欧式几何
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的区别。
欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何是几何学中的三个重要分支，它们分别由欧几里德、罗伯特·罗斯和伯纳德·黎曼提出，并在不同的数学和物理领域中发挥着重要作用。
这三种几何学在概念、方法和应用上有着明显的区别，让我们一起深入了解它们。
一、欧氏几何欧氏几何是以古希腊数学家欧几里德的名字命名的几何学。
它主要研究平面几何和空间几何中的点、线、面以及它们之间的关系和性质。
在欧氏几何中，有五条公理作为基础，这些公理包括点的唯一性、直线的无限延伸性等，构成了欧氏空间的基本性质和特征。
欧氏几何是最为直观和常见的几何学，在我们日常生活和实际工作中有着广泛的应用，比如建筑设计、地理测量等领域。
二、罗氏几何相较于欧氏几何，罗氏几何是一种非欧几何，由19世纪的数学家罗伯特·罗斯提出。
罗氏几何放弃了平行公设并提出了新的平行公设，即通过一点可以作出无数平行线。
这种新的理念打破了欧氏几何中平行线的概念，引入了一种新的、非直观的几何学体系。
罗氏几何虽然在直观上难以理解，但在相对论和曲率空间的研究中有着重要的应用，尤其是在描述引力场和黑洞的时候，罗氏几何的理论和方法显得尤为重要。
三、黎曼几何黎曼几何是由19世纪德国数学家伯纳德·黎曼创立的一种曲面的微分几何学。
相较于欧氏几何和罗氏几何，黎曼几何的研究范围更广，不再局限于平面和直线，而是研究了曲面和多维空间的性质和变换。
黎曼几何的理论为爱因斯坦的广义相对论奠定了基础，也在现代物理学和工程领域有着极其重要的应用。
结语通过对欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何的深入了解，我们可以看到这三种几何学在概念、方法和应用上的明显区别。
欧氏几何在平面和直线的理论中有着直观的优势，罗氏几何在非直观的空间和曲率中有着重要的应用，而黎曼几何则进一步拓展了几何学的研究领域，为现代数学和物理学的发展提供了重要的理论基础。
在个人看来，欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何的区别体现了数学的多样性和丰富性，也展示了数学在不同领域中的重要作用。
欧式几何
欧式几何VS非欧几何1什么是欧式几何？2.欧式几何的来源？欧几里得3欧式几何公理有哪些？4欧式几何的缺陷——出现非欧几何5什么是非欧几何？包括？罗巴切夫斯基（俄）———罗式几何黎曼（德）————黎曼几何6三种几何的关系导出命题第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题：通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。
平行公理并不像其他公理那么显然。
许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。
19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公理是不能被证明的。
（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何。
）从另一方面讲，欧式几何的五条公理并不完备。
例如，该几何中的有定理：任意线段都是三角形的一部分。
他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。
然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。
因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。
非欧氏几何非欧氏几何产生于非欧式空间，而非欧式空间可以理解成扭曲了的欧式空间，可能它的坐标轴不再是直线，或者坐标轴之间并不正交（即不成90度）例子：欧式空间中的球面，对于在球面上爬行的蚂蚁来说就是非欧式空间的平面，它们在爬行的过程中不会感觉到球面的弯曲。
当然在这样的一个球面上，欧式几何也不再成立，譬如：三角形的内角和不再是180度，而球面上两点之间的最短距离也不再是两点之间的连线（因为这时两点之间的的线段根本经过球面）欧氏几何是平面，非欧几何是在一个不规则曲面上的非欧几何学是一门大的数学分支，一般来讲，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。
所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。
欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。
欧几里德几何
欧几里德几何简称“欧氏几何”。
几何学的一门分科。
公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。
在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。
按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何”与“立体几何”。
欧几里德几何指按照欧几里德的《几何原本》构造的几何学。
欧几里德几何有时就指平面上的几何，即平面几何。
三维空间的欧几里德几何通常叫做立体几何。
高维的情形请参看欧几里德空间。
数学上，欧几里德几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。
数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。
公理描述[编辑本段] 欧几里德几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。
欧几里德几何的五条公理是：任意两个点可以通过一条直线连接。
任意线段能无限延伸成一条直线。
给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
所有直角都全等。
若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题：通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。
平行公理并不像其他公理那么显然。
许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。
19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公理是不能被证明的。
（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何。
）从另一方面讲，欧几里德几何的五条公理并不完备。
例如，该几何中的有定理：任意线段都是三角形的一部分。
他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。
然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。
因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。
欧氏图形与拓扑图形
欧式几何的传统描述是一个公理、公设系统，通过有限的公 理、公设来证明所有的“真命题”。
欧式几何的五条公设是： 1、任意两个点可以通过一条直线连接。 2、任意线段能无限延伸成一条直线。 3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为 半径作一个圆。 4、所有直角都全等。 5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之 和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有 趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四 面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正 二十面体。
拓扑性质
拓扑等价 在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它
的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没 有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形 状都可以改变。Fra bibliotek拓扑性质
欧式几何的五条公理是： 1、等于同量的量彼此相等。 2、等量加等量，其和仍相等。 3、等量减等量，其差仍相等。 4、彼此能够重合的物体是全等的。 5、整体大于部分。
拓扑图形
拓扑学
拓扑学（ Topology原意为地貌）是近代 发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。
分类
代数拓扑学 微分拓扑学 几何拓扑学:它是十九世纪形成的一门数学分支， 属于几何学的范畴.
