衡水模拟]“C ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析由点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3，得|3×2＋4×1＋C |32＋42＝3，解得C ＝5或C ＝－25，所以“C ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.8．[2016·济南调研]已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，x >sin x ，则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈p 为真C ．p ∧q 为真D ．p ∨q 为假答案 B解析由三角函数y ＝sin x 的有界性，－1≤sin x 0≤1，所以p 假；对于q ，构造函数y＝x －sin x ，求导得y ′＝1－cos x ，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以y ′>0，y 为单调递增函数，有y >y |x＝0＝0恒成立，即∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，x >sin x ，所以q 真．判断可知，B 正确．9．[2017·河南郑州月考]已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧y ⎪⎪⎪ y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ≥}－1，B ＝{y |y ＝e x ＋1，x ≤0}，则下列结论正确的是()A ．B ∩(∁R A )＝∅ B ．A ∪B ＝RC ．A ∩(∁R B )＝∅D ．A ＝B答案 A解析因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在[－1，＋∞)上单调递减，所以y ∈(0,2]，因为函数y ＝e x＋1在(－∞，0]上单调递增，所以y ∈(1,2]，故选A.10．[2016·河西五市二联]下列说法正确的是( ) A ．命题“∀x ∈R ，e x >0”的否定是“∃x ∈R ，e x>0”B ．命题“已知x ，y ∈R ，若x ＋y ≠3，则x ≠2或y ≠1”是真命题C ．“x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立”⇔“(x 2＋2x )min ≥(ax )min 在x ∈[1,2]上恒成立” D ．命题“若a ＝－1，则函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点”的逆命题为真命题答案 B解析 A 项，应为“∃x ∈R ，e x≤0”，故A 错误；B 项，其逆否命题是“若x ＝2且y ＝1，则x ＋y ＝3”，为真命题，故原命题为真命题，故B 正确；C 项，应为“(x 2＋2x －ax )min ≥0在[1,2]上恒成立”，故C 错误；D 项，函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝4＋4a ＝0⇒a ＝－1，故D 错误，选B.11．[2017·河北百校联考]命题“∃x 0∈R ，a sin x 0＋cos x 0≥2”为假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－3，3)B ．[－3， 3 ]C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞) 答案 A解析命题“∀x ∈R ，a sin x ＋cos x <2”为真命题，即a 2＋1<2，解得－3<a <3，即实数a 的取值范围是(－3，3)．12．[2017·北京模拟]某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．设该网店第一天售出但第二天未售出的商品有m 种，这三天售出的商品最少有n 种，则m ，n 分别为( )A ．18,30B ．16,28C ．17,29D ．16,29 答案 D解析设第一天售出的商品为集合A ，则A 中有19个元素，第二天售出的商品为集合B ，则B 中有13个元素，第三天售出的商品为集合C ，则C 中有18个元素．由于前两天都售出的商品有3种，则A ∩B 中有3个元素，后两天都售出的商品有4种，则B ∩C 中有4个元素，所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19－3＝16种．这三天售出的商品种数最少时，第一天和第三天售出的种类重合最多，由于前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，故第一天和第三天都售出的商品可以有17种，即A ∩C 中有17个元素，如图，即这三天售出的商品最少有2＋14＋3＋1＋9＝29种．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·湖南郴州三模]命题“实数的平方都是正数”的否定是________________________．答案至少有一个实数的平方不是正数解析全称命题的否定一定是特称命题．“实数的平方都是正数”是全称命题，只是省略了“所有”两字．14．[2017·山西四校联考]已知命题p ：x 2－5x ＋4≤0；命题q ：13－x <1，若(綈q )∧p是真命题，则x 取值范围是________．答案 [2,3]解析若p 真，则1≤x ≤4；若q 真，则x <2或x >3.∵(綈q )∧p 为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤4，2≤x ≤3，∴2≤x ≤3.15．[2016·沧州质检]设集合S n ＝{1,2,3，…，n }，n ∈N *，若X ⊆S n 把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n 的奇(偶)子集．若n ＝4，则S n 的所有奇子集的容量之和为________．答案 7解析若n ＝4，则S n 的所有奇子集为{1}，{3}，{1,3}，故所有奇子集的容量之和为7. 16．[2016·山西质检]已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2}，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，且M ∩N ＝∅，则b 的取值范围是________．答案 (－∞，－3)∪(32，＋∞)解析如图，y ＝9－x 2的图象是半圆，当直线y ＝x ＋b 与半圆无公共点时，截距b ＞32或b ＜－3，故b 的取值范围是(－∞，－3)∪(32，＋∞)．三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2016·江西宜春月考](本小题满分10分)已知集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}．(1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围； (2)若A ∪B ＝B ，求a 的取值范围．解 (1)要使A ∩B ＝∅，则需满足下列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≤5，a ≥－1，(3分)解此不等式组得－1≤a ≤2，即a 的取值范围是[－1,2]．(5分) (2)要使A ∪B ＝B ，即A 是B 的子集，(6分) 则需满足a ＋3＜－1或a ＞5，(8分) 解得a ＞5或a ＜－4，即a 的取值范围是{a |a ＞5或a ＜－4}．(10分) 18．[2016·山东烟台月考](本小题满分12分)已知p ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432≤4，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若綈p 是綈q 的必要非充分条件，求实数m的取值范围．解綈p ：⎝⎛⎭⎪⎫x －432＞4，解得x ＜－2或x ＞10，设A ＝{x |x ＜－2或x ＞10}，(3分)綈q ：x 2－2x ＋1－m 2＞0，解得x ＜1－m 或x ＞1＋m ，设B ＝{x |x ＜1－m 或x ＞1＋m }．(6分)因为綈p 是綈q 的必要非充分条件，所以B A (8分)即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10(等号不同时成立)，(11分)∴m ≥9.(12分)19．[2016·龙岩月考](本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－9≤0}，m ∈R .(1)若m ＝3，求A ∩B ；(2)已知命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意知，A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －3≤x ≤m ＋3}．(4分) 当m ＝3时，B ＝{x |0≤x ≤6}，∴A ∩B ＝[0,3]．(5分) (2)由q 是p 的必要条件知，A ⊆B ，(7分) 结合(1)知⎩⎪⎨⎪⎧m －3≤－1，m ＋3≥3，解得0≤m ≤2.(10分)故实数m 的取值范围是[0,2]．(12分)20．[2016·广东佛山一中模拟](本小题满分12分)已知集合A ＝{x |ax 2＋x ＋1＝0，x ∈R }，且A ∩{x |x ≥0}＝∅，求实数a 的取值范围．解当a ＝0时，A ＝{x |x ＋1＝0，x ∈R }＝{－1}，此时A ∩{x |x ≥0}＝∅；(3分) 当a ≠0时， ∵A ∩{x |x ≥0}＝∅，∴A ＝∅或关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0的根均为负数．(4分) ①当A ＝∅时，关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0无实数根， ∴Δ＝1－4a ＜0，解得a ＞14.(7分)②当关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0的根x 1，x 2均为负数时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4a ≥0，x 1＋x 2＝－1a ＜0，x 1x 2＝1a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤14，a ＞0，即0＜a ≤14.(10分)综上所述，实数a 的取值范围为{a |a ≥0}．(12分)21．[2016·山西太原期中](本小题满分12分)已知集合A ＝{x |(x －1)(x －2a －3)＜0，a ∈R }，函数y ＝lgx －a 2＋2a －x(a ∈R )的定义域为集合B .(1)若a ＝1，求A ∩(∁R B )；(2)若a ＞－1且“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解 (1)若a ＝1，则集合A ＝{x |(x －1)·(x －5)＜0}＝(1,5)，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －32－x ＞0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －3x －2＜0＝(2,3)，(3分) 所以∁R B ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，(4分) 故A ∩(∁R B )＝(1,2]∪[3,5)．(5分)(2)因为a ＞－1，所以2a ＋3＞1，a 2＋2－2a ＝(a －1)2＋1＞0⇒a 2＋2＞2a ，(7分) 则集合A ＝{x |(x －1)(x －2a －3)＜0}＝(1,2a ＋3)，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －a 2＋2a －x ＞0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －a 2＋x －2a ＜0＝(2a ，a 2＋2)．(9分) 又“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，所以B A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥1，a 2＋2≤2a ＋3(等号不能同时取得)，解得12≤a ≤1＋ 2.(11分)故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1＋2.(12分) 22．[2016·河南洛阳月考](本小题满分12分)已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数；命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，f (x )＝x ＋1x ＞1c 恒成立．如果p ∨q 为真，p ∧q 为假，求c 的取值范围．解由p 得0＜c ＜1.(2分) 由q 得1c ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x min ＝2，又c ＞0，∴c ＞12，(4分)因为p ∨q 为真，p ∧q 为假，所以p 和q 一真一假．(6分) 即⎩⎪⎨⎪⎧0＜c ＜1，c ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧c ≥1，c ＞12，(10分)解得0＜c ≤12或c ≥1.∴c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)．(12分) 重组二函数测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·沈阳质检]下列函数中，在其定义域内是增函数且又是奇函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2|x |C ．y ＝2x－2－xD ．y ＝2x ＋2－x答案 C解析 A 虽增却非奇非偶，B 、D 是偶函数，由奇偶函数定义可知C 是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数(或y ′＝2xln 2＋2－xln 2>0)，故选C.2．[2017·河北百校联考]已知f (x )满足对∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，且x ≥0时，f (x )＝e x＋m (m 为常数)，则f (－ln 5)的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－6 答案 B解析由题设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故f (0)＝e 0＋m ＝1＋m ＝0，即m ＝－1，所以f (－ln 5)＝－f (ln 5)＝－eln 5＋1＝－5＋1＝－4，故应选B.A ．a <b <c <dB ．a <c <d <bC ．b <a <c <dD ．b <a <d <c答案 A 解析4．[2016·衡水联考]已知奇函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －43x，f x x ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝( )A ．－56B.56 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12 133 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1213 －43答案 A解析因为F (x )＝－F (－x )，log 213<0，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝－F ⎝⎛⎭⎪⎫－log2135．[2016·全国卷Ⅰ]函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )答案 D解析 ∵f (x )＝y ＝2x 2－e |x |， ∴f (－x )＝2(－x )2－e |－x |＝2x 2－e |x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数．当x ＝±2时，y ＝8－e 2∈(0,1)，故排除A 、B.当x ∈[0,2]时，f (x )＝y ＝2x 2－e x， ∴f ′(x )＝4x －e x＝0有解，故函数y ＝2x 2－e |x |在[0,2]上不是单调的，故排除C ，故选D.6．[2016·浙江高考]设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关答案 B解析由于f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝1－cos2x 2＋b sin x ＋c .当b ＝0时，f (x )的最小正周期为π；当b ≠0时，f (x )的最小正周期为2π.c 的变化会引起f (x )图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.7．[2016·江西联考]已知定义在R 上的函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，且f (x ＋1)为偶函数，则( )A ．f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 B ．f (－2)>f (2) C ．f (－1)<f (3) D ．f (－4)＝f (4)答案 B解析因为f (x ＋1)是偶函数，所以f (1＋x )＝f (1－x )，f (x )关于直线x ＝1对称，又因为f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(－∞，1]上单调递减，所以f (0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (－2)＝f (4)>f (2)，f (－1)＝f (3)，f (－4)＝f (6)>f (4)，故选B.8．[2017·河南大联考]已知函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ 2x 4＋x 2sin x ＋4x 4＋2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＝( )A ．2017B ．2016C ．4034D ．4032 答案 D解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝2x 4＋x 2sin x ＋4x ＋2＝2＋x 2sin x x ＋2，即f (x )图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2中心对称，故f ⎝⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＝2×2016＝4032. 9．[2016·昆明一中模拟]若关于x 的不等式9－x 2≤k (x ＋1)的解集为区间[a ，b ]，且b －a ≥2，则实数k 的取值范围为( )A ．[2，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞ C ．(0，2] D ．(－∞，2]答案 A解析令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋1)，其示意图如图，A (1,22)，若k >0，要满足y 1≤y 2，则b ＝3，此时－1<a ≤1，从而k ≥221＋1＝2；若k <0，要满足y 1≤y 2，则a ＝－3，则b ≥a＋2＝－1，从而k 值不存在，所以k ≥2，选A.10．[2016·长春质检]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2<f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)答案 C解析由题可知函数在(－∞，＋∞)上单调递增，所求不等式等价于|f (ln x )|<f (1)，从而f (－1)<f (ln x )<f (1)，进而－1<ln x <1，所以1e<x <e ，故选C.11．[2016·全国卷Ⅱ]已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝( ) A ．0 B ．m C ．2m D ．4m 答案 B解析因为f (x )＋f (－x )＝2，y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，所以函数y ＝f (x )与y ＝x ＋1x 的图象都关于点(0,1)对称，所以∑mi ＝1x i ＝0，∑mi ＝1y i ＝m2×2＝m ，故选B. 12．[2016·湖北襄阳模拟]若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －a ，x ≥12，x ＋2－a ，x <12的三个零点为x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是( )A ．(0，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32答案 C解析令f (x )＝0，可得直线y ＝a 和函数y ＝g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ，x ≥12，x ＋2，x <12的图象有三个交点，分别作出直线y ＝a 和函数y ＝g (x )的图象，由图象可设0<x 1<12，12<x 2<1,1<x 3<2，由a ＝x 1＋2＝x 2＋1x 2＝x 3＋1x 3，可得x 2－x 3＝x 2－x 3x 2x 3，即有x 2x 3＝1，则x 1x 2x 3＝x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.故选C. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．[2016·河南名校联考]若函数f (x )＝x ＋a －x ＋1x为奇函数，则a ＝________.答案 12解析因为f (x )＝x ＋a －x ＋1x为奇函数，所以由f (－x )＋f (x )＝0，得2(2a －1)＝0，即a ＝12.14．[2016·天津高考]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 解析因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，故－2<2|a －1|<2，则|a －1|<12，所以12<a <32.15．[2017·云南师大附中月考]若f (x )是定义在R 上的函数，对任意的实数x 都有：f (x ＋6)≤f (x ＋2)＋4和f (x ＋4)≥f (x ＋2)＋2，且f (1)＝1，则f (2017)＝________.答案 2017解析 ∵f (x ＋6)≥f (x ＋4)＋2≥f (x ＋2)＋4，又f (x ＋6)≤f (x ＋2)＋4，∴f (x ＋6)＝f (x ＋2)＋4，即f (x ＋4)＝f (x )＋4， ∴f (2017)＝f (1＋4×504)＝f (1)＋2016＝2017. 16．[2017·湖北重点高中联考]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x－a ，x <1，πx －3a x －2a ，x ≥1，若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪[3，＋∞)解析 ①若函数g (x )＝3x－a 在x <1上与x 轴有一个交点，则0<a <3，此时函数h (x )＝π(x －3a )(x －2a )在x ≥1上与x 轴有一个交点．故3a ≥1且2a <1，即13≤a <12；②若函数g (x )＝3x－a 在x <1上与x 轴无交点，则a ≤0或a ≥3，此时函数h (x )＝π(x －3a )(x －2a )在x ≥1上与x 轴有两个交点，故3a ≥1,2a ≥1，即a ≥3.综上，a 的取值范围是13≤a <12或a ≥3.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．[2017·江西玉山月考](本小题满分10分)已知函数f (x )＝log a (1＋x )－log a (1－x )，其中a >0且a ≠1.(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝2，求使f (x )>0成立的x 的集合．解 (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0，解得－1<x <1，即函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2分) ∵f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(5分)(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝2，∴log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋35－log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝log a 4＝2，解得a ＝2，(7分)∴f (x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )，若f (x )>0，则log 2(x ＋1)>log 2(1－x )， ∴x ＋1>1－x >0，解得0<x <1，(9分) 故不等式的解集为(0,1)．(10分)18．[2016·青海师大附中测试](本小题满分12分)已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (2)＝1.(1)求证：f (8)＝3；(2)求不等式f (x )－f (x －2)＞3的解集．解 (1)证明：由题意可得f (8)＝f (4×2)＝f (4)＋f (2)＝f (2×2)＋f (2)＝3f (2)＝3.(4分)(2)原不等式可化为f (x )＞f (x －2)＋3＝f (x －2)＋f (8)＝f (8x －16)，(6分) ∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧8x －16＞0，x ＞8x －16.(10分)解得2＜x ＜167.(12分)19．[2016·福建三校联考](本小题满分12分)对于季节性服装的销售，当旺季来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后旺季过去，平均每周减价2元，直到16周后，该服装不再销售．(1)试建立价格p 与周数t 之间的函数关系式；(2)若此服装每周进货一次，每件进价Q 与周数t 之间的关系为Q ＝－0.125(t －8)2＋12，t ∈[0,16]，t ∈N ，试问该服装第几周每件销售利润最大？最大值是多少？解 (1)p ＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋2t ，t ∈[0，5]，t ∈N ，20，t ∈，10]，t ∈N ，40－2t ，t ∈10，16]，t ∈N . 分(2)设第t 周时每件销售利润为L (t )，则L (t )＝p －Q ，即 L (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋2t ＋t －2－12，t ∈[0，5]，t ∈N ，20＋t －2－12，t ∈，10]，t ∈N ，40－2t ＋t －2－12，t ∈，16]，t ∈N＝⎩⎪⎨⎪⎧0.125t 2＋6，t ∈[0，5]，t ∈N ，0.12t －2＋8，t ∈，10]，t ∈N ，0.125t 2－4t ＋36，t ∈，16]，t ∈N . 分当t ∈[0,5]，t ∈N 时，L (t )单调递增，L (t )max ＝L (5)＝9.125；当t ∈(5,10]，t ∈N 时，L (t )max ＝L (6)＝L (10)＝8.5；当t ∈(10,16]，t ∈N 时，L (t )单调递减，L (t )max ＝L (11)＝7.125.(10分) 由9.125>8.5>7.125，知L (t )max ＝9.125.所以第5周每件销售利润最大，最大值为9.125元．(12分)20．[2016·江苏徐州模拟](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过点(－1,0)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的解析式； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围；(3)若F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ＞0，－f x ，x ＜0，当mn ＜0，m ＋n ＞0，a ＞0，且函数f (x )为偶函数时，试判断F (m )＋F (n )能否大于0?解 (1)因为f (－1)＝0，所以a －b ＋1＝0.因为方程f (x )＝0有且只有一个根，且a ≠0，所以Δ＝b 2－4a ＝0，(2分) 所以b 2－4(b －1)＝0，得b ＝2，则a ＝1. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.(4分)(2)因为g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k －222＋1－k －24.