北师大版八年级下册数学基础巩固训练：第六章 平行四边形 复习训练(含答案)
《第6章平行四边形》巩固提升训练2(附答案)2021年暑假复习北师大版八年级数学下册
2021年北师大版八年级数学下册《第6章平行四边形》暑假复习巩固提升训练2（附答案）1．下列各组条件中，不能判断一个四边形是平行四边形的是（）A．一组对边相等且平行的四边形B．一组对边平行另一组对边相等的四边形C．两条对角线互相平分的四边形D．两组对角分别相等的四边形2．如图，点E是▱ABCD的边AD的中点，CD、BE的延长线交于点F，DF＝4，DE＝3，则▱ABCD的周长为（）A．6B．8C．20D．243．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AE ＝4，DE＝2，AB＝2，则AC的长为（）A．3B．4C．5D．4．如图，在▱ABCD中，CD＝10，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝6，则BE的长为（）A．8B．10C．16D．185．如图，▱ABCD的周长是24cm，对角线AC与BD交于点O，BD⊥AD，E是AB中点，△COD的周长比△BOC的周长多4cm，则DE的长为（）cm．A．5B．5C．4D．46．如图所示，点E为▱ABCD内一点，连接EA，EB，EC，ED，AC，已知△BCE的面积为2，△CED的面积为10，则阴影部分△ACE的面积为（）A．5B．6C．7D．87．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）A．10或11B．11或12或13C．11或12D．10或11或12 8．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝10，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，且OE＝3，则四边形EFCD的周长是（）A．20B．24C．28D．329．如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为．10．已知坐标系中有O、A、B、C四个点，其中点O（0，0），A（3，0），B（1，1），若以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，则C的坐标是．11．如图，▱ABCD的周长是20cm，对角线相交于点O，且EO⊥BD，则△ABE的周长为．12．▱ABCD的周长为60cm，其对角线交于O点，若△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，则AB＝cm，BC＝cm．13．若平行四边形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm的两部分，则此平行四边形的周长为cm．14．一个不规则的图形如图所示，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝．15．如图▱ABCD中，CE⊥AD于点E，BC＝11，DE＝3，∠BAC＝3∠DCE，则AB＝．16．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线的中点，点E和点F分别是AB与CD的中点．若∠PEF＝20°，则∠EPF的度数是．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E，F分别是AC，BC上的点，AE＝16，BF＝12，点P，Q，D分别是AF，BE，AB的中点，则PQ的长为．18．如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC＝4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为．19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠AOE＝74°，∠EAD＝3∠CAE，直接写出∠BCA的度数．20．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s 的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，则当P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，四边形APQB为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PDCQ为平行四边形？21．如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．（1）求证：△BCE≌△ADF；（2）设▱ABCD的面积为6，求四边形AEDF面积．22．如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME，已知AM＝4，∠BCE＝30°．（1）求线段EC的长；（2）求证：∠EMC＝2∠AEM．（3）如果EM＝8﹣AE，求△AEM的面积．23．如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC 于点H．（1）求证：CH＝EH；（2）若AD＝5，CD＝3，求AE的长．24．如图，已知在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE＝CD；（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．25．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥BC交AD于点E，连接BE，点F是BE上一点，连接CF．（1）如图1，若EC＝3DE；BC＝BF＝4，DC＝，求EF的长．（2）如图2，若BC＝EC，连接BE，在BE上取点F，使∠FCD＝45°，过点E作EM ⊥CF交CF延长线于点M，延长ME、CD相交于点G，连接BG交CM于点N．求证：EG＝2MN．参考答案1．解：A、∵一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，∴选项A不符合题意；B、∵一组对边平行另一组对边相等的四边形是梯形或平行四边形，∴选项B符合题意；C、∵两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴选项C不符合题意；D、∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，∴选项D不符合题意；故选：B．2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠ABE＝∠F，∵E是AD的中点，∴AE＝DE＝3，AD＝2DE＝6，在△BAE和△FDE中，，∴△BAE≌△FDE（AAS），∴AB＝DF＝4，∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2×（4+6）＝20．故选：C．3．解：连接CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，CD＝AB＝2，∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴CE＝AE＝4，∵DE＝2，∴CE2+DE2＝42+22＝（2）2＝CD2，∴∠CED＝90°，∴∠AEC＝90°，∴△AEC是等腰直角三角形，∴AC＝AE＝4，故选：B．4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵∠ABC的平分线交AD于点E，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∵AF⊥BE，∴BE＝2BF，∵CD＝10，∴AB＝10，∵AF＝6，∴BF＝＝＝8，∴BE＝2BF＝16，故选：C．5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD的周长是24，∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，AD+AB＝CD+BC＝12，∵△COD的周长比△BOC的周长多4，∴（CD+OD+OC）﹣（CB+OB+OC）＝4，即CD﹣BC＝4，，解得，CD＝8，BC＝4，∴AB＝CD＝8，∵BD⊥AD，E是AB中点，∴DE＝AB＝4，故选：C．6．解：如图，过点B作BF⊥CD于点F，设△ABE和△CDE的AB和CD边上的高分别为a和b，∴S△ABE＝×AB×a，S△CDE＝CD×b，∵a+b＝BF，AB＝CD，∴S△ABE+S△CDE＝（AB×a+CD×b）＝AB•BF，∵S平行四边形ABCD＝CD•BF，∴S△ABE+S△CDE＝S平行四边形ABCD，∵S△ABE+S△CBE+S阴影＝S平行四边形ABCD，∴S△ABE+S△CDE＝S△ABE+S△CBE+S阴影，∴S阴影＝S△CDE﹣S△CBE＝10﹣2＝8．故选：D．7．解：设多边形截去一个角的边数为n，则（n﹣2）•180°＝1620°，解得n＝11，∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，∴原来多边形的边数是10或11或12．故选：D．8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝10，OA＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OF＝OE＝3，CF＝AE．故四边形EFCD的周长为CD+EF+AD＝8+6+10＝24．故选：B．9．解：如图，延长BN交AC于D，在△ANB和△AND中，，∴△ANB≌△AND（ASA），∴AD＝AB＝8，BN＝ND，又∵M是△ABC的边BC的中点，∴MN是△BCD的中位线，∴DC＝2MN＝4，∴AC＝AD+CD＝8+4＝12，故答案为：12．10．解：如图所示：分三种情况：①AB为对角线时，点C的坐标为（4，1）；②OB为对角线时，点C的坐标为（﹣2，1）；③OA为对角线时，点C的坐标为（2，﹣1）；综上所述，点C的坐标为（4，1）或（﹣2，1）或（2，﹣1），故答案为：（4，1）或（﹣2，1）或（2，﹣1）．11．解：∵AC，BD相交于点O，∴O为BD的中点，∵OE⊥BD，∴BE＝DE，△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AD＝×20＝10（cm），故答案为：10cm．12．解：如图，∵▱ABCD的周长为60cm，∴AB+BC＝30cm．∵△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，即AB比BC多10cm，∴AB﹣BC＝10cm．∴AB＝20cm，BC＝20cm．故答案为：20，10．13．解：如图，∵DG∥EF，∴∠GDH＝∠DHE．∵DH平分∠GDE，∴∠GDH＝∠EDH，∴∠EDH＝∠DHE，即DE＝EH．当DE＝EH＝3cm，HF＝4cm时，平行四边形的周长为20cm．当DE＝EH＝4m，HF＝3cm时，平行四边形的周长为22cm．故答案为：20或22．14．解：如图，连接AD，则∠F AD+∠EDA+∠1＝180°，∠E+∠F+∠2＝180°，又∵∠1＝∠2，∴∠F AD+∠EDA＝∠E+∠F，∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠F AD+∠EDA＝∠BAD+∠B+∠C+∠CDA＝360°．故答案为：360°．15．解：▱ABCD中，BC＝AD＝11，DE＝8，∴AE＝11﹣3＝8，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵∠BAC＝3∠DCE，∴∠ACE＝2∠DCE．在AE上截取EF＝ED，则CF平分∠ACE，作FM⊥AC于M，x+4∴AF＝5，MF＝3，∴AM＝4．设CM＝x，则（x+4）2＝x2+82，解得x＝6，∴AB＝CD＝＝3．故答案为：3．16．解：∵点E和点P分别是AB与BD的中点，∴EP＝AD，同理可得：FP＝BC，∵AD＝BC，∴EP＝FP，∴∠PFE＝∠PEF＝20°，∴∠EPF＝180°﹣∠PFE﹣∠PEF＝140°，故答案为：140°．17．解：∵点P，D分别是AF，AB的中点，∴PD＝BF＝6，PD∥BF，∴∠ADP＝∠ABC，同理，DQ＝AE＝8，DQ∥AE，∴∠BDQ＝∠BAC，∴∠PDQ＝180°﹣（∠ADP+∠BDQ）＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°，由勾股定理得，PQ＝＝＝10，故答案为：10．18．解：连接AF、EC．∵BC＝4CF，S△ABC＝12，∴S△ACF＝×12＝3，∵四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，EF∥AC，∴S△DEB＝S△DEC，∴S阴＝S△ADE+S△DEC＝S△AEC，∵EF∥AC，∴S△AEC＝S△ACF＝3，∴S阴＝3．故答案为：3．19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴AE＝CF．（2）解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝74°，∴∠EAO＝90°﹣∠AOE＝16°，∵∠EAD＝3∠CAE，∴∠EAD＝3×16°＝48°，∴∠DAC＝∠DAE﹣∠EAO＝48°﹣16°＝32°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BCA＝∠DAC＝32°．20．解：（1）根据题意有，AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t，∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形，∴t＝15﹣2t，解得：t＝5，∴运动5s时，四边形APQB是平行四边形；（2）由AP＝tcm，CQ＝2tcm，∵AD＝12cm，BC＝15cm，∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t（cm），当PQ∥CD，且PQ＝CD时，∵AD∥BC，即PD∥QC，∴四边形PQCD为平行四边形，∴PQ＝CD，PD＝CQ，∴12﹣t＝2t，解得：t＝4，即当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵AF∥BE，∴∠EBA+∠BAF＝180°，∴∠CBE＝∠DAF，同理得∠BCE＝∠ADF，在△BCE和△ADF中，，∴△BCE≌△ADF（ASA）；（2）解：∵点E在▱ABCD内部，∴S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，由（1）知：△BCE≌△ADF，∴S△BCE＝S△ADF，∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，∵▱ABCD的面积为6，∴四边形AEDF的面积为3．22．（1）解：∵M为AD的中点，AM＝4，∴AD＝2AM＝8．在▱ABCD的面积中，BC＝AD＝8，又∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵∠BCE＝30°，∴BE＝BC＝4，∴EC＝＝4；（2）证明：延长EM，CD交于点N．∵在▱ABCD中，AB∥CD，∴∠AEM＝∠N，在△AEM和△DNM中∵，∴△AEM≌△DNM（ASA），∴EM＝MN，又∵AB∥CD，CE⊥AB，∴CE⊥CD，∴CM是Rt△ECN斜边的中线，∴MN＝MC，∴∠N＝∠MCN，∴∠EMC＝2∠N＝2∠AEM；（3）解：设AE＝x，由（2）△AEM≌△DNM（ASA），∴AE＝DN＝x，∴DC＝AB＝AE+EB，∴DC＝x+4，∴NC＝DC+DN＝2x+4，∵MN＝ME，∴EN＝2EM＝2（8﹣AE）＝16﹣2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ECN＝∠BEC＝90°，在Rt△ECN中，EC2+CN2＝EN2，∴（16﹣2x）2＝（4）2+（2x+4）2，解得：x＝，∴NC＝2x+4＝，∴S△ECN＝×4×＝，∵M是EN的中点，∴S△EMC＝S△NMC＝S△ECN＝，过M作CN的垂线，垂足为G，∴S△NMC＝CN•MG＝×MG＝，∴MG＝2，∴S△NMD＝DN•MG＝×MG＝，由（2）△AEM≌△DNM（ASA），∴S△AEM＝S△NMD＝．23．解：（1）∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∵平行四边形ABCD中，DC∥AB，∴∠E＝∠DCE，∴∠E＝∠BCE，∴BC＝BE，又∵BH⊥CE，∴CH＝EH；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，又∵BE＝BC，∴BE＝5，∴AE＝BE﹣AB＝5﹣3＝2．24．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB，∴BE＝CD；（2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE，∴AF＝EF，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（ASA），∴DF＝CF，又∵AF＝EF，∴四边形ACED是平行四边形．25．（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∵CE⊥BC，∴∠BCE＝∠CED＝90°，设DE＝x，则CE＝3x，∵DC＝，CE2+DE2＝DC2，∴，∴x＝1，∴CE＝3，∴BE＝＝＝5，∵BC＝BF＝4，∴EF＝BE﹣BF＝5﹣4＝1；（2）证明：如图2中，延长GM到H，使得MH＝MG，连接CH，BH．∵EM⊥CF，∴CH＝CG，∵∠DCF＝45°，∴CM＝MG＝HM，∴∠HCG＝90°，∴∠HCG＝∠BCE，∴∠BCH＝∠ECG，∵CB＝CE，∴△BCH≌△ECG（SAS），∴BH＝EG，∠CHB＝∠CGE＝45°，∵∠CHG＝45°，∴∠BHG＝90°，∴∠BHG＝∠CMG＝90°，∴MN∥BH，∵HM＝HG，∴BN＝NG，∴BH＝2MN，∴EG＝2MN．。
