一元二次方程、判别式与韦达定理学案
第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理(精讲)(解析版)
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（解析版）【知识点透析】1、一元二次根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac∆=-(1) 当Δ=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当Δ=240b ac -=时，因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-(3) 当Δ=240b ac -<时，因此，方程没有实数根．【知识点精讲】【例1】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．【解析】：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-(1) 141203k k ->⇒<；(2) 141203k k -=⇒=；(3) 141203k k -≥⇒≥；(4) 141203k k -<⇒<．【变式1】（（2022秋·重庆开州·八年级统考期中）使得关于x 的不等式组6x ―a ≥―10―1+12x <―18x +32有且只有4个整数解，且关于x 的一元二次方程(a ―5)x 2+4x +1=0有实数根的所有整数a 的值之和为（ ）A ．35B ．30C ．26D ．21【答案】B【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a 的取值范围，再通过根的判别式确定a 的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．【详解】解：整理不等式组得：6x ―a ≥―10①―8+4x <―x +12②由①得：x ≥a ―106，由②得：x<4∵不等式组有且只有4个整数解，∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，∴―1<a―106≤0，解得：4<a≤10，∵(a―5)x2+4x+1=0有实数根，∴Δ=b2―4ac=16―4×(a―5)×1=36―4a≥0,解得：a≤9，∵方程(a―5)x2+4x+1=0是一元二次方程，∴a≠5∴4<a≤9，且a≠5，满足条件的整数有：6、7、8、9；∴6+7+8+9=30，故选：B．【变式2】．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k―12）＝0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长．【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k―12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，∴△≥0，∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：∵x=2k+1±(2k―3)2，∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k﹣1，c＝2，当a 、b 为腰，则a ＝b ＝4，即2k ﹣1＝4，解得k =52，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；当b 、c 为腰时，b ＝c ＝2，此时b +c ＝a ，故此种情况不存在．综上所述，△ABC 的周长为10．【例2】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．【解析】：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+=由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-．综上知：1,0x y =-=【变式1】（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）已知a ，b ，c 满足a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，则a ―b +c 的值为（ ）A ．―1B ．5C ．6D ．―7【答案】B【分析】首先把a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，两边相加整理成a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0，分解因式，利用非负数的性质得出a 、b 、c 的数值，代入求得答案即可．【详解】解：∵a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a =―，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0∴(a ―1)2+(b +3)2+(c ―1)2=0，∴a =1，b =―3，c =1，∴a ―b +c =1+3+1=5．故选：B ．【变式2】（（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）新定义，若关于x 的一元二次方程：m (x ―a )2+b =0与n (x ―a )2+b =0，称为“同类方程”．如2(x ―1)2+3=0与6(x ―1)2+3=0是“同类方程”．现有关于x 的一元二次方程：2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”．那么代数式ax 2+bx +2022能取的最大值是_________．【答案】2023【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a ，b 的值，从而解得代数式的最大值．【详解】∵2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)(x ―1)2+1，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)x 2―2(a +6)x +a +7，∴b +8=2(a +6)6=a +7 ，解得：a =―1b =2，∴a x 2+bx +2022=―x 2+2x +2022=―(x ―1)2+2023∴当x =1时，a x 2+bx +2022取得最大值为2023．故答案为：2023．2、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12b x x a+==-，12244ac c x x a a⋅====韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,b c x x x x a a+=-=【知识点精讲】【例3】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2) 1211x x +；(3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2) 121212112220072007x x x x x x +-+===-(3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【例4】．