所以当k －22≥2或k －22≤－2，(6分)即k ≥6或k ≤－2时，g (x )是单调函数．即实数k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．(8分) (3)F (m )＋F (n )＞0.因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以b ＝0，则f (x )＝ax 2＋1.(9分)所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x ＞0，－ax 2－1，x ＜0.因为mn ＜0，不妨设m ＞0，所以n ＜0，又因为m ＋n ＞0，所以m ＞－n ＞0，所以|m |＞|－n |.此时F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋1－an 2－1＝a (m 2－n 2)＞0，所以F (m )＋F (n )＞0.(12分)21．[2017·辽宁六校模拟](本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ＋x ＋ax2为偶函数．(1)求实数a 的值；(2)记集合E ＝{y |y ＝f (x )，x ∈{－1,1,2}}，λ＝lg 22＋lg 2·lg 5＋lg 5－14，判断λ与E 的关系；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m ，1n (m >0，n >0)时，若函数f (x )的值域为[2－3m,2－3n ]，求m ，n 的值．解 (1)∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )，即x ＋x ＋ax2＝－x ＋－x ＋ax2，即2(a ＋1)x ＝0，x ∈R 且x ≠0，∴a ＝－1.(4分)(2)由(1)可知，f (x )＝x 2－1x2，当x ＝±1时，f (x )＝0；当x ＝2时，f (x )＝34.∴E ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，34，(6分)而λ＝lg 22＋lg 2·lg 5＋lg 5－14＝lg 22＋lg 2(1－lg 2)＋1－lg 2－14＝34，∴λ∈E .(8分)(3)∵f (x )＝x 2－1x 2＝1－1x 2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m ，1n ， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m ，1n 上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＝2－3m ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＝2－3n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2＝2－3m ，1－n 2＝2－3n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋1＝0，n 2－3n ＋1＝0，(10分)∴m ，n 是方程x 2－3x ＋1＝0的两个根，又由题意可知1m <1n，且m >0，n >0，∴m >n .∴m ＝3＋52，n ＝3－52.(12分)22．[2016·宁波十校联考](本小题满分12分)对于函数f (x )，若存在区间A ＝[m ，n ](m <n )，使得{y |y ＝f (x )，x ∈A }＝A ，则称函数f (x )为“可等域函数”，区间A 为函数f (x )的一个“可等域区间”．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)若b ＝0，a ＝1，g (x )＝|f (x )|是“可等域函数”，求函数g (x )的“可等域区间”； (2)若区间[1，a ＋1]为f (x )的“可等域区间”，求a 、b 的值．解 (1) b ＝0，a ＝1，g (x )＝|x 2－2x |是“可等域函数”， ∵g (x )＝|x 2－2x |＝|(x －1)2－1|≥0，∴n >m ≥0，结合图象，由g (x )＝x ，得x ＝0,1,3，(2分) 函数g (x )的“可等域区间”为[0,1]，[0,3]，(4分) 当1≤m ≤n ≤2时，g (x )≤1，不符合要求．(5分) (2)f (x )＝x 2－2ax ＋b ＝(x －a )2＋b －a 2，因为区间[1，a ＋1]为f (x )的“可等域区间”，所以a ＋1>1，即a >0.(6分) 当0<a ≤1时，则⎩⎪⎨⎪⎧f ＝1，fa ＋＝a ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2；(8分)当1<a ≤2时，则⎩⎪⎨⎪⎧fa ＝1，fa ＋＝a ＋1无解；(10分)当a >2时，则⎩⎪⎨⎪⎧fa ＝1，f＝a ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3＋52，b ＝9＋352. (12分)重组三导数及其应用测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·安庆二模]给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A ．在直线y ＝－3x 上B ．在直线y ＝3x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上答案 B解析 f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ＝0,4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝3x 0，故M (x 0，f (x 0))在直线y ＝3x 上．2．[2017·湖南郴州质检]已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对于任意实数x 有f (x )>f ′(x )，且y ＝f (x )－1为奇函数，则不等式f (x )<e x的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞) C．(－∞，e 4) D ．(e 4，＋∞) 答案 B解析取特殊函数f (x )＝1刚好符合已知条件，故f (x )<e x⇒1<e x⇒x >0，故选B.3．[2017·衡水中学三调]已知函数g (x )＝a －x 2( 1e≤x ≤e，e 是自然对数的底数 )与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1e 2＋2 B ．[1，e 2－2] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2＋2，e 2－2 D ．[e 2－2，＋∞)答案 B解析由已知得，方程a －x 2＝－2ln x ，即－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解．设f (x )＝2ln x －x 2，则f ′(x )＝2x －2x ＝－x＋xx.因为1e≤x ≤e，所以函数f (x )在x ＝1处有唯一的极值点且为极大值点．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2－1e 2，f (e)＝2－e 2，f (x )极大值＝f (1)＝－1，又f (e)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，所以方程－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解，等价于2－e 2≤－a ≤－1，所以实数a 的取值范围是[1，e 2－2]，故选B.4．[2017·江西抚州联考]已知函数f (x )与f ′(x )的图象如图所示，则函数g (x )＝f xex的递减区间为( )A ．(0,4)B ．(－∞，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 D ．(0,1)，(4，＋∞)答案 D 解析 g ′(x )＝f xx－f xxx2＝f x －f xex，令g ′(x )<0，即f ′(x )－f (x )<0，由图可得x ∈(0,1)∪(4，＋∞)，故函数单调递减区间为(0,1)，(4，＋∞)，故选D.5．[2017·湖北联考]已知函数f (x )＝ax 2－4ax －ln x ，则f (x )在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件是( )A ．a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，16B ．a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C ．a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，16D ．a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 D解析 f ′(x )＝2ax －4a －1x ，f (x )在(1,3)上不单调，则f ′(x )＝2ax －4a －1x＝0在(1,3)上有解，此方程可化为2ax 2－4ax －1＝0，x 1＋x 2＝2，因此方程的两解不可能都大于1，从而它在(1,3)上只有一解，充要条件是(2a －4a －1)(18a －12a －1)<0，a <－12或a >16，因此D 是要求的一个充分不必要条件．故选D.6．[2017·沧州模拟]函数f (x )＝(cos x )·ln |x |的大致图象是( )答案 B解析因为f (x )＝(cos x )·ln |x |，所以f (x )的定义域为{x |x ≠0}，又f (－x )＝cos(－x )·ln|－x |＝(cos x )·ln |x |＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除C 、D ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π6·ln π6<0，排除A ，故选B.7．[2016·云南师大附中模拟]已知函数f (x )＝|x |ex (x ∈R )，若关于x 的方程f (x )－m ＋1＝0恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2e 2e ＋1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2e 2e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1e ＋1 D.⎝⎛⎭⎪⎫2e 2e ，1 答案 A解析当x ≤0时，f (x )＝－x e x 为减函数，f (x )min ＝f (0)＝0；当x >0时，f (x )＝x ex ，f ′(x )＝1－2x2x ex，则x >12时，f ′(x )<0,0<x <12时，f ′(x )>0，即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上递减，f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2e 2e .其大致图象如图所示，若关于x 的方程f (x )－m ＋1＝0恰好有3个不相等的实数根，则0<m －1<2e 2e ，即1<m <1＋2e 2e，故选A.8．[2016·四川高考]设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0，＋∞) D．(1，＋∞) 答案 A解析不妨设P 1(x 1，ln x 1)，P 2(x 2，－ln x 2)(0<x 2<1<x 1)，由于l 1⊥l 2，所以1x 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＝－1，则x 1＝1x 2.又切线l 1：y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，l 2：y ＋ln x 2＝－1x 2(x －x 2)，于是A (0，ln x 1－1)，B (0,1＋ln x 1)，所以|AB |＝2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y －ln x 1＝1x1x －x 1，y ＋ln x 2＝－1x2x －x 2，解得x P ＝2x 1＋1x 1.所以S △PAB ＝12×2×x P ＝2x 1＋1x 1，因为x 1>1，所以x 1＋1x 1>2，所以S △PAB 的取值范围是(0,1)，故选A.9．[2016·湖南七校联考]若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ln x －x 2－x ，x ＋1x＋a x的最大值为f (－1)，则实数a 的取值范围为( ) A ．[0,2e 2] B ．[0,2e 3] C ．(0,2e 2] D ．(0,2e 3] 答案 B解析当x <0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x ＋a ≤f (－1)＝a －2；若a <0时，f (x )＝a ln x －x 2－2在区间(0，＋∞)上为减函数，且当x →0时，f (x )→＋∞；当a ＝0时，f (x )＝－x 2－2≤－2恒成立；当a >0时，f ′(x )＝a x －2x ＝a －2x 2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 2x，即函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞上单调递减，则需f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2≤f (－1)，即a lna 2－a2－2≤a －2，即a lna 2≤32a ，即ln a2≤3，解得0<a ≤2e 3，综上所述，实数a 的取值范围为[0,2e 3]，故选B.10．[2017·云南、四川、贵州联考]若存在两个正实数x ，y ，使得等式x 3e yx－ay 3＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 28，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 327C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 327，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 28答案 C解析由题意知a ＝e y x⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3，设y x ＝t (t >0)，则a ＝e t t 3，令f (t )＝e t t 3，则f ′(t )＝e tt －t 4，当t >3时，f ′(t )>0，当0<t <3时，f ′(t )<0，所以f (t )min ＝f (3)＝e 327，∴a ≥e327.11．[2016·山东高考]若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3答案 A解析设函数y ＝f (x )的图象上两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为k 1＝f ′(x 1)，k 2＝f ′(x 2)，若函数具有T 性质，则k 1·k 2＝f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A 选项，f ′(x )＝cos x ，显然k 1·k 2＝cos x 1·cos x 2＝－1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，f ′(x )＝1x (x >0)，显然k 1·k 2＝1x 1·1x 2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，f ′(x )＝e x >0，显然k 1·k 2＝e x 1·e x2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，f ′(x )＝3x 2≥0，显然k 1·k 2＝3x 21·3x 22＝－1无解，故该函数不具有T 性质．故选A.12．[2017·河北百校联考]已知方程|ln x |＝kx ＋1在(0，e 3)上有三个不等实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2e 3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3e 3，2e 2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 3，1e 2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2e 3，1e 2答案 C解析画出方程所代表的函数的图象，设过定点M (0,1)的直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝ln x 相切的切点为P (t ，ln t )，则由题设可得1t ＝ln t －1t，解之得ln t ＝2，即t ＝e 2，故P (e 2,2)，此时k ＝1e 2；当动直线经过点A (e 3,3)时，此时k ＝2e 3，结合图象可知当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 3，1e 2时，两函数y ＝ln x 与y ＝kx ＋1有三个不同的交点，即方程有三个不同的实数根，故应选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·沈阳质检]函数f (x )＝2x －ln x 的单调递增区间是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞(写成⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞也给分) 解析函数f (x )＝2x －ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2－1x ≥0，即x ≥12，所以函数f (x )＝2x －ln x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.14．[2016·长春质检]设函数f (x )＝1－e x的图象与x 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为________．答案 y ＝－x解析由题意P (0,0)，f ′(x )＝－e x，f ′(0)＝－1，从而曲线在点P 处的切线方程为y ＝－x .15．[2016·北京高考改编]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a .若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)解析函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 的大致图象如图所示，若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a无最大值，由图象可知－2a >2，解得a <－1.16．[2016·湖南七校联考]若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 2(x 2＋ax ＋b )的图象关于直线x ＝－1对称，则f (x )的最大值为________．答案 4解析因为函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，所以f (0)＝f (－2)，f (1)＝f (－3)，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－14－2－2－2a ＋b ]，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋a ＋b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－14－2－2－3a ＋b ]，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝0，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 2(x 2＋4x )＝－14x 4－x 3＋x 2＋4x ，则f ′(x )＝－x 3－3x 2＋2x ＋4＝－(x ＋1)(x2＋2x －4)．令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝－1±5，易知函数f (x )在x ＝－1±5处取得极大值，又f (－1＋5)＝f (－1－5)＝4，所以f (x )max ＝4.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2017·银川调研](本小题满分10分)如图是函数f (x )＝a3x 3－2x 2＋3a 2x 的导函数y＝f ′(x )的简图，它与x 轴的交点是(1,0)和(3,0)．(1)求函数f (x )的极小值点和单调递减区间； (2)求实数a 的值．解 (1)由图象可知：当x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，1)上为增函数；当1<x <3时，f ′(x )<0，f (x )在(1,3)上为减函数；当x >3时，f ′(x )>0，f (x )在(3，＋∞)上为增函数．∴x ＝3是函数f (x )的极小值点，函数f (x )的单调减区间是(1,3)．(5分) (2)f ′(x )＝ax 2－4x ＋3a 2，由图知a >0，且⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －4＋3a 2＝0，9a －12＋3a 2＝0，∴a ＝1.(10分)18．[2016·西安八校联考](本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x 3－6x 2＋3x ＋t )e x，t ∈R .(1)若函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为4x －y ＋1＝0，则求t 的值； (2)若函数y ＝f (x )有三个不同的极值点，求t 的取值范围．解 (1)函数f (x )＝(x 3－6x 2＋3x ＋t )e x，则f ′(x )＝(x 3－3x 2－9x ＋3＋t )e x，(2分)函数f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为f ′(0)＝3＋t ，由题意可得，3＋t ＝4，解得t ＝1.(4分) (2)f ′(x )＝(x 3－3x 2－9x ＋3＋t )e x，(5分)令g (x )＝x 3－3x 2－9x ＋3＋t ，则方程g (x )＝0有三个不同的根，(6分) 又g ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)，令g ′(x )＝0，得x ＝－1或3，且g (x )在区间(－∞，－1)，(3，＋∞)递增，在区间(－1,3)递减，(8分)故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧g －，g ，即有⎩⎪⎨⎪⎧t ＋8>0，t －24<0，解得－8<t <24.(12分)19．[2017·河北石家庄联考](本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x－ax ，a >0. (1)记f (x )的极小值为g (a )，求g (a )的最大值；(2)若对任意实数x 恒有f (x )≥0，求a 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x－a ，令f ′(x )>0，得x >ln a ，所以f (x )的单调递增区间是(ln a ，＋∞)；令f ′(x )<0，得x <ln a ，所以f (x )的单调递减区间是(－∞，ln a )，函数f (x )在x ＝ln a 处取极小值，g (a )＝f (x )极小值＝f (ln a )＝e ln a －a ln a ＝a －a ln a ．(3分) g ′(a )＝1－(1＋ln a )＝－ln a ，当0<a <1时，g ′(a )>0，g (a )在(0,1)上单调递增；当a >1时，g ′(a )<0，g (a )在(1，＋∞)上单调递减，所以a ＝1是函数g (a )在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，所以g (a )max ＝g (1)＝1.(6分)(2)当x ≤0时，a >0，e x－ax ≥0恒成立，(7分) 当x >0时，f (x )≥0，即e x－ax ≥0，即a ≤exx.(8分)令h (x )＝e x x ，x ∈(0，＋∞)，h ′(x )＝e x x －e x x2＝exx －x 2，当0<x <1时，h ′(x )<0，当x >1时，h ′(x )>0，故h (x )的最小值为h (1)＝e ，所以a ≤e，故实数a 的取值范围是(0，e]．(12分)20．[2016·广西三市调研](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax ＋x ln x (a ∈R )． (1)若函数f (x )在区间[e ，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围；(2)当a ＝1且k ∈Z 时，不等式k (x －1)<f (x )在x ∈(1，＋∞)上恒成立，求k 的最大值．解 (1)f ′(x )＝a ＋ln x ＋1，(1分)由题意知f ′(x )≥0在[e ，＋∞)上恒成立，(2分) 即ln x ＋a ＋1≥0在[e ，＋∞)上恒成立，即a ≥－(ln x ＋1)在[e ，＋∞)上恒成立，(3分)而[－(ln x ＋1)]max ＝－(ln e ＋1)＝－2，∴a ≥－2.(4分) (2)f (x )＝x ＋x ln x ，k <f xx －1，即k <x ＋x ln xx －1对任意x >1恒成立．(5分) 令g (x )＝x ＋x ln x x －1，则g ′(x )＝x －ln x －2x －2.(6分) 令h (x )＝x －ln x －2(x >1)，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x>0，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．(7分) ∵h (3)＝1－ln 3<0，h (4)＝2－2ln 2>0， ∴存在x 0∈(3,4)使h (x 0)＝0.即当1<x <x 0时，h (x )<0，即g ′(x )<0，(8分) 当x >x 0时，h (x )>0，即g ′(x )>0.∴g (x )在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增．(9分) 由h (x 0)＝x 0－ln x 0－2＝0，得ln x 0＝x 0－2，g (x )min ＝g (x 0)＝x 0＋ln x 0x 0－1＝x 0＋x 0－x 0－1＝x 0∈(3,4)，(11分)∴k <g (x )min ＝x 0且k ∈Z ，即k max ＝3.(12分)21．[2017·江苏模拟](本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋1x－bx ＋1.(1)若2a －b ＝4，则当a >2时，讨论f (x )的单调性；(2)若b ＝－1，F (x )＝f (x )－5x，且当a ≥－4时，不等式F (x )≥2在区间[1,4]上有解，求实数a 的取值范围．解 (1)由2a －b ＝4，得f (x )＝a ln x ＋1x＋(4－2a )x ＋1，所以f ′(x )＝a x －1x2＋(4－2a )＝－2a x 2＋ax －1x 2＝－ax ＋x －x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝12，x 2＝1a －2.(2分)当a ＝4时，f ′(x )≤0，函数f (x )在定义域(0，＋∞)内单调递减；当2<a <4时，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －2，＋∞上，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1a －2上，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当a >4时，在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，1a －2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －2，12上，f ′(x )>0，f (x )单调递增．(6分)(2)由题意知，当a ≥－4时，F (x )在[1,4]上的最大值M ≥2.(7分) 当b ＝－1时，F (x )＝f (x )－5x ＝x －4x＋a ln x ＋1，则F ′(x )＝x 2＋ax ＋4x 2(1≤x ≤4)．(8分)①当－4≤a ≤4时，F ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋4－a 24x 2≥0，故F (x )在[1,4]上单调递增，M ＝F (4)．(9分)②当a >4时，设x 2＋ax ＋4＝0(Δ＝a 2－16>0)的两根分别为x 1，x 2，。