北师大版八年级数学下册第六章 平行四边形 单元练习题
北师大版八年级下册第六章平行四边形单元练习题(含答案)一．选择题：（四个选项中只有一个是正确的，选出正确选项填在题目的括号内）1．在□ABCD中，下列结论正确的是（）A、AB=ACB、AD//BCC、AB=ADD、∠A=∠B2．如图，在□ABCD中，∠D=50º，则∠A=（）A、45ºB、50ºC、130ºD、135º3．如图，在□ABCD中，AE平分∠BAD，如果CE=3cm，AB=4cm，则□ABCD的周长是（）A、20 cmB、21 cmC、22 cmD、23 cm第2题图第3题图第5题图4．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A、AB//DC，AD//BCB、AB=DC，AD=BCC、AO=CO，BO=DOD、AB//DC，AD//BC5．如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC 的周长为（）A、13B、17C、20D、266．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列条件：①AD//BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD；从中任意选出两个条件，能使四边形为平行四边形的选法有（）A、3种B、4种C、5种D、6种7．如图，在□ABCD中，已知∠ODA=90º，AC=10cm，BD=6cm，则AD=（）A、4 cmB、5 cmC、6 cmD、8cm8．一个正多边形的内角和等于540º，则这个多边形的每一个外角等于（）A、60ºB、72ºC、90ºD、108º9．一个正多边形的内角和等于它的外角和的4倍还多180º，则这个多边形的边数为（）A、8 B、9 C、10 D、1110．如图，在△ABC中，AB=8，∠C=90º，∠A=30º，DE是中位线，则DE=（）A、2 B C、3 D、411．如果直线a //b ，点A ，B 分别在直线a ，b 上，且AB=3，则a ，b 之间的距离（ ）A 、等于3B 、大于3C 、不大于3D 、不小于312．如图，点M 是□ABCD 的边AB 上任意一点，如果△CDM 的面积为S ，△CBM 的面积为1S ，△ADM 的面积为2S ，则下列关于1S ，2S ， S ，的大小关系中正确的是（ ）A 、12S S S +<B 、12S S S +>C 、12S S S +=D 、12S S S +=二．填空题：（将正确答案填在题目的横线上）13．在□ABCD 中，如果AB=8，BC=5，则这个平行四边形的周长为____________；14．在□ABCD 中，DB=DC ，∠A=67º，CE ⊥BD 于点E ，则∠BCE=________；15．□ABCD 的两条对角线相交于点O ，且AB=6，△OCD 的周长为23，则□ABCD 的两条对角线的和是________；16．如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，若AB //CD ，添加一个条件_______________，使四边形ABCD 是平行四边形；17．平行四边形的一边长为5cm ，一条对角线长为6cm ，则另一条对角线的长为________时，使得两条对角线的夹角为90º；第16题图 第18题图18．如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于F ；若∠EAF=56º，则∠B=______；三、解答题：19．如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠B=65º，CD=25，AD=30；求：（1）∠ADC ，∠BCD 的度数；（2）AB ，BC 的长；20．如图，□ABCD 的周长为30cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△BOC 的周长多5cm ，求平行四边形ABCD 的各边长；21．如图，等边△ABC的边长是8，D、E分别是AB、AC的中点，延长BC到F，使12CF BC=，连接CD、EF；（1）求证：DE=CF；（2）求EF的长；22．如图，在□ABCD中，点M、N分别在AD、BC上，点E、F在BD上，且AN=CM，AE=CF；求证：四边形MENF是平行四边形；23．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA=5cm，点E、F为直线BD上两个动点（点E、F始终在□ABCD外），且12DE OD=，12BF OB=，连接AE，CE，CF，AF；（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若13DE OD=，13BF OB=，上述结论还成立吗？由此可得出什么结论？（3）若CA平分∠BCD，∠AEC=60º，求四边形AFCE的周长；参考答案：1~12 BCCDB BABDA CC13．26；14．23º；15．34；16．答案不唯一，AD//BC，或AB=DC；17．8cm；18．56º；19．（1）∠ADC=65º，∠BCD=115º；（2）AB=25，BC=30；20．AB=CD=10，AD=BC=5；21．（1）利用三角形的中位线得：12 DE BC=已知：12 CF BC=∴DE CF=（2）由等边三角形的性质可得：CD=证明四边形CDEF是平行四边形∴EF CD==22．提示：证明：△AEN≌△CFM得：EN=FM证明：△AFN≌△CEM得：FN=EM利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，从而得证；23．（1）提示：证明OA=OC，OE=OF利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，从而得证；（2）成立；结论：若1DE ODn=，1BF OBn=，则四边形AFCE是平行四边形；（3）提示：由题意可得ACE是等边三角形，四边形AFCE的周长是40cm；。
北师大版数学八下第六章各节练习题含答案
北师大版数学八年级下册第六章平行四边形6.1 平行四边形的性质同步练习题1．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是( )A．①②B．①④C．③④D．②③2．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是四边形．3．如图，▱ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为( )A．3 B．6C．12 D．244．已知，在▱ABCD中，BC－AB＝2cm，BC＝4cm，则▱ABCD的周长是( )A．6cm B．12cmC．8cm D．10cm5．如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是( )A．45° B．55°C．65° D．75°6．如图，在▱ABCD 中，AB ＞AD ，按以下步骤作图：以点A 为圆心，小于AD 的长为半径画弧，分别交AB 、AD 于点E 、F ；再分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点G ；作射线AG 交CD 于点H ，则下列结论中不能由条件推理得出的是( )A ．AG 平分∠DAB B ．AD ＝DHC ．DH ＝BCD ．CH ＝DH7．如图，在▱ABCD 中，BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，若∠1＝20°，则∠2的度数为 .8．如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，BE ＝DF .求证：AE ＝CF .9．已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 至点E ，使AE ＋CD ＝AD .连接CE ，求证：CE 平分∠BCD .10．已知▱ABCD 的周长为36cm ，过点A 作AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E 、F .若AE ＝2cm ，AF ＝4cm.求▱ABCD 的各边长．11．如图，BD是▱ABCD的对角线，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为F.(1)补全图形，并标上相应的字母；(2)求证：AE＝CF.12．如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长．6.1平行四边形答案： 1. D 2. 平行 3. A 4. B 5. A 6. D7. 110°8. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠ABE ＝∠CDF.又∵BE ＝DF ，∴△ABE ≌△CDF(SAS)，∴AE ＝CF.9. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，AD ＝BC ，∴∠E ＝∠DCE ，∵AE ＋CD ＝AD ，∴BE ＝BC ，∴∠E ＝∠BCE ，∴∠DCE ＝∠BCE ，即CE 平分∠BCD. 10. 解：∵▱ABCD 中，AB ＝CD ，BC ＝AD ，又∵▱ABCD 的周长为36cm.即AB ＋BC ＋CD ＋AD ＝36，即BC ＋CD ＝18，又∵S ▱ABCD ＝BC·AE＝CD·AF，∴2BC ＝4CD ，即BC ＝2CD ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧BC ＋CD ＝18BC ＝2CD，得⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝12CD ＝6，∴AB ＝CD ＝6cm ，AD ＝BC ＝12cm.11. 解：(1)如图所示：(2)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴△ABD 的面积＝△BCD 的面积，∴12BD·AE＝12BD·CF，∴AE ＝CF. 12. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAE ＝∠F ，∠D ＝∠ECF ，∵E 是▱ABCD 的边CD 的中点，∴DE ＝CE ，在△ADE 和△FCE 中，∠DAE ＝∠F ，∠D ＝∠ECF ，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△FCE(AAS)；(2)解：∵△ADE ≌△FCE ，∴AE ＝EF ＝3，∵AB ∥CD ，∴∠AED ＝∠BAF ＝90°，在▱ABCD中，AD＝BC＝5，∴DE＝AD2－AE2＝52－32＝4，∴CD＝2DE＝8.6.2 平行四边形的判定一．选择题：（四个选项中只有一个是正确的，选出正确选项填在题目的括号内）1．下列条件中，能判别四边形是平行四边形的是( )A．一组对边相等，另一组对边平行B．一组对边平行，一组对角互补C．一组对角相等，一组邻角互补D．一组对角互补，另一组对角相等2．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，要判别它是平行四边形还需满足（）A．∠A＋∠C＝180°B．∠B＋∠D＝180°C．∠A＋∠B＝180°D．∠A＋∠D ＝180°3．如图，AD＝BC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需补充的一个条件，下列错误．．的是（）A．AB=DC B．AD//BC C．∠A＋∠D＝180°D．∠A＋∠B＝180°4．一个四边形的三个内角的度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（）A．88°，108°，88° B．88°，104°，88° C．88°，92°，92° D．88°，92°，88°5．下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )A．∠A=∠D，∠B=∠C B．AB=CD，AD=BC C．AB∥CD，AB=CD D．AB=AD，BC=CD6．四边形ABCD中，分别给出以下条件：①AB∥CD；②AB=CD；③AD∥BC；④AD=BC；⑤∠A=∠C．则下列条件组合中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )A．①②B．①④C．①③D．①⑤7．若□ABCD的两条对角线长分别为6 cm和16 cm，下列长度的线段可作为□ABCD 边长的是（）A．5cm B．8cm C．12cm D．16cm8．点A，B，C，D在同一平面内，①AB∥CD，②AB＝CD，③BC∥AD，④BC=AD；从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有( ) A．3种B．4种C．5种D．6种9．以长为5cm，4cm，7cm的三条线段中的的两条为边，另一条为对角线画平行四边形，可以画出形状不同的平行四边形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．如图，□ABCD中，E，F分别为边AB，DC的中点，则图中共有平行四边形的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6第10题图二．填空题：（将正确答案填在题目的横线上）11．四边形ABCD中，已知AB＝CD，若再增加一个条件可得四边形ABCD是平行四边形；这个条件可以是______________________________；（写出其中两个）12．如图，□ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、AF、CE、CF，添加条件____________，可以判定四边形AECF是平行四边形；(填一个符合要求的条件即可)13．已知四边形ABCD中，AC交BD于点O，如果只给条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：(1)如果再加上条件“BC=AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；(2)如果再加上条件“∠BAD=∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；(3)如果再加上条件“AO=OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；(4)如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形其中正确的说法是___________________；14．M是△ABC的AB边上的中点，连接CM并延长到D，使MD＝CM，则AD与BC________，BD与AC________；15．一个四边形的边长依次是a，b，c，d，且a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形是______ ，依据是___________________________________ ；三．