已知关于x 的方程220x mx m -+=.（1）若2m =-，方程两根分别为1x ，2x ，求12x x -和3312x x +的值；（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m 的取值范围.【答案】．（14- （2）m <0【解析】（1）由22121212=()4x x x x x x -+-，33212121212()[()3]x x x x x x x x +=++-，借助韦达定理求解.（2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.【详解】（1）当2m =-时，2222x x +-=即：210x x +-=1212140,1,1x x x x ∆=+>+=-=-因此：2212121212=()45x x x x x x x x -+-=∴-=3322212121212121212()[]()[()3]4x x x x x x x x x x x x x x +=++-=++-=-（2）220x mx m -+=212128,,22m m m m x x x x ∆=-+==21280002m m m m x x ⎧∆=->⎪∴<⎨=<⎪⎩【变式1】已知两不等实数a ，b 满足222a a =-，222b b =-，求22b a a b +的值.【解析】：b a ,是一元二次方程0222=-+x x 的不等实根则有2,2-=-=+ab b a原式=5)(]3))[(()())(()(22222233-=-++=+-+=+ab ab b a b a ab b ab a b a ab b a 【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m 是不小于﹣1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2（m ﹣2）x ＋m 2﹣3m ＋3＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)若x 21+x 22=2，求m 的值；(2)令T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，求T 的取值范围．【答案】(1)1 (2)0<T ≤4且T ≠2【分析】首先根据方程有两个实数根及m 是不小于-1的实数，确定m 的取值范围，根据根与系数的关系，用含m 的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x 12+x 22为（x 1+x 2）2-2x 1x 2，代入用含m 表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m 的取值范围得到m 的值；（2）化简T ，用含m 的式子表示出T ，根据m 的取值范围，得到T 的取值范围．(1)∵关于x 的方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0有两个实数根，∴Δ=4（m -2）2-4（m 2-3m +3）≥0，解得m ≤1，∵m 是不小于-1的实数，∴-1≤m ≤1，∵方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0x 1，x 2，∴x 1+x 2=-2（m -2）=4-2m ，x 1•x 2=m 2-3m +3．∵x 12+x 22=2，∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=2，∴4（m -2）2-2（m 2-3m +3）=2，整理得m 2-5m +4=0，解得m 1=1，m 2=4（舍去），∴m 的值为1；(2)T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，=mx 1(1―x 2)+mx 2(1―x 1)(1―x 1)(1―x 2)=m [(x 1+x 2)―2x 1x 2]1―(x 1+x 2)+x 1x 2=m (4―2m ―2m 2+6m ―6)1―4+2m +m 2―3m +3=―2m(m ―1)2m 2―m=―2m(m ―1)2m (m ―1)=2-2m ．∵当x =1时，方程为1＋2（m ﹣2）＋m 2﹣3m ＋3＝0，解得m =1或m =0．∴当m =1或m =0时，T 没有意义．∴―1≤m <1且m ≠0∴0<2-2m ≤4且T ≠2．即0<T ≤4且T ≠2．【变式3】．已知12x x ，是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；（2）若k 是整数，求使12212x x x x +-的值为整数的所有k 的值．【答案】（1）不存在k ；理由见解析；（2）235k =---，，．【详解】（1）假设存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．∵一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴()()24004441160k k k k k k ≠⎧⎪⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎪⎩，又1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩∴()()()()222121212121212222529x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k < ．∴不存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．（2）∵()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++∴要使其值是整数，只需1k +能整除4，∴11k +=±，2±，4±，注意到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为－2，－3，－5．所以k 的值为235k =---，，【变式4】（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）设一元二次方程x 2―2022x +1=0的两根分别为a ，b ，根据一元二次方程根与系数的关系可知：ab =1，记S 1=11+a +11+b ,S 2=11+a2+11+b2,S3=11+a3+11+b3,⋯,S100=11+a100+11+b100，那么S1+S2+S3+⋯+S100=______．【答案】100【分析】根据ab=1得到b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，代入计算即可．【详解】∵一元二次方程x2―2022x+1=0的两根分别为a，b，∴ab=1，∴b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，∴S1=11+a+11+1a=11+a+a1+a=1+a1+a=1，S2=11+a2+11+1a2=11+a2+a21+a2=1+a21+a2=1，S100=11+a100+11+1a100=11+a100+a1001+a100=1+a1001+a100=1，∴S1+S2+S3+⋯+S100=1+1+1+…+1100=100，故答案为：100．。
初高中衔接教材教案2—韦达定理、一元二次方程、判别式……