2018高考数学专题高考数学专题汇编——理科数学(解析版)6：平面向量

高考真题分类汇编：平面向量1. 【高考真题重庆理6】设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且//,⊥，则+（A （B （C ）（D ）10 【答案】B【解析】因为c b c a //,⊥，所以有042=-x 且042=+y ，解得2=x ，2-=y ，即)2,1(),1,2(-==b a ，所以)1,3(-=+b a 10=+，选B.2. 【高考真题浙江理5】设a ，b 是两个非零向量。

A. 若|a+b |=|a |-|b |，则a ⊥bB. 若a ⊥b ，则|a +b |=|a |-|b |C. 若|a +b |=|a |-|b |，则存在实数λ，使得b =λaD. 若存在实数λ，使得b =λa ，则|a +b |=|a |-|b | 【答案】C【解析】利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb . 如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立.3. 【高考真题四川理7】设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a ba b =成立的充分条件是（）A 、a b =-B 、//a bC 、2a b =D 、//a b 且||||a b = 【答案】C【解析】A. =为既不充分也不必要条件；B. 可以推得||||a ba b ==为必要不充分条件；C. 为充分不必要条件；D 同B.4. 【高考真题辽宁理3】已知两个非零向量a ，b 满足|a +b |=|a -b |，则下面结论正确的是(A) a ∥b (B) a ⊥b (C){0,1,3} (D)a +b =a -b 【答案】B【解析】一、由|a +b |=|a -b |，平方可得a ⋅b =0,所以a ⊥b ，故选B二、根据向量加法、减法的几何意义可知|a +b |与|a -b |分别为以向量a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a +b |=|a -b |，所以该平行四边形为矩形，所以a ⊥b ，故选B 【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。

2018版高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 F单元平面向量(文科2013年) W

单元平面向量平面向量的概念及其线性运算．设，分别是△的边，上的点，＝，＝.若＝λ＋λ(λ，λ为实数)，则λ＋λ的值为．如图所示，＝－＝－＝(－)＋＝＋，又＝λ＋λ，且与不共线，所以λ＝－，λ＝，即λ＋λ＝.．，，在△中，角，，的对边分别为，，，且(－) －(－)(＋)＝－.()求的值；()若＝，＝，求向量在方向上的投影．．解：()由(－) －(－)(＋)＝－，得(－) －(－) ＝－.则(－＋)＝－，即＝－.又<<π，则＝.()由正弦定理，有)＝)，所以，＝)＝.由题知>，则>，故＝.根据余弦定理，有( )＝＋－××，解得＝或＝－(负值舍去)．故向量在方向上的投影为＝.．如图－，在平行四边形中，对角线与交于点，＋＝λ，则λ＝.．根据向量运算法则，＋＝＝，故λ＝.．和在为边，为对角线的矩形中，＝(－，)，＝(－，)，则实数＝．．因为＝－＝(，－)，且⊥，所以·＝，即－×＋×(－)＝，解得＝.平面向量基本定理及向量坐标运算．已知点(，－)，(，)，(，)．若平面区域由所有满足＝λ＋μ(≤λ≤，≤μ≤)的点组成，则的面积为．．设(，)，∴＝(－，＋)，＝(，)，＝(，)．∵＝λ＋μ，∴解得又≤λ≤，≤μ≤，∴此不等式组表示的可行域为平行四边形，如图所示，由于(，)，(，)，所以＝＝，点(，)到直线－＝的距离＝，∴其面积＝×＝.．已知，是单位向量，·＝.若向量满足－－＝，则的最大值为( )－＋＋．由题可知·＝，则⊥，又＝＝，且－－＝，不妨令＝(，)，＝(，)，＝(，)，则(－)＋(－)＝.又＝，故根据几何关系可知＝＋＝＋，选.．在平行四边形中，＝，∠＝°，为的中点．若·＝，则的长为．由题意得＝－＝＋－＝－，＝＋，所以·＝(＋)·＝－＋·＝－＋××＝，解之得＝或(舍去)．。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(平面向量)

二、填空
1．（2018 北京文）设向量 a 1,0 ， b 1, m ，若 a ma b ，则 m _________．
1．【答案】 1
【解析】 Q a 1,0 ， b 1,m ，ma b m,0 1,m m 1, m ，由 a ma b 得， a ma b 0 ，a ma b m 1 0 ，即 m 1．
21
(A)
16
3
25
(B)
(C)
2
16
(D) 3
3．【答案】A
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
则
A
0,
1 2
，
B
3 2
,
0
，
C
0,
3 2
，
D
3 2
,
0
，
点
E
在
CD
上，则
DE
DC
0
1
，设
E
x,
y
，则：
x
3 2
,
y
3 2
,
3 2
，即
x
3 2
y
3 2
3 2
，
据此可得 E
解则答b 2：设4ee
(1, b3
0)
，b 0
x
(
2
x,
y) y2
，
4x
3
0
(x 2)2
y2
1
如图所示， a
OA， b
OB ，（其中
A 为射线 OA 上动点， B 为圆 C 上动点， AOx
.）
3
∴ a b CD 1 3 1.（其中 CD OA .）
min
2．（2018 天津文）在如图的平面图形中，