直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在 拓扑变换下不变。
拓扑所研究的是几何图形的一些性质，它们 在图形被弯曲、拉大、缩小或任意的变形下 保持不变，只要在变形过程中不使原来不同 的点重合为同一个点，又不产生新点。
拓扑图形
拓扑图形
拓扑学研究的对象与长短、大小、面积、体积 等度量性质和数量关系都无关它，研究的是几 何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些 特性。
欧氏几何介绍
数学分支之欧氏几何欧氏几何的建立欧氏几何是欧几里德几何学的简称，其创始人是公元前三世纪的古希腊伟大数学家欧几里德。
在他以前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始用逻辑推理的方法去证明一些几何命题的结论。
欧几里德这位伟大的几何建筑师在前人准备的“木石砖瓦”材料的基础上，天才般地按照逻辑系统把几何命题整理起来，建成了一座巍峨的几何大厦，完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。
这本书的问世，标志着欧氏几何学的建立。
这部科学著作是发行最广而且使用时间最长的书。
后又被译成多种文字，共有二千多种版本。
它的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑。
两千多年来，这部著作在几何教学中一直占据着统治地位，至今其地位也没有被动摇，包括我国在内的许多国家仍以它为基础作为几何教材。
一座不朽的丰碑欧几里德将早期许多没有联系和未予严谨证明的定理加以整理，写下《几何原本》一书，使几何学变成为一座建立在逻辑推理基础上的不朽丰碑。
这部划时代的著作共分13卷，465个命题。
其中有八卷讲述几何学，包含了现在中学所学的平面几何和立体几何的内容。
但《几何原本》的意义却绝不限于其内容的重要，或者其对定理出色的证明。
真正重要的是欧几里德在书中创造的一种被称为公理化的方法。
在证明几何命题时，每一个命题总是从再前一个命题推导出来的，而前一个命题又是从再前一个命题推导出来的。
我们不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点。
这些作为论证起点，具有自明性并被公认下来的命题称为公理，如同学们所学的“两点确定一条直线”等即是。
同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念，如点、线等。
在一个数学理论系统中，我们尽可能少地先取原始概念和不加证明的若干公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的方法，把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。
欧几里德采用的正是这种方法。
他先摆出公理、公设、定义，然后有条不紊地由简单到复杂地证明一系列命题。
欧几里得平面几何公理
欧几里得平面几何公理欧式几何原理是指欧几里得几何的基本原理和公理。
欧几里得几何是一种传统的几何学，它基于欧几里得的《几何原本》构建。
欧几里得几何主要研究二维平面和三维空间中的几何性质，其中包括点、线、面、角、圆等基本概念，并通过一系列公理来描述它们之间的关系。
以下是欧几里得几何的五条公理（公设）：1.从一点向另一点可以引一条直线。
2.任意线段可以无限延伸成一条直线。
3.给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4.所有直角都相等。
5.若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
这些公理构成了欧几里得几何的基础，通过它们可以推导出许多几何定理和性质。
其中第五条公理被称为平行公理，它描述了平行线的性质。
然而，平行公理并不像其他公理那么显然，它在过去曾经受到质疑。
在19世纪，通过构造非欧几里得几何，人们发现平行公理是不能被证明的。
因此，平行公理可以看作是欧几里得几何的一个假设，而非必然的几何真理。
现代方法中，欧几里得几何的构造通常使用解析几何的方法。
通过解析几何，可以用数学语言和符号来描述几何对象和它们之间的关系。
例如，可以用坐标系来表示点，并使用距离公式来计算点之间的距离。
通过这种方法，可以像证明定理一样证明欧几里得几何中的公理和定理。
尽管这种方法没有公理化方法那么漂亮，但它更加简洁直观。