一元二次方程【知识网络】：1．对于方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，△=b2-4ac称为该方程的根的判别式．当△＞0时，方程有两个的实数根，即当△=0时，方程有两个的实数根，即当△＜0时，方程实数根．2． (1)若一元二交方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的两个根为x1,x2，则x1+x2=_____，x1x2=_______. （韦达定理）(2)若x1,x2是方程x2+px+q=0的二根，则p=______, q=_______，以实数x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是________.【典例欣赏】：例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。
例4：已知、是方程的两个实数根，求的值。
例5．若21,x x 是方程0201022=-+x x 的两个根，试求下列各式的值：（1）21x x +，21x x ⋅；（2）2111x x +；（3）2221x x +，21x x -；（4）)1()1(21+⋅+x x例6．已知21,x x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。
（1）是否存在实数k ，使23)2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出实数k 的值；若不存在，请说明理由。
（2）求使22112-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。
【变式训练】：1． 一元二次方程012)1(2=---x x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围_________。
2． 已知菱形ABCD 的边长为5,两条对角线交于点O,且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程03)12(22=++-+m x m x 的根，则m 等于_________。
3． 若实数,b a ≠且a 、b 满足,058,05822=+-=+-b b a a 则代数式1111--+--b a a b 的值为____________。
一元二次方程根的判别式与韦达定理的应用电子教案
一元二次方程根的判别式与韦达定理的应用第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理的应用一、 内容提要1.一元二次方程的根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b 2－4ac 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， 当△＜0时，方程没有实数根． 2.一元二次方程的根与系数的关系：(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x 1，x 2，那么a b x x -=+21，ac x x =21(2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=－P ，x 1x 2=q(3)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0． 二、 热身练习1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边,且关于x 的一元二次方程(c －b )x 2+2(b －a )x +(a －b )=0有两个相等的实根,则这个三角形是（ ）A. 等边三角形B. 直角三角形 C 等腰三角形 D. 不等边三角形2．关于x 的一元二次方程2(21)(1)10a x a x -+++=的两个根相等，那么a 等于（ ）Ａ．1-或5-Ｂ．1-或5Ｃ．1或5-Ｄ．1或53．已知方程032=+-m x x 的一个根是1，则它的另一个根是 ，m 的值是 。
4．方程x 2－2x －1=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则（x 1－1）（x 2－1）=_________。
5．已知α、β是一元二次方程x 2－4x －3=0的两实数根，则代数式（α－3）（β－3）= ．6．已知一元二次方程()231310x x -++-=的两根为1x 、2x ,则1211x x +=________. 7．已知一个直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B ＝90°，判断关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根的情况。
高一 一元二次方程与韦达定理教案及练习
第0讲 一元二次方程与韦达定理【课程要求】 《初中课程要求》1.一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行.它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为高中阶段的使用打下基础.2.一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向我们展示了认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索，锻炼我们分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力.3.一元二次方程的根与系数的关系，中考考查的频率不高，高考常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分. 《高中课程要求》1.韦达定理虽是初二一元二次方程时的内容，但因为考试没有要求，很多学校都没怎么系统的讲过，很多学生还不是很了解韦达定理，更别提掌握和灵活运用了。
而韦达定理在高中阶段运用的非常频繁，许多知识点都要结合韦达定理来做，希望通过本章学习让学生能够理解掌握韦达定理．2.韦达定理实际上就是一元二次方程中根与系数的关系，韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．【知识梳理】 根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a -+=．①因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-±；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根12b x a -+=，22b x a-=，则有122222b b b bx x a a a a ---+=+==-；221222(4)444b b ac ac cx x a a a--====；||4|2424|||22221a acb a ac b b a ac b b x x -=-----+-=-． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知 x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．【典型例题】1. 已知方程5x 2＋kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．2. 已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______．3. 