解答题：（写出必要的说明过程，解答步骤）16．如图，AC//DE，点B在AC上，且AB＝DE＝BC；找出图中的平行四边形，并说明理由；17．如图，已知E，F，G，H分别是□ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH；求证：四边形EFGH是平行四边形；18．如图所示，AD为∥ABC的一条角平分线，E，F分别在AC，AB上，DE∥AB，BF ＝AE；求证：EF＝BD；19．如图，AC是□ABCD的一条对角线，BM⊥AC，DN⊥AC，垂足分别为M，N，四边形BMDN是平行四边形吗?请选择一种你认为比较好的方法证明．20．如图所示，已知D，E，F分别在∥ABC的边BC，AB，AC上，且DE∥AF，DE＝AF，将FD延长至G，使FG＝2DF，连接AG，则ED，AG互相平分吗?请说明理由；21．如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF//BE；（1）求证：△AFD△△CEB；（2）连接BF，DE，四边形BEDF是平行四边形吗？请说明理由；6.2参考答案：1~10 CDCDD BBBCB11．AB//CD或AD=BC；12．BE=DF（答案不唯一）；13．（2）（3）；14．相等，相等；15．平行四边形，两组对边分别相等的四边平行四边形；16．四边形ABDE，BCDE是平行四边形；理由如下：∵AC//DE 即AB//DE 又AB＝DE∴四边形ABDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∵AC//DE 即BC//DE 又BC＝DE∴四边形BCDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）17．在□ABCD中，∥A=∥C（平行四边形的对边相等）；又△AE=CG，AH=CF（已知），△△AEH△△CGF（SAS），△EH=GF（全等三角形的对应边相等）；在□ABCD中，AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），△AB﹣AE=CD﹣CG，AD﹣AH=BC﹣CF，即BE=DG，DH=BF又△□ABCD中，△B=△D，△△BEF△△DGH；△GH=EF（全等三角形的对应边相等）；∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．18．如图，∥AD平分∥BAC，∥∥1＝∥2又∥ED∥AB，∥∥1＝∥3，∥∥2＝∥3∥AE＝DE又∥AE＝BF，∥DE=BF且DE//BF∥四边形BDEF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∥EF＝BD．19．四边形BMDN是平行四边形；提示：由BM⊥AC，DN⊥AC可得：DN//BM再证明：△ADN△△CBM得：DN=BM从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得：四边形BMDN是平行四边形；或：证明：△ADN△△CBM得：DN=BM，证明：△ABN△△CDM 得：BN=DM 由两组对边分别相等的四边形是平行四边形得：四边形BMDN是平行四边形；20．ED，AG互相平分；理由如下：连接EG，AD，∥DE＝AF，DE∥AF，∥四边形AEDF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∥AE∥DF，AE＝DF．又∥FG＝2DF，∥G D＝DF．∥AE∥DG，AE＝D G．∥四边形AECD为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∥ED，AG互相平分．21.（1）∵DF//BE ∴△ADF=△CEB又∵AF＝CE，DF＝BE∴△AFD△△CEB （SAS）(2)如图，连接BF，DE，四边形BEDF是平行四边形；由（1）知：△AFD△△CEB ∴DF=BE又∵DF//BE∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形∴四边形BEDF是平行四边形；6.2 平行四边形的判定（2）（含答案）一．选择题：（四个选项中只有一个是正确的，选出正确选项填在题目的括号内）1．下列判断正确的是（ ）A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形B ．两条对角线互相平分的四边形一定是平行四边形C ．两组邻角分别互补的四边形一定是平行四边形D ．两条对角线相等的四边形一定是平行四边形2．下面几组条件中，能判断一个四边形是平行四边形的是（ ）A ．一组对边相等B ．两条对角线互相平分C ．一组对边平行D ．两条对角线互相垂直3．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线BD 、AC 相交于点O ，E 、F 是BD 上的两点，添加条件BE=DF ，则可得四边形AECF 是平行四边形，比较直接的判定方法是（ ）A ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D ．对角线互相平分的四边形是平行四边形4．在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E ，F 是对角线BD 上的点；下列条件中，不能．．判定四边形AECF 是平行四边形的是（ ） A ．AE //CF B ．AE=CF C ．∠AEO=∠CFO D ．BE=DF 5．在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，AC ＝10，BD ＝8，则AD 的取值范围是（ ）A ．AD ＞1B ．AD ＜9C ．1＜AD ＜9 D ．AD ＞106．如图，□ABCD 的对角线交于点O ，且AB=5，△OCD 的周长为23，则□ABCD 的两条对角线的和是（ ）A ．18B ．28C ．36D ．467．如图，在□ABCD 中，已知∠ODA=90°，AC=10cm ，BD=6cm ，则AD= ( )A B第3，4题图OFED CA ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm8．四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，给出下列四个条件：①AD ∥BC ；②AD ＝BC ；③OA ＝OC ；④OB ＝OD ；从中任选两个条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有( )A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种9．四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的 是（ ）A ．AB //DC ，AD //BC B ．AB ＝DC ，AD ＝BC C ．AO ＝CO ，BO ＝DO D ．AB //DC ，AD ＝BC10. 若以A （-0.5，0）、B （2，0）、C （0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二．填空题：（将正确答案填在题目的横线上）11．四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AO=CO ，请添加一个条件_________（只添一个条件），使四边形ABCD 是平行四边形；12．如图，四边形ABCD 中，AO=OC ，BD=16cm ；AB第6题图ODCAB第7题图ODC则当OB=___ cm时，四边形ABCD 是平行四边形；13. 在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O ；（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=_____cm，CD=____cm时，四边形ABCD 是平行四边形；（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=____cm，DO=____cm时，四边形ABCD 是平行四边形；14.已知，平面直角坐标系内有A、B、C三点，坐标分别为A(-2，2)，B(-3，0)，C(1，0)；若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标是_____________；15.如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，连接BD，CF，请添加一个条件：_________，使四边形BDCF是平行四边形；16.如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点；如果AE=CF，那么在四边形BEDF中，相等的边有____________，相等的角有_________________________________；三．解答题：（写出必要的说明过程，解答步骤）17．在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE=CF，BM=DN；求证：四边形MENF是平行四边形；ABEMONCFD18．如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF；求证：∠EBF=∠FDE；19．在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M、N分别是OA、OC的中点；求证：BM//DN，BM=DN；DA第18题图FECB20．在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上且AE=CF；求证：DE=BF；21．如图，四边形ABCD中，AC，BD 相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC=8，BD=6；（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AC⊥BD，求□ABCD的面积；参考答案：1~10 BBDBC CABDCDA第21题图OCB DA第20题图OFECB11．BO=DO ； 12．8； 13．（1）8，4；（2）5，4； 14．(-6，2)、(2，2)、 (0，-2)； 15．ED=EF ；16．BE=DF ，BF=DE ；∠BED=∠BFD ，∠EBF=∠EDF ； 17．∵ 四边形ABCD 是平行四边形 ∴ OA=OC ，OB=OD ∵ AE=CF ，BM=DN∴ OA -AE=OC -CF ，OB -BM=OD –DN 即 OE=OF ，OM=ON ∴四边形MENF 是平行四边形；（对角线互相平分的四边平行四边形） 18．如图，连接BD ，交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴ OA=OC ，OB=OD ∵ AE=CF∴ OA -AE=OC -CF 即 OE=OF 四边形BEDF 中，∵OB=OD ，OE=OF ∴ 四边形BEDF 是平行四边形 ∴∠EBF=∠FDE ； 19．如图，连接DM 、BN ， ∵ 四边形ABCD 是平行四边形 ∴ OA=OC ，OB=OD∵ M 、N 分别是OA 、OC 的中点 ∴ OM=ON∴在四边形BMND 中，OM=ON ，OB=OD ∴四边形BMND 是平行四边形 ∴ BM//DN ，BM=DN ； 20．如图，连接BE ，DF ；∵四边形ABCD 是平行四边形，DA第18题解图FE CBDA第20题解图OFECB∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OA﹣AE=OC﹣CF，即OE=OF，又∵OB=OD∴四边形BEDF是平行四边形，∴DE=BF；21．（1）∵O是AC的中点，∴OA=OC；∵AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO，在△AOD和△COB中，∵ADO CBOAOD COB OA OC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOD≌△COB，∴OD=OB，又∵OA=OC∴四边形ABCD是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴□ABCD的面积=12AC•BD=24；6.3 三角形的中位线（含答案）一．选择题：（四个选项中只有一个是正确的，选出正确选项填在题目的括号内）1．△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若BC=8，则DE=（）A．5 B．4 C．3 D．22．三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，则原三角形的周长为( ) A．24cm B．26cm C．34cm D．52cm3．△ABC中，点D、E分别是AB、AC中点，∠A=50°，∠ADE=60°，那么∠C=( ) A．50°B．60°C．70°D．80°4．如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点；则四边形ADEF的周长为（）A．8 B．10 C．12 D．165．如图，在四边形ABCD 中，AB=CD，M、N、P分别AD、BC、BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP=（）A．25° B．30° C．35° D．50°6．在四边形ABCD中，AC=6cm△BD=8cm△E△F△G△H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长为（）A．14 B．16 C．18 D．20第4题图第5题图第6题图7．如图，矩形ABCD中，点P从点B出发沿BC向点C运动，E、F分别是AP、PC 的中点，则EF的长度（）A．逐渐增大B．逐渐减小C．不变D．无法确定8．如图，已知矩形ABCD中，R，P分别是DC、BC上的点，E，F分别是AP，RP 的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么线段EF的长（）A．逐渐增大B．逐渐减小C．不改变D．不能确定9．已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH一定是（ A ）A．平行四边形B．矩形C．正方形D．菱形10．如图，四边形各边中点及对角线中点共六个点中，任取四个点连成四边形中，最多可以有（）个平行四边形；A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题：（将正确答案填在题目的横线上）11．△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC 的周长为______；12．在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，四边形EFGH 的周长为30，则AC+BD= ；13．已知：如图，在△ABC中，点D为BC上一点，CA=CD，CF平分∠ACB，交AD于点F，点E为AB的中点．若EF=2，则BD=________；14．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点；若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长为________cm；15．如图，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E，延长AD交BC的延长线于F，连接DE，设BC=a，AC=b，AB=c，（a＜b＜c）；给出以下结论正确的有_____________；①CF=c﹣a；②AE=（a+b）；③DE=（a+b﹣c）；④DF=（b+c﹣a）；三．解答题：（写出必要的说明过程，解答步骤）16．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点；求证：△EFG是等腰三角形；17．已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝5，AC＝7，求ED的长；18．已知：如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G；求证：GF＝GC；19．已知：如图，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB＝2OF．20．