数学(人教A版)必修5课件：3.2.1_一元二次不等式及其解法
高中数学人教A版必修5课件：3.2.一元二次不等式及其解法(39张)
【课标要求】1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.会用分类讨论法解含参数的一元二次不等式.4.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．自主学习基础认识|新知预习|1．一元二次不等式只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式．2．二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系|化解疑难|一元二次不等式的解法(1)图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x>q或x<p；若(x－p)(x －q)<0，则p<x<q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．|自我尝试|1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)mx 2－5x <0是一元二次不等式．( ) (2)若a >0，则一元二次不等式ax 2＋1>0无解．( ) (3)若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，则一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}．( ) (4)不等式x 2－2x ＋3>0的解集为R .( )××× √2．下列不等式中是一元二次不等式的是() A．a2x2＋2≥0B.1x2＋x<3C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．故选C.答案：C3．不等式x(x－2)≥0的解集为() A．[2，＋∞)B．(0,2)C．(－∞，0]∪[2，＋∞)D．[0,2]解析：∵x(x－2)＝0的两根x1＝0，x2＝2 ∴不等式x(x－2)≥0的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞)．答案：C4．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －23≤x ≤12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≥12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23解析：因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12. 答案：A5．二次函数y＝x2－4x＋3在y<0时x的取值范围是________．解析：依题意，得x2－4x＋3<0，即(x－1)·(x－3)<0.∴1<x<3.答案：(1,3)课堂探究互动讲练类型一解不含参数的一元二次不等式[例1]解下列不等式：(1)x2－7x＋12>0；(2)－x2－2x＋3≥0；(3)x2－2x＋1<0；(4)－2x2＋3x－2<0.解析：(1)因为Δ＝1>0，所以方程x2－7x＋12＝0有两个不等实根x1＝3，x2＝4.再根据函数y＝x2－7x＋12的图象开口向上，可得不等式x2－7x＋12>0的解集是{x|x<3或x>4}．(2)不等式两边同乘－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0.因为Δ＝16>0，所以方程x2＋2x－3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝1.再根据函数y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．(3)因为Δ＝0，所以方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝1.再根据函数y＝x2－2x＋1的图象开口向上，可得不等式x2－2x＋1<0的解集为∅.(4)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.方法归纳,解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根；(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．跟踪训练1解下列不等式：(1)2x2－3x－2>0；(2)x2－2x＋3>0；(3)－4x2≥1－4x.解析：(1)因为Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝25>0，所以方程2x 2－3x －2＝0的两根为－12，2，再根据函数y ＝2x 2－3x －2的图象开口方向，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >2或x <－12.(2)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，又因为函数y ＝x 2－2x ＋3开口向上， 所以不等式解集为R .(3)原不等式可化为4x 2－4x ＋1≤0.因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，方程4x 2－4x ＋1＝0的根为x ＝12，所以原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝12.类型二含参数的一元二次不等式的解法[例2]解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.解析：原不等式可变形为(x－a)·(x－a2)>0，则方程(x－a)(x －a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2，(1)当a<0时，有a<a2，∴x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；(2)当0<a<1时，有a>a2，即x<a2或x>a，此时原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；(3)当a>1时，有a2>a，即x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；(4)当a＝0时，有x≠0；∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；(5)当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；综上可知：当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．