如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么baa b +的值为( ) A ．22123 B ．22125或2 C ．22125 D ．22123或24. 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根． (1) 求|x 1-x 2|的值； (2) 求222111x x +的值； (3) 求31x ＋32x 的值．5. 已知关于x 的方程x 2＋2(m -2)x ＋m 2＋4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．6. 已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程4x 2＋4(m -1)x ＋m 2=0的两个非零实数根，问x 1和x 2能否同号？若能同号，请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由．1. 已知关于x 的方程x 2+x ﹣a =0的一个根为2，则另一个根是（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．3D ．62. 已知1x =是一元二次方程20x ax b ++=的一个根，则222a ab b ++=（ ） A ．2B ．1C ．0D ．-13. 关于x 的方程()2210mx m x m +++=有两个不等的实根，则m 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．1,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦D ．()1,00,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭4. 若关于x 的一元二次方程12x 2﹣2kx +1﹣4k ＝0有两个相等的实数根，则代数式（k ﹣2）2+2k （1﹣k ）的值为__________．5. 方程22112310x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解为____________.【课堂小结】韦达定理在高中阶段是一种非常常用且重要的解题手段，同学们一定要在充分理解的基础上加以掌握及灵活运用．同学们要能掌握根与系数的关系，知道韦达定理的常见变式与常规题型，注重设而不解，注重整体，通过整体带入来解决问题．【课后训练】一、单选题1. 下列关于x 的方程有实数根的是（ ） A ．x 2-x +1=0 B ．x 2+x +1=0 C ．(x -1)2+1=0D ．x 2-4x +4=02．关于x 的方程220x kx +-=的一个根是－2，则方程的另一个根是（ ） A ．－1B ．1C ．2D ．－23．已知方程2210x x --=的两根为1x 与2x ，则2212x x +=（ ）A ．1B ．2C ．4D ．64．若关于x 的一元二次方程210kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．14k >且0k ≠ B ．14k <且0k ≠ C ．14k ≤且0k ≠ D ．14k <5．已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程()22230x m x m -++=的两个不相等的实数根，并且满足12111x x +=，则实数m 的值是（ ） A ．1- B ．3 C ．1-或3 D ．3-或16．关于x 的一元二次方程：2240x x m --=有两个实数根1x 、2x ，则21211m x x ⎛⎫+⎪⎝⎭=（ ） A ．44mB ．44m -C ．4D ．-4二、填空题7．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根1x 、2x ，若2212126x x x x +=-15，则k 的值为________.8．已知方程2310x x --=的两根为1x ，2x ，则()()1233x x --=________.9．已知α、β是方程22430x x +-=的两个根，则11αβ+=________.三、解答题10．已知关于x 的一元二次方程22210x ax a +-+=的两个实根的平方和为294，求a 的值.11．已知1x ，2x 是关于x 的方程22(21)0x a x a +-+=的两个实根，若()()122211x x ++=，求a 的值．12．已知关于x 的方程222(1)30x m x m -++-=有两个不等实根. （1）求实数m 的取值范围；（2）设方程的两个实根为12,x x ，且21212()()120x x x x +-+-=，求实数m 的值.。
一元二次方程之判别式法与韦达定理
一元二次方程之判别式法与韦达定理（一）知识点梳理一元二次方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 属于R ，a≠0）根的判别，△=b2-4ac ，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
1、一元二次方程根的判别式：ac b 42-=∆ （1）当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根； （2）当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根； （3）当Δ< 0时⇔方程没有实数根，无解； （4）当Δ≥0时⇔方程有两个实数根（5）根的判别式△＝b 2－4ac 的意义，在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。
2、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）： （1）若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，那么：abx x -=+21，ac x x =⋅21 （2）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x 3、一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用： （1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。
（2）不解方程，求某些代数式的值。
（3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。
（4）已知两数和与积，求这两个数。
（5）二次三项式的因式分解。
注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件。
∆≥≠⎧⎨⎩00a例题讲解例1、当k 为何值时，关于x 的方程()222123x k x k k --=-++：⑴ 两个不相等的实数根； ⑵有两个相等的实数根； ⑶没有实数根。
例2、m x mx mx m 为何值时，关于的方程有两个相等的实数根？并2350-++=求出这时方程的根。
九年级教学案4.2一元二次方程的解法(4)根的判别式,韦达定理
