18讲]小升初行程重点考查内容(二)公式类行程问题(2)——流水行船、扶梯问题、环形行程
小六行程问题之流水扶梯问题
精锐教育学科教师辅导讲义行程之流水行船与扶梯问题-知识导航流水行船问题知识总结（1）什么是流水行船问题：在行程问题的基础上，这一讲我们将研究流水行船的问题.船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间与所行的路程，叫做流水行船问题.另外一种与流水行船问题相类似的问题是“在风中跑步或行车”的问题，其实处理方法是与流水行船完全一致的.行船问题是一类特殊的行程问题，它的特殊之处就是多了一个水流速度。
（2）流水行船中的几个物理量：船速：在静水中行船，单位时间内所走的路程叫船速；逆水速度：逆水上行的速度叫逆水速度；顺水速度：顺水下行的速度叫顺水速度；水速：船在水中不借助其他外力只借助水流力量单位时间所漂流的路程叫水流速度(简称水速)。
流水行船之基本【例1】★★甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时.现在有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，这机帆船往返两港要多少小时？流水行船之追及与相遇问题:与【例1】★小刚与小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？【例2】★★甲、乙两船在静水中速度分别为每小时24千米与每小时32千米，两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？【例3】★★某河有相距45千米的上、下两码头，每天定时有甲、乙两艘船速相同的客轮分别从两码头同时出发相向而行.一天甲船从上游码头出发时掉下一物，此物浮于水面顺水飘下，4分钟后，与甲船相距1千米.预计乙船出发后几小时可以与此物相遇？【例4】★★有人在河中游泳逆流而上，丢失了水壶，水壶顺流而下，经30分钟才发觉此事，他立即返回寻找。
结果在离丢失地点下游6千米处找到水壶。
第18讲 行程问题(流水行船与火车问题)
第18讲行程问题（流水行船与火车问题）1、流水行船问题：当你逆风骑自行车时有什么感觉？是的，逆风时需用很大力气，因为面对的是迎面吹来的风。
当顺风时，借着风力，相对而言用里较少。
在你的生活中是否也遇到过类似的如流水行船问题。
解答这类题的要素有下列几点：水速、流速、划速、距离，解答这类题与和差问题相似。
划速相当于和差问题中的大数，水速相当于小数，顺流速相当于和数，逆流速相当于差速。
所以，我们有以下关系式：顺流船速=划速＋水速；逆流船速=划速—水速；划速=（顺流船速+逆流船速）÷2；水速=（顺流船速—逆流船速）÷2；顺流船速=逆流船速+水速×2；逆流船速=逆流船速—水速×2。
2、火车问题：火车问题也是行程问题中较为重要的一种类型，一般会出现火车过桥、火车过洞，火车超车、火车错车等问题。
解决火车问题的关键在于弄清楚火车行进的总路程，然后再运用行程问题三个量的基本关系式解决所要求的量。
关于求火车行进的路程，通常我们采用“参照点”法，即：选取火车上的某一点（一般为车头或车尾），以该点行进的路程作为火车行进的路程。
类似的火车问题还有队列行进问题、多部电梯问题等。
例1：水流速度是每小时15千米。
现在有船顺水而行，8小时行320千米。
若逆水行320千米需几小时？练习：（1）水流速度每小时5千米。
现在有一船逆水在120千米的河中航行需6小时，顺水航行需几小时？（2）一条轮船往返于A、B两地之间，由A地到B地是顺水航行，由B 地到A地是逆水航行。
已知船在静水中的速度是每小时20千米，由A地到B地用了6小时，由B地到A地所用的时间是由A地到B地所用时间的1.5倍，求水流速度。
例2：汽船每小时行30千米，在长176千米的河中逆流航行要11小时到达，返回需几小时？练习：（1）当一机动船在水流每小时3千米的河中逆流而上时，8小时行48千米。
返回时水流速度是逆流而上的2倍。
需几小时行195千米？（2）已知一船自上游向下游航行，经9小时后，已行673千米，此船每小时的划速是47千米。
小升初流水行船,小学数学典型应用题,行程问题
7、一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每
小时576千米，风速为每小时24千米，飞机逆风飞
行3小时到达，顺风飞回需要几小时？
解 这道题可以按照流水问题来解答。 （1）两城相距多少千米？ （576－24）×3＝1656（千米） （2）顺风飞回需要多少小时？ 1656÷（576＋24）＝2.76（小时） 列成综合算式 ［（576－24）×3］÷（576＋24）＝2.76（小时） 答：飞机顺风飞回需要2.76小时。
