一元二次方程、韦达定理
一元二次方程韦达定理
一元二次方程韦达定理
一元二次方程韦达定理
一元二次方程，即用一个变量，表示二次的方程。
它的通解可以表示为ax2 + bx + c = 0（a≠0）。
韦达定理是一个重要的数学定理，他的公式为：
x = [-b +- √(b2 - 4ac)]/2a
该定理可以求解一元二次方程的两个实数根，其中a、b、c为系数，它们都是实数，x为实根。
该定理的本质是根据一元二次方程求解时，以b为中心，构成一个正方形，用其求得方程的实数根。
该定理可以用来解决方程的实数根，具体的，可以分为以下几种情况：
（1）b2 - 4ac > 0，这样有两个不相等的解
（2）b2 - 4ac = 0，这样有一个实数解
（3）b2 - 4ac < 0，这样没有实数解
韦达定理的应用非常广泛，它可以表示一元二次方程的两个实数根，还可以应用到物理中，例如轨道运动、动力学及研究分析等，从而解决实际的科学问题。
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一元二次方程判别式和韦达定理
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.k x k x x 有实根，求方程已知关于0132=--a x a x a x 为一元二次方程，求方程已知关于03)2(2=++-数根？）方程有两个不等的实（数根？）方程有两个相等的实（？）方程只有一个实数根（为何值时，当的方程例：已知关于32101)1(2)2(2m m x m x m x =++---的值。
求没有实数根求的值。
有两个相等的实数根，，有两个不相等的实数根的一元二次方程关于为整数、已知n m n x m x n x m x n x m x x n m ,01)4(06)4(03)7(,,2222=++--=++++=++-+2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 根与系数的关系（韦达定理）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+acx x a bx x 2121常见变形：2212x x += 1211x x +=12(5)(5)x x -- =12||x x -==+3231x x例1、若1x 和2x 分别是一元二次方程03522=-+x x 的两根．（1）求12||x x -（2）求221211x x +（3）求3231x x +变式训练1、212,046x x m x x x 有两个实数根的一元二次方程已知关于=++-（1）的取值范围求m（2）的值求满足若m x x x x ,23,2121+=例2、设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = ，q = ．变式训练1、。
3 一元二次方程与韦达定理(学生版)
新高一暑假数学讲义 “一元二次方程与韦达定理” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 本讲内容：韦达定理、韦达定理的综合运用掌握目标：掌握韦达定理的基本内容，会运用韦达定理求解一元二次方程根相关的问题，对判断根的符号以及大小能够熟练掌握。
考试分析：韦达定理是一元二次方程最重要的一个定理，也是高中数学里二次不等式与解析几何里经常使用到的一个内容，虽然考试不会直接考察，但是作为重要的基础知识还是务必要掌握的。
知识梳理知识梳理1. 根与系数的关系----韦达定理1. 一元二次方程 02=++c bx ax （0≠a ）的韦达定理：ab x x -=+21 ， ac x x =21 注意 0<∆时韦达定理仍然成立，但此时方程无实根.2. 韦达定理原理：对于任意方程02=++c bx ax （0≠a ）都可以转化为()()021=--x x x x a 的形式，展开后可得 ()021212=++-x ax x x x a ax 让对应系数相等即得到韦达定理。
类似地，可以得到一元三次方程023=+++d cx bx ax 的韦达定理：a b x x x -=++321 ，a c x x x x x x =++133221 ，ad x x x -=321知识梳理2. 韦达定理综合运用1. 判断根的大致情况（假设0≥∆）方程有2个正根，等价于⎩⎨⎧>>+002121x x x x方程有一正根有一负根，等价于 021<x x 此时21x x +正负用于判断1x 和2x 的大小 2. 的范围求一元二次方程的系数或系数的范围 常用的韦达定理变式： ()()aac b a c a b x x x x x x x x 4442222122122121-=⋅-=-+=-=-a ∆= 3. 一元二次方程a b x x -=+21 ac x x =21 ()021212=++-∴x x x x x x例题精讲【试题来源】【题目】若12+=m m ，012=--n n ，n m ≠，求33n m +【试题来源】【题目】实数y x ,,z 满足 6=+y x ，92-=xy z ，求证：y x =【试题来源】【题目】方程 01)23(422=-++-n x n x 的根是另一个根的3倍，整数=n ____【试题来源】【题目】已知关于x 的方程012)14(2=-+++m x m x ，若方程的两根为21,x x ，且满足211121-=+x x ，求m【试题来源】【题目】设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，求()()222111+++x x 的值【试题来源】【题目】设一元二次方程0622=-++a ax x 的根分别满足下列条件，求相应的实数a 的范围（1）二根均大于1；（2）一根大于1，另一根小于1.【试题来源】【题目】已知关于x 的方程08)3(2=++--m x m x 的两个实根的平方和等于13，求m 的值及方程的两根。
