DEA培训

ω ≥ 0, µ ≥ 0
对偶规划
（P）：
Max VP = µ1
3ω ω1 + 3ω2 3ω1 + ω2 µ1 ≥0 µ1 ≥0
（D）： sλ1 + 3 λ2 + 3 λ3 + 4 λ4 + s - 1 = 3 λ1 + λ1 + θ
s.t.
λ2 + 3 λ3 + 2 λ4 + s - 2 = 3 θ 3λ 2λ 3θ 2λ λ2 + 2 λ3 + λ4 – s + 1 = 1
约束条件： 约束条件： st .
u1 h1 = ≤1 v1 + 3v2
u1 h2 = ≤1 3v1 + v2
h3 = 2u1 ≤1 3v1 + 3v2
u1 h4 = ≤ 1, 4v1 + 2v2
u1 ≥ 0, v1 ≥ 0, v2 ≥ 0
矩阵形式
u h max 1 = max 1 = 目标函数： 目标函数 v1 + 3v2 uT y1 u1 = T 1 v x1 (v1 v2) 3
max h1 = max µ T y1
u y1 ≤1 T v x1 u T y2 ≤1 T v x2 u T y3 ≤1 T v x3 u T y4 ≤1 T v x4 u1 ≥ 0, v1 ≥ 0, v2 ≥ 0
st .
ωT ⋅ X k − µ T ⋅ Yk ≥ 0
( K = 1,2,3,4) T ω ⋅ X1 = 1
带有非阿基米德无穷小量 ε 的C R模型： 模型：
2
是非阿基米德无穷小量，在广义实数内， 设 ε 是非阿基米德无穷小量，在广义实数内，ε 表示一个小于任何正数且大于零的数， 表示一个小于任何正数且大于零的数，
+ ˆ ( Dε ) : MinV Dε = [θ − ε (e T ⋅ s − + e T ⋅ s e )] ˆ
−6
带有非阿基米德无穷小量 ε 的C2R 模型： 模型：
）：Max VD = [θ - 0.000001(s-1+s-2+s+1)] [θ （Dε）：
s.t.
λ1 + 3λ2 + 3λ3 + 4λ4 + s-1 = 4θ 3λ 3λ 4λ 4θ 3λ1 + λ1 + 3λ 2λ 2θ λ2 + 3λ3 + 2λ4 + s-2 = 2θ 2λ λ2 + 2λ3 + λ4 – s+1 = 1
u1 h4 = ≤ 1, 4v1 + 2v2
u1 ≥ 0, v1 ≥ 0, v2 ≥ 0
u T y4 ≤1 T v x4
化分式规划为线性规划
作Charnes-Cooper变换，转化为一个等价的线性规划模型。
1 令 t= T , t ⋅ v = ω, t ⋅ u = µ V ⋅ X1
V T ⋅ X1 ω ⋅ X 1 = (t ⋅ V ) ⋅ X 1 = t ⋅ V ⋅ X 1 = T =1 V ⋅ X1
T T T
uT y1 max h1 = max T v x1 st . T
U T ⋅ Yk t ⋅ U T ⋅ Yk ( t ⋅ U ) T ⋅ Yk µ T ⋅ Yk = = = T ≤ 1, T T T V ⋅ X k t ⋅ V ⋅ X k (t ⋅ V ) ⋅ X k ω ⋅ X k
即 ω T ⋅ X k − µ T ⋅ Yk ≥ 0
uT y1 max h1 = max T v x1
约束条件： 约束条件：
u1 h1 = =≤ 1 v1 + 3v2
st .