2018年全国各地高考数学模拟试题《平面向量》解答题试题汇编(含答案解析)

2018年全国各地高考数学模拟试题《平面向量》解答题试题汇编（含答案解析）1．（2018•兰州模拟）已知向量，，函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，f（x）的最小值为5，求m的值．2．（2018•海拉尔区校级二模）已知向量（x∈R），设函数f（x）=﹣1．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若∠A为锐角且f（A）=2，B=，边AB=3，求边BC．3．（2018•新疆一模）已知向量=（1，sinx），=（sinx，﹣1），=（1，cosx），x∈（0，π）．（Ⅰ）若（+）∥，求x；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且B为（Ⅰ）中的x，2sin2B+2sin2C﹣2sin2A=sinBsinC，求sin（C﹣）的值．4．（2018•咸阳模拟）已知向量=（cosx，﹣1），=（sinx，﹣），函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数∴的图象经过点，b、a、c成等差数列，且•=9，求a的值．5．（2018•江苏一模）已知向量，．（1）若角α的终边过点（3，4），求•的值；（2）若∥，求锐角α的大小．6．（2018•南京一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c 已知c=．（1）若C=2B，求cosB的值；（2）若=，求cos（B）的值．7．（2018•市中区校级二模）已知函数，其中，，x∈R．（1）求函数y=f（x）的周期和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=2，，且sinB=2sinC，求△ABC的面积．8．（2018•黑龙江模拟）已知向量=（sin，1），=（cos，），f（x）=•．（I）求f（x）的最大值，并求此时x的值；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足f（B）=，a=2，c=3，求sinA的值．9．（2018•瓦房店市一模）在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，．（1）若，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．10．（2018•河南一模）在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，满足4acosB ﹣bcosC=ccosB．（1）求cosB的值；（2）若，，求a和c的值．11．（2018•玉溪模拟）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），=（2，1）．（1）若，求的值；（2）若角，求函数f（x）=的值域．12．（2018•黄浦区一模）如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．13．（2018•浙江三模）已知向量=（cosx，sinx），=（﹣，），x∈[0，π]．（Ⅰ）若，求x的值；（Ⅱ）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．14．（2018•雅安模拟）已知函数（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若b+c=2a，且，求a的值．15．（2018•盐城三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为边BC上的中线．（1）若a=4，b=2，AD=1，求边c的长；（2）若，求角B的大小．16．（2018•历城区校级一模）已知曲线C的方程为ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0（a≠0，a为常数）．（1）判断曲线C的形状；（2）设曲线C分别与x轴，y轴交于点A，B（A，B不同于原点O），试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线l：y=﹣2x+4与曲线C交于不同的两点M，N，且•=﹣，求a 的值．17．（2017•榆林一模）如图，在△ABC中，已知点D，E分别在边AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE．（Ⅰ）用向量，表示．（Ⅱ）设AB=6，AC=4，A=60°，求线段DE的长．18．（2017•海南模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a、b、c，已知，，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=3，△ABC的面积，求a的值．19．（2017•阜宁县校级模拟）已知向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），其中，且．（1）求cos2α的值；（2）若sin（α﹣β）=，且，求角β．20．（2017•山东模拟）已知f（x）=，其中．（I）求f（x）在区间[﹣π，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，f（A）=﹣1，a=，且向量垂直，求边长b和c的值．21．（2017•五模拟）已知向量，函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若，a=2，求b+c的取值范围．22．（2017•泰州模拟）已知向量=（1，m），=（2，n）．（1）若m=3，n=﹣1，且⊥（+λ），求实数λ的值；（2）若|+|=5，求•的最大值．23．（2017•长春三模）已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．24．（2017•江西模拟）已知点P（，﹣1），Q（sin2x，cos2x），O为坐标原点，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的对称中心和单调增区间；（2）若A为△ABC的内角，a，b，c分别为角A，B，C的对边，f（A）=2，a=5，求△ABC周长的取值范围．25．（2017•江西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（c ﹣2a）=c•（1）求B的大小；（2）已知f（x）=cosx（asinx﹣2cosx）+1，若对任意的x∈R，都有f（x）≤f（B），求函数f（x）的单调递减区间．26．（2017•保定一模）已知=（sinx，﹣cosx），=（cosx，﹣cosx），f（x）=2•．（1）求f（x）的解析式；（2）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若f（A）=2，b=1，△ABC的面积为，求a的值．27．（2017•菏泽一模）已知向量=（sinx，mcosx），=（3，﹣1）．（1）若∥，且m=1，求2sin2x﹣3cos2x的值；（2）若函数f（x）=•的图象关于直线x=对称，求函数f（2x）在[，]上的值域．28．（2017•山东模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知•=，sinA=（1）求sinC的值；（2）设D为AC的中点，若BD的长为，求△ABC的面积．29．（2017•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin=，•=6．（1）求△ABC的面积；（2）若c+a=8，求b的值．30．（2017•吉州区校级一模）已知向量=（cosθ，sinθ），=（cosφ，sinφ）（1）若|θ﹣φ|=，求|﹣|的值；（2）若θ+φ=，记f（θ）=•﹣λ|+|，θ∈[0，]．当1≤λ≤2时，求f （θ）的最小值．31．（2017•六安模拟）已知=（3，﹣1），•=﹣5，=x+（1﹣x）．（Ⅰ）若⊥，求实数x的值；（Ⅱ）若||=，求||的最小值．32．（2017•苏州二模）已知向量．（1）当x=时，求的值；（2）若，且，求cos2x的值．33．（2017•张家界一模）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（sinB﹣sinC，sinC﹣sinA），=（sinB+sinC，sinA），且⊥．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积．34．（2017•南通模拟）在平面直角坐标系中，设向量=（cosA，sinA），=（cosB，﹣sinB），其中A，B为△ABC的两个内角．（1）若，求证：C为直角；（2）若，求证：B为锐角．35．（2017•湖北模拟）已知向量，，函数（1）求函数f（x）的最大值及最小正周期；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在上的值域．36．（2017•南京三模）已知向量为实数．（1）若，求t的值；（2）若t=1，且，求的值．37．（2017•甘肃模拟）已知△ABC的面积为S，且•=S．（Ⅰ）求tan2B的值；（Ⅱ）若cosA=，且|﹣|=2，求BC边中线AD的长．38．（2017•潍坊三模）已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，），函数f（x）=（+）•．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，在△ABC中，角A，B，C所对边分别a，b，c，若a=3，g（）=，sinB=cosA，求b的值．39．（2017•全国二模）已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，△ABC的面积为，求△ABC 的周长．40．（2017•南京一模）如图，在平面直角坐标系xOy上，点A（1，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）．（1）若点B（﹣，），求tan（θ+）的值；（2）若+=，=，求cos（﹣θ）．参考答案与试题解析1．【分析】（1）根据向量的数量积公式和两角和的正弦公式可化简可得f（x）=，再根据周期的定义即可求出，（2）根据正弦函数的性质即可求出m的值．【解答】（1）由题意知：f（x）=cos（2x，sin2x）•（，1）==，所以f（x）的最小正周期为T=π．（2）由（1）知：，当时，．所以当时，f（x）的最小值为．又∵f（x）的最小值为5，∴，即．【点评】本题考查了向量的数量积和三角函数的化简和性质，考查了运算能力，属于基础题．2．【分析】利用向量的数量积求出函数的解析式并化简三角函数式，利用三角函数的性质解得本题．【解答】解：由已知得到函数f（x）=﹣1=2cos2x+2sinxcosx﹣1=cos2x+sin2x=2cos（2x﹣）；所以（1）函数f（x）的单调增区间是（2x﹣）∈[2kπ﹣π，2kπ]，即x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，f（A）=2，则2cos（2A﹣）=2，因为∠A为锐角，所以A=，又B=，边AB=3，所以由正弦定理得，即，解得BC=．【点评】本题考查了向量的数量积公式、三角函数式的化简以及三角函数性质和解三角形，属于中档题．3．【分析】（Ⅰ）由已知结合向量的坐标加法求得（+），再由（+）∥列式求x；（Ⅱ）由已知等式结合正弦定理及余弦定理求得cosA，进一步得到sinA，由sin （C﹣）=sin（）=sin（），展开两角差的正弦求解．【解答】解：（Ⅰ）∵=（1，sinx），=（sinx，﹣1），=（1，cosx），∴，∵（+）∥，∴（1+sinx）cosx=sinx﹣1，则sinxcosx=sinx﹣cosx﹣1，令sinx﹣cosx=t，得t=，∵x∈（0，π），∴，即．sinxcosx=，t∈（﹣1，]，则t2+2t﹣3=0，解得t=1．∴sinx﹣cosx=1，于是，sin（x﹣）=．可得x=；（Ⅱ）∵2sin2B+2sin2C﹣2sin2A=sinBsinC，∴2b2+2c2﹣2a2=bc，∴，即cosA=，得sinA=．又B=，∴sin（C﹣）=sin（）=sin（）=sin=．【点评】本题考查平面向量共线的坐标表示，考查三角形的解法，是中档题．4．【分析】（1）利用向量的数量积化简函数的解析式，利用函数的周期以及正弦函数的单调区间求解即可．（2）求出A，利用等差数列以及向量的数量积求出bc，通过三角形的面积以及余弦定理求解a即可．【解答】解：==，（1）最小正周期：由得：，所以f（x）的单调递增区间为：；（6分）（2）由可得：所以，又因为b，a，c成等差数列，所以2a=b+c，（8分）而，•=bccosA==9，∴bc=18，，∴．（12分）【点评】本题考查向量以及数列与三角函数相结合，考查数量积的求法，两角和与差的三角函数，三角形的解法，考查计算能力．5．【分析】（1）由三角函数的定义求出sinα、cosα，再根据平面向量数量积的定义计算•的值；（2）根据∥，列方程求出α的三角函数值以及锐角α的值．【解答】解：（1）角α的终边过点（3，4），∴r==5，∴sinα==，cosα==；∴•=sinα+sin（α+）=sinα+sinαcos+cosαsin=×+×+×=；（2）若∥，则，即，∴sin2α+sinαcosα=1，∴sinαcosα=1﹣sin2α=cos2α，对锐角α有cosα≠0，∴tanα=1，∴锐角．【点评】本题考查了三角函数求值与平面向量的数量积计算问题，是中档题．6．【分析】（1）由正弦定理，得sinC=sinB．又C=2B，即2sinBcosB=sinB．cosB=．（2）由=，可得cbcosA=bacosC，b2+c2﹣a2=b2+a2﹣c2，得a=c，求得从而cosB，sinB即可．【解答】解：（1）因为c=，则由正弦定理，得sinC=sinB．…（2分）又C=2B，所以sin2B=sinB，即2sinBcosB=sinB．…（4分）又B是△ABC的内角，所以sinB＞0，故cosB=．…（6分）（2）因为=，所以cbcosA=bacosC，则由余弦定理，得b2+c2﹣a2=b2+a2﹣c2，得a=c．…（10分）从而cosB==，…（12分）又0＜B＜π，所以sinB==．从而cos（B+）=cosBcos﹣sinBsin=．…（14分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，向量数量积及三角函数恒等变换的应用，属于中档题，7．【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差化简函数的解析式，通过正弦函数的单调区间求解即可．（2）利用（1）函数的解析式求出A，然后利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：（1）=，解得，k∈Z，函数y=f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．