第三章复变函数的积分

3.4 柯西积分公式
• 定理(柯西积分公式) 如果函数 在区域 内处处解析， 为内 的任何一条正向简单 D f (z ) 闭曲线,它的内部完全含于 , 为 内的任 D C 一点,那末 D z0 C • (3.4.1) f (z ) 1 f (z ) = ∫ z − z dz 2π i • 公式(3.4.1)称为柯西积分公式.通过这个公 式就可以把一个函数在 内部任何一点的 C 值,用它在边界上的值来表示.
3.5 解析函数的高阶导数
• 一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高 阶导数.这一点与实变函数完全不同,因为一 个实变函数的可导性不保证导数的连续性, 因而不能保证高阶导数的存在,关于解析函 数的高阶导数我们有下面的定理
n • 定理 解析函数的导数仍为解析函数,它的 阶导数为:
(n )
f
(z 0 ) =
例2计算 ∫ (z − z )
c 0
解: 所以
z r C 其中 为以 中心， n 为半径的正向圆周, 为整数. 的方程可写成
n +1
dz
,
0
C
z = z 0 + re iθ ,0 ≤ θ ≤ 2π ,
∫
2π 2π dz ire iθ i i =∫ dθ = ∫ dθ = n c 0 r n e inϑ r (z − z 0 )n+1 0 r n+1e i (n +1)θ
例9计算 dz 的值， 为包含圆周 z =1 ∫ (z − z ) Γ 在内的任何一条正向简单闭曲线。
Γ 2
• 解:
∫
dz = 2 Γ ( z − z)
∫
dz + 2 c1 (z − z)
∫ (
c2
dz z2 − z
)
=∫
1 1 1 dz dz − ∫ dz + ∫ dz − ∫ dz c1 z − 1 c1 z c2 z − 1 c2 z = 0 − 2πi + 2πi − 0 = 0
3.1.3 积分的性质
• 1
∫
• 2 • 3
c
f ( z )dz = − ∫ − f ( z )dz;
c
∫ k f (z )dz = k ∫ f (z )dz
c c
∫ [ f (z ) ± g (z )]dz = ∫ f (z )dz ± ∫ g (z )dz;
c c c
• 4
∫
c
f (z )dz = ∫ f (z )ds ≤ ML
3.1.2积分存在的条件及其计算方法
• 1) 当是连续函数且是光滑(或按段光滑) 曲线时，积分是一定存在的。 • 2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。
∫ f (z )dz = ∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy
c c c
∫
c
f
( z )d z
=
∫
tβ tα
f z ( t ) z ′ ( t ) d t
c
例1计算
其中 为从原点到 3 + 4i C ∫ czdz, 的直线段。 点
x = 3t , y = 4t ,0 ≤ t ≤ 1
• 解 直线的方程可写成 • 又因为 (3 + 4i ) tdt = (3 + 4i ) ∫ tdt = 1 (3 + 4i ) t ∫ zdz = ∫
1 2 2 1 0 c 0 2 2
z = r >1
∫ (z − 1)
其中 cos πz 圆周: dz; C
5
为正向
∫
3.2.3 几个等价定理
• 定理一 如果函数 在单连域内处处解析， 那末积分 与连结从起点到终点的 f (z ) 路线 无关.f (z )dz ∫c • 定理二 如果函数 在单连域 内 C f (z 处处解析，那末函数) = u + iv 必为内的解析函数, B F (z ) 并且
F ′(z ) = f ( z )
原函数的概念
• 下面，我们再来讨论解析函数积分的计算。 首先引入原函数的概念： • 结论： 的任何两个原函数相差一个常数。 f (z ) • 利用原函数的这个关系，我们可以推得与 牛顿—莱布尼兹公式类似的解析函数积分 的计算公式。
G(z ) f (z f • 定理三 如果函数 ) 在单连域内处处解析，(z ) 为 的一个原函数，
3.2 柯西—古萨（Cauchy— Goursat）基本定理
• 3.2.1 积分与路经无关问题 • 积分的值与路经无关，或沿封闭的曲线的 积分值为零的条件，可能与被积分函数的 解析性及区域的单连通性有关. • 柯西—古萨（Cauchy—Goursat）基本定理 如果函数在单连域内处处解析，那末函数 沿内的任何一条简单闭曲线的积分值为零。 即 • ∫ c f (z)dz=0
2 1 ∫ z =4 z +1 + z − 3dz
=∫
1 dz + 2 ∫ z =4 z + 1
1 dz z =4 z − 3
= 2πi.1 + 2πi.2 = 6πi.
