新北师大版九年级上菱形的判定
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4.如图，在平行四边形ABCD中，点O 是对角线BD的中点，过O点作EF⊥BD，交AD于E， 交BC于F，那么，四边形EBFD是菱形吗？为什么?
4.如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点， 过O点作EF⊥BD，交AD于E，交BC于F，那么，四边形EB 是菱形吗？为什么?
证明:∵AD∥BC ∴∠EDO=∠FBO ∴在△EDO和△FBO中 ∠EDO=∠FBO BO=DO ∠EOD=∠FOB ∴ △EDO≌△FBO ∴DE=BF ∴四边形EBFD是平行四边形 又∵ EF⊥BD ∴四边形EBFD是菱形
且相交于点O
A
O
C
求证： ABCD是菱形
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO=DO
B
又∵AO=AO
∠AOD=∠AOB
∴△AOD≌△AOB
∴AD=AB
∴ ABCD是菱形
已知：在 ABCD 中，AC ⊥ BD
D
求证： ABCD 是菱形
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC 又∵ AC ⊥ BD;
形？
猜想二：四边相等的四边形是菱形
C B
判定二：四边相等的四边形是菱形
D
已知：在四边形ABCD中有
AB=BC=CD=AD
求证：四边形ABCD是一个菱形 A
C
B
小结：
菱形的判定方法：
四条边相等
四边形
菱形
平行四边形
例题解析：
已知： ABCD的对角线AC的垂直平分
线与边AD 、BC分别交于E、F
求证：四边形AFCE是菱形。 A
E
D
分析: （1）利用定义判定
O
（2） 由已知可知
OA=OC,EF⊥AC. B F
C
（3）利用四边相等，你会吗？
思考
老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?
5
34
43
5
有一组邻边相等的平
行四边形叫做菱形
3 44
3
对角线互相垂直的平行 四边形是菱形
5
┍
5 5
5
有四条边相等的四边形是菱形。
2.如图，AE∥BF,AC平分∠BAD,且交BF于点C，
BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.
求证：四边形ABCD是菱形
证明：∵ AE∥BF
E
∴∠CAD=∠ACB
∵AC平分∠BAD
∴ ∠CAD= ∠BAC
∴ ∠ACB= ∠BAC
∴AB=BC
F
同理可证
AB=AD
∴ AD=BC 又∵AD∥BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是菱形
3.不能判断一个四边形是菱形的是( ) A.有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 B.对角线互相平分的四边形是菱形 C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D.四条边都相等的四边形是菱形
C B
还有其它 的方法吗？
平行四边形
菱形
探究（一）
用一长一短两根细
木条,在它们的中点处固
定一个小钉,做成一个可
以转动的十字,四周围上
一根橡皮筋,做成一个四
边形.转动木条,这个四边
猜想
形什么时候变成菱形?
猜想一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
判定一：对角线互相垂直的平行四形
是菱形
D
已知：在 ABCD中有对角线AC⊥BD,
复习与回顾
❖想一想：
1.菱形定义？ 2.它比平行四边形多了哪些性质？
菱形的判定
想一想：
同学们想一想，我们在学习平行四边形的 判定时，我们首先想到的Biblioteka Baidu一种方法是什么？ 那么类比着它，菱形的第一种判定方法是D什么？
根据定义得：
A
一组邻边相等的平行四边形是菱形
∵在 ABCD中AB=AD ∴ ABCD是菱形
A
O
C
∴BA=BC (线段垂直平分线上的点到线段两
个端点的距离相等)
B
∴ ABCD是菱形 (有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形).
平行四边形
菱形
探究（二）
情境：李芳同学先画两条
D
等长的线段AB、AD，然后分
别以B、D为圆心，AB为半径
画弧，得到两弧的交点C，连
接BC、CD，就得到了一个四 A 边形，猜一猜，这是什么四边
今天你学到了什么
❖判定菱形的方法: 1.定义 2.判定一 3.判定二
如何选择菱形的判定方法
4.如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点， 过O点作EF⊥BD，交AD于E，交BC于F，那么，四边形EB 是菱形吗？为什么?
证明:∵AD∥BC ∴∠EDO=∠FBO ∴在△EDO和△FBO中 ∠EDO=∠FBO BO=DO ∠EOD=∠FOB ∴ △EDO≌△FBO ∴DE=BF ∴四边形EBFD是平行四边形 又∵ EF⊥BD ∴四边形EBFD是菱形
且相交于点O
A
O
C
求证： ABCD是菱形
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO=DO
B
又∵AO=AO
∠AOD=∠AOB
∴△AOD≌△AOB
∴AD=AB
∴ ABCD是菱形
已知：在 ABCD 中，AC ⊥ BD
D
求证： ABCD 是菱形
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC 又∵ AC ⊥ BD;
形？
猜想二：四边相等的四边形是菱形
C B
判定二：四边相等的四边形是菱形
D
已知：在四边形ABCD中有
AB=BC=CD=AD
求证：四边形ABCD是一个菱形 A
C
B
小结：
菱形的判定方法：
四条边相等
四边形
菱形
平行四边形
例题解析：
已知： ABCD的对角线AC的垂直平分
线与边AD 、BC分别交于E、F
求证：四边形AFCE是菱形。 A
E
D
分析: （1）利用定义判定
O
（2） 由已知可知
OA=OC,EF⊥AC. B F
C
（3）利用四边相等，你会吗？
思考
老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?
5
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有一组邻边相等的平
行四边形叫做菱形
3 44
3
对角线互相垂直的平行 四边形是菱形
5
┍
5 5
5
有四条边相等的四边形是菱形。
2.如图，AE∥BF,AC平分∠BAD,且交BF于点C，
BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.
求证：四边形ABCD是菱形
证明：∵ AE∥BF
E
∴∠CAD=∠ACB
∵AC平分∠BAD
∴ ∠CAD= ∠BAC
∴ ∠ACB= ∠BAC
∴AB=BC
F
同理可证
AB=AD
∴ AD=BC 又∵AD∥BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是菱形
3.不能判断一个四边形是菱形的是( ) A.有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 B.对角线互相平分的四边形是菱形 C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D.四条边都相等的四边形是菱形
C B
还有其它 的方法吗？
平行四边形
菱形
探究（一）
用一长一短两根细
木条,在它们的中点处固
定一个小钉,做成一个可
以转动的十字,四周围上
一根橡皮筋,做成一个四
边形.转动木条,这个四边
猜想
形什么时候变成菱形?
猜想一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
判定一：对角线互相垂直的平行四形
是菱形
D
已知：在 ABCD中有对角线AC⊥BD,
复习与回顾
❖想一想：
1.菱形定义？ 2.它比平行四边形多了哪些性质？
菱形的判定
想一想：
同学们想一想，我们在学习平行四边形的 判定时，我们首先想到的Biblioteka Baidu一种方法是什么？ 那么类比着它，菱形的第一种判定方法是D什么？
根据定义得：
A
一组邻边相等的平行四边形是菱形
∵在 ABCD中AB=AD ∴ ABCD是菱形
A
O
C
∴BA=BC (线段垂直平分线上的点到线段两
个端点的距离相等)
B
∴ ABCD是菱形 (有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形).
平行四边形
菱形
探究（二）
情境：李芳同学先画两条
D
等长的线段AB、AD，然后分
别以B、D为圆心，AB为半径
画弧，得到两弧的交点C，连
接BC、CD，就得到了一个四 A 边形，猜一猜，这是什么四边
今天你学到了什么
❖判定菱形的方法: 1.定义 2.判定一 3.判定二
如何选择菱形的判定方法