（2）∵f（A）=2，∴，即，又∵0＜A＜π，∴，∵，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7，①∵sinB=2sinC，∴b=2c，②由①②得，∴．【点评】本题考查余弦定理以及向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．8．【分析】（Ⅰ）利用向量数量积的坐标表示结合降幂公式及辅助角公式化简求得f（x），进一步求得函数的最大值，并求得使函数取得最大值的x的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的解析式结合f（B）=求得B，再由余弦定理求得b，最后由正弦定理得答案．【解答】解：（Ⅰ）由=（sin，1），=（cos，），得f（x）=•===，∴，此时，即．（Ⅱ）在△ABC中，由f（B）=，得，∴，∵0＜B＜π，∴，则，则B=．又a=2，c=3，∴，则b=．由，得．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查三角函数中的恒等变换应用，训练了正弦定理及余弦定理的应用，是中档题．9．【分析】（1）由已知向量的坐标结合向量垂直的坐标运算可求tanx的值；（2）分别取出||、||，代入数量积公式，结合x的取值范围求解．【解答】解：（1），，若，则，即，得sinx=cosx，∴tanx=1；（2）∵，，∴若与的夹角为，则，即，则，∵，∴，则，即，∴x的值为．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查三角函数中的恒等变换应用，是中档题．10．【分析】（1）由正弦定理即可由4acosB﹣bccosC=ccosB得到4sinAcosB﹣sinBcosC=sinCcosB，进而得出4sinAcosB=sinA，从而得出cosB的值；（2）由即可得出ac=12，而由余弦定理即可得出a2+c2=24，联立ac=12即可解出a，c的值．【解答】解：（1）由题意得，4sinAcosB﹣sinBcosC=sinCcosB；∴4sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA；∵sinA≠0；∴；（2）由得accosB=3，ac=12；由b2=a2+c2﹣2accosB，可得a2+c2=24，所以可得．【点评】考查正弦定理和余弦定理，以及数量积的计算公式，两角和的正弦公式．11．【分析】（1）由求得tanx=2，再利用同角三角函数的基本关系以及两个向量的数量积公式求出的值．（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换求出函数f（x）==sin （2x+）+，再由x的范围，求出f（x）的值域．【解答】解：（1）由可得，∴tanx=2．∴=sinxcosx+cos2x===．（2）∵角，函数f（x）==sinxcosx+cos2x=+=sin（2x+）+，∴2x+∈，sin（2x+）∈[，1]，∴f（x）∈[1，]，即f（x）的值域为[1，]．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．12．【分析】（1）利用三角函数的定义直接表示A，B坐标；（2）设出M，利用向量的数量积为0，得到关系式，然后求解点M横坐标的取值范围．【解答】解：（1）点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，α∈（0，）可得A（cosα，sinα），将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．可得B（cos（），sin（）），即B（﹣sinα，cosα）．（2）设M（x，0），x≠0，=（cosα﹣x，sinα），=（﹣sinα﹣x，cosα）．MA⊥MB，可得（cosα﹣x）（﹣sinα﹣x）+sinαcosα=0．xsinα﹣xcosα+x2=0，可得﹣x=sinα﹣cosα=sin（）∈（﹣1，1）．综上x∈（﹣1，0）∪（0，1）．点M横坐标的取值范围：（﹣1，0）∪（0，1）．【点评】本题考查平面向量的数量积，三角函数定义的应用，考查转化思想以及计算能力．13．【分析】（Ⅰ）根据平面向量时•=0，列方程求得x的值；（Ⅱ）由平面向量的数量积化f（x）为正弦型函数，求出f（x）的最大、最小值以及对应x的值．【解答】解：（Ⅰ）平面向量=（cosx，sinx），=（﹣，），若，则•=0，即﹣cosx+sinx=0，∴tanx=，又x∈[0，π]，∴x=；（Ⅱ）f（x）==﹣cosx+sinx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣），又x∈[0，π]，∴x﹣∈[﹣，]；x﹣=，即x=时，f（x）取得最大值为2；x﹣=﹣，即x=0时，f（x）取得最小值为﹣．【点评】本题考查了平面向量的数量积与三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题．14．【分析】（1）根据二倍角的余弦公式和两角和差的正弦公式即可得出f（x）=，从而可求出其最小正周期和单调递增区间；（2）根据f（A）=即可求得，由即可求得bc=12，这样由b+c=2a 及即可求出a的值．【解答】解：（1）=；∴f（x）的最小正周期：；由得：；∴f（x）的单调递增区间为：；（2）由可得：，或；而A∈（0，π），所以；又因为2a=b+c；而，∴bc=12；∴=；∴．【点评】考查二倍角的余弦公式，两角和差的正弦公式，以及余弦定理，数量积的计算公式．15．【分析】（1）在△ADC中根据余弦定理计算cosC，再在△ABC中计算c；（2）把代入化简即可得出bcosA=c，故AB⊥BC．【解答】解：（1）在△ADC中，因为，由余弦定理：．故在△ABC中，由余弦定理，得，所以．（2）因为AD为边BC上的中线，所以，所以=，∴c=bcosA．∴AB⊥BC，∴B=90°．【点评】本题考查了余弦定理解三角形，平面向量的应用，属于中档题．16．【分析】（1）把方程化为圆的标准方程，可得结论；（2）求出A，B的坐标，即可得出△AOB的面积S为定值；（3）直线l与曲线C方程联立可得5ax2﹣（2a2+16a﹣8）x+16a﹣16=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理和向量的数量积公式即可求出【解答】解：（1）将曲线C的方程化为x2+y2﹣2ax﹣y=0，∴（x﹣a）2+（y﹣）2=a2+，可知曲线C是以点（a，）为圆心，以为半径的圆．（2）△AOB的面积S为定值．证明如下：在曲线C的方程中令y=0，得ax（x﹣2a）=0，得点A（2a，0），在曲线C方程中令x=0，得y（ay﹣4）=0，得点B（0，），∴S=|OA||OB|=|2a|||=4（为定值），（3）直线l与曲线C方程联立可得5ax2﹣（2a2+16a﹣8）x+16a﹣16=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，∴•=x1x2+y1y2=5x1x2+8（x1+x2）+16=﹣，即（80a﹣80﹣16a2﹣128a+64+80a）=﹣，即2a2﹣5a+2=0，解得a=2或a=，当a=2或时，都满足△＞0，故a=2或【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，韦达定理，向量的数量积，属于中档题．17．【分析】（Ⅰ）根据平面向量的线性表示与运算法则，用，表示出即可；（Ⅱ）根据平面向量的数量积与模长公式，求出||即可．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE；∴=，==（﹣），∴=+=+（﹣）=+；（Ⅱ）设AB=6，AC=4，A=60°，则=+2××•+=×62+×6×4×cos60°+×42=7，∴||=，即线段DE的长为．【点评】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积运算的应用问题，是基础题目．18．【分析】（Ⅰ）利用向量平行，列出方程，通过两角和与差的三角函数，化简求解角A的大小；（Ⅱ）利用三角形的面积，求出c，然后利用余弦定理求解a即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴（2c﹣b）•cosA﹣a•cosB=0，∴cosA•（2sinC﹣sinB）﹣sinA•cosB=0，即2cosAsinC﹣cosAsinB﹣sinA•cosB=0，∴2cosAsinC=cosAsinB+sinA•cosB，∴2cosAsinC=sin（A+B），即2cosAsinC=sinC，∵sinC≠0∴2cosA=1，即又0＜A＜π∴，（Ⅱ）∵b=3，由（Ⅰ）知∴，，∴c=4，由余弦定理有a2=b2+c2﹣2bccosA=，∴．【点评】本题考查向量与三角函数相结合求解三角形的几何量，考查余弦定理的应用，是基础题．19．【分析】（1）由已知得=2cosα﹣sinα=0，从而sin2α+cos2α=5cos2α=1，进而cos2α=，由此能求出cos2α．（2）由cos2α=，，得cosα=，sinα==，由sin（α﹣β）=，且，得sinβ=2cos，由此能求出β的值．【解答】解：（1）∵向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），其中，且．∴=2cosα﹣sinα=0，∴sin2α+cos2α=5cos2α=1，∴cos2α=，∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣．（2）∵cos2α=，，∴cosα=，sinα==，∵sin（α﹣β）=，且，∴sinαcosβ﹣cosαsinβ=，∴2cosβ﹣sinβ=，∴sinβ=2cos，∴sin2β+cos2β=5cos2β﹣2﹣=0，解得cosβ=或cosβ=﹣（舍），∵，∴β=．【点评】本题考查角的余弦值的求法，考查角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．20．【分析】（Ⅰ）根据平面向量的数量积化简f（x）为余弦型函数，求出f（x）在区间[﹣π，π]上的单调递增区间即可；（Ⅱ）根据f（A）=﹣1求出A的值，利用平面向量的数量积和正弦、余弦定理，即可求出b、c的值．【解答】解：（Ⅰ）；∴f（x）==2cos2x﹣sin2x=cos2x﹣sin2x+1=2cos（2x+）+1，令﹣π+2kπ≤2x+≤2kπ，k∈Z，得﹣+kπ≤x≤﹣+kπ，k∈Z，当k=0时，﹣≤x≤﹣，当k=1时，≤x≤，∴f（x）在区间[﹣π，π]上的单调递增区间是[﹣，﹣]和[，]；（Ⅱ）△ABC中，f（A）=﹣1，∴2cos（2A+）+1=﹣1，∴cos（2A+）=﹣1，∴2A+=π，解得A=；又a=，向量垂直，∴•=2sinB﹣3sinC=0，由正弦定理得：2b﹣3c=0，∴b=c；由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即=c2+c2﹣2×c2×，解得c=1；∴b=．【点评】本题考查了平面向量的数量积和三角恒等变换以及正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．21．【分析】（Ⅰ）由已知结合数量积的坐标运算得到f（x），降幂后利用辅助角公式化简，由复合函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）由求得角A，再由余弦定理结合基本不等式求得求b+c的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵====．∴．由，得，即，∴函数f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ）由，得，∴，∴或，即，或A=π+2kπ，k∈Z，∵0＜A＜π，∴．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，∴，即b+c≤4．又∵b+c＞a=2，∴2＜b+c≤4．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了三角形的解法，是中档题．【分析】（1）根据向量的坐标运算和向量的数量积即可求出，（2）根据向量的模求出（m+n）2=16，再根据基本不等式和向量的数量积即可求出【解答】解：（1）m=3，n=﹣1时，=（1，3），=（2，﹣1），∴+λ=（1+2λ，3﹣λ），∵⊥（+λ），∴•（+λ）=1+2λ+3（3﹣λ）=0，解得λ=10，（2）∵=（1，m），=（2，n），∴+=（3，m+n），•=2+mn，∵|+|=5，∴9+（m+n）2=25，∴（m+n）2=16，∴•=2+mn≤2+（m+n）2=6，当且仅当m=n=2或m=n=﹣2时取等号，故•的最大值6．【点评】本题考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模和基本不等式，属于基础题23．【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解最值．（2）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．【解答】解：（1）∵，∴，∴当时，f（x）取得最小值2．（2）∵f（A）=4，∴，又∵BC=3，∴，∴9=（b+c）2﹣bc．，∴，∴，当且仅当b=c取等号，∴三角形周长最大值为．【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的最值，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力．24．【分析】（1）利用数量积的坐标运算结合辅助角公式化积，再由y=Asin（ωx+φ）型函数的性质求解；（2）由（1）及f（A）=2求得角A，再由正弦定理把b，c用含有角B的代数式表示，作和后利用三角函数的最值得答案．【解答】解：（1）∵P（，﹣1），Q（sin2x，cos2x），∴f（x）==．由2x﹣，得x=，k∈Z．∴函数f（x）的对称中心为（）；由，得，k∈Z．∴函数f（x）的单调增区间为[﹣，]，k∈Z；（2）由f（A）=2，得，即．又2A∈（），∴，则A=．∵a=5，∴，c=．∴△ABC周长L=5+=5+×=．∵0，∴B+∈（），则sin（B+）∈（，1]．∴L∈（10，15]．【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与数量积运算问题，也考查了三角恒等变换与三角函数最值的求法，是中档题．25．【分析】（1）根据向量的数量积定义和三角恒等变换化简即可求出cosB，得出B 的值；（2）化简f（x）的解析式，根据f（B）为f（x）的最大值求出f（x）的解析式，利用正弦函数的单调区间列不等式解出．【解答】解：（1）∵（c﹣2a）=c•，即（c﹣2a）accos（π﹣B）=abccosC，∴2accosB=bcosC+ccosB，∴2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB，∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∴cosB=，∴B=．