总结起来，欧式几何原理包括以下内容：1.欧几里得几何的五条公理，包括从一点向另一点引一条直线、任意线段可以无限延伸成一条直线、给定线段可以作一个圆、所有直角相等以及平行公理。
2.平行公理是欧几里得几何中的一个假设，无法从其他公理中推导出来。
3.现代方法中，欧几里得几何通常使用解析几何的方法进行构造和证明。
20欧氏几何的公理体系
初 等 数 学 专 题 研 究
20.1 欧氏几何的公理体系 一、欧氏公理体系中的原始概念 1、不加定义的基本元素：点，直线，平面 2、不加定义的基本关系：“在之上”（同义语为 属于、通过）；“在之间”；“合同”； 二、欧氏公理体系中的结合公理Ⅰ（一共8条） Ⅰ1：过两点恒有一线 Ⅰ2：过两点至多有一线 Ⅰ3：一线上至少含两点；至少有三点不共线。 Ⅰ4：过不共线三点恒有一平面；每个平面至少含一点。 Ⅰ5：过不共线三点至多有一平面。 Ⅰ6：有一线有两点在一个平面上，整条直线都在平面上。 Ⅰ7：两平面有一个公共点，则至少还有另一个公共点。 Ⅰ8：至少有四点不共面。
20.1 欧氏几何的公理体系 四、欧氏公理体系中的合同公理III（五条，合同记作≡）
α O Y X O1 X1
初 等
β
Y1
III5：A,B,C是不共线三点,A1,B1,C1也不共线,若AB =A1B1且 AC = A1C1,并且∠BAC = ∠B1A1C1,那么∠ABC = ∠A1B1C1.
A A1
a A
初 等 数 学 专 题 研 究
这条公理又 叫巴士公理
C
B
四、欧氏公理体系中的合同公理Ⅱ（五条，合同记作≡） III1：A,B是直线a上两点，C是直线b上点，给定b上C的一侧， 那么在b上的这一侧，恒有一点D，使得AB≡CD,因线段端点 未分先后，所以也有AB≡DC.
a A B C D b
20.1 欧氏几何的公理体系 四、欧氏公理体系中的合同公理Ⅱ（五条，合同记作≡） III2：若AB≡CD且EF≡CD，那么AB≡EF（传递性）
初 等 数 学 专 题 研 究
高中数学知识点精讲精析 欧式几何与球面几何的区别与联系
3.1欧式几何与球面几何的区别与联系1．欧氏几何是几何学的一门分科。
公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。
在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。
按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何”与“立体几何”。
2．欧氏几何的建立欧氏几何是欧几里德几何学的简称，其创始人是公元前三世纪的古希腊伟大数学家欧几里德。
在他以前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始用逻辑推理的方法去证明一些几何命题的结论。
欧几里德这位伟大的几何建筑师在前人准备的“木石砖瓦”材料的基础上，天才般地按照逻辑系统把几何命题整理起来，建成了一座巍峨的几何大厦，完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。
这本书的问世，标志着欧氏几何学的建立。
这部科学著作是发行最广而且使用时间最长的书。
后又被译成多种文字，共有二千多种版本。
它的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑。
两千多年来，这部著作在几何教学中一直占据着统治地位，至今其地位也没有被动摇，包括我国在内的许多国家仍以它为基础作为几何教材。
3．欧式几何公理欧式几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。
欧式几何的五条公理是：（1）任意两个点可以通过一条直线连接。
（2）任意线段能无限延伸成一条直线。
（3）给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
（4）所有直角都全等。
（5）若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题：通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。
平行公理并不像其他公理那么显然。
许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。
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欧式几何
932年，德国数学家希尔伯特终于出来宣布：“根据平行公理之外的公理来证明平行公理的尝试已经有两千多年(直到20世纪初)，始终未获成功。