方法归纳,解含参数的一元二次不等式的一般步骤注意：对解含参数的一元二次不等式，要注意分类讨论思想的应用．跟踪训练 2 解关于x 的不等式：ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.(a ∈R ，a >0)解析：因为a >0，原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0，得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0，得1<x <1a .综上所述，当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1.类型三 三个“二次”关系问题[例3] 已知一元二次不等式x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集．【思路点拨】 观察给定不等式的解集形式→ 由根与系数的关系得p ，q 的方程组→确定p ，q 的值→求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集【解析】 因为x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16.所以不等式qx2＋px＋1>0即为－16x2＋16x＋1>0，整理得x2－x－6<0，解得－2<x<3.即不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－2<x<3}．方法归纳,一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．跟踪训练 3 若关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >12，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．解析：由题意知⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ a <0，13＋12＝－b a ，13×12＝c a ，所以⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ a <0，b ＝－56a >0，c ＝16a <0， 代入不等式cx 2－bx ＋a >0中得16ax 2＋56ax ＋a >0(a <0)．即16x 2＋56x ＋1<0，化简得x 2＋5x ＋6<0，所以所求不等式的解集为{x |－3<x <－2}．|素养提升|1．对一元二次不等式概念的三点说明(1)“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，即哪一个是变量“未知数”，哪一个是“参数”即可．(2)“次数最高是2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制．(3)必须是整式不等式．特别提醒：未知数的最高次数是2，若为含参数的不等式一定不要把参数和未知数弄混了．2．从函数的角度看“三个二次”之间的内在联系从函数的角度看(以a>0的二次函数为例)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，即二次函数y ＝ax2＋bx＋c(a>0)的值满足y>0时的自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方时点的横坐标x 的集合，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根就是二次函数图像与x轴交点的横坐标．|巩固提升|1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a Δ>0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a Δ<0C.⎩⎪⎨⎪⎧ a Δ>0D.⎩⎪⎨⎪⎧a Δ<0解析：结合二次函数的图象，可知若ax 2＋bx ＋c <0的解集是全体实数，则⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.故选D. 答案：D2．函数y＝17－6x－x2的定义域为()A．[－7,1]B．(－7,1)C．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7<x<1，故选B.答案：B3．不等式1＋2x＋x2≤0的解集为________．解析：不等式1＋2x＋x2≤0化为(x＋1)2≤0，解得x＝－1. 答案：{－1}。
高中数学人教版必修5课件：3.2一元二次不等式及其解法
一元二次不等式： ax2+bx+c>0(a≠0) 或ax2+bx+c<0(a≠0)
它们之 间有怎 样的联 系呢？
一元二次不等式f(x)>0，或f(x)<0 (a≠0)的 解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为
正值或负值时自变量x的取值的集合。
一元二次方程f(x)=0 (a≠0)的解集，就是使 二次函数f(x)为零时自变量x的取值的集合。
2、自变量x在什么范围取值时，函数
y 3x2 x 2 的值小于0
课堂小结
1.求解一元二次不等式的三个步骤: （1）.将不等式化为标准情势：
ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0
（2）.解出相应的方程的根。 （3）.画出相应二次函数的草图，根据草
图确定所求不等式的解集。
2.若ax2 + bx + c = 0(a > 0)有两根x1,x2(x1 < x2), 则ax2 + bx + c > 0的解集可记忆为"大于取在两边", ax2 + bx + c < 0的解集可记忆为"小于在取中间"
探究一元二次不等式 x2 7x6 0的解集
（1）一元二次方程 x2 7x 6 0 的根与二次
函数 y x2 7x 6 的零点的关系：
二次方程有两个实数根：
y
x1 1, x2 6
二次函数有两个零点：
o
01
o
x
6
x1 1, x2 6
即：二次方程的根就是二次函数的零点
高一数学人教A必修5课件：3.2 一元二次不等式及其解法(二)
x－3 (1) <0； x＋2
x－3 解 <0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3， x＋2
∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}.
(2) ≤1； 2x－3 解 ∵ ≤1，∴ －1≤0， 2x－3 2x－3 x＋1 x＋1
x＋1
－x＋4 x－4 ∴ ≤0，即 3≥0. 2x－3 x－2
3 3 此不等式等价于(x－4)x－2≥0 且 x－2≠0，
当堂训练，体验成功
[知识链接]
(5)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是全体实数的条件是 a＞0且Δ＝b2 －4ac＜0.