课题：4.2一元二次方程的解法（4）（根的判别式，韦达定理）班级 姓名 学号教学目标：1.理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定一元二次方程根的情况；2.掌握一元二次方程的根与系数的关系并会简单应用．一.复习回顾1.用公式法解下列方程：2(1)10x x +-= （2）230x -+= （3）22210x x -+=2.问题1.不解方程，你能判别上述方程根的情况吗？发现：一元二次方程的根的情况是由 决定，我们把它称为根的判别式（1）当 时，方程有两个不相等的实数根；（2）当 时，方程有两个相等的实数根；（3）当 时，方程没有实数根； 反之，仍然成立.3．韦达定理：问题2：解下列方程，并填空:022=-x x ，=1x _____,=2x _____,=+21x x ______,=21x x _______. 0432=-+x x ,=1x ___,=2x _____,=+21x x ______,=21x x _______. 22310x x -+=,=1x ____,=2x ______,=+21x x _______,=21x x _______. 23210x x --=,=1x _____,=2x ______,=+21x x ________,=21x x _______.（1）关于x 的方程20x px q ++=的两根1x ，2x 与系数p ，q 的关系是： q x x p x x =-=+212,（2）关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根1x ，2x 与系数a 、b 、c 的关系是： ac x x a b x x =-=+2121, 二.例题讲解例1.不解方程，判别下列方程根的情况.（1） 04322=++x x （2）03)1(4=--x x （3）x x 5252=+例2.当k 为何值时，关于x 的方程03)12(2=+++-k x k kx（1）有两个相等的实数根？（2）有两个不相等的实数根？（3）无实数根？例3.不解方程写出两根之和与两根之积.2(1)310x x --= 2(2)2350x x +-= 21(3)203x x -=2=2(5)10x -= 2(6)210x x -+=例4.已知方程2290x kx +-=的一个根是3-，求另一根及k 的值.课堂练习1.方程3x 2+2=4x 的判别式b 2-4ac = ，所以方程的根的情况是 .2.下列方程中，没有实数根的方程是 （ ）A .x 2=9B .4x 2=3(4x -1) C.x (x +1)=1 D .2y 2+6y +7=03.关于x 的方程x 2+1-k x -1=0有两个不相等的实数根，则k ( ) A .k ＞-3 B .k ≥-3 C .k ＞1 D .k ≥14.已知方程x 2-mx +n =0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m ，n 的值可以是m = ,n = .5.试说明关于x 的方程x 2+(2k +1)x +k -1=0必定有两个不相等的实数根.6.已知方程230x x m -+=的一个根是1，求另一根及m 的值.7.已知方程240x x c -+=的一个根为2c 的值.课后练习 姓名1.关于x 的一元二次方程x 2+bx+c =0有实数解的条件是_______ .无实数根的条件是 ;有两个相等的实数根的条件是_________ .2.先判别下列方程根的情况，若有实数根再解方程（1）1)25(5-=-x x （2）0)21()3(22=-++x x（3）03)1(4=-+x x （4）31022-=-x x3.若关于x 的一元二次方程220x x k +-=没有实数根，则k 的取值范围是 ．4.已知关于x 的方程x 2－（a ＋2）x ＋2a ＝0的根的判别式等于0，则a = .5.当t 时，关于x 的方程032=+-t x x 有实数解. 6.关于x 的一元二次方程02=+k x 有实数根，则 （ ）A .k ＜0B .k ＞0C .k ≥0D .k ≤07.下列方程中有两个相等实数根的是 （ ）A ．y y 6522=+B ．x x 7272=+C ．02232=+-x xD ．016232=+-x x8.关于x 的一元二次方程x 2＋kx －1=0的根的情况是 （ ）A ．有两个不相等的同号实数根B ．有两个不相等的异号实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根9.已知关于x 的一元二次方程22x m x -= 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )A ． m ＞－1B ． m ＜－2C ．m ≥0D ．m ＜010.关于x 的方程0132=-+x kx 有实数根，则k 的取值范围是 （ ） A ．49-≤k B ．049≠-≥k k 且 C ．49-≥k D ．049≠->k k 且． 11.关于x 的一元二次方程012)13(2=-+--m x m mx ,其根的判别式的值为1，求m 的值及该方程的根.12.如果关于x 的一元二次方程2x (kx -4)-x 2+6=0没有实数根,求k 的最小整数值.13.关于x 的方程022)2(22=-++-m x m x 有两个相等的实数根，求m 的值，并求出方程的解.14.已知方程(m -2)2x 2+(2m+1)x +1=0有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.15. 已知12,x x 是方程22310x x +-=的两个根，不解方程，求下列代数式的值.2212(1)x x + 1211(2)x x + 12(3)(3)(3)x x --122(4)()x x - 221212(5)x x x x + 2112(6)x x x x +16.已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，求m 的值.思考：已知两数和为8，积为9，求这两个数.。
一元二次方程根的判别式及韦达定理应用(学案)
12、 设x1,x2是方程2x2+4x－3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：
(1) (x1+1)(x2+1) (2)x2/x1+ x1/x2（3）x12+ x22
13、 如果α和β是方程2x2+3x－1=0的两个根，利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于α+(1/β) 和β+(1/α) ;
（C）没有实数根（D）不能确定
2.设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（）
（A）15 （B）12 （C）6 （D）3
3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（）
（A） 2y2+5=6y（B）x2+5=2√5 x（C）√3 x2－√2 x+2=0（D）3x2－2√6 x+1=0
2.一元二次方程的根与系数的关系：
(1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_________，x1x2=____________
(2)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=______，x1x2=________
(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是______________________．
9．若关于x的方程(m2－2)x2－(m－2)x＋1＝0的两个根互为倒数，则m＝_______
10、 已知关于x的方程10x2－(m+3)x+m－7=0，若有一个根为0，则m=________，这时方程的另一个根是________；若两根之和为－3/5 ，则m=_______，这时方程的两个根为________________.