△ABC的中线BD、CE相交于O，F，G分别是BO、CO的中点；求证：EF∥DG，且EF=DG；6.3三角形的中位线参考答案：1~10 CBCDA ACCAB11．18；12．30；13．4；14．3；15．①③；16．∵E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，∴EG、FG分别是△ACD、△ABC的中位线∴ 11,22EG BC FG AD == ∵ AD=BC ∴ EG=FG ∴ △EFG 是等腰三角形； 17．ED=1；延长BE ，交AC 于F ；18．取BE 中点P ，证明四边形EFPC 是平行四边形；19．连接BE ，证明四边形ABEC 是平行四边形，得：AB=EC ，BF=FC ； ∵四边形ABCD 是平行四边形，OA=OC ， ∴OF 是△ACE 的中位线 ∴AB=EC=2OF ； 20. 连接DE 、FG ，利用三角形中位线的性质可得：D E ∥FG ，且DE=FG得证：四边形DEFG 是平行四边形，从而得：EF ∥DG ，且EF=DG ；北师大版八年级下册 第六章 平行四边形6.4 多边形的内角和与外角和同步练习1．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．112．六边形的内角和是( ) A ．540° B ．720° C ．900°D ．360°3．若n边形内角和为900°，则边数n＝.4．已知：如图，AB∥CD，求图形中的x的值．5．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是( )A．a＞b B．a＝bC．a＜b D．b＝a＋180°6．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于( ) A．108° B．90°C．72° D．60°7．若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是( ) A．7 B．10C．35 D．708．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是( )A．140米B．150米C．160米D．240米9．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为( )A．7 B．7或8C．8或9 D．7或8或910．如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝.11．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为.12．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝.13．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．14．在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＝240°，∠C＝∠D＝∠E＝2∠B.求∠B的度数．6.4答案：1. C2. B3. 74. 解：x＝85°.5. B6. C7. C8. B9. D10. 36°11. 612. 300°9. 解：设这个多边形的边数是n，依题意得(n－2)×180°＝3×360°－180°，(n－2)＝6－1，n＝7，∴这个多边形的边数是7.13. 解：∵五边形ABCDE的内角和为(5－2)×180°＝540°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D ＋∠E＝540°，又∵∠A＋∠B＝240°，∴∠A＝240°－∠B，又∵∠C＝∠D＝∠E＝2∠B，∴240°－∠B＋∠B＋2∠B＋2∠B＋2∠B＝540°，解得∠B＝50°.第六章平行四边形单元测试一、选择题1.如图，点D是△ABC的边AB延长线上一点，BE//AC，若∠C=50∘，∠DBE=60∘，则∠DBC的度数为( )A. 70∘B. 100∘C. 110∘D. 120∘2.▱ABCD中，∠A=55∘，则∠B，∠C的度数分别是( )A. 135∘，55∘B. 55∘，135∘C. 125∘，55∘D. 55∘，125∘3.下列说法中，错误的是( )A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C. 四个角都相等的四边形是矩形D. 邻边都相等的四边形是正方形4.下列各组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )A. AB=CD，AD=BCB. AB//CD，AB=CDC. ∠A：∠B：∠C：∠D=5：5：6：6D. OA=OC，OB=OD5.若一个多边形的内角和是外角和的3.5倍，则此多边形的边数是( )A. 7B. 9C. 14D. 186.从n边形的一个顶点出发共有对角线( )A. (n−2)条B. (n−3)条C. (n−1)条D. (n−4)条x−2的值不大于7−x的值，则x的取值范围是( )7.若45A. x≥6B. x≤5C. x≤−2D. x≤38.已知A、B两点之间的距离是10cm，C是线段AB上的任意一点，则AC中点与BC中点间距离是( )A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 不能计算9.如图，已知在▱ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=( )A. 18∘B. 36∘C. 45∘D. 72∘10.不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是( )A. ∠A=∠C，∠B=∠DB. AB//CD，AD=BCC. AB//CD，∠A=∠CD. AB//CD，AB=CD二、填空题11.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是______ ．12.在平行四边形ABCD中，∠A=110∘，则∠D=______ ．13.在四边形ABCD中，AB=CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是(添加一个条件即可)______ ．14.在▱ABCD中，CA⊥AB，∠BAD=120∘，若BC=10cm，则AC=______ ，AB=______ ．15.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD//BC，请添加一个条件：______ ，使四边形ABCD为平行四边形(不添加任何辅助线)．三、计算题16.如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，G，H分别是AF，CE的中点，连结EG，FH．(1)四边形EHFG是不是平行四边形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；(2)求四边形EHFG的面积与平行四边形ABCD的面积之比．17.平行四边形的周长为36cm，一组邻边之差为4cm，求平行四边形各边的长．18.如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=17，ab=60，求阴影部分的面积．19.如图1是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图2.雨刷EF⊥AD，垂足为A，AB=CD且AD=BC，这样能使雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC，请证明这一结论．20.如图，AB//CD，EF分别交AB、CD于点E、F，FG平分∠EFC，交AB于G.若∠1=80∘，求∠FGE的度数．【答案】1. C2. C3. D4. C5. B6. B7. B8. C9. B10. B11. 3612. 70∘13. AB//CD(答案不唯一)14. 5cm；5√3cm15. AD=BC(答案不唯一)16. 解：(1)四边形EHFG为平行四边形，理由为：∵ABCD为平行四边形，∴DC//AB，DC=AB，∵E、F分别为AB、CD的中点，∴DF=CF=12DC，AE=BE=12AB，∴FC=AE，∵FC//AE，∴四边形AECF为平行四边形，∴AF//EC，且AF=EC，∵G、H分别为AF、CE的中点，∴GF=EH，则四边形EHFG为平行四边形；(2)∵E、F为AB、CD的中点，∴S四边形AECF =S△ADF+S△EBC(底乘高可算得)，即S平行四边形AECF：S平行四边形ABCD=1：2，过F做FJ⊥CE于J点，FJ为四边形EHFG及四边形AECF的高，又∵G、H为中点，∴S四边形EHFG：S四边形AECF=1：2(FJ⋅EC=FJ⋅2⋅EH)，则S四边形EHFG：S四边形ABCD=1：4．17. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AD=BC，∵四边形ABCD的周长是36cm，∴2AB+2BC=36cm，∴AB+BC=18cm，∵BC−AB=4cm，∴AB=7cm，BC=11cm．故各边长分别为7cm，11cm，7cm，11cm．18. 解：∵a+b=17，ab=60，∴S阴影=S正方形ABCD+S正方形EFGC−S△ABD−S△BGF=a2+b2−12a2−12(a+b)⋅b=a2+b2−12a2−12ab−12b2=12a2+12b2−12ab=12(a2+b2−ab)=12[(a+b)2−3ab]=12×(172−3×60)=1092．19. 证明：∵AB=CD、AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，又∵EF⊥AD，∴EF⊥BC．20. 解：∵∠1=80∘，∴∠AEF=∠1=80∘，∵AB//CD，∴∠EFC=180∘−∠AEF=180∘−80∘=100∘，∵FG平分∠EFC，∴∠AFC=12∠EFC=12×100∘=50∘，∵AB//CD，∴∠FGE=∠AFC=50∘．。
北师大版八年级下册数学第六章 平行四边形含答案
北师大版八年级下册数学第六章平行四边形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在五边形 ABCDE 中，∠A+∠B+∠E=α，DP，CP 分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P 的度数是（）A.90°+ αB. α﹣90°C. αD.540° - α2、一个多边形的每一个内角都等于140°，则它的边数是（）A.7B.8C.9D.103、如图，点P是四边形ABCD内的一点，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，设∠C+∠D的大小为x，∠P的大小为y，则x，y的关系是（）A. B. C. D.4、若多边形的边数增加1，则其内角和的度数（）A.增加180°B.其内角和为360°C.其内角和不变D.其外角和减少5、若多边形的边数由3增加到n(n为大于3的正整数)，则其外角和的度数( )A.增加B.减少C.不变D.不能确定6、若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A.7B.10C.35D.707、一个多边形的内角和是外角和的5倍，这个多边形是（）A.正六边形B.正八边形C.正十边形D.正十二边形8、若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（）A.6B.8C.9D.109、如图是一枚“八一”建军节纪念章，其外轮廓是一个正五边形，则图中∠1 的大小为（）．A.120°B.36°C.108°D.90°10、若一个多边形的内角和是900度，则这个多边形的边数为（）A.6B.7C.8D.1011、如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数是（）A.40 0B.45 0C.50 0D.60 012、若一个多边形每一个内角都是120º，则这个多边形的边数是（）A.6B.8C.10D.1213、如果一个多边形的每一个内角都是135°，那么这个多边形的边数是（）A.5B.6C.8D.1014、若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角的度数为( )A.90°；B.105°；C.130°；D.120°.15、一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是（）A.2B.C.1D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，六边形ABCDEF是正六边形，那么∠α的度数是________．17、四边形具有不稳定性.如图，矩形按箭头方向变形成平行四边形，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则________.18、如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为________．19、如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC =3，则S△BCF=________．20、八边形的外角和等于________°．21、如图，在▱ABCD中，AB=，AD=4，将▱ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为________.22、如图，在正六边形ABCDEF中，连接AD，AE，则∠DAE=________．23、如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿AB方向平移到△EBO的位置，点D在BC上，已知△AEF的面积为5，则图中阴影部分的面积为________.24、如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝30°.BE⊥CD.BF⊥AD，垂足分别为E.F.BE＝1，BF＝2.则DF＝________.25、已知□ABCD中，若∠B+∠D＝200°，则∠A的度数为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．27、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F．求证：OE=OF．28、如图，在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点．求证：四边形DECF是平行四边形．29、如图，已知四边形ABCD为平行四边形，其对角线相交于点O，，，求的正弦值．30、已知：如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于0，点E，F分别在AO，CO 上，且AE=CF，求证：四边形BEDF是平行四边形．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、C3、B4、A5、C6、C7、D8、C9、C10、B11、A12、A14、C15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、28、30、。
2021北师大版八年级数学下第六章《平行四边形》常考综合题专练含答案