一元二次方程根的判别式与韦达定理
于是，上述方程两个根的和、积与系数的关系分别有如下关系：
x1＋x2＝－p，x1x2＝q
例1
(1)已知关于x的一元二次方程x2Байду номын сангаас2x＋m＝0有解，求m的范围．
(2)己知关于x的一元二次方程x2－ x－m＝0有两个不相等实数根，求m的取值范围．
(3)求证：关于x的一元二次方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0（a≠0）总有实数根
(4)已知关于x的方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围
(2)己知：a、b、c分别是△ABC的三边长，
求证：关于x的方程b2x2＋(b2＋c2一a2)x＋c2＝0没有实数根．
练习
己知△ABC三边a，b，c，关于x的方程(a＋c)x2＋2bx－a＋c＝0，x2＋2ax＋b2＝0均有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
模块二一元二次方程根与系数关系
知识导航：
练习
(1)方程x2—2x－1＝0的两个实数根分别为x1、x2，(x1－l)(x2－1)＝______________
cz，设x1、x2是方程2x2—6x+l＝o的两个实数根，则(x1－ )(x2－ )的值为__________
【总结】
1、用韦达定理，常见的恒等变形有：
＋ ＝ ,x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2,(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
(2)一元二次方程x2—4x－c＝0的一个根是3，则另一个根是____，c＝___________
初中数学 一元二次方程的韦达定理有什么应用
初中数学一元二次方程的韦达定理有什么应用一元二次方程的韦达定理是数学中一个重要的定理，它提供了一种快速计算一元二次方程根的和与积的方法。
韦达定理在实际生活中有着广泛的应用，下面将详细介绍一些常见的应用场景。
1. 判定方程根的性质：韦达定理可以用来判定方程的根的性质。
通过计算根的和与积，我们可以得到关于根的一些信息。
例如，当根的和与根的积都为正数时，说明方程的两个根都是正数；当根的和为负数而根的积为正数时，说明方程的两个根一个为正数一个为负数。
这种信息对于解决实际问题非常有用，可以帮助我们了解方程的解的情况。
2. 求解方程的根：韦达定理可以用于求解一元二次方程的根。
通过将方程的系数带入韦达定理的公式，我们可以计算出方程的根的和与积。
进一步求解根的具体数值，可以使用一些代数方法，如配方法、因式分解或求根公式。
韦达定理为我们提供了一个快速计算根的和与积的方法，从而更方便地解决一元二次方程。
3. 拟合数据：韦达定理可以用于数据的拟合。
通过找到满足给定数据点的一元二次方程，我们可以使用韦达定理计算方程的根的和与积。
根的和与积可以提供关于数据的整体趋势和特征的信息。
这种方法在统计学和数据分析中非常有用，可以帮助我们找到最佳拟合曲线并预测未知数据的值。
4. 解决实际问题：韦达定理在解决实际问题中起到重要的作用。
例如，在物理学中，我们可以使用韦达定理来计算自由落体运动中物体的最大高度和落地时间；在经济学中，韦达定理可以用来分析成本和收益之间的关系，帮助我们做出合理的决策；在工程学中，韦达定理可以用于计算电路中的电流和电压，从而设计合适的电路。
总结：一元二次方程的韦达定理是数学中一个重要的定理，它提供了一种快速计算方程根的和与积的方法。
韦达定理在判定方程根的性质、求解方程的根、拟合数据以及解决实际问题等方面有着广泛的应用。
了解韦达定理及其应用可以帮助我们更好地理解和解决一元二次方程相关的数学问题，同时也可以在实际生活中应用这些知识来解决各种问题。
利用韦达定理求一元二次方程的根
利用韦达定理求一元二次方程的根一、关于韦达定理的性质1. 韦达定理：假设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a .2. 推导：（法一）根据一元二次方程的求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a不妨假设 x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ， x 2＝－b －b 2－4ac 2a不难得出 x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a .（法二）若一元二次方程的两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 a (x －x 1)(x －x 2)＝0 (a ≠0) （双根式） 按照x 的次数降幂排列，得 ax 2－a (x 1＋x 2)x ＋ax 1x 2＝0 对比一元二次方程的一般式ax 2＋bx ＋c ＝0，得b ＝－a (x 1＋x 2)，c ＝ax 1x 2，∴ x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a .3. 推论：（一）当二次项系数为1时，即一元二次方程满足x 2＋px ＋q ＝0的形式假设方程的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q .（二）已知一元二次方程两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0.4. 实质：韦达定理告诉了我们一元二次方程的根与系数的关系.二、利用韦达定理求一元二次方程的根例如，求一元二次方程x 2―22x ―6＝0的根.很明显，根据我们所学习惯，首选方法是十字相乘法.（法一）因式分解，得 (x －32)(x ＋2)＝0，解得， x 1＝32， x 2＝－ 2.当然，利用十字相乘法很难凑数时，我们就会选用求根公式法.（法二） a ＝1，b ＝－22，c ＝－6，∴ b 2－4ac ＝8＋24＝32，∴ x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝22±422＝2±22， 于是有 x 1＝32， x 2＝－ 2.结合以上两种方法，我们发现，十字相乘法计算速度快，但是凑数的过程十分灵活，若每一个系数都是整数，且满足x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0形式的方程可以很快算出来，但如果系数是分数、根式我们发现利用这种方法解方程是十分困难的，而且这种方法并不是对一切一元二次方程都适用. 而利用求根公式解一元二次方程时，虽然是一种万能的方法，但有时会给我们带来无比的计算量. 那有什么方法既可以减少计算量，使运算变得简单快捷，同时又可以用来解一切的一元二次方程呢？接下来，我们看以下解法.（法三）已知方程x2―22x―6＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝22，x1x2＝―6.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝2＋a，x2＝2－a，（满足条件x1＋x2＝22）且(2＋a)(2－a)＝―6. （满足条件x1x2＝―6）于是有2－a2＝―6，则a2＝8，因此a＝2 2∴x1＝2＋22＝32，x2＝2－22＝－ 2.上述解法中a取正取负并不影响计算的最终结果，为了方便，习惯上可以假定a为正数. 观察以上解法，我们可以发现，这种解法并不像十字相乘法需要有凑数的灵感，也不像求根公式法会带来无比的计算量，反而还结合两者的优点，计算快捷且万能通用. 当然我们也可以看以下例子.例1：解方程x2―6x―25＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝6，x1x2＝―25.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝3＋a，x2＝3－a，（满足条件x1＋x2＝6）且(3＋a)(3－a)＝―25. （满足条件x1x2＝―25）于是有9－a2＝―25，则a2＝34，因此a＝34∴x1＝3＋34，x2＝3－34.例2：解方程x2＋24x―63＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝－24，x1x2＝―63.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝－12＋a，x2＝－12－a，（满足条件x1＋x2＝－24）且(－12＋a)(－12－a)＝―63. （满足条件x1x2＝―63）于是有144－a2＝―63，则a2＝207，因此a＝207∴x1＝－12＋207，x2＝－12－207.例3：解方程x2―14x＋48＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝14，x1x2＝48.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝7＋a，x2＝7－a，（满足条件x1＋x2＝14）且(7＋a)(7－a)＝48. （满足条件x1x2＝48）于是有49－a2＝48，则a2＝1，因此a＝1∴x1＝7＋1＝8，x2＝7－1＝6.例4：解方程x2＋18x＋40＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝－18，x1x2＝40.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝－9＋a，x2＝－9－a，（满足条件x1＋x2＝－18）且 (－9＋a )(－9－a )＝40 （满足条件x 1x 2＝40）于是有81－a 2＝40， 则a 2＝41， 因此a ＝41∴ x 1＝－9＋41， x 2＝－9－41.通过以上4个例子，我们可以熟悉，若二次项系数为1时，利用韦达定理解一元二次方程的流程. 实际上当一元二次方程二次项系数不为1时，我们也可以离此流程解一元二次方程. 如例5：解方程2x 2＋9x ―5＝0，（法一）根据韦达定理有x 1＋x 2＝－92，x 1x 2＝―52.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得x 1＝－94＋a ， x 2＝－94－a ， （满足条件x 1＋x 2＝－92）且 (－94＋a )(－94－a )＝―52. （满足条件x 1x 2＝―52）于是有 8116－a 2＝―52， 则a 2＝12116， 因此a ＝114∴ x 1＝－94＋114＝12， x 2＝－94－114＝－5.（法二）a ＝2，b ＝9，c ＝－5，∴ b 2－4ac ＝81＋40＝121，∴ x ＝－b ±b 2－4ac 2a＝9±114， 于是有x 1＝12， x 2＝－5.当然，当二次项系数不为1时，运用韦达定理或求根公式解方程的计算量差不太多，因此当系数都是整数、分数时可根据实际情况讨论；若系数出现根式可考虑用韦达定理.。
一元二次方程根与系数的关系韦达定理
一元二次方程根与系数的关系——韦达定理一、观察与猜想 1、解方程：（1） 2y 2-y-1=0 （2）3x 2-4x=2 解：y=221⨯±--）（ 解：=y 1= ,y 2=则y 1+y 2= ，y 1y 2= 则x 1+x 2= ，x 1x 2= （3）3x 2+7x+2=0解：x= = ,则x 1+x 2= ，x 1x 2= （4）5x+2=3x 2解：x= = ,则x 1+x 2= ，x 1x 2= 想一想：方程的两根之和，两根之积与方程的系数之间存在什么关系？二、一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 用求根公式求出它的两个根x 1、x 2 ，由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式知x 1=a ac b b 242-+-,x 2=aac b b 242---能得出以下结果：x 1＋x 2= 即：两根之和等于x 1•x 2= 即：两根之积等于12x x +=a ac b b 242-+-+a acb b 242---=aacb b ac b b 24422----+-=12.x x =a ac b b 242-+-×a ac b b 242---=2224)4)(4(a ac b b ac b b ----+-=2224)()(a -=由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为x 1+x 2=a b -， x 1x 2=ac 3. 韦达定理已知12,x x 是一元二次方程的两根，则有12b x x a +=-12cx x a= 4.如果把方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为x 2＋ x ＋ac＝0(a ≠0)， 则以x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x 2-（ ）x ＋x 1x 2＝0(a ≠0)练习：1、如果x 1，x 2是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根，求x 1+x 2和x 1x 2的值。
一元二次方程、韦达定理及应用
专题 一元二次方程及韦达定理【基本知识】1．一元二次方程符合三个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为；③整式方程。
任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成下面的形式：ax 2＋bx ＋c = 0（a 、b 、c 是常数，且a ≠0）2．了解形如（x ＋m ）2= n （n ≥0）的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法3．用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把常数项移到方程右边；（2）在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；（3）利用直接开平方法解之。
4．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式：242b b ac x a -±-= （240b ac -≥） 5．一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a≠0）的根的情况可由b 2－4ac 来判定：当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当b 2－4ac = 0时，方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜ 0时，方程没有实数根。
我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0的根的判别式。
6． 设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下关系： 12b x x a +=-，12c x x a⋅=； 7、用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程？（一审、二找、三设、四列（列代数式、列方程）、 五解、六验、七答）8． 用一元二次方程解决问题的关键是什么？（寻找题中的等量关系）巩固练习1．关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ ）A ．0p >且0q >B ．0p >且0q <C ．0p <且0q >D ．0p <且0q < 2．若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ，且满足1212x x x x +=⋅。
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一元二次方程及韦达定理一、 求解一元二次方程的过程就是一个因式分解的过程 一元二次方程如果有解的话一定可以表示成：))((0212x x x x a c bx ax --==++)0(≠a 其中：21,x x 就是方程的两个根；如果21x x =，就说方程有两个相等的根。
二、 一元二次方程求根的几种办法：1. 十字相乘法：2. 配方法：3. 公式法：4. 猜根+结合韦达定理。
三、 韦达定理1、 韦达定理应用的前提是方程有实根！2、 韦达定理的正向运用： )0(02≠=++a c bx ax 如果有两个根21,x x （可以相等），那么： ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+a c x x a b x x 2121 ：得到的是各项系数之间的关系。
3、 若两个实数21,x x 满足a b x x -=+21，a c x x =⋅21， 则21,x x 必为方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根。
4、 可以通过韦达定理来判断两个根的符号：1） 通过21x x ⋅来判断两根同号还是异号；2） 通过21x x +来判断两根的正负。
基本题型解法及易错点一、 求解一元二次方程的根：02=++c bx ax1. 如果二次项前面有参数，要先讨论参数是否为0；2. 有根的判断标准是：042≥-=ac b ∆；所以，0<ac 时，一定有两个根；3. 十字相乘法：1） 整数的分解；2） 分数变整数。
4. 求根公式法：运算∆的时候，数字较大时，先不单独运算，提取公因式优先。
5. 猜根+韦达定理：根据题目数字关系，猜测其中的根，根据韦达定理得出另一根。
6. 多参数的，可以看成是其中一个的二次方程。
二、 韦达定理的整体应用1. 如果是含参的一元二次方程，未告知具体根，在使用韦达定理前，一定验证0≥∆。
2. 已知两个实数的和、积关系，求两个实数：1） 通过和、积关系逆推出是一个一元二次方程的根；2） 有两种情况。
3. 已知21,x x 是方程两根，求解有关21,x x 的式子的值：不单独求21,x x ，整体进行代换。
4. ⇒>⋅021x x 两根同号：⇒⎩⎨⎧>+>⋅002121x x x x 两正根；⇒⎩⎨⎧<+>⋅002121x x x x 两负根。
5. ⇒<⋅021x x 一个正根，一个负根。
例题讲解一、 一元二次方程求解例1： 已知0232=--x ax ，根据下列条件，求出a 的取值范围。
1） 方程有两个不同的实根；2） 方程只有一个根。
解：1） 方程有两个不同的实根，首先一定是二次方程，0≠a ，089>+=a ∆，解得：89->a 。
所以方程有两个不同实根时候：89->a 且0≠a2） 方程只有一个根要分情况：当0=a 时，023=--x ，解得32-=x ，满足要求； 当0≠a 时，089=+=a ∆，解得89-=a 。
所以当方程只有一个根时，0=a 或89-=a 。
例题2：判断方程02)2(3)2(222=+---x x x x 的根的个数。
解法1：可以先用换元令t x x =-22，则0232=+-t t 的两个根为2,121==t t ，则：122=-x x 或222=-x x ，解得21±=x 或31±=x 共4个根。
解法2：0189>=-=∆有两个根，又因为0,02121>⋅>+t t t t ，所以0,021>>t t ，所以：022=--t x x 中常数项和二次项异号，所以方程有4个根。
1. 不解方程判断下列方程根的个数1） 01322=++x x2） 091242=++x x3） 01372=++x x4） 010*********92=-+x x 5） x x 112=+ 6） 02)323(3)323(222=+---