答案 (2)(3)(4)
[预习导引]
1.分式不等式的同解变形法则：
fx· gx≤0， fx f x g(x)>0 ；(2) (1) ＞0⇔ f(x)· ≤0⇔ gx gx gx≠0；
第三章——
3．2
[学习目标]
一元二次不等式及其解法(二)
1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.
2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，
并加以解决.
3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实
重点难点，个个击破
法二 原不等式可化为
2－x－x＋3 x ＋3
2x＋1 >0，化简得 >0，即 <0， x＋ 3 x＋3
－2x－1
1 ∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3<x<－ . 2
1 － 3< x < － x ∴原不等式的解集为 2 .
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法(1)课件新人教a版必修5
类型二 “三个二次”间对应关系的应用
例4 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x 的不等式bx2＋ax＋1>0的解集. 解答
由根与系数的关系，可得
－a＝1＋2， b＝1×2，
即ba＝＝2－，3，
∴不等式bx2＋ax＋1>0，即2x2－3x＋1>0.
反思与感悟
将－x2＋2x－3>0转化为x2－2x＋3<0的过程注意符号的变化，这是解本 题关键之处.
跟踪训练2 求不等式－3x2＋6x>2的解集. 解答
不等式可化为3x2－6x＋2<0，
∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0，
∴x1＝1－ 33，x2＝1＋ 33，
∴不等式－3x2＋6x>2的解集是 {x|1－
{_x_|_x_<_x_1或__x_>_x_2_}
{x|x≠－ b } 2a
R
{_x_|x_1_<_x_<_x_2_}
∅
_∅_
知识点三 一元二次不等式的解法
思考
根据上表，尝试解不等式x2＋2>3x. 答案
先化为x2－3x＋2>0. ∵方程x2－3x＋2＝0的根x1＝1，x2＝2， ∴原不等式的解集为{x|x<1或x>2}.
因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0， 所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝12 ， 所以原不等式的解集为 x|x≠12 .
反思与感悟
当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体 求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次 方程的根的情况以及二次函数的图象.
由2x2－3x＋1>0，解得x<
人教A版高中数学必修5课件 3.2一元二次不等式及其解法课件1课件
解： 0,4x2 4x 1 0
的解是
x1
x2
1 2
所以原不等式的解集是
x
x
1 2
.
典例剖析 规范步骤
例2解不等式 x2 2x 3 0
解：整理得：x2 2x 3 0 0 方程 x2 2x 3 0 无实数解
所以不等式 x2 2x 3 0 的解集是 所以原不等式的解集是
例题讲解
练习、求函数 f (x) 2x2 x 3 log3(3 2x x2)
的定义域
2x2 x 3 0
解：要使得函数有意义，则
3
2x
x
2
0，
即：x
1或x 1 x
3
3 2
，
也即
1 x 3
故函数 f (x) 的定义域是 [1, 3)
课堂练习
解下列关于x的不等式
(1)x2 4x 9 0 (2)3x2 7x 10 (3) x2 2x 3 0
的解集
x x2}
{x|x b } 2a
ax2 bx c 0(a 0)
的解集
{x|x1 x x2}
0
y
x O
没有实根
R
求解一元二次不等 式ax2+bx+c>0 (a>0)的程序框图:
x b 2a
△≥0 x< x1 或
x> x
典例剖析 规范步骤
例1解不等式 4x2 4x 1 0
一次上网在多长时间以内能够保证选择电信 比选择网通所需费用少？
新课导入
分析：假设一次上网x小时， 则电信公司的收取费用为1.5x
根据题意知，网通收费1.7 ，1.6，1.5 ，1.4，……
因为1.7 ，1.6，1.5 ，1.4，……是以1.7为首项，-0.1为 公差的等差数列
高中数学人教A必修5精品课件：3.2一元二次不等式及其解法(1)
的定义域。
解：由函数f(x)的解析式有意义得
2x2 x 3≥0
3
2x
x2
0
即
(2x 3)(x 1)≥0
(x 3)(x 1) 0
解得
x
≤
3 2
或x
≥1
1 x 3
因此1≤x<3，所求函数的定义域是[1，3).