（2）f（x）=cosx（asinx﹣2cosx）+1=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣φ），∵对任意的x∈R，都有f（x）≤f（B）=f（），∴sin（﹣φ）=1，∴φ=，∴f（x）=sin（2x﹣），令，解得≤x≤+kπ，k∈Z．∴函数f（x）的单调递减区间是[，+kπ]，k∈Z．【点评】本题考查了平面向量的数量积，三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．26．【分析】（1）根据平面向量的数量积公式和三角恒等变换化简即可；（2）根据f（A）=2计算A，根据面积计算c，再利用余弦定理求出a．【解答】解：（1）f（x）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1．（2）∵f（A）=2sin（2A+）+1=2，∴sin（2A+）=，∵A∈（0，π），∴2A+∈（，），∴2A+=，∴A=．=sinA==，∴S△ABC∴c=2，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=3，∴a=．【点评】本题考查了三角函数恒等变换，余弦定理解三角形，属于中档题．27．【分析】（1）根据向量平行列出方程，解出sin2x，cos2x即可；（2）化简f（x）解析式，根据对称轴得出m的值，从而得出f（2x）的解析式，利用正弦函数的性质计算f（2x）的值域．【解答】解：（1）当m=1时，=（sinx，cosx），=（3，﹣1）．∵，∴sinx=﹣3cosx．又sin2x+cos2x=1，∴sin2x=，cos2x=．∴2sin2x﹣3cos2x=2×﹣3×=．（2）f（x）==3sinx﹣mcosx=sin（x﹣φ），其中tanφ=．∵函数f（x）=•的图象关于直线x=对称，∴sin（﹣φ）=1或sin（﹣φ）=﹣1．∴φ=+2kπ，或φ=﹣+2kπ．∴m=3tanφ=，①当φ=+2kπ时，f（x）=3sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（2x）=2（2x﹣），∵x∈[，]，∴2x﹣∈[，]．∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（2x）在[，]上的值域为[﹣，2]．②当φ=﹣+2kπ时，f（x）=2sin（x+）=2cos（x+），∴f（2x）=2cos（2x+），∵x∈[，]，∴2x+∈[，]．∴cos（2x+）∈[﹣1，]，∴f（2x）在[，]上的值域为[﹣2，]．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，正弦函数的图象与性质，属于中档题．28．【分析】（1）在△ABC中，•=⇒bccosA=cacosB，即bcosA=acosB，利用正弦定理可得sin（A﹣B）=0，即A=B，再由sinA=，求得cosA=，于是可求sinC的值；（2）D为AC的中点，BD的长为，则由=（+）⇒a2+c2+ac=153①；在△ABD中，利用余弦定理由|BD|2=|AB|2+|AD|2﹣2|AB|•|AD|cosA⇒c2+﹣2c•×=②联立①②，可解得：a=5，c=8，从而可求得△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，∵•=，∴bccosA=cacosB，即bcosA=acosB，由正弦定理得：sinBcosA=sinAcosB，即sin（A﹣B）=0，∴A=B，即△ABC为等腰三角形．又sinA=，∴cosA==，∴sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（π﹣2A）=sin2A=2sinAcosA=2××=；（2）∵D为AC的中点，|BD|=，∴=（+），∴=（+2•+），即=（c2+2accosB+a2），整理得：a2+c2+ac=153①；在△ABD中，由余弦定理得：|BD|2=|AB|2+|AD|2﹣2|AB|•|AD|cosA，即c2+﹣2c•×=②联立①②，解得：a=5，c=8，=acsinB=×5×8×=12．∴△ABC的面积S△ABC【点评】本题考查平面向量数量积的运算，突出考查正弦定理与余弦定理的应用，考查数形结合思想与函数方程思想及综合运算能力，属于难题．【分析】（1）根据二倍角公式求出cosB，再求出sinB，根据向量的数量积和三角形的面积公式即可求出答案；（2）根据余弦定理即可求出答案．【解答】解；（1）∵sin=，∴cosB=1﹣2sin2=1﹣=，∴sinB=，∵•=6，∴•=||•||•cosB=6，∴||•||=10，=||•||•sinB=10×=4；∴S△ABC（2）由（1）可知ac=10，又c+a=8，又余弦定理可得，b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2ac×=64﹣×10=32，∴b=4．【点评】本题考查了余弦定理三角形的面积公式和向量的数量积的运算，以及三角函数的化简，属于中档题．30．【分析】（1）根据向量的坐标运算和向量的模以及两角和差即可求出答案，（2）根据向量的数量积和二倍角公式化简得到f（θ）=2cos2（θ﹣）﹣2λcos （θ﹣）﹣1，令t=cos（θ﹣），根据二次函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵向量=（cosθ，sinθ），=（cosφ，sinφ），∴﹣=（cosθ﹣cosφ）+（sinθ﹣sinφ），∴|﹣|2=（cosθ﹣cosφ）2+（sinθ﹣sinφ）2=2﹣2cos（θ﹣φ）=2﹣2cos=2﹣∴|﹣|=1；（2）•=cosθcosφ+sinθsinφ=cos（θ﹣φ）=cos（2θ﹣），∴|+|==2|cos（θ﹣）|=2cos（θ﹣），∴f（θ）=•﹣λ|+|=cos（2θ﹣）﹣2λcos（θ﹣）=2cos2（θ﹣）﹣2λcos （θ﹣）﹣1令t=cos（θ﹣），则t∈[，1]，∴f（t）=2t2﹣2λt﹣1=2（t﹣）2﹣﹣1，又1≤λ≤2，≤≤1∴t=时，f（t）有最小值﹣﹣1，∴f（θ）的最小值为﹣﹣1．【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及三角函数的化简，以及二次函数的性质，属于中档题．31．【分析】（Ⅰ）由已知向量的坐标求得||，结合⊥列关于x的方程求得x值；（Ⅱ）求出的最小值，开方得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵=（3，﹣1），∴，又•=﹣5，=x+（1﹣x），且⊥，∴，即，解得：x=；（Ⅱ）由=x+（1﹣x），得：==10x2﹣10x（1﹣x）+5（1﹣x）2=5（5x2﹣4x+1）．∴当x=时，，则||的最小值为1．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积的关系，训练了二次函数最值的求法，是中档题．32．【分析】（1）求出向量的坐标，再计算数量积；（2）化简，得出cos（2x﹣）=，再利用和角公式计算cos2x．【解答】解：（1）当x=时，=（，﹣1），=（，），∴=﹣=．（2）=sinxcosx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣，若=﹣，则sin（2x﹣）=，∵，∴2x﹣∈[﹣，]，∴cos（2x﹣）=．∴cos2x=cos（2x﹣+）=cos（2x﹣）cos﹣sin（2x﹣）sin=﹣=．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数恒等变换，属于中档题．33．【分析】（1）根据⊥，结合正弦定理和余弦定理求出B的值即可，（2）根据正弦定理以及三角形的面积公式求出即可．【解答】解：（1）∵=（sinB﹣sinC，sinC﹣sinA），=（sinB+sinC，sinA），且⊥，∴（sinB﹣sinC）•（sinB+sinC）+（sinC﹣sinA）•sinA=0，∴b2=a2+c2﹣ac，∴2cosB=1，∴B=；（2）∵⊥，∴△ABC是RT△，而B=，故A=，由==2R，得：==2，解得：a=1，b=，=••1=．故S△ABC【点评】本题考察了向量数量积的运算，考察三角恒等变换，是一道中档题．34．【分析】（1）运用向量垂直的条件：数量积为0，结合两角和的余弦公式和诱导公式即可得证；（2）运用两向量共线的条件和两角和的正弦公式和诱导公式即可得证．【解答】证明：（1）向量=（cosA，sinA），=（cosB，﹣sinB），若，则=0，即cosAcosB﹣sinAsinB=0，即有cos（A+B）=0，即cos（π﹣C）=0，则cosC=0，即有C为直角．（2）若∥，则sinAcosB=﹣3cosAsinB，即sinAcosB+cosAsinB=﹣2cosAsinB，sin（A+B）=﹣2cosAsinB，即sinC=﹣2cosAsinB，由sinB＞0，sinC＞0，则cosA＜0，由sinA＞0，sinB＞0，则cosB＞0，则有B为锐角．【点评】本题考查向量的垂直和共线的条件，主要考查三角函数的化简和两角和差公式的运用和诱导公式的运用，属于中档题和易错题．35．【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数的周期以及最值．（2）利用函数的图象变换求出函数的解析式，然后求解函数的值域．【解答】解：（1）==．所以f（x）的最大值为1，最小正周期为π．（2）由（1）得．将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后得到的图象．因此，又，所以，．故g（x）在上的值域为[﹣，1]．【点评】本题考查向量与三角函数相结合，两角和与差的三角函数，考查三角函数的图象与性质以及计算能力．36．【分析】（1）运用向量的加减运算和同角的平方关系，即可求得sinα=，cosα=，进而得到t的值；（2）运用向量的数量积的坐标表示，结合条件的商数关系，求得tanα，再由二倍角的正切公式和和角公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）向量为实数，若，则（2cosα﹣2sinα，sin2α﹣t）=（，0），可得cosα﹣sinα=，平方可得sin2α+cos2α﹣2cosαsinα=，即为2cosαsinα=1﹣=，（cosα＞0，sinα＞0），由sin2α+cos2α=1，解得cosα+sinα===，即有sinα=，cosα=．则t=sin2α=；（2）若t=1，且，即有4cosαsinα+sin2α=1，即有4cosαsinα=1﹣sin2α=cos2α，由α为锐角，可得cosα∈（0，1），即有tanα==，则tan2α===，===．【点评】本题考查向量的加减运算和数量积的坐标表示，考查同角的基本关系式和二倍角正切公式及和角公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．37．【分析】（Ⅰ）根据△ABC的面积，结合平面向量的数量积求出tanB的值，再求tan2B的值；（Ⅱ）根据tanB的值，求出sinB、cosB，再由cosA的值求出sinA，从而求出sinC=sinB，判断△ABC是等腰三角形，求出底边上的中线AD的长．【解答】解：（Ⅰ）△ABC的面积为S，且•=S；∴accosB=acsinB，解得tanB=2；∴tan2B==﹣；（Ⅱ）∵|﹣|=2，∴||=2，又tanB==2，sin2B+cos2B=1∴sinB=，cosB=；又cosA=，∴sinA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=；∵sinB=sinC，∴B=C，∴AB=AC=2，∴中线AD也是BC边上的高，∴AD=ABsinB=2×=．【点评】本题考查了平面向量的数量积与三角恒等变换的应用问题，也考查了同角的三角函数关系与应用问题，是综合题．38．【分析】（1）运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，以及二倍角公式和正弦公式，由正弦函数的增区间，解不等式即可得到所求；（2）运用图象变换，可得g（x）的解析式，由条件可得sinA，cosA，sinB的值，运用正弦定理计算即可得到所求值．【解答】解：（1）向量=（sinx，﹣1），=（cosx，），函数f（x）=（+）•=（sinx+cosx，）•（sinx，﹣1）=sin2x+sinxcosx﹣=sin2x﹣（1﹣2sin2x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即有函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）由题意可得g（x）=sin（2（x+）﹣）=sin2x，g（）=sinA=，即sinA=，cosA=±=±，在△ABC中，sinB=cosA＞0，可得sinB=，由正弦定理=，可得b===3．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，考查正弦函数的图象和性质，以及图象变换，考查解三角形的正弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题．39．【分析】（Ⅰ）根据平面向量的坐标表示与数量积运算求出f（x），即可得出f（x）的最小正周期；（Ⅱ）根据f（A）=4求出A的值，再根据△ABC的面积和余弦定理求出b+c的值，即可求出周长．【解答】解：（Ⅰ）点P（，1），Q（cosx，sinx），∴=（，1），=（﹣cosx，1﹣sinx），函数f（x）=•=（﹣cosx）+（1﹣sinx）=3﹣cosx+1﹣sinx=﹣（sinx+cosx）+4=﹣2sin（x+）+4；∴函数f（x）的最小正周期为T=2π；（Ⅱ）A为△ABC的内角，f（A）=4，∴﹣2sin（A+）+4=4，∴sin（A+）=0，∴A+=π，解得A=；又BC=a=3，∴△ABC的面积为：S=bcsinA=bcsin=，解得bc=3；由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣2bccos=b2+c2+bc=32=9，∴b2+c2=6；∴（b+c）2=b2+c2+2bc=6+6=12，∴b+c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=3+2．【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与数量积运算问题，也考查了三角恒等变换与余弦定理的应用问题，是综合题．40．【分析】（1）利用三角函数的定义及其和差公式即可得出；（2）利用向量的坐标运算、数量积运算性质、同角三角函数基本关系式、和差公式即可得出．【解答】解：（1）由点B（﹣，），∴sinθ=，，tanθ=﹣．∴tan（θ+）===﹣；（2）∵+=，∴=（1+cosθ，sinθ）．=，∴（cosθ，sinθ）•（1+cosθ，sinθ）=cosθ+cos2θ+sin2θ=cosθ+1=，解得cosθ=，∵0＜θ＜π，∴=．∴cos（﹣θ）==+=．【点评】本题考查了三角函数的定义、向量的坐标运算、数量积运算性质、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