北师大版八年级下册第六章《平行四边形》常考综合题专练（一）1．如图1，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC于点E，连接ED，且ED平分∠AEC．（1）求证：AE＝BC；（2）如图2，过点C作CF⊥DE交DE于点F，连接AF，BF，猜想△ABF的形状并证明．2．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝，CD＝BD，求AD的长．3．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．（1）求证：CD＝BE；（2）若点F为DC的中点，DG⊥AE于G，且DG＝1，AB＝4，求AE的长．4．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．【结论应用】（1）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN＝∠F．（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为．5．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，M，N分别是AB、AD的中点．（1）求证：四边形AMON是平行四边形；（2）若AC＝6，BD＝4，∠AOB＝90°，求四边形AMON的周长．6．已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．（1）求证：BD、EF互相平分；（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．7．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AD，BC的中点，连接AN、CM．（1）求证：△ABN≌△CDM；（2）连接MN，过点C作CE⊥MN于点E，连接DN，交OM于点O交CE于点P，若∠AND＝90°，PE＝1，∠1＝∠2，求AN的长．8．已知：在▱ABCD中，点E是边AD上一点，点F是线段AE的中点，连接BF并延长BF至点G，使FG＝BF，连接DG、EG．（1）如图1，求证：四边形CDGE是平行四边形；（2）如图2，当DA平分∠CDG时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与AB相等的线段（AB除外）．9．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO．（1）求证：△AOF≌△COE；（2）连接AE、CF，则四边形AECF（填“是”或“不是”）平行四边形．10．如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．（1）求证：BM＝DN；（2）求证：四边形AECF为平行四边形．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，又∵ED平分∠AEC，∴∠ADE＝∠CED＝45°，∴∠AED＝∠ADE，∴AE＝AD，∴AE＝BC；（2）△ABF是等腰直角三角形，证明：∵CF⊥DE，∴∠CFE＝90°，又∵∠CEF＝45°，∴∠ECF＝45°，∴∠FEC＝∠FCE＝∠AEF，∴EF＝CF，在△AEF和△BCF中，，∴△AEF≌△BCF（SAS），∴AF＝BF，∠AFE＝∠BFC，∴∠AFE﹣∠BFE＝∠BFC﹣∠BFE，即∠AFB＝∠EFC＝90°，∴△ABF是等腰直角三角形．2．（1）证明：∵AB∥CE，∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．∵F是AC中点，∴AF＝CF．在△AFD与△CFE中，．∴△AFD≌△CFE（AAS），∴AD＝CE，∴四边形ADCE是平行四边形；（2）解：过点C作CG⊥AB于点G．∵CD＝BD，∠B＝30°，∴∠DCB＝∠B＝30°，∴∠CDA＝60°．在△ACG中，∠AGC＝90°，，∠CAG＝45°，∴．在△CGD中，∠DGC＝90°，∠CDG＝60°，，∴GD＝1，∴．3．（1）证明：∵AE为∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD＝AB．∴∠DAE＝∠E．∴∠BAE＝∠E．∴AB＝BE．∴CD＝BE．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠BAF＝∠DFA．∴∠DAF＝∠DFA．∴DA＝DF．∵F为DC的中点，AB＝4，∴DF＝CF＝DA＝2．∵DG⊥AE，DG＝1，∴AG＝GF．∴AG＝．∴AF＝2AG＝2．在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS）．∴AF＝EF，∴AE＝2AF＝4．4．【教材呈现】证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，∴PM＝BC，同理，PN＝AD，∵AD＝BC，∴PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM，【结论应用】（1）证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，∴PM∥BC，∴∠PMN＝∠F，同理，∠PNM＝∠AEN，∵∠PMN＝∠PNM，∴∠AEN＝∠F；（2）解：∵PN∥AD，∴∠PNB＝∠A，∵∠DPN是△PNB的一个外角，∴∠DPN＝∠PNB+∠ABD＝∠A+∠ABD，∵PM∥BC，∴∠MPD＝∠DBC，∴∠MPN＝∠DPN+∠MPD＝∠A+∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABC＝122°，∵PM＝PN，∴∠PMN＝×（180°﹣122°）＝29°，∴∠F＝∠PMN＝29°，故答案为：29°．5．（1）根据平行四边形的性质得到AO＝OC，BO＝OD，AB∥CD，AD∥BC，由三角形的中位线的性质得到MO∥BC，NO∥CD，∴MO∥AN，NO∥AM，∴四边形AMON是平行四边形；（2）解：∵AC＝6，BD＝4，∴AO＝3，BO＝2，∵∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝，∴OM＝AM＝MB＝，∴NO＝AN＝，四边形AMON的周长＝AM+OM+AN+NO＝2．6．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，∴AE＝AD，CF＝CB，∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF即BE＝DF，∵DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形．∴BD、EF互相平分；（2）∵∠A＝60°，AE＝AD，∴△ADE是等边三角形，∵AD＝4，∴DE＝AE＝4，∵AE＝2EB，∴BE＝GE＝2，∴BG＝4，过D点作DG⊥AB于点G，在Rt△ADG中，AD＝4，∠A＝60°，∴AG＝AD＝2，∴DG＝＝2，∴BD＝＝＝2．7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠CDM，∵M、N分别是AD，BC的中点，∴BN＝DM，在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（SAS）；（2）解：∵M是AD的中点，∠AND＝90°，∴MN＝MD＝AD，∴∠1＝∠MND，∵AD∥BC，∴∠1＝∠CND，∵∠1＝∠2，∴∠MND＝∠CND＝∠2，∴PN＝PC，∵CE⊥MN，∴∠CEN＝90°，∴∠2＝∠PNE＝30°，∵PE＝1，∴PN＝2PE＝2，∴CE＝PC+PE＝3，∴CN＝＝，∵N是BC的中点，∴AD＝BC＝CN＝，∴AN＝AD×sin∠1＝4＝．8．解：（1）∵点F是线段AE的中点，∴AF＝EF，在△ABF和△EGF中，，∴△ABF≌△EGF（SAS），∴AB＝GE，∠ABF＝∠FGE，∴AB∥GE，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴GE＝CD，GE∥DC，∴四边形CDGE是平行四边形；（2）图2中与AB相等的线段为：GE，GD，DC，CE．理由：∵DA平分∠CDG，∴∠CDE＝∠GDE，由（1）可得，GE∥CD，∴∠CDE＝∠GED，∴∠GDE＝∠GED，∴GE＝GD，又∵四边形CDGE是平行四边形，∴四边形CDGE是菱形，∴CD＝DG＝GE＝CE，又∵AB＝CD，∴图2中与AB相等的线段为：GE，GD，DC，CE．9．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA）（2）解：四边形AECF是平行四边形，理由如下：由（1）得：△AOF≌△COE，∴FO＝EO，又∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形；故答案为：是．10．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵AM⊥BC，CN⊥AD，∴AM∥CN，∴四边形AMCN为平行四边形，∴CM＝AN，∴BC﹣CM＝AD﹣AN，即BM＝DN；（2）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵AM⊥BC，CN⊥AD，∴∠EMB＝∠FND＝90°，在△BME和△DNF中，，∴△BME≌△DBF（ASA），∴EM＝DF，∵四边形AMCN为平行四边形，∴AM＝CN，AM∥CN，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形．。
北师大版八年级下册数学第六章平行四边形练习题以及答案
北师大版八年级下册平行四边形练习题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．平行四边形的两条对角线一定（）A．互相平分B．互相垂直C．相等D．以上都不对【分析】根据平行四边形的性质即可进行判断．【解答】解：因为平行四边形的两条对角线一定互相平分，菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，所以A选项正确．故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．2．如图，在▱ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE 与CF相交于点G，若AB＝6，BC＝10，CF＝4，则BE的长为（）A．4B．8C．8D．10【分析】根据平行四边形两组对边分别平行可得∠ABC+∠BCD＝180°，再根据角平分线的性质可得∠EBC+∠FCB＝90°，可得BE⊥CF；过A作AM∥FC，交BC于M，交BE于O，证明△ABE是等腰三角形，进而得到BO＝EO，再利用勾股定理计算出EO的长，进而可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，∴∠EBC+∠FCB＝∠ABC+∠DCB＝90°，∴EB⊥FC，∴∠FGB＝90°．过A作AM∥FC，交BC于M，交BE于O，如图所示：∵AM∥FC，∴∠AOB＝∠FGB＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝6，∵AO⊥BE，∴BO＝EO，在△AOE和△MOB中，，∴△AOE≌△MOB（ASA），∴AO＝MO，∵AF∥CM，AM∥FC，∴四边形AMCF是平行四边形，∴AM＝FC＝4，∴AO＝2，∴EO＝＝＝4，∴BE＝8．故选：C．【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理；证明AO＝MO，BO＝EO是解决问题的关键．3．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长是30，OE＝3，则四边形ABFE的周长是（）A．21B．24C．27D．18【分析】先由ASA证明△AOE≌△COF，得OE＝OF，AE＝CF，再求得AB+BC＝15，由平行四边形ABFE的周长＝AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE，即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线的交点为O，∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，AE＝CF，∵平行四边形ABCD的周长为30，∴AB+BC＝×30＝15，∴四边形ABFE的周长＝AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE＝AB+BC+2×3＝15+6＝21，故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．4．如图，在▱ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝10，BC边上的高为6，则图中阴影部分的面积为（）A．6B．15C．30D．60【分析】观察并结合平行四边形的性质可知，图中下半部分的阴影面积等于上半部分的空白面积，从而可得阴影面积等于▱ABCD面积的一半；利用底×高计算出▱ABCD面积，再乘以，即可得出答案．【解答】解：观察并结合平行四边形的性质可知，图中下半部分的阴影面积等于上半部分的空白面积，∴S阴影＝S▱ABCD，∵BC＝10，BC边上的高为6，∴S▱ABCD＝10×6＝60，∴S阴影＝×60＝30．故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质，数形结合并熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，D为AC上的动点，连接BD以AD、BD为边作平行四边形ADBE，则DE长的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【分析】由勾股定理可去BC＝3，由平行四边形的性质可得BE∥AC，由平行线之间的距离和垂线段最短可得当DE⊥AD时，DE有最小值，即可求解．【解答】解：如图，∵∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝＝3，∵四边形ADBE是平行四边形，∴BE∥AC，∴当DE⊥AD时，DE有最小值，∴DE有最小值为3，故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，平行线之间的距离，灵活运用这些性质是本题的关键．6．如图，在▱ABCD中，点E在BC上，且CD＝CE，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若∠DAF＝48°，则∠C的度数为（）A．84°B．96°C．98°D．106°【分析】首先根据AF⊥DE，∠DAF＝48°得到∠ADE＝90°﹣∠DAF＝90°﹣48°＝42°，然后利用四边形ABCD是平行四边形得到∠CED＝∠ADF＝42°，再根据CD＝CE，得到∠CDE＝∠DEC＝42°，从而利用三角形的内角和定理求得∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝180°﹣42°﹣42°＝96°即可．【解答】解：∵AF⊥DE，∠DAF＝48°，∴∠ADE＝90°﹣∠DAF＝90°﹣48°＝42°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CED＝∠ADF＝42°，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠DEC＝42°，∴∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝180°﹣42°﹣42°＝96°，故选：B．【点评】考查了平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的对边平行且相等得到相关结论，难度不大．二．填空题（共18小题）7．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，已知DF＝5，则AE＝5．【分析】根据三角形中位线定理求出BC，根据直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵D，F分别为AB，AC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴BC＝2DF＝10，在Rt△ABC中，E为BC的中点，∴AE＝BC＝5，故答案为：5．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．8．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，∠ABC的平分线BF 交DE于点F，若AB＝4，BC＝6，则EF的长为1．【分析】延长AF交BC于H，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC＝3，AF ＝FH，证明△BF A≌△BFH，根据全等三角形的性质求出BH，结合图形计算即可．【解答】解：连接AF并延长交BC于H，∵点D、E分别为边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC＝3，AF＝FH，在△BF A和△BFH中，，∴△BF A≌△BFH（AAS），∴BH＝AB＝4，∵AD＝DB，AF＝FH，∴DF＝BH＝2，∴EF＝DE﹣DF＝1，故答案为：1．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连接DM、DN、MN．若AB＝4，则DN＝2．【分析】连接CM，根据直角三角形的性质求出CM，根据三角形中位线定理得到MN＝BC，MN∥BC，证明四边形NDCM是平行四边形，根据平行四边形的性质解答．