2.5一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)教案
4.协作能力：通过小组讨论、合作探究，培养学生的团队协作能力，激发学生的学习兴趣和主动性。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0（a≠0），以及根与系数之间的关系。
举例：
（1）在讲解韦达定理的推导过程时，教师可通过图形、数值等多种方式引导学生观察、分析，从而发现根与系数之间的关系，并解释其背后的原因。
（2）在解决实际问题时，教师可引导学生将问题转化为数学模型，然后运用韦达定理求解。同时，通过举例说明如何根据系数的符号判断根的符号、大小及个数，帮助学生突破这一难点。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了韦达定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程根与系数关系的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数的问题？”（如：两个物品的价格和数量关系）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程根与系数关系的奥秘。
2.教学难点
（1）理解韦达定理的推导过程：学生需要通过观察、分析、归纳等逻辑推理方法，发现并证明根与系数之间的关系。
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初中数学一轮复习 一元二次方程，根的判别式，韦达定理
【备课：青州一中实验学校 刘梦梦 刘玉臻 审核：王乐顺】
一、知识结构
一、根的判别式
1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 222
4()24b b ac
x a a -+=，显然只
有当2
40b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 2.判别式与根的关系：
在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实
数根)由24b ac ∆=-确定．
判别式： ①0∆>⇔方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．
②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b
x x a
==-．
③0∆<⇔方程2
0(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．
二、韦达定理
如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a
+=-，12c
x x a =．(隐含的条件：0∆≥)
韦达定理主要应用于以下几个方面：
① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程；
④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；
⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一
元二次方程的两根，以便利用韦达定理；
⑥ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，
往往利用这一点设置陷阱．
【基础演练】
【例1】 不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()
25170x x +-=。
【例2】 已知关于x 的方程2(1)10n x mx -++=①有两个相等的实数根．
求证：关于y 的一元二次方程222440m y my m n --+=②必有两个相等的实数根．
二、典型例题
【例3】 已知:ABC ∆的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程()2223320x k x k k ++++=-的两个实
数根, 第三边BC 的长为5. 试问:k 取何值时,ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形?
【例4】 已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=.
(1)若方程有两个相等的实数根，求m 的值；
(2)若方程的两实数根之积等于292m m -+的值．
【方法规律总结】
三、题组训练
【题组一】已知关于x 的方程222(1)30x m x m -++-=
（1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设1x 、2x 是方程的两根，且21212()()120x x x x +-+-=，求m 的值。
【题组二】已知关于x 的方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根2x x 1，，且满足212()1x x +=，求k 的值．
四、课后作业
1． 设1x 、2x 是方程2420x x -+=的两根，则①
12
11
x x +＝ ；②12x x - ＝ ；③12(1)(1)x x ++＝ 。
2． 以方程2240x x --=的两根的倒数为根的一元二次方程是 。
3． 已知方程2450x mx -+=的两实根差的平方为144，则m ＝ 。
4． 已知方程230x x m -+=的一个根是1，则它的另一个根是 ，m 的值是 。
5． 反比例函数k
y x
=的图象经过点P （a 、b ），其中a 、b 是一元二次方程240x kx ++= 的两根，
那么点P 的坐标是 。
6． 已知1x 、2x 是方程2310x x -+=的两根，则21241211x x ++的值为 。
7． 已知关于x 的方程2
(21)10k x k x k +-+-=只有整数根，且关于y 的一元二次方程
2(1)30k y y m --+=的两个实数根为1y 、2y 。
（1）当k 为整数时，确定k 的值。
（2）在（1）的条件下，若m ＝2，求2212y y +的值。
8． 李大伯承包了一片荒山，在山上种植了一部分优质油桃，今年已进入第三年收获期．今年收获油
桃6912千克，已知李大伯第一年收获的油桃重量为4800千克．试求去年和今年两年油桃产量的年平均增长率，照此增长率，预计明年油桃的产量为多少千克？
参考答案：
例1:
1、两个不等实数根
2、两个相等实数根
3、没有实数根例2例3答案略
例4、m1=7 m2=-1 m=4
题组1：1、略2、m=1
题组2：k=2
四、1、2、2、2
2、7
1=0 3、18或-18 4、2 2 5 (-2,-2) 2、x2+x-
2
6、61
7、k=0 k=0、1、-1
8、增长率百分之20 产量6294.4千克。