高考数学专题重组卷第1部分专题6平面向量含解析

专题六平面向量本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．(2019·漳州质量监测)已知向量a,b 满足|a|＝1,|b|＝3,且a,b 夹角为π6,则(a ＋b)·(2a－b)＝( )A.12 B ．－32 C ．－12 D.32 答案 A解析 (a ＋b)·(2a－b)＝2a 2－b 2＋a·b＝2－3＋1×3×32＝12.故选A. 2．(2019·全国卷Ⅱ)已知AB →＝(2,3),AC →＝(3,t),|BC →|＝1,则AB →·BC →＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 答案 C解析 ∵BC →＝AC →－AB →＝(3,t)－(2,3)＝(1,t －3),|BC →|＝1,∴12＋t －32＝1,∴t ＝3,∴BC →＝(1,0),∴AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.故选C.3．(2019·桂林二模)已知向量AB →与AC →的夹角为60°,且|AB →|＝2,|AC →|＝4,若AP →＝AB →＋λAC →,且AP →⊥BC →,则实数λ的值为( )A.45 B ．－45 C ．0 D ．－25 答案 C解析 ∵AP →⊥BC →,∴AP →·BC →＝0,即(AB →＋λAC →)·(AC →－AB →)＝0,∴λAC →2＋(1－λ)AB →·AC →－AB →2＝0,∵AB →·AC →＝2×4×cos60°＝4,AB →2＝4,AC →2＝16,∴16λ＋4(1－λ)－4＝0,∴λ＝0.故选C.4．(2019·潍坊二模)在等腰梯形ABCD 中,AB →＝2DC →,点E 是线段BC 的中点,若AE →＝λAB →＋μAD →,则λ＋μ＝( )A.52B.54C.12D.14 答案 B解析取AB 的中点F,连接CF,则四边形AFCD 是平行四边形,所以CF ∥AD,且CF ＝AD因为AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12(FC →－FB →)＝AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝34AB →＋12AD →,∴λ＝34,μ＝12,λ＋μ＝54,故选B.5．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a,b 满足|a|＝2|b|,且(a －b)⊥b,则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 B解析由(a －b)⊥b,可得(a －b)·b＝0,∴a·b＝b 2. ∵|a|＝2|b|,∴cos 〈a,b 〉＝a·b |a|·|b|＝b 22b 2＝12.∵0≤〈a,b 〉≤π,∴a 与b 的夹角为π3.故选B.6．(2019·娄底模拟)已知△ABC 中,AB ＝2,AC ＝3,∠A ＝60°,AD ⊥BC 于D,AD →＝λAB →＋μAC →,则λμ＝( )A ．3B ．6C ．2 3D ．3 2 答案 B解析 ∵BC →＝AC →－AB →,AD →⊥BC →,∴(λAB →＋μAC →)·(－AB →＋AC →)＝0,∴－λAB →2＋μAC →2＋(λ－μ)AB →·AC →＝0,∴λ＝6μ,∴λμ＝6.故选B.7．(2019·呼和浩特质量检测)设a,b 均是非零向量,且|a|＝2|b|,若关于x 的方程x 2＋|a|x ＋a·b ＝0有实根,则a 与b 的夹角的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π答案 B解析 ∵关于x 的方程x 2＋|a|x ＋a·b＝0有实根,∴|a|2－4a·b≥0,∴a·b≤|a|24,∴cos 〈a,b 〉＝a·b |a||b|≤|a|24|a||b|＝12,又0≤〈a,b 〉≤π,∴π3≤〈a,b 〉≤π.故选B.8．(2019·内江模拟)若|a|＝1,|b|＝2,|a ＋2b|＝13,则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 答案 D解析 ∵|a|＝1,|b|＝2,|a ＋2b|＝13, ∴(a ＋2b)2＝a 2＋4b 2＋4a·b＝1＋16＋4a·b＝13,∴a·b＝－1,∴cos 〈a,b 〉＝a·b |a||b|＝－12.又0≤〈a,b 〉≤π, ∴a,b 的夹角为2π3.故选D.9．(2019·四川一诊)在△ABC 中,AB ＝3,AC ＝2,∠BAC ＝120°,点D 为BC 边上一点,且BD →＝2DC →,则AB →·AD →＝( )A.13B.23 C ．1 D ．2 答案 C解析因为AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13CB →＝AC →＋13AB →－13AC →＝13AB →＋23AC →,所以AB →·AD →＝13AB →2＋23AB →·AC →＝3＋23×3×2cos120°＝1.故选C.10．(2019·益阳市高三期末)在△ABC 中,M 为AC 的中点,BC →＝CD →,MD →＝xAB →＋yAC →,则x ＋y ＝( ) A ．1 B.12 C.13 D.32答案 B解析如图,∵M 为AC 中点,BC →＝CD →,∴MD →＝MC →＋CD →＝12AC →＋BC →＝12AC →＋(AC →－AB →)＝－AB →＋32AC →.又MD →＝xAB →＋yAC →,且AB →,AC →不共线, ∴根据平面向量基本定理得,x ＝－1,y ＝32,∴x ＋y ＝12.故选B.11．(2019·大兴区第一学期期末)已知i,j,k 为共面的三个单位向量,且i ⊥j,则(i ＋k)·(j＋k)的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．[－2,2]C ．[2－1,2＋1]D ．[1－2,1＋2]答案 D解析由i ⊥j 得i·j＝0,又i,j 为单位向量,则|i ＋j|＝i 2＋j 2＋2i·j＝2, 则(i ＋k)·(j＋k)＝i·j＋(i ＋j)·k＋k 2＝(i ＋j)·k＋1＝|i ＋j|cos 〈i ＋j,k 〉＋1＝2cos 〈i ＋j,k 〉＋1, 由－1≤cos〈i ＋j,k 〉≤1,则(i ＋k)·(j＋k)的取值范围是[1－2,1＋2]．故选D.12．(2019·武汉市二月调研)在△ABC 中,AB →·AC →＝0,|AB →|＝4,|BC →|＝5,D 为线段BC 的中点,E 为线段BC 垂直平分线l 上任一异于D 的点,则AE →·CB →＝( )A.72B.74 C ．－74 D ．7 答案 A 解析如图所示,|AC →|＝|BC →|2－|AB →|2＝3,AE →·CB →＝(AD →＋DE →)·CB →＝AD →·CB →＋DE →·CB →＝AD →·CB →＝12(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝12(AB →2－AC →2)＝72.故选A.第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13．(2019·全国卷Ⅲ)已知a,b 为单位向量,且a·b＝0,若c ＝2a －5b,则cos 〈a,c 〉＝________. 答案 23解析由题意,得cos 〈a,c 〉＝a·2a －5b|a|·|2a－5b|＝2a 2－5a·b|a|·|2a －5b|2＝21×4＋5＝23. 14．(2019·郴州市高三第一次质检)如图所示,已知点G 是△ABC 的重心,过点G 作直线分别交AB,AC 两边于M,N 两点,且AM →＝xAB →,AN →＝yAC →,则3x ＋y 的最小值为________．答案4＋233解析 ∵G 是△ABC 的重心, ∴AG →＝13AC →＋13AB →,又AM →＝xAB →,AN →＝yAC →, ∴AG →＝13x AM →＋13y AN →,∵M,G,N 三点共线,∴13x ＋13y ＝1,∴3x ＋y ＝(3x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋13y ＝1＋13＋x y ＋y 3x ≥43＋213＝4＋233. 15．(2019·河南省八市重点高中第二次联合测评)已知非零向量a,b 满足|2a ＋b|＝|a ＋2b|＝3|a|,则a,b 的夹角为________．答案2π3解析 ∵|2a ＋b|＝|a ＋2b|,∴(2a ＋b)2＝(a ＋2b)2,即4a 2＋4a·b＋b 2＝a 2＋4a·b＋4b 2,∴a 2＝b 2,∴|a|＝|b|. 又|a ＋2b|＝3|a|,∴(a ＋2b)2＝3a 2, ∴a 2＋4a·b＋4b 2＝3a 2, ∴a 2＋4a 2cos 〈a,b 〉＋4a 2＝3a 2. 又a≠0,∴1＋4cos 〈a,b 〉＋4＝3, ∴cos 〈a,b 〉＝－12.又0≤〈a,b 〉≤π,∴〈a,b 〉＝2π3.16．(2019·江苏省镇江市高三期末)已知△ABC 是边长为2的等边三角形,点D,E 分别是边AB,BC 的中点,连接DE 并延长到点F,使得DE ＝3EF,则AF →·BC →的值为________．答案 13解析 DE ＝3EF,∴AF →＝AE →＋EF →＝AE →＋13DE →＝AE →＋16AC →＝12AB →＋12AC →＋16AC →＝12AB →＋23AC →,BC →＝AC →－AB →,∵△ABC 是边长为2的等边三角形, ∴AB →·AC →＝2×2×12＝2,∴AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋23AC →·(AC →－AB →)＝－16AB →·AC →－12AB →2＋23AC →2＝－16×2－12×4＋23×4＝13.三、解答题(本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·连云港二模)已知向量a ＝(1,cos2x －3sin2x),b ＝(－1,f(x)),且a ∥b.(1)将f(x)表示成x 的函数并求f(x)的单调递增区间； (2)若f(θ)＝65,π3＜θ＜π2,求cos2θ的值．解 (1)∵向量a ＝(1,cos2x －3sin2x),b ＝(－1,f(x)),且a ∥b,∴1×f(x)＋(cos2x －3sin2x)＝0,即f(x)＝－cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2,求得kπ－π6≤x≤kπ＋π3,故函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π6，kπ＋π3,k ∈Z.(2)若f(θ)＝65,π3＜θ＜π2,即f(θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝65,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝35.∵2θ∈⎝⎛⎭⎪⎫2π3，π,2θ－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，5π6, ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝－45,∴cos2θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6sin π6＝－45×32－35×12＝－43＋310.18．(本小题满分12分)(2019·佳木斯一中调研)已知向量a,b 满足：|a|＝2,|b|＝4,a·(b－a)＝2.(1)求向量a 与b 的夹角；(2)若|ta －b|＝22,求实数t 的值．解 (1)设向量a 与b 的夹角为θ, ∵|a|＝2,|b|＝4,∴a·(b－a)＝a·b－a 2＝|a||b|cosθ－a 2＝42cosθ－2＝2, ∴cosθ＝22,∵0≤θ≤π,∴θ＝π4. (2)∵|ta －b|＝22,∴t 2a 2－2ta·b＋b 2＝2t 2－8t ＋16＝8, 即t 2－4t ＋4＝0,解得t ＝2.19．(本小题满分12分)(2019·泰安模拟)如图所示,在△ABO 中,OC →＝14OA →,OD →＝12OB →,AD 与BC 相交于点M,设OA →＝a,OB →＝b.试用a 和b 表示向量OM →.解设OM →＝ma ＋nb,则AM →＝OM →－OA →＝ma ＋nb －a ＝(m －1)a ＋nb, AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b.又∵A,M,D 三点共线,∴AM →与AD →共线． ∴存在实数t,使得AM →＝tAD →, 即(m －1)a ＋nb ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b . ∴(m －1)a ＋nb ＝－ta ＋12tb.∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t2，消去t 得m －1＝－2n,即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝ma ＋nb －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋nb,CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b.又∵C,M,B 三点共线,∴CM →与CB →共线． ∴存在实数t 1,使得CM →＝t 1CB →,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋nb ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b , ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1，消去t 1得4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17,n ＝37,∴OM →＝17a ＋37b.20．(本小题满分12分)(2019·河南段考)已知a,b,c 是同一平面内的三个向量,其中a ＝(1,－2)． (1)若|c|＝25,且c ∥a,求c 的坐标；(2)若|b|＝1,且a ＋b 与a －2b 垂直,求a 与b 的夹角θ的余弦值．解 (1)设c ＝(x,y),则由c ∥a 和|c|＝25,可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y＋2·x＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4.∴c ＝(－2,4)或c ＝(2,－4)．(2)∵a ＋b 与a －2b 垂直,∴(a ＋b)·(a－2b)＝0, 即a 2－a·b－2b 2＝0,∴a·b＝3, ∴cosθ＝a·b |a||b|＝355.21．(本小题满分12分)(2019·辽宁六校协作体模拟)如图,在同一个平面内,向量OA →,OB →,OC →的模分别为1,1,2,OA →与OC →的夹角为α,且tanα＝7,OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m,n ∈R),求m ＋n 的值．解解法一：∵tanα＝7,α∈[0,π], ∴cosα＝210,sinα＝7210, ∵OA →与OC →的夹角为α,∴210＝OA →·OC →|OA →||OC →|,∵OC →＝mOA →＋nOB →,|OA →|＝|OB →|＝1,|OC →|＝2, ∴210＝m ＋nOA →·OB →2,① 又∵OB →与OC →的夹角为45°, ∴22＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝mOA →·OB →＋n 2,② 又cos ∠AOB ＝cos(45°＋α)＝cosαcos45°－sinαsin45°＝210×22－7210×22＝－35, ∴OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝－35,将其代入①②得m －35n ＝15,－35m ＋n ＝1,两式相加得25m ＋25n ＝65,所以m ＋n ＝3.解法二：过点C 作CM ∥OB,CN ∥OA,分别交线段OA,OB 的延长线于点M,N, 则OM →＝mOA →,ON →＝nOB →, 由正弦定理,得 |OM →|sin45°＝|OC →|sin 135°－α＝|ON →|sinα,∵|OC →|＝2,由解法一知,sinα＝7210,cosα＝210,∴|OM →|＝2sin45°sin 135°－α＝1sin45°＋α＝54,|ON →|＝2sinαsin 135°－α＝2×7210sin45°＋α＝74, 又OC →＝mOA →＋nOB →＝OM →＋ON →,|OA →|＝|OB →|＝1,∴m ＝54,n ＝74,∴m ＋n ＝3.22．(本小题满分12分)(2019·安徽淮北、宿迁一模)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,向量m ＝(b,a ＋c),n ＝(a －c,a －b),且满足m ∥n.(1)求角C 的大小；(2)若c ＝3,sinC ＋sin(A －B)＝2sin2B,求△ABC 的面积．解 (1)因为m ∥n,所以有b(a －b)－(a －c)(a ＋c)＝0,整理得ab ＝a 2＋b 2－c 2,由余弦定理得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12.又因为C ∈(0,π),所以C ＝π3. (2)由sinC ＋sin(A －B)＝2sin2B,得 sin(A ＋B)＋sin(A －B)＝4sinBcosB, 整理得2cosB(sinA －2sinB)＝0.当cosB ＝0时,因为B ∈(0,π),所以B ＝π2.在Rt △ABC 中,tanC ＝ca ＝3,解得a ＝1,此时△ABC 的面积为S ＝12ac ＝32.当sinA －2sinB ＝0时,由正弦定理得a ＝2b, 将其代入c 2＝a 2＋b 2－ab,得c 2＝3b 2, 解得b ＝1.此时S ＝12absinC ＝32.综上所述,△ABC 的面积为32.。

2018年高考数学模拟试卷分项专题05平面向量 Word版含答案

专题平面向量一、选择题1．【2018广西贺州桂梧联考】设向量a ， b 满足1a = ， 2b = ，且()a ab ⊥+，则向量a 在向量2a b +方向上的投影为（）A. 13-13C. 113-D. 113【答案】A选A. 2．【2018安徽马鞍山联考】已知1,a b == ()2b a b -⊥，则向量a 与b 的夹角为（）A.6π B. 4π C. 3π D. 2π【答案】B【解析】由向量垂直的充要条件有： ()2220b b a b a b ⋅-=-⋅=，则： 222,1a b b a b ⋅==∴⋅=，结合向量的夹角公式有：cos ,2a b a b a b ⋅===⨯，据此可得：向量a 与b 的夹角为4π.本题选择B 选项.3．【2018安徽马鞍山联考】已知()()3,2,1,a b m ==-，且()//a ma b + ，则m =（）A. 15-B. 15C. 23-D. 23【答案】C【解析】由题意可得： ()()()3,21,31,3ma b m m m m m +=+-=-，结合向量平行的充要条件有： 31332m m-=, 求解关于实数m 的方程可得： 23m =-.本题选择C 选项.4．【2018全国名校联考】设向量,,a b c 满足2a b == ， 2a b ⋅=-， (),60a c b c --=︒ ，则c 的最大值等于（）【答案】A 【解析】所以AB =由正弦定理可得AOB 的外接圆即圆M 的直径为2R 4AB sin AOB==∠ .所以当OC 为圆M 的直径时， c取得最大值4.故选A.点睛:平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．5．【2018河南漯河中学三模】已知ABC ∆是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为（）A. 3-B. 6-C. 2-D. 83- 【答案】B 【解析】(22266x y ⎡⎤=+--≥-⎢⎥⎣⎦， ∴最小值为6-，故选B 。

【高三数学试题精选】2018届高考数学平面向量复习考试题(带答案)

B项，∵a b＝1×12＋0×12＝12；
c项，∵a－b＝(1,0)－12，12＝12，－12，
∴(a－b) b＝12，－12 12，12＝14－14＝0；
D项，∵1×12－0×12≠0，∴a不平行b故选c
答案c
2．若向量a与b不共线，a b≠0，且c＝a－a aa bb，则向量a与c的夹角为( )
(a＋b)∥c，∴2＋－1＝0，∴＝－1
答案－1
7．(2018江西)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________
解析|a－b|＝a－b 2＝a2＋b2－2a b
＝12＋22－2×1×2cs 60°＝3
答案3
8．(2018浙江)已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，
A13a＋23b B23a＋13b
c35a＋45b D45a＋35b
解析由角平分线的性质得|AD→|＝2|DB→|，即有AD→＝23AB→＝23(cB→－cA→)＝23(a－b)．
从而cD→＋AD→＝b＋23(a－b)＝23a＋13b故选B
答案B
4．（2018辽宁）平面上，A，B三点不共线，设A→＝a，B→＝b，则△AB的面积
＝12|a||b|sin〈a，b〉，
＝12|a|2|b|2－a b 2，
故选c
答案c
5．若向量a＝(csα，sinα)，b＝(csβ，sinβ)，a≠±b，则a与b一定满足( )
A．a与b的夹角等于α－β
B．a⊥b
c．a∥b
D．(a＋b)⊥(a－b)
解析∵a＋b＝(csα＋csβ，sinα＋sinβ)，
解得λ＝58，这与λ1相矛盾．
综上所述，λ＝12即为所求．