双曲几何(非欧几何)模型的发现，揭露出这种证明的不可能性”(《直观几何》)。
一.第五公设，两千年来被公认的无法证明的公设。
欧几里得第五公设，也称为平行公设（parallel postulate），因是《几何原本》五条公设的第五条而得名。
这是欧几里得几何一条与别不同的公理，比前四条复杂。
公设是说：
如果一条直线与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角的一侧相交。
其被称为不可证明。
原因有二。
(一)。
因为他与平行公设等价。
任何与平行线有关的证明方法与他无关。
Playfair 公理。
平行公设。
给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一条直线与之平行。
于是很多我们熟悉的命题都对他无效。
如：三角形内角和为两直角。
所有三角形的内角和都相等。
存在一对相似但不全等的三角形。
所有三角形都有外接圆。
.若四边形三个内角是直角，那么第四个内角也是直角。
存在一对等距的直线。
若两条直线都平行于第三条，那么这两条直线也平行。
三角形内角和为180度。
总而言之，他对一切与平行有关的定理“免疫”
(二)。
它是欧几里得几何的五条基本公设之一，十大公理之一。
除了其余的九条，我们不能用其他的“几何”结论去证明此公设。
欧式几何的五条公设是：
1、任意两个点可以通过一条直线连接。
2、任意线段能无限延伸成一条直线。
3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4、所有直角都全等。
5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
欧式几何的五条公理是：
1、等于同量的量彼此相等。
2、等量加等量，其和仍相等。
3、等量减等量，其差仍相等。
4、彼此能够重合的物体是全等的。
5、整体大于部分。
二.证明方法：
好了我们的限制条件已经很清楚了。
不能用平行，不能用上层结论证明此公设。
那么，我们开始吧。
首先，我们做任意三角形⊿ABC。
如图
图中。
三角形面积X。
∠a=∠a′ ∠b=∠b′ ∠c=∠c′
直线L1的长度=（射线CA的长度+射线AC的长度-线段AC的长度）
直线L2的长度=（射线CB的长度+射线BC的长度-线段BC的长度）
直线L3的长度=（射线BA的长度+射线AB的长度-线段AB的长度）
1=（射线CA的长度+射线AC的长度-线段AC的长度）/（直线L1的长度）
1=（射线CB的长度+射线BC的长度-线段BC的长度）/（直线L2的长度）
1=（射线BA的长度+射线AB的长度-线段AB的长度）/（直线L3的长度）
1=（射线CA的长度+射线AC的长度）/（直线L1的长度）-（线段AC的长度）/（直线L1的长度）
1=（射线CB的长度+射线BC的长度）/（直线L2的长度）-（线段BC的长度）/（直线L2的长度）
1=（射线BA的长度+射线AB的长度）/（直线L3的长度）-（线段AB的长度）/（直线L3的长度）
（呵呵，大家是不是已经猜出来我要干什么了？）
由第二公设可知，线段是直线的一部分。
线段为有限量。
直线为无限量。
（第二公设，任意线段能无限延伸成一条直线。
）
由第五公理可知，直线大于线段。
（第五公理，整体大于部分。
）
当直线的长度趋近于无穷大时，射线的长度也趋近与无穷大，而线段的长度依然是有限值。
则当直线趋近无穷大的时候，其中有限的一部分线段长度可以近似看作0。
（AB,BC,AC为线段，长度有限。
L1，L2，L3为直线。
长度无限。
我们把L1，L2,L3无限拉长。
则三角形的三条边线段AB,BC,AC作为直线的一部分，其在直线中所占的比例将被
无限缩小。
）
直到当我们离平面无限远时，我们可以得到下图。
此时我们的⊿ABC的相对面积X近似于零，而⊿ABC的A,B,C三点近似聚焦变成了点O。
2∠a′+ 2∠b′+ 2∠c′=360°
∠a′+ ∠b′+ ∠c′=180°
∠a + ∠b+ ∠c =180°
从而证明三角形内角和为180°
于是我们可以看到第五公设可以转化为。
在一个平面内，若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于小于180°（两个直角），则这两条直线在这一边必定构成一个三角形（相交）。
证明完毕。
首先，我没有用任何有关平行的概念，其次我也没有用任何有关几何体系中的上层概念。
突破点仅仅只是无限与有限的概念在几何中的一种运用。
如果非要说我的证明是错的，那我也无话可说。