4、某轮船在相距216千米的两个港口间往返运送货物，已知轮 船在静水中每小时21千米，两个港口间的水流速度是每小时3千 米，那么，这只轮船往返一次需要多长时间？
顺水速度＝船速+水速 顺水时间=路程÷顺水速度 逆水速度＝船速-水速 逆水时间=路程÷逆水速度
216÷（21+3）+216÷（21-3）=9+12=21（小时）
90÷3=30（千米/小时） 90÷15=6（千米/小时） 甲船速度：（30+6）÷2=18（千米/小时） 乙船速度： （30-6）÷2=12（千米/小时）
10、两个港口相距342千米，甲、乙两支轮船同时从两个港 口相对开出，甲船顺流而下，乙船逆流而上，9小时后正好 相遇，已知甲船每小时比乙船慢4千米。甲、乙两船的速度 分别是多少？
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数学总复习
行程问题---流水行船
【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答 这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的 速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流 的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船 只逆水航行的速度是船速与水速之差。
【数量关系】 船速=（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速=（顺水速度－逆水速度）÷2 顺水速度＝船速+水速＝逆水速＋水速×2 逆水速度＝船速-水速＝顺水速－水速×2
小升初数学复习重点 ：17道行程问题题知识点总结
小升初数学复习重点：17道行程问题题知识点总结行程问题是各大杯赛中必考的知识点，也是令无数同学望而生畏的一个难点，建议各位同学在复习行程问题的时候切忌一味钻研偏题怪题，攻克每个行程专题中的最典型题目，将整个行程体系建立起来才是王道，在这里徐老师给大家总结了每个专题中的最典型题目，抛砖引玉，通过一道典型题的学习带大家复习相应模块的核心知识。
一、相遇与追及1、路程和路程差公式【例1】某城市东西路与南北路交会于路口．甲在路口南边560米的点，乙在路口．甲向北，乙向东同时匀速行走．4分钟后二人距的距离相等．再继续行走24分钟后，二人距的距离恰又相等．问：甲、乙二人的速度各是多少？2、多人相遇【例2】有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇.那么，东、西两村之间的距离是多少米？3、多次相遇【例3】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米？二、典型行程专题1、火车过桥【例4】某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？2、流水行船【例5】甲、乙两艘游艇，静水中甲艇每小时行千米，乙艇每小时行千米．现在甲、乙两游艇于同一时刻相向出发，甲艇从下游上行，乙艇从相距27千米的上游下行，两艇于途中相遇后，又经过4小时，甲艇到达乙艇的出发地．水流速度是多少？3、猎狗追兔【例6】猎人带猎狗去捕猎，发现兔子刚跑出40米，猎狗去追兔子。
已知猎狗跑2步的时间兔子跑3步，猎狗跑4步的距离与兔子跑7步的距离相等，求兔子再跑多远，猎狗可以追上它？。
小学五年级逻辑思维学习—流水行船问题二
小学五年级逻辑思维学习—流水行船问题二知识定位在行程问题这个大家族中，除了我们常常研究的相遇与追及外，还有两个特别相似的问题：流水行程和扶梯问题。
它们之间有很多相似之处，当然也有不同之处，在学习的过程中，同学们应该细细体会。
在历届小升初和杯赛考试中，相比与流水行船问题，扶梯问题往往不是重点，但是也需要我们有一定的了解和认识！在讲解本讲知识点时，一定要讲两大问题进行对比讲解，从公式形式到一般变形，以及推导过程都要让学生加以重点理解。
流水行船问题中速度打破了常规的0参考系，在讲解过程中可以引入生活中最贴切的实例，加深学生印象。
知识梳理一、流水行船问题通常我们所接触的行程问题可以称作为“参考系速度为0”的行程问题，例如当我们研究甲乙两人在一段公路上行走相遇时，这里的参考系便是公路，而公路本身是没有速度的，所以我们只需要考虑人本身的速度即可。