【解答】解：连接CM，∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，∴CM＝AB＝2，∵M、N分别是AB、AC的中点，∴MN＝BC，MN∥BC，∵CD＝BD，CD＝BC，∴MN＝CD，又MN∥BC，∴四边形NDCM是平行四边形，∴DN＝CM＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是直角三角形的性质和三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．10．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝4，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长为11．【分析】根据三角形中位线定理分别求出DF、EF，根据线段中点的定义分别求出BD、BE，根据四边形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，∴DF＝BC＝3，EF＝AB＝2.5，BD＝AB＝2.5，BE＝BC＝3，∴四边形DBEF的周长＝DB+BE+EF+DF＝11，故答案为：11．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．11．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的中点，且AB＝10cm，AC ＝16cm，则四边形ADEF的周长等于26cm．【分析】根据三角形中位线定理，证明四边形ADEF是平行四边形，根据三角形中位线定理，求出DE、EF的长，即可解决问题．【解答】解：∵点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的中点，∴DE，EF都是△ABC的中位线，∴DE＝AC＝8cm，DE∥AC，EF＝AB＝5cm，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF的周长＝2（DE+EF）＝2×13＝26（cm）．故答案为：26．【点评】本题主要考查三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质等，解题的关键是运用三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别为AB、AC、AD的中点．若AB ＝6，则EF的长度为．【分析】根据直角三角形的性质求出CD，根据三角形中位线定理求出EF．【解答】解：在Rt△ABC中，D为AB的中点，∴CD＝AB＝3，∵E、F分别为AC、AD的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴EF＝CD＝，故答案为：．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．13．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的面积是15．【分析】根据三角形中位线定理求出AC，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AC＝2DE＝5，∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝169，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC的面积＝×5×12＝30，∵D是AB的中点，∴△ACD的面积＝△ABC的面积×＝15．故答案为：15．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．14．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB、CA、BC的中点，若CF＝3，CE＝4，EF＝5，则CD的长为5．【分析】根据三角形中位线定理得到AB＝2EF＝10，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB ＝90°，根据直角三角形的性质计算，得到答案．【解答】解：∵E，F分别是CA、BC的中点，∴AC＝2CE＝8，BC＝2CF＝6，AB＝2EF＝10，∵AC2+BC2＝36+64＝100，AB2＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，D是AB的中点，∴CD＝AB＝5，故答案为：5．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．15．如图是一块正多边形的碎瓷片，经测得∠ACB＝30°，则这个正多边形的边数是12．【分析】根据∠ACB＝30°推知该多边形的外角是30°，进而求得这个正多边形的边数．【解答】解：如图，延长CB，可知∠1是正多边形的外角，∵该瓷片是正多边形，∴AD＝BD＝BC，∠ADB＝∠DBC，∴四边形ACBD是等腰梯形，∴BD∥AC．∴∠1＝∠ACB＝30°，∴该正多边形的边数为＝12．故答案是：12．【点评】本题主要考查正多边形的外角和，掌握相关知识点是解题的关键，难度不大．16．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点C落在四边形ABDE的外部时，此时测得∠1＝108°，∠C＝35°，则∠2＝38°．【分析】根据折叠性质得出∠C′＝∠C＝35°，根据三角形外角性质得出∠DOC＝∠1﹣∠C＝73°，∠2＝∠DOC﹣∠C′＝73°﹣35°＝38°．【解答】解：如图，设C′D与AC交于点O．∵根据折叠性质得出∠C′＝∠C＝35°，∵∠1＝∠DOC+∠C，∴∠DOC＝∠1﹣∠C＝108°﹣35°＝73°，∴∠2＝∠DOC﹣∠C′＝73°﹣35°＝38°．故答案为：38°．【点评】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．17．一个n边形从一个顶点出发引出的对角线可将其分割成5个三角形，则n的值为7．【分析】一个n边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，形成的三角形个数为n﹣2，从而可得出答案．【解答】解：依题意有n﹣2＝5，解得n＝7．故答案为：7．【点评】本题主要考查多边形的对角线，一个n边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，形成的三角形个数为n﹣2．18．如图，在四边形ABDC中，CD∥AB，AC⊥BC于点C，若∠A＝40°，则∠DCB的度数为50°．【分析】根据平行线的性质定理，垂线的定义，三角形的内角和定理即可得到结论．【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵CD∥AB，∴∠ACD+∠A＝180°，即∠ACB+∠DCB+∠A＝180°，∵∠A＝40°，∴∠DCB＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣90°﹣40°＝50°．故答案为：50．【点评】本题考查了三角形的内角和，平行线的性质，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质定理，三角形的内角和定理是解题的关键．19．一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠1+∠2＝132°．【分析】利用正多边形的性质求出∠AOE、∠BOF、∠2，即可解决问题．【解答】解：如图：由题意：∠AOE＝108°，∠BOF＝120°，∠OEF＝72°，∠OFE＝60°，∴∠2＝180°﹣72°﹣60°＝48°，∴∠1＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，∴∠1+∠2＝84°+48°＝132°，故答案为：132．【点评】本题考查正多边形与圆，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．一个多边形的内角和与外角和之和为2520°，则这个多边形的边数为14．【分析】依据多边形的内角和公式列方程求解即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n．根据题意得：（n﹣2）×180°+360°＝2520°．解得：n＝14．故这个多边形的边数为14．故答案为：14．【点评】本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，依据题意列出方程是解题的关键．21．一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则它的边数是6．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°以及外角和定理列出方程，然后求解即可．【解答】解：设这个多边形的边数是n，根据题意得，（n﹣2）•180°＝2×360°，解得n＝6．答：这个多边形的边数是6．故答案为：6．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．22．从一个多边形的一个顶点出发一共有7条对角线，则这个多边形的边数为10．【分析】根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（n﹣3）求出边数即可得解．【解答】解：∵多边形从一个顶点出发可引出7条对角线，∴n﹣3＝7，解得n＝10．故答案为：10．【点评】本题考查了一个顶点出发的对角线条数，牢记公式是解题的关键．23．如图，在△ABC中，∠A＝60°，若剪去∠A得到四边形BCDE，则∠1+∠2＝240°．【分析】利用∠1、∠2是△ADE的外角，利用外角性质，可得∠1＝∠ADE+∠A，∠2＝∠AED+∠A，利用等式性质可求∠1+∠2的值．【解答】解：∵∠1、∠2是△ADE的外角，∴∠1＝∠ADE+∠A，∠2＝∠AED+∠A，∴∠1+∠2＝∠ADE+∠A+∠AED+∠A，又∵∠ADE+∠A+∠AED＝180°，∴∠1+∠2＝180°+60°＝240°．故答案为：240．【点评】本题考查了了三角形内角和定理和三角形外角的性质，注意掌握三角形三个内角的和等于180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．24．如图，六边形ABCDEF的各角都相等，若m∥n，则∠1+∠2＝180°．【分析】根据六边形ABCDEF的各角都相等，可得六边形ABCDEF的对边平行；延长DC，交直线n于点G，再根据平行线的性质解答即可．【解答】解：延长DC，交直线n于点G，∵六边形ABCDEF的各角都相等，∴AF∥DC，∴∠2＝∠3，又∵m∥n，∴∠3+∠4＝180°，∵∠4＝∠1，∴∠1+∠2＝180°，故答案为：180．【点评】本题考查了多边形的内角与外角以及平行线的判定与性质，得出AF∥DC是本题的关键．三．解答题（共6小题）25．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，M，N分别是AB、AD的中点．（1）求证：四边形AMON是平行四边形；（2）若AC＝6，BD＝4，∠AOB＝90°，求四边形AMON的周长．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AO＝BO，BO＝CO，AB∥CD，AD∥BC，根据三角形中位线的性质得到∴MO∥BC，NO∥CD，根据平行四边形的判定可证得结论；（2）由勾股定理求得AB＝，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到OM ＝AM＝，进而可求得结论．【解答】（1）根据平行四边形的性质得到AO＝OC，BO＝OD，AB∥CD，AD∥BC，由三角形的中位线的性质得到MO∥BC，NO∥CD，∴MO∥AN，NO∥AM，∴四边形AMON是平行四边形；（2）解：∵AC＝6，BD＝4，∴AO＝3，BO＝2，∵∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝，∴OM＝AM＝MB＝，∴NO＝AN＝，四边形AMON的周长＝AM+OM+AN+NO＝2．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质，直角三角形斜边的中线的性质，勾股定理，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到OM＝AM＝是解决问题的关键．26．如图，已知▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．点E、F在对角线BD上，且EB ＝FD．求证：四边形AECF是平行四边形．【分析】证明四边形AECF的对角线互相平分，即可得出四边形AECF是平行四边形．【解答】证明：∵平行四边形ABCD，∴AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴BO﹣BE＝DO﹣DF，∴EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质：平行四边形的对角线互相平分；对角线互相平分的四边形是平行四边形．27．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，AB∥CD．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若BE平分∠ABC，交AD于E，BC﹣AB＝2，求DE长．（3）若∠AOB＝2∠ADB时，则平行四边形ABCD为矩形．【分析】（1）运用ASA证明△ABO≌△CDO得AB＝CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证得结论；（2）根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE＝∠AEB，继而可得AB＝AE，然后根据已知可求得DE的长度；（3）由∠AOB＝2∠ADB可得∠OAD＝∠ADO，由平行四边形的性质可得AC＝BD，从而可得结论．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，在△ABO和△DCO中，，∴△ABO≌△DCO（ASA），∴AB＝CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD＝BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴DE＝AD﹣AE＝BC﹣AB，∵BC﹣AB＝2，∴DE＝2；（3）∵∠AOB是△ADO的外角，∴∠AOB＝∠OAD+∠ODA，∵∠AOB＝2∠ADB，∠OAD＝∠ODA，∴AO＝DO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，DO＝BO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．故答案为：矩．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定以及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．28．如图，已知BE∥DF，∠ADF＝∠CBE，AD＝BC．求证：四边形DEBF是平行四边形．【分析】根据平行线的性质可得∠BEF＝∠DFE，利用AAS证明△BEF≌△DFE，可得BE＝DF，利用一组对边平行且相等可证明结论．【解答】证明：∵BE∥DF，∴∠BEF＝∠DFE，又∵∠ADF＝∠CBE，AD＝BC，∴△BEC≌△DF A（AAS），∴BE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形．【点评】本题主要考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．29．如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，∠C ＝∠D．（1）求证：四边形BCED是平行四边形；（2）已知DE＝3，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明；（2）根据平行四边形的性质和角平分线定义可以证明CN＝CB＝DE．【解答】解：（1）证明：∵∠A＝∠F，∴DF∥AC，∴∠C＝∠FEC，又∵∠C＝∠D，∴∠FEC＝∠D，∴DB∥EC，∴四边形BCED是平行四边形；（2）∵BN平分∠DBC，∴∠DBN＝∠CBN，∵BD∥EC，∴∠DBN＝∠BNC，∴∠CBN＝∠BNC，∴CN＝BC，又∵BC＝DE＝3，∴CN＝3．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．30．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O、E、F是AC上的两点，且BF ∥DE．（1）求证：△BFO≌△DEO；（2）求证：四边形BFDE是平行四边形．【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得OB＝OD，根据BF∥DE，可得∠OFB＝∠OED，进而可以证明△BFO≌△DEO；（2）结合（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明四边形BFDE是平行四边形．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵BF∥DE，∴∠OFB＝∠OED，在△BFO和△DEO中，，∴△BFO≌△DEO（AAS）；（2）证明：∵△BFO≌△DEO，∴OE＝OF，又OB＝OD，∴四边形BFDE是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练运用平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．第21 页共21 页。