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重组六平面向量测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)1．[2016·江南十校联考]设D 是△ABC 所在平面内一点，AB →＝2DC →，则( ) A.BD →＝12AC →－AB →B.BD →＝AC →－12AB →C.BD →＝32AC →－AB →D.BD →＝AC →－32AB →答案 D解析 BD →＝AD →－AB →＝AC →＋CD →－AB →＝AC →－12AB →－AB →＝AC →－32AB →，故选D.2．[2016·衡水高三大联考]平面向量a 与b 的夹角为30°，a ＝(1,0)，|b |＝3，则|a －b |＝( )A ．2 3B ．1 C. 5 D.22答案 B解析因为|a |＝1，所以|a －b |＝a －b2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝ 1－2×1×3×32＋3＝1. 故选B.3．[2016·北京高考]设a ，b 是向量．则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 D解析取a ＝－b ≠0，则|a |＝|b |≠0，|a ＋b |＝|0|＝0，|a －b |＝|2a |≠0，所以|a ＋b |≠|a －b |，故由|a |＝|b |推不出|a ＋b |＝|a －b |.由|a ＋b |＝|a －b |，得|a ＋b |2＝|a －b |2，整理得a ·b ＝0，所以a ⊥b ，不一定能得出|a |＝|b |，故由|a ＋b |＝|a －b |推不出|a |＝|b |.故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．故选D.4．[2017·河北武邑期末]在边长为1的正△ABC 中，D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近于点B )，则AD →·AE →等于( )A.16B.29C.1318D.13 答案 C解析因AD →＝AB →＋13BC →，AE →＝AB →＋23BC →，故AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23BC →＝AB →2＋29BC →2＋AB →·BC →＝1＋29＋1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1318，故应选C. 5．[2017·江西九江十校联考]已知|a |＝2，(2a －b )⊥a ，则b 在a 方向上的投影为( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4 答案 D解析由(2a －b )⊥a 知(2a －b )·a ＝0，即2a 2－a ·b ＝0，又|a |＝2，所以2|a |2－|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝8－2|b |cos 〈a ，b 〉＝0，得|b |cos 〈a ，b 〉＝4，即b 在a 方向上的投影为4，故选D.6．[2017·吉林长春质检]△ABC 是边长为1的等边三角形，已知向量a ，b ，满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝2B ．a ⊥bC ．a ·b ＝12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋14b ⊥BC →答案 D解析由已知，△ABC 的边长为1，|AB →|＝|2a |＝1，所以|a |＝12，AC →＝AB →＋BC →，则|BC →|＝|b |＝1，又∵AB →·AC →＝2a ·(2a ＋b )＝4a 2＋2a ·b ＝1＋2×12×1×cos 〈a ·b 〉＝1×1×cos60°，∴a ·b ＝14，∴cos 〈a ·b 〉＝－12，∴〈a ·b 〉＝23π.⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 4·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋14b ·b＝a ·b ＋14b 2＝－14＋14＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋14b ⊥BC →，故选D.答案 B解析设线段A 1A 2016的中点为A ，由题意，点A 也是线段A 2A 2015，A 3A 2014，…，A 1008A 1009的中点．8．[2016·山西考前质监]已知a ，b 是单位向量，且a ·b ＝－12，若平面向量p 满足p ·a＝p ·b ＝12，则|p |＝( )A.12 B ．1 C.22 D ．2 答案 B解析 ∵a ·b ＝－12，∴|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－12.∵a ，b 是单位向量，∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝2π3.∵p ·a ＝p ·b ，∴p ·(a －b )＝0，∴p ⊥(a －b )．如右图知，|p |＝1.故选B.9．[2016·天津高考]已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58 B.18 C.14 D.118答案 B解析如图，设AC →＝m ，AB →＝n .根据已知得，DF →＝34m ，所以AF →＝AD →＋DF →＝34m ＋12n ，BC →＝m－n ，AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34m ＋12n ·(m －n )＝34m 2－12n 2－14m ·n ＝34－12－18＝18.10．[2016·安庆二模]已知向量AB →、AC →、AD →满足AC →＝AB →＋AD →，|AB →|＝2，|AD →|＝1，E 、F 分别是线段BC 、CD 的中点．若DE →·BF →＝－54，则向量AB →与向量AD →的夹角为( )A.π3B.2π3C.π6D.5π6 答案 A解析 DE →·BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12CB →－CD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12CD →－CB →＝54CB →·CD →－12CD →2－12CB →2＝－54. 由|CD →|＝|AB →|＝2，|BC →|＝|AD →|＝1，可得cos 〈CB →，CD →〉＝12，所以〈CB →，CD →〉＝π3，从而〈AB →，AD →〉＝π3.11．[2016·长沙一中月考]△ABC 中，BC ＝5，G ，O 分别为△ABC 的重心和外心，且GO →·BC →＝5，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述均不是答案 B解析取BC 中点M ，GO →·BC →＝(MO →－MG →)·BC →＝MO →·BC →－⎝ ⎛⎭⎪⎫－16(AC →＋AB →)(AC →－AB →)＝16(AC→2－AB →2)＝5，则AC →2－AB →2＝30，∴b 2－c 2＝30，c 2－b 2＝－30.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25－302ac<0，故B 为钝角．12．[2017·东城测试]已知AB →·BC →＝0，|AB →|＝1，|BC →|＝2，AD →·DC →＝0，则|BD →|的最大值为( )A.255 B ．2 C. 5 D ．2 5 答案 C解析由AB →·BC →＝0可知AB →⊥BC →.故以B 为坐标原点，分别以BA ，BC 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则由题意，可得B (0,0)，A (1,0)，C (0,2)．设D (x ，y )，则AD →＝(x －1，y )，DC →＝(－x,2－y )．由AD →·DC →＝0，可得(x －1)(－x )＋y (2－y )＝0，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝54.所以点D 在以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1为圆心，半径r ＝52的圆上．因为|BD →|表示B ，D 两点间的距离，而|EB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝52.所以|BD →|的最大值为|EB →|＋r ＝52＋52＝ 5.故选C. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·全国卷Ⅰ]设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________.答案－2解析由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，则m ＋2＝0，所以m ＝－2. 14．[2016·广西一模]已知向量a ，b 的夹角为3π4，|a |＝2，|b |＝2，则a ·(a －2b )＝________. 答案 6解析 a ·b ＝2×2×cos 3π4＝－2，a 2＝|a |2＝2，∴a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝2＋2×2＝6.15．[2017·湖南长沙模拟]M 、N 分别为双曲线x 24－y 23＝1左、右两支上的点，设v 是平行于x 轴的单位向量，则|MN →·v |的最小值为________．答案 4解析因为MN →·v ＝|MN →|·|v |cos θ＝|MN →|cos θ，即求MN →在v 方向上的投影的绝对值的最小值，因为|MN →|≥4，|cos θ|≤1，且v 是平行于x 轴的单位向量，所以|MN →·v |的最小值为4.16．[2016·江苏高考] 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．答案 78解析解法一：以D 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设B (－a,0)，C (a,0)，A (b ，c )，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23b ，23c ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ，13c ，BA →＝(b ＋a ，c )，CA →＝(b －a ，c )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3＋a ，c 3，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3－a ，c 3，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23b ＋a ，23c ，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23b －a ，23c ，由BA →·CA →＝b 2－a 2＋c 2＝4，BF →·CF →＝b 29－a 2＋c 29＝－1，解得b 2＋c 2＝458，a 2＝138，则BE →·CE →＝49(b2＋c 2)－a 2＝78.解法二：设BD →＝a ，DF →＝b ，则BA →·CA →＝(a ＋3b )·(－a ＋3b )＝9|b |2－|a |2＝4，BF →·CF →＝(a ＋b )·(－a ＋b )＝|b |2－|a |2＝－1，解得|a |2＝138，|b |2＝58，则BE →·CE →＝(a ＋2b )·(－a＋2b )＝4|b |2－|a |2＝78.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2017·重庆月考](本小题满分10分)已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解 (1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4，(3分)∴c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(5分) (2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )， ∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0， ∴2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，所以a ·b ＝－52，(8分)∴cos θ＝a ·b|a |·|b |＝－1.∵θ∈[0，π]， ∴θ＝π.(10分)18．[2016·江苏大联考](本小题满分12分)已知点C 的坐标为(0,1)，A ，B 是抛物线y＝x 2上不同于原点O 的相异的两个动点，且OA →·OB →＝0.(1)求证：AC →∥BC →；(2)若AM →＝λMB →(λ∈R )，且OM →·AB →＝0，试求点M 的轨迹方程．解 (1)证明：设A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，x 1≠0，x 2≠0，x 1≠x 2，因为OA →·OB →＝0，所以x 1x 2＋x 21x 22＝0. 又x 1≠0，x 2≠0，所以x 1x 2＝－1.(4分)因为AC →＝(－x 1,1－x 21)，BC →＝(－x 2,1－x 22)，且(－x 1)(1－x 22)－(－x 2)(1－x 21)＝(x 2－x 1)＋x 1x 2(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)－(x 2－x 1)＝0，所以AC →∥BC →.(8分)(2)由题意知，点M 是直角三角形AOB 斜边上的垂足，又定点C 在直线AB 上，∠OMC ＝90°，所以点M 在以OC 为直径的圆上运动，其运动轨迹方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14(y ≠0)．(12分)19．[2016·四川测试] (本小题满分12分)如图所示，在△ABC 的边AB 、AC 上分别有点M 、N ，且AB ＝3AM ，AC ＝4AN ，BN 与CM 的交点是O ，直线AO 与BC 交于点D .设AB →＝m ，AC →＝n .(1)用m 、n 表示 AO →；(2)设AD →＝λAO →，求λ的值．解 (1)由B 、O 、N 三点共线可设AO →＝xAB →＋(1－x )AN →.(2分) ∵AB →＝3AM →，AC →＝4AN →，∴AO →＝3xAM →＋1－x4AC →.(4分)∵C 、O 、M 三点共线，∴3x ＋1－x 4＝1，即x ＝311，(6分)∴AO →＝311AB →＋811AN →＝311AB →＋211AC →＝311m ＋211n .(8分)(2)由(1)知AD →＝λAO →＝3λ11AB →＋2λ11AC →.∵B 、C 、D 三点共线， ∴3λ11＋2λ11＝1，即λ＝115.(12分) 20．[2016·华师大附中测试](本小题满分12分)已知向量m ＝(3sin x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )，且f (x )＝2m ·n ＋2.(1)求函数f (x )的最大值，并求此时x 的取值；(2)函数f (x )图象与y 轴的交点、y 轴右侧第一个最高点分别记为P ，Q ，求OP →·OQ →的值．解 (1)f (x )＝2m ·n ＋2＝23sin x cos x －2sin 2x ＋2＝3sin2x －(1－cos2x )＋2＝3sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，(4分)故当2x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π6＋k π(k ∈Z )时，f (x )max ＝3.(6分)(2)由f (0)＝2，知P (0,2)，(7分)而在(1)中取k ＝0，得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3，(8分)∴OP →＝(0,2)，OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3，(10分) ∴OP →·OQ →＝0×π6＋2×3＝6.(12分)21．[2016·宁波十校联考](本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且向量m ＝(5a －4c,4b )与向量n ＝(cos C ，cos B )共线．(1)求cos B ；(2)若b ＝10，c ＝5，a <c ，且AD →＝2DC →，求BD 的长度．解 (1)∵m ＝(5a －4c,4b )与n ＝(cos C ，cos B )共线， ∴5a －4c 4b ＝cos C cos B ＝5sin A －4sin C4sin B，(4分) ∴4sin B cos C ＋4cos B sin C ＝5sin A cos B ， ∴4sin(B ＋C )＝4sin A ＝5sin A cos B . ∵在三角形△ABC 中，sin A ≠0，∴cos B ＝45.(6分)(2)∵b ＝10，c ＝5，a <c 且cos B ＝45，∴a 2＋c 2－2ac cos B ＝b 2，即a 2＋25－2a ·5·45＝10，解得a ＝3或a ＝5(舍)．(8分)∵AD →＝2DC →，∴BD →＝13BA →＋23BC →，∴BD →2＝19BA →2＋49BC →2＋2·13·23BA →·BC →＝19c 2＋49a 2＋2·13·23·a ·c cos B .(10分)将a ＝3和c ＝5代入，得BD →2＝1099， ∴BD ＝1093.(12分) 22．[2016·黄冈质检](本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，已知点A (a ，a )，B (2,3)，C (3,2)．(1)若向量AB →与AC →的夹角为钝角，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝1，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)内，OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，求m －n 的最大值．解 (1)由AB →＝(2－a,3－a )， AC →＝(3－a,2－a )，(2分)⎩⎪⎨⎪⎧AB →·AC →<0，AB →≠λAC →，(4分) 得AB →·AC →＝2(a 2－5a ＋6)<0，则2<a <3，又当a ＝52时，AB →与AC →的夹角为π，故a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3.(6分) (2)∵OP →＝mAB →＋nAC →，(x ，y )＝m (1,2)＋n (2,1)，即x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n .解得m －n ＝y －x .(9分)令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.(12分)。