但是在流水行船问题中，我们的参考系将不再是速度为0的参考系，因为水本身也是在流动的，所以这里我们必须考虑水流速度对船只速度的影响，具体为：①顺水速度=船速+水速；②逆水速度=船速-水速。
（可理解为和差问题）由上述两个式子我们不难得出一个有用的结论：船速=(顺水速度+逆水速度)÷2；水速=(顺水速度-逆水速度)÷2此外，在流水行船问题中，对于河流中的漂浮物，我们还会经常用到一个常识性性质，即：漂浮物速度=流水速度。
流水行船问题中的相遇与追及：①两只船在河流中相遇问题.当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出，它们单位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和。
这是因为：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速。
这就是说，两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样，与水速没有关系.②同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，也只与路程差和船速有关，与水速无关.这是因为：甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速。
小升初数学行程问题必考题型
小升初数学行程问题必考题型摘要：一、小升初数学行程问题概述1.行程问题的基本概念2.行程问题的常见题型二、小升初数学行程问题必考题型及解析1.火车过桥问题a.基本公式b.例题解析2.相遇问题a.基本公式b.例题解析3.追及问题a.基本公式b.例题解析4.环形运动问题a.基本公式b.例题解析5.流水行船问题a.基本公式b.例题解析正文：小升初数学行程问题必考题型一、小升初数学行程问题概述行程问题一直是小升初数学考试中的重点和难点，主要涉及物体在运动过程中的速度、时间和路程等关系。
解决行程问题的关键是理解并熟练运用速度、时间和路程之间的关系。
二、小升初数学行程问题必考题型及解析1.火车过桥问题火车过桥问题是一种典型的行程问题，需要考虑火车的长度、速度和桥的长度等因素。
基本公式为：路程=速度×时间。
例题解析：一列长240 米的火车以每秒30 米的速度过一座桥，从车头上桥到车尾离桥用了1 分钟，求这座桥有多长？解答：火车速度乘以时间得到的是火车走的路程，即30×60=1800 米。
因为火车的长度为240 米，所以桥的长度为1800-240=1560 米。
2.相遇问题相遇问题是指两个物体在运动过程中，在某一点相遇的问题。
基本公式为：路程和=速度和×时间。
例题解析：甲、乙两辆汽车同时分别从A，B 两站相对开出，第一次相遇时离A 站有90 千米，然后各自按原速继续行驶，分别到达对方出发站后立即沿原路返回。
第二次相遇时离A 站的距离占A，B 两站间全长的65%。
求A，B 两站间的路程长。
解答：第一次相遇时，甲乙合行了一个AB 两地之间的距离，且甲行了90 千米；第二次相遇时，甲乙合行了三个AB 两地之间的距离，则甲行了90×3=270 千米。
又知第一二次相遇时距离A 站的距离占全程的65%，则全程为270÷65%=415 千米。
3.追及问题追及问题是指一个物体在运动过程中，另一个物体在某一时刻开始追赶它，求追及的时间和距离。
小升初奥数第26讲 行程问题 (六)流水行船
1
练习：一只渔船逆水行 25 千米，用了 5 小时，水流的速度是每小时 1 千 米。此船在静水中的速度是多少？
例 2 一只渔船在静水中每小时航行 4 千米，逆水 4 小时航行 12 千米。水 流的速度是每小时多少千米？
1.李刚驾驶一只小船在河中行驶，顺流划行的速度时每小时 10 千米，逆流划 行的速度时每小时 6 千米，水流的速度是多少？
2. 甲、乙之间的水路是 234 千米，一只船从甲港到乙港需 9 小时，从乙港返回 甲港需 13 小时，问船速和水速各为每小时多少千米？
3.一只油轮，逆流而行，每小时行 12 千米，7 小时可以到达乙港。从乙港返航 需要 6 小时，求船在静水中的速度和水流速度？
6.一轮船在甲、乙两个码头之间航行，顺水航行要 8 小时行完全程，逆水航行 要 10 小时行完全程。已知水流速度是每小时 3 千米，求甲、乙两码头之间的 距离？
4
7.某河有相距 12 0 千米的上下两个码头，每天定时有甲、乙两艘同样速度的 客船从上、下两个码头同时相对开出。这天，从甲船上落下一个漂浮物，此物 顺水漂浮而下，5 分钟后，与甲船相距 2 千米，预计乙船出发几小时后，可与 漂浮物相遇？