• 柯西积分公式不但提供了计算某些复变函 数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析 函数的一个积分表达式,是研究解析函数的 有力工具 • (见3.5解析函数的高阶导数). • 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周 上的平均值 .
n! 2π i
∫ (z − z )
c 0
f (z )
n +1
dz (n = 1, 2 , L )
C
f (z )
D
其中 为 在函数的解析区域 内围绕D 的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部 完全含于 .
z0
例12 计算
c
• 解:由公式(3.5.1)得
2πi π 5i 4 (cos πz ) dz = =− . 5 c z =1 (5 − 1)! 12 (z − 1) cos πz
2
1 1 2 = (3 + 4i ) 0 2
∫ zdz = ∫ (x + iy )(dx + idy ) = ∫ xdx − ydy + i ∫ ydx + xdy • 容易验证，右边两个线积分都与路线
c c c c
关，所以 都等于∫ czdz
1 (3 + 4i )2 2
的值无论
C
无 C 是怎样的曲线
例 6 计算
∫
• 解：
1 0
z sin zdz
∫
1 0
பைடு நூலகம்z sin zdz
1
1 1 = − ∫ zd cos z = − z cos z − ∫ cos zdz 0 0 0
1 = −[z cos z − sin z ] = sin 1 − cos1 0
例7 计算
• 解：
∫π
• 那末 ∫
z0 , z
z z0
f ( z )dz = G (z ) − G ( z 0 )
B
这里
为区域
內的两点。
例5
• 解：
∫π
πi
πi
− i
计算
sin 2 zdz
∫π
− i
sin 2 zdz
πi
=∫
1 − cos 2 z 1 1 1 πi dz = z − sin 2 z = πi − sin 2πi −πi 2 2 2 2 − πi
3.1.3 积分的性质
• 从积分的定义我们可以推得积分有下列一些简单 性质，它们是与实变函数中曲线积分的性质相类 似的. • 我们把简单闭曲线的两个方向规定为正向和负向. . 所谓简单闭曲线的正向是指当顺此方向沿该曲线 前进时，曲线的内部始终位于曲线的左方，相反 的方向规定为简单闭曲线的负向.以后遇到积分路 线为简单闭曲线的情形，如无特别声明，总是指 曲线的正向.
3πi
− i
e 2 z dz
∫π
3πi
− i
1 3πi 2 z e dz = ∫ e dz 2 −πi
2z
1 2 z 3πi 1 6πi = e = e − e −2πi = 0. − πi 2 2
[
]
例8 计算
• 解：
∫ 0 (z − 1)e
i
∫ (z − 1)e
i 0
−z
−z
dz
dz = − ∫ (z − i )de − z
第三章—复变函数的积分 本章学习目标
1了解复变函数积分的概念; 2了解复变函数积分的性质; 3掌握积分与路经无关的相关知识; 4熟练掌握柯西—古萨基本定理; 5会用复合闭路定理解决一些问题; 6会用柯西积分公式; 7会求解析函数的高阶导数.
复变函数的积分
• 3.1 复变函数积分的概念 • 3.1.1积分的定义 • 本章中,我们将给出复变函数积分的概念,然 后讨论解析函数积分的性质,其中最重要的 就是解析函数积分的基本定理与基本公式。 这些性质是解析函数积分的基础,借助于这 些性质,我们将得出解析函数的导数仍然是 解析函数这个重要的结论。
0 c 0
例10计算
1 sin z ∫ z =4 z dz 2πi
(沿圆周正向)
• 解
由公式(3.4.1)得
1 sin z ∫ z =4 z dz 2πi
= sin z
z=0
=0
例11计算
2 1 + ∫ z =4 z + 1 z − 3 dz
(沿圆周正向)
• 解
由公式(3.4.1)得
∫
2π 0
e −inθ dθ
因此
∫ (z − z )
c 0
dz
n +1
2πi, n = 0, = 0, n ≠ 0,