北师大版八年级数学(下)第6章平行四边形提升训练及答案
第6章平行四边形1．在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝100°，则∠A等于（）A．50°B．130°C．100°D．65°2．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB＝AE，延长AB 与DE的延长线交于点F，连接AC，CF．下列结论：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD＝AF；④S△BEF＝S△ABE；⑤S△CEF＝S△ABE．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②⑤3．如图，E、F分别是▱ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q．若S△APD＝15，S△BQC＝25，则阴影部分的面积为（）A．40B．45C．50D．554．如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），设运动时间为t（s）（t＞0），若以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形，则t的值错误的是（）A．6B．8C．10D．125．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AD＞CD，过点O作OM⊥AC，交AD 于点M．如果△CDM的周长为7.5，那么平行四边形ABCD的周长是（）A．7.5B．15C．17D．196．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边BC的中点，AB＝4，则OE＝（）A．1B．2C．4D．87．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，点E在边AD上，点F在BC的延长线上，且满足BF＝BE＝8，过点C作CE的垂线交BE于点G，若CE恰好平分∠BEF，则BG的长为（）A．2B．3C．4D．28．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列五个条件：①∠ADB＝∠CBD②DE＝BF③∠EDF＝∠EBF④∠DEB＝∠DFB⑤AE＝CF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，点E为平行四边形内一点且∠AED＝∠BEC＝90°，若∠DEC＝45°，则AD的长为（）A．3B．2C．D．210．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，∠EAF＝60°．若AE ＝3，AF＝4，则AB的长为．11．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF ⊥AB于点F，则△DEF的面积为平方单位．12．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝6，CB＝14．点M，N分别是边AB，AD 的中点，连接CM，BN，并取CM，BN的中点，分别记为点E，F，连接EF，则EF的长为．13．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s 的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发秒后其中一个新四边形为平行四边形．14．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝．15．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD平分∠BAC，AE是BC边上的中线，过点C 作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为．16．如图，▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，BC＝5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是．17．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若BE＝8，则GE＝．18．已知：如图所示，在平行四边形ABCD中DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求平行四边形ABCD的面积．19．在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长．20．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，延长BA至点E，使AE＝AB，连接CE交AD于F，且FE＝FC．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AB⊥AC，求证：AD＝CE；（3）在（2）的条件下，若AB＝3，AC＝5，求△CAF的面积．21．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF，连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．（1）求证：AE＝CF；（2）若AC平分∠HAG，判断四边形AGCH的形状，并证明你的结论．22．如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，且AB＝AC，CF是∠ACB的角平分线交AB于点F，在AD上取一点E，使AB＝AE，连接BE交CF于点P．（1）求证：BP＝CP；（2）若BC＝4，∠ABC＝45°，求平行四边形ABCD的面积．23．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，求证：（1）EF＝CF；（2）∠DFE＝3∠AEF．24．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数；（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）25．在平行四边形ABCD中，AC⊥CD，E为BC中点，点M在线段BE上，连接AM，在BC下方有一点N，满足∠CAD＝∠BCN，连接MN．（1）若∠BCN＝60°，AE＝5，求△ABE的面积；（2）若MA＝MN，MC＝EA+CN，求证：AB＝AE．参考答案1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，∵∠B+∠D＝100°，∴∠B＝∠D＝50°，∴∠A＝130°，故选：B．2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EAD＝∠AEB，又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，∵AB＝AE，∴△ABE是等边三角形；②正确；∴∠ABE＝∠EAD＝60°，∵AB＝AE，BC＝AD，∴△ABC≌△EAD（SAS）；①正确；∵△FCD与△ABC等底（AB＝CD）等高（AB与CD间的距离相等），∴S△FCD＝S△ABC，又∵△AEC与△DEC同底等高，∴S△AEC＝S△DEC，∴S△ABE＝S△CEF．若AD与BF相等，则BF＝BC，题中未限定这一条件，若S△BEF＝S△ACD；则S△BEF＝S△ABC，则AB＝BF，∴BF＝BE，题中未限定这一条件，∴④不一定正确．若AD与AF相等，即∠AFD＝∠ADF＝∠DEC，即EC＝CD＝BE即BC＝2CD，题中未限定这一条件，∴③不一定正确，∵△FCD与△ABC等底（AB＝CD）等高（AB与CD间的距离相等），∴S△FCD＝S△ABC，又∵△AEC与△DEC同底等高，∴S△AEC＝S△DEC，∴S△ABE＝S△CEF；⑤正确；故选：D．3．解：如图，连接E、F两点，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，∴S△EFC＝S△BCF，∴S△EFQ＝S△BCQ，同理：S△EFD＝S△ADF，∴S△EFP＝S△ADP，∵S△APD＝15，S△BQC＝25，∴S四边形EPFQ＝S△APD+S△BQC＝15+25＝40，故选：A．4．解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∵P在AD上运动，∴t≤15÷1＝15，即t≤15，∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∴DP＝BQ，分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B﹣C，由题意得：4t﹣15＝15﹣t，解得：t＝6；②点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，由题意得：15﹣（4t﹣30）＝15﹣t，解得：t＝10；③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，由题意得：4t﹣45＝15﹣t，解得：t＝12；综上所述，t的值为6或10或12，故选：B．5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，∵OM⊥AC，∴AM＝MC，∵△CDM的周长为7.5，∴CM+DM+CD＝7.5＝AM+DM+CD，∴AD+CD＝7.5，∴平行四边形ABCD的周长＝2×7.5＝15，故选：B．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC；又∵点E是BC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴根据三角形的中位线定理可得：AB＝2OE＝4．则OE＝2故选：B．7．解：如图，延长EF，GC两条线相交于点H，过点G作GP∥EF交BC于点P，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝6，∵BF＝BE＝8，∴CF＝BF﹣BC＝2，∵CE平分∠BEF，∴∠GEC＝∠HEC，∵CE⊥GC，∴∠ECG＝∠ECH＝90°，在△ECG和△ECH中，，∴△ECG≌△ECH（ASA），∴CG＝CH，∵GP∥EF，∴∠PGC＝∠FHC，在△PCG和△FCH中，，∴△PCG≌△FCH（ASA），∴CP＝CF＝2，∴BP＝BF﹣PF＝8﹣4＝4，∵BF＝BE，∴∠BEF＝∠BFE，∵GP∥EF，∴∠BGP＝∠BEF，∠BPG＝∠BFE，∴∠BGP＝∠BPG，∴BG＝BP＝4．故选：C．8．解：④可以判断四边形DEBF是平行四边形．理由：在OA上取一点E′，使得OE′＝OF，连接DE′，BE′．∵OD＝OB，OF＝OE′，∴四边形DE′BF是平行四边形，∴∠DFB＝∠DE′B，∵∠DEB＝∠DFB，∴∠DEB＝∠DE′B，∴点E与点E′重合，∴四边形DEBF是平行四边形．⑤可以判断四边形DEBF是平行四边形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，OA＝OC，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形DEBF是平行四边形，故选：C．9．解：如图，取AD，BC的中点M，N，连接MN，ME，NE，则MN＝AB＝2，在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，∵AD，BC的中点为M，N，∠AED＝∠BEC＝90°，∴EM＝AD＝MD，EN＝＝NC，∴EM＝EN，∠MED＝∠MDE，∠CEN＝∠NCE，过点E作EP∥AD交CD于点P，∴EP∥BC，∴∠MDE＝∠DEP，∠NCE＝∠PEC，∴∠MED＝∠DEP，∠CEN＝∠PEC，∴∠MED+∠CEN＝∠DEP+∠PEC＝∠DEC＝45°，∴∠MEN＝90°，∴△MEN为等腰直角三角形，∴AD＝2ME＝2×MN＝2．故选：B．10．解：延长AE交DC延长线于M点，过M点作MN⊥AF于N点，∵E点为BC中点，∴BE＝CE．∵AB∥DM，∴∠B＝∠ECM．又∠AEB＝∠MEC，∴△ABE≌△MCE（ASA）．∴CM＝AB，AE＝ME＝3，∴AM＝2AE＝6．在Rt△AMN中，∠MAN＝60°，所以∠AMN＝30°，∴AN＝AM＝3，MN＝＝＝3，∴NF＝AF﹣AN＝4﹣3＝1．在Rt△MNF中，利用勾股定理可得MF＝＝＝2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，又F为CD中点，∴CF＝CD＝AB．∴MF＝MC+CF＝AB．所以AB＝2，解得AB＝．故答案为．11．解：如图，延长DC和FE交于点G，在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠B＝∠ECG，∵E为BC的中点，∴BE＝CE＝BC＝×4＝2，在△BEF和△CEG中，，∴△BEF≌△CEG（ASA），∴BF＝CG，∵∠B＝60°，∴∠FEB＝30°，∴BF＝BE＝1，∴EF＝，∵CG＝BF＝1，CD＝AB＝3，∴DG＝CD+CG＝3+1＝4，∵EF⊥AB，AB∥CD，∴DG⊥FG，∴S△DEF＝EF•DG＝××4＝2．故答案为：2．12．解：如图，连接BE交CD于点G，连接GN，过点G作GH⊥DN于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB＝14，CD＝AB＝6，∵点M，N分别是边AB，AD的中点，∴AN＝DN＝AD＝7，BM＝AB＝3，∵AB∥CD，∴∠BME＝∠GCE，∠MBE＝∠CGE，∵点E是CM的中点，∴ME＝CE，在△MEB和△CEG中，，∴△MEB≌△CEG（AAS），∴BE＝GE，BM＝GC＝3，∴DG＝CD﹣GC＝3，∵∠D＝∠ABC＝45°，GH⊥DN，∴DH＝GH＝DG＝3，∴NH＝DN﹣DH＝7﹣3＝4，∴GN＝＝5，∵BF＝FN，BE＝EG，∴EF是△BGN的中位线，∴EF＝GN＝．故答案为：．13．解：根据题意有AP＝tcm，CQ＝2tcm，PD＝（12﹣t）cm，BQ＝（15﹣2t）cm．①∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．∴t＝15﹣2t，解得t＝5．∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；②AP＝tcm，CQ＝2tcm，∵AD＝12cm，BC＝15cm，∴PD＝AD﹣AP＝（12﹣t）cm，∵AD∥BC，∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．即：12﹣t＝2t，解得t＝4s，∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．综上所述，当P，Q同时出发4或5秒后其中一个新四边形为平行四边形．故答案是：4或5．14．解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠CBE＝∠BEC，∴CB＝CE．∵CF⊥BE，∴BF＝EF．∵G是AB的中点，∴GF是△ABE的中位线，∴GF＝AE，∵AE＝4，∴GF＝2．故答案为2．15．解：∵AD平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF，∵CG⊥AD，∴∠AFG＝∠AFC，在△AGF和△ACF中，，∴△AGF≌△ACF（ASA），∴AG＝AC＝7，GF＝CF，则BG＝AB﹣AG＝10﹣7＝3．