例 4 甲、乙两个码头相距 144 千米，一艘汽艇在静水中每小时行 20 千米， 水流速度是每小时 4 千米。求由甲码头到乙码头顺水而行需要几小时，由乙码 头到甲码头逆水而行需要多少小时？
练习甲、乙两个码头相距 400 千米，一艘汽艇在静水中每小时行 15 千米， 水流速度是每小时 5 千米。求由甲码头到乙码头顺水而行需要几小时，由乙码 头到甲码头逆水而行需要多少小时？
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小升初奥数行程问题基本公式整理
【基本公式】：路程＝速度×时间
【基本类型】
相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程；
追及问题：速度差×追及时间＝路程差；
流水问题：关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响；
顺水速度＝船速＋水速逆水速度＝船速－水速
静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2
（也就是顺水速度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个就可求另
外2个）
其他问题：利用相应知识解决，比如和差分倍和盈亏；
【复杂的行程】
1、多次相遇问题；
2、环形行程问题；
3、运用比例、方程等解复杂的题。
查看：小升初奥数行程问题公式和例题解析汇总。
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1
两地相距480千米，一艘轮船在两地之间往返，顺流行驶一次需要16小时，逆流返回需要
20小时。该轮船在静水中的速度是多少？水流速度是多少？
A、B两个码头间的水路为90千米，其中A码头在上游，B码头在下游。第一天水速为每小
时3千米，甲、乙两船分别从A、B两码头同时起航同向而行，3小时后乙船追上甲船。已
知甲船的静水速为每小时18千米。乙船的静水速度是多少？第二天由于涨水，水速变为每
小时5千米。甲、乙两船分别从A、B两码头同时起航相向而行，出发多长时间后相遇？
小升初行程重点考查内容（二）
公式类行程问题（2）
——流水行船、扶梯问题、环形行程
2
在地铁入口，从站台到地面有一架向上的自动扶梯，涛涛乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级
台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走30级台阶后到
达地面。从站台到地面有______级台阶。
甲、乙两人在一个圆形跑道上跑步，两人从同一地点出发，甲用40分钟能跑完一圈。两人
反向跑时每隔15秒相遇一次。那么两人同向跑时，乙每隔______秒追上甲一次。
甲、乙两人在一条圆形跑道上锻炼。他们分别从跑道某条直径的两端同时出发，相向而行。
当乙走了100米时，他们第一次相遇。相遇后两人继续前进，在甲走完一圈前60米处第二
次相遇。求这条圆形跑道的周长。
3
在线测试题
温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。
1．甲、乙两港间的水路长432千米，一只船从上游甲港航行到下游乙港需要18小时。从乙
港返回甲港，需要24小时，求船在静水中的速度和水流速度。
A．24、6
B．21、6
C．24、3
D．21、3
2．甲、乙两船在静水中速度分别为每小时24千米和每小时32千米。两船从某河边相距336
千米的A、B两港同时相向而行。几小时相遇？如果同向而行，几小时后，乙船追上甲
船？
A．6、42
B．8、44
C．6、44
D．8、42
3．在某商场入口，从一楼到二楼有一架向上的自动扶梯，阳阳乘坐扶梯时，如果每向上迈
一级台阶，那么他走过40级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走60级
台阶后到达地面。问从一楼到二楼有多少级台阶。
A．100
B．110
C．120
D．130
4．甲，乙两人在400米的环形跑道上跑步，两人在同一地点朝相反方向跑.从第一次到第二
次相遇间隔40秒，甲每秒跑6米，乙每秒跑几米？
A．4
B．5
C．6
D．8
5．两辆电动小汽车在周长为360米的圆形跑道上不断行驶，甲车每分行驶20米，甲乙两
车同时分别从相距90米的A、B两地相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方
向，当乙车到达B地时，甲车过B地后恰好又回到A地，此时甲车立即返回(乙车过B
地继续行驶)，再过多少分与乙车相遇？
A．4
B．3
C．6
D．5