例3： 不等式 x2 bx c 0的解集为
{x x 3或x 1}, 求b与c.
然后想像图象形状
所以,原不等式的解集是
x
|
x
1 2
,
或x
2.
注:开口向上,大于0
解集是大于大根,小 于小根
若改为:不等式 2x2－3x－2 < 0 .
则不等式的解集为: x
图象为:
பைடு நூலகம்
|
1 2
x
2
注:开口向上,小于0
-2
3
解集是大于小根且
小于大根
小结:利用一元二次函数图象解一元二次不等式
其方法步骤是: (1)先求出Δ和相应方程的解， (2)再画出函数图象，根据图象写出不等式的解。
小结：
一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集.
b 2, c 3
练习：不等式ax2 +bx+2>0的解集是{x|- 1 <x< 1 }, 23
试求a，b
例4： 不等式 ax2 bx c 0 的解集为
{x x 3或x 1}, 求cx2 bx a 0 的解集
练习：不等式ax2 +bx+c<0的解集是{x|-2<x<3}, 试求bx2 +ax+c>0
高中数学 第三章 不等式 3.2.1 一元二次不等式及其解法课件 a必修5a高二必修5数学课件
1
2
2x-1
3x-2
(2)原不等式可化为
-1>0,即
<0.
3-4x
4x-3
所以原不等式的解集为 x x < - 或 x > 1 .
2
3
3
4
等价于(3x-2)(4x-3)<0.∴ <x< .
∴原不等式的解集为 x
2
3
<<
3
4
.
12/8/2021
第十九页，共二十一页。
UITANG LIANXI
HONGDIAN NANDIAN
首 页
探究
(tànjiū)
一
探究
(tànjiū)
二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究
(tànjiū)
三
【典型例题 1】 解不等式:
2
(1)2x -3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
2
(3)4x -4x+1≤0;
条件的限制.
2.一元二次不等式的解集
一般地,使某个一元二次不等式成立的 x 的值叫做这个不等式的解,一
元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.
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第四页，共二十一页。
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J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
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S 随堂练习
J 基础知识 Z 重点难点
2
3
4
5
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高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法课件新人教A版必修5-推荐ppt版
求一般的一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0)或 ax2＋bx＋c<0(a>0)的 解集，可由二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系，先求出一 元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，再根据函数图象与 x 轴的相 关位置确定一元二次不等式的解集．因此一元二次不等式解集的区间 端点，就是其对应的函数的零点，也就是其对应的方程的根．
[随堂训练]
1．已知不等式
ax2－5x＋b>0
的解集为x
x<－13或x>12，则不等式
bx2－5x＋a>0 的解集为( )
A.x
－13<x<12
C．{x|－3<x<2}
B.x
x<－13或x>12
D．{x|x<－3 或 x>2}
4．二次函数 y＝x2－4x＋3 在 y<0 时 x 的取值范围是________． 解析：由 y<0 得 x2－4x＋3<0， ∴1<的根
有两个不等的实 数根 x 1，x 2
有两个相 等的实数 根 x 1，x 2
没有实 数根
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，判别式 Δ＝b2－4ac
解不等 (2)画函数 y＝f(x)的
式 f(x) 示意图
＞0 或
f(x)＜0 的步骤
(3)得不 等式的
f(x) ＞0
{x|x＜x1 或 x＞ x2}
分类讨论思想在解含参数不等式中的应用
[典例] 解关于 x 的不等式 ax2－(a－1)x－1<0(a∈R)． [解析] 原不等式可化为(ax＋1)(x－1)<0， 当 a＝0 时，x<1， 当 a>0 时，x＋1a(x－1)<0， ∴－1a<x<1. 当 a<0 时，1＋1a＝a＋a 1，当 a<－1 时，