又∵BE＝CE，∴EF是△BCG的中位线，∴EF＝BG＝1.5．故答案是：1.5．16．解：∵▱ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC∵PE∥BC，∴PE∥AD∵PF∥CD，∴PF∥AB，∴四边形AEPF为▱．设▱AEPF的对角线AP、EF相交于O，则AO＝PO，EO＝FO，∠AOE＝∠POF ∴△POF≌△AOE，∴图中阴影部分的面积等于△ABC的面积，过A作AM⊥BC交BC于M，∵∠B＝60°，AB＝4，∴AM＝2，S△ABC＝×5×2＝5，即阴影部分的面积等于5．故填5．17．解：取BE的中点M，连接FM，CM，∵F为AE的中点，M为BE的中点，∴MF＝AB，FM∥AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB，DC∥AB，∵E为CD的中点，∴CE＝DC，∴CE＝FM，CE∥FM，∴四边形EFMC是平行四边形，∴EG＝GM，∵BM＝EM＝BE＝8＝4，∴EG＝4＝2，故答案为：2．18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC．又∵DE，BF分别是∠ADC，∠ABC的平分线，∴∠ABF＝∠CDE．又∵∠CDE＝∠AED，∴∠ABF＝∠AED，∴DE∥BF，∵DE∥BF，DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）解：∵∠A＝60°，AE＝AD，∴△ADE是等边三角形，∵AD＝4，∴DE＝AE＝4，∵AE＝2EB，∴BE＝GE＝2，∴BG＝4，过D点作DG⊥AB于点G，在Rt△ADG中，AD＝4，∠A＝60°，∴AG＝AD＝2，∴DG＝＝＝2，∴平行四边形ABCD的面积＝AB•DG＝6×2＝12．19．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠B＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠BAD+∠D＝180°，∴AB∥CD，又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∴平行四边形的面积＝BC×AE＝CD×AF，∵AF＝2AE，∴BC＝2CD＝6，∴CD＝3．20．（1）证明：∵AE＝AB，FE＝CF，∴AF是△BCE是中位线，∴AF∥BC，∴AD∥BC，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）证明：连接DE，如图所示：由（1）得：四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AE＝AB，∴AE＝CD，AE∥CD，∴四边形ACDE是平行四边形，又∵AB⊥AC，∴∠CAE＝90°，∴平行四边形ACDE是矩形，∴AD＝CE；（3）解：由（1）得：四边形ABCD是平行四边形，∴△ACD的面积＝△ABC的面积＝AB×AC＝×3×5＝，由（2）得：四边形ACDE是平行四边形，∴AF＝DF，∴△CAF的面积＝△ACD的面积＝．21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF．（2）四边形AGCH是菱形．理由如下：∵△AOE≌△COF，∴∠EAO＝∠FCO，∴AG∥CH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴四边形AGCH是平行四边形，∵AD∥BC，∴∠HAC＝∠ACB，∵AC平分∠HAG，∴∠HAC＝∠GAC，∵∠GAC＝∠ACB，∴GA＝GC，∴平行四边形AGCH是菱形．22．解：（1）设AP与BC交于H，∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠ABE＝∠CBE，∴BE平分∠ABC，∵CF是∠ACB的角平分线，BE交CF于点P，∴AP平分∠BAC，∵AB＝AC，∴AH垂直平分BC，∴PB＝PC；（2）∵AH垂直平分BC，∴AH⊥BC，BH＝CH＝BC＝2，∵∠ABH＝45°，∴AH＝BH＝2，∴平行四边形ABCD的面积＝4×2＝8．23．解：（1）证明：延长CF交BA的延长线于G，延长EF交CD的延长线于R．如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵F是AD的中点，∴CF＝GF，EF＝ER，∴四边形EGRC是平行四边形，∵CE⊥AB，∴∠CEG＝90°，∴四边形EGRC是矩形，∴CG＝ER，∴EF＝CG＝CF＝GF，即EF＝CF；（2）∵EF＝GF，∴∠G＝∠FEG，∵AD∥BC，CF＝GF，∴AG＝AB，∴AF＝AG，∴∠G＝∠AFG＝∠DFC，∵∠CFE＝∠G+∠AEF，∴∠DFE＝∠CFE+∠DFC＝3∠AEF．24．解：（1）∵∠1＝∠2+∠D＝∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；（2）∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°；（3）根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，所以当截去5个角时增加了180×5度，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180°×5+180°＝1080°．25．（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB＝∠BCN＝60°，又AC⊥CD，∴AB⊥AC，∴∠B＝30°，在Rt△ABC中，E为BC的中点，∴BC＝2AE＝10，∴AC＝BC＝5，∴，∴；（2）证明：延长CN至G，使CG＝AC，由（1）知∠ACM＝∠GCM，又MC＝MC，∴△ACM≌△GCM，∴AM＝GM，∠MAC＝∠G，又AM＝MN，∴GM＝MN，∴∠G＝∠MNG＝∠MAC＝∠MAE+∠EAC，又由（1）可得EC＝EA，∴∠EAC＝∠ACE＝∠NCM，∵∠MNG＝∠NCM+∠NMC，∴∠NMC＝∠MAE，在MC上截取MF＝AE，∴△MAE≌△NMF，∴ME＝FN，又MC＝ME+CE＝MF+CF，MC＝EA+CN，∵EA＝MF＝CE，∴ME＝CN＝FN＝CF，∴△NCF为等边三角形，∴∠MCN＝60°，∴∠ACB＝60°，∴∠ABC＝30°，∴，∵AE＝BC，∴AB＝AE．。
北师大版八年级数学下册--第六章《平行四边形》--综合训练 (含答案)
第六章《平行四边形》--综合训练知识回顾：1、平行四边形常用的判定方法：①两组对边分别平行的四边形 ②两组对边分别相等的四边形 ③一组对边平行且相等的四边形 ④两组对角分别相等的四边形 ⑤对角线互相平分的四边形2、中位线：① 定义：像DE 这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
DE 和边BC 关系：位置关系：DE//BC 数量关系：DE ＝21BC① 证明线段倍分关系的方法：当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点时，常考虑三角形中位线定理。
3、多边形的内角和：① 四边形的内角和是360º；如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补。
① 一般地，从n 边形的一个顶点出发，可以作(n －3)条对角线，它们将n 边形分为（n －2)个三角形，n 边形的内角和等于(n － 2)×180°。
n 边形的内角和与边数有关，每增加一条边，内角和就增加180°。
① 正n 边形的每个内角的度数为：k=n°180×)2( n4、多边形的外角和：① 定义：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。
① 定理：多边形的外角和都等于360°。
（与边数的多少无关）综合训练：1、▱ABCD 的周长为40cm ，△ABC 的周长为25cm ，则AC 得长为（ ） A ．5cm B ．6cm C ．15cm D ．16cm2、下列结论正确的是（ ）A ．对角线相等且一组对角相等的四边形是平行四边形B ．一边长为5cm ，两条对角线长分别是4cm 和6cm 的四边形是平行四边形C ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D ．对角线相等的四边形是平行四边形3、能识别四边形ABCD 是平行四边形的题设是（ ）A ．AB ∥CD ，AD =BC B ．∠A =∠B ，∠C =∠D C ．AB =CD ，AD =BC D ．AB =AD ，CB =CD 4、如图，AC 、BD 是□ABCD 的对角线，AC 和BD 相交于点O ，AC =4，BD =5，BC =3，则△BOC 的周长是（ ）A ．7.5B ．12C ．8.5D ．9 5、下列说法属于平行四边形判定方法的有（ ）①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②平行四边形的对角线互相平分 ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ④平行四边形的每组对边平行且相等 ⑤两条对角线互相平分的四边形是平行四边形A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个D CBAEF6、一个五边形的三个内角是直角，另两个内角相等，则相等的这两个角是（）A．45° B．135° C．120° D．108°7、一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形的内角和为（）A．720° B．675° C．1080° D．905°8、若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（）边形。
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第六章复习
1．晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是()
2．下列四个说法：
①一组对角相等，一组邻角互补的四边形是平行四边形；
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．
其中说法正确的个数是()
A．1个B．2个
C．3个D．4个
3．如图，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN＝20 m，那么A，B两点间的距离是()
A．20 m B．30 m
C．40 m D．50 m
4．已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是()
A．正五边形B．正六边形
C．正七边形D．正八边形
5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，D是BC上一动点(D与B，C不重合)，且DE∥AB，DF∥AC，则四边形DEAF的周长是()
A．24 B．18
C．16 D．12
6．(2018·安庆期末)如图，在□ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，若想要使四边形AFCE 为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是()
A．AF＝CE
B．AE＝CF
C．∠BAE＝∠FCD
D．∠BEA＝∠FCE
7．(2018·大连期末)如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，DE ，DF 是△ABC 的中位线，则四边形BEDF 的周长是( ) A ．5 B ．7 C ．8
D ．10
8．在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，给出下列四个条件：①AD ∥BC ；②AD ＝BC ；③OA ＝OC ；④OB ＝OD ，从中任选两个条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有( ) A ．3种 B ．4种 C ．5种
D ．6种
9．如图，△ABC 的周长为19，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC ＝7，则MN 的长度为( )
A ．32
B ．2
C ．52
D ．3
10．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 边上的一点．若再增加一个条件： ，就可得BE ＝DF .
11．若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较大的内角是 度．
12．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝15 cm ，BC ＝10 cm ，P ，Q 两点分别从A ，C 两点同时出发，点P 以3 cm/s 的速度由A 点向D 点运动，点Q 以2 cm/s 的速度由C 点出发向B 点运动，运动 s 时四边形PQCD 恰好是平行四边形．
13．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝________度．
14．如图，在□ABCD 中，P 是CD 边上一点，且AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ，若AD ＝5，AP ＝8，则△APB 的周长是________．
15．如图，在□ABCD 中，E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD ′E 处，AD ′与CE 交于点F .若∠B ＝52°，∠DAE ＝20°，则∠FED ′的度数为________．
16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CD ＝1
2AB ，过点E
作EF ∥DC 交BC 的延长线于点F .
(1)证明：四边形CDEF 是平行四边形；
(2)若四边形CDEF 的周长是25 cm ，AC 的长为5 cm ，求线段AB 的长度．
17．如图①，在△OAB 中，∠OAB ＝90°，∠AOB ＝30°，OB ＝8，以OB 为边，在△OAB 外作等边△OBC ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于点E .
(1)求证：四边形ABCE 是平行四边形；
(2)如图②，将图①中的四边形ABCO 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为FG ，求OG 的长．
答案：
1~9：BBCBC BDBC 10、BE ∥DF(答案不唯一) 11、120 12、3 13、36 14、29 15、36
16（1）证明：∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，
∴ED 是Rt △ABC 的中位线， ∴ED ∥FC ，BC ＝2DE . 又EF ∥DC ，
∴四边形CDEF 是平行四边形．
（2）解：∵四边形CDEF 是平行四边形， ∴DC ＝EF . ∵CD ＝1
2
AB ，
∴四边形DCFE 的周长＝AB ＋BC .
∵四边形DCFE 的周长为25 cm ，AC 的长5 cm ， ∴BC ＝25－AB .
∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，
∴AB 2＝BC 2＋AC 2，即AB 2＝(25－AB )2＋52，解得AB ＝13. 即线段AB 的长度为13 cm.
17.（1）证明：∵在△AOB 中，∠OAB ＝90°，∠AOB ＝30°，
∴∠OBA ＝60°，AB ＝1
2OB .
∵△OBC 为等边三角形， ∴∠EOB ＝60°，OB ＝OC . ∴∠EOB ＝∠ABO ＝60°， ∴OC ∥AB . ∵D 为OB 的中点，
∴OD ＝OB . 又∠ODE ＝∠BDA ， ∴△ODE ≌△BDA ， ∴AB ＝OE ， ∴AB ＝CE . 又AB ∥CE ，
∴四边形ABCE 是平行四边形．
（2）解：设OG ＝x ，由折叠可得AG ＝GC ＝8－x .
在Rt △ABO 中，
∵∠OAB ＝90°，∠AOB ＝30°，BO ＝8， ∴AB ＝1
2
OB ＝4，
∴AO ＝OB 2－AB 2＝82－42＝4 3. 在Rt △OAG 中，OG 2＋OA 2＝AG 2， ∴x 2＋(43)2＝(8－x )2， 解得x ＝1，∴OG ＝1.。