u T y1 ≤1 T v x1 u T y2 ≤1 T v x2 u T y3 ≤1 T v x3
h2 =
u1 ≤1 3v1 + v2
2u1 h3 = ≤1 3v1 + 3v2
符号说明
决策单元： 决策单元：n 投入指标： 表示第i个单元第 个投入指标； 个单元第j个投入指标 投入指标： xij表示第 个单元第 个投入指标； 表示第i个单元第 个投入指标； 个单元第j个投入指标 产出指标 ：yij 表示第 个单元第 个投入指标； vi表示第 种投入指标的权系数 表示第i种投入指标的权系数 表示第 种投入指标的权系数,vi≥0 （是变权 数） uj表示第 种产出指标的权系数 表示第k种产出指标的权系数 表示第 种产出指标的权系数,uj≥0 （是变权 数）
常用的方法有三种
数据包络分析法 主成份分析法 熵权法
适用的实际问题
评价多个对象 具有相同的多个投入指标 具有相同的多个产出指标 以产出相对投入的效率的大小 来衡量谁更优的评价法
建模竞赛典型问题 2010年综合评价上海世博会 年综合评价上海世博会 影响力
题目特点
各国家举办时都会有相同的投入如：资金， 场地，人员等 各国家举办时都会有相同的产出如：参观人 数，参展的国家数，经济收入等
加 权
1
1
2
1
u1
对每一个决策单元（车间） k ，定义一个效 率评价指标 ( K = 1,2,3,4)
u1 h1 = v1 + 3v 2
u1 h2 = 3v1 +v2
2u1 h3 = 3v1 + 3v2
u1 h4 = 4v1 + 2v2
即：效率指标 hk 等于 等于产出加权之和除以投入加 权之和，表示第 k 个决策单元多指标投入和 多指标产出所取得的经济效率。 可以适当地选择权系数 U、V，使得 hk≤1 ≤1。
有效定理
定理7.1 线性规划 及其对偶规划 都有可行解，因而都 线性规划(P)及其对偶规划 都有可行解， 及其对偶规划(D)都有可行解 定理 有最优解， 有最优解，并且最优值 VP = VD ≤ 1 定理7.2 关于对偶规划 ，有 关于对偶规划(D)， 定理 如果(D)的最优值 的最优值=1，则决策单元为弱DEA有效；反 有效； ① 如果 的最优值 ，则决策单元为弱 有效 之亦然； 之亦然； − 如果(D)的最优值 的最优值=1，并且每个最优解都满足条件： ② 如果 的最优值 ，并且每个最优解都满足条件：s 0 + = 0, s 0 = 0 ， 则决策单元为DEA有效；反之亦然。 有效； 则决策单元为 有效 反之亦然。 定理7.3 决策单元的最优效率指标 与投入指标值 决策单元的最优效率指标VP与投入指标值 及 与投入指标值Xik及 定理 产出指标值Ykj的量纲选取无关。 的量纲选取无关。 产出指标值 的量纲选取无关
在实际应用中， 无论利用(P) 还是(D) (P)还是 (D)， 在实际应用中 ， 无论利用 (P) 还是 (D) ， 上述判断都并非易事。 上述判断都并非易事。 为了方便地使判定决策单元DEA 有效， 为了方便地使判定决策单元 DEA 有效 ， 查恩斯和库伯引用了非阿基米德无穷小量 的概念。 的概念。 从而， 从而，可以利用单纯形方法求解线性规划 问题，来判定决策单元的DEA有效性。 DEA有效性 问题，来判定决策单元的DEA有效性。
数据包络分析(DEA) 数据包络分析(DEA)
DEA(Data Envelopment Analysis) 方法又称为数据包络分析方法。 DEA方法是美国著名运筹学家查恩 斯(A.Charnes)和库伯(W.W.Cooper) 教授于1978 1978年首先提出的。 1978
基本思想： DEA方法就是寻求一 个评价多指标投入和多指 标产出决策单元相对有效 性的多目标决策方法。
现在，建立评价第k个决策单元相对有效性的 k C2R模型。 效率指标hk。在效率评价指标hk≤1(k=1,2,3,4) 的约束条件下，选择一组最优权系数 U和V，使得hk达到最大值，构造优化模型(分式 规划) ：
对第一个决策单元（第一个车间）
u1 目标函数： max h1 = max v + 3 v 目标函数 1 2
ε D 1 2 + 1
s.t. 3λ 3λ 4λ 4θ λ1 + 3λ2 + 3λ3 + 4λ4 + s-1 = 4θ 3λ 2λ 2θ 3λ1 + λ2 + 3λ3 + 2λ4 + s-2 = 2θ 2λ λ1 + λ2 + 2λ3 + λ4 – s+1 = 1 λ1,λ2 ,λ3 ,λ4 ,s-1,s-2 s+1 ≥ 0
T
s.t.
X kj ⋅ λk + S − = θ ⋅ X 1 j , j = 1,2 ∑
k =1 n
4
Ykj ⋅ λk − S + = Y1 j , j = 1 ∑
k =1
其中
λk ≥ 0, k = 1,2,3,4; S + , S − ≥ 0
=(1 是元素均为l =(1,1) 是元素均为 l 的
维向量， =(1 是元素均为l 2 维向量 ，eT=(1)是元素均为l
利用单纯形法求解， 利用单纯形法求解，得到最优解 0， λ0=(0,3/5,1/5,0)T ，S10- = S20- = S10+ = 0， =3/5＜ 因此，决策单元4不是DEA有效。 DEA有效 θ0=3/5＜1因此，决策单元4不是DEA有效。
DEA方法在评价中的应用 方法在评价中的应用
应用DEA 方法评价企业经济效益的步骤是： 应用DEA 方法评价企业经济效益的步骤是： 确定评价目标； ① 确定评价目标； 建立评价指标体系； ② 建立评价指标体系； 收集和整理数据； ③ 收集和整理数据； 建立DEA 模型，计算分析； ④ 建立DEA 模型，计算分析； 作出评价，提出决策建议。 ⑤ 作出评价，提出决策建议。 在实际应用中，计算过程均可利用DEA 软件， 在实际应用中，计算过程均可利用DEA 软件，也 可利用线性规划软件（ QSB、Lindo等 可利用线性规划软件（如QSB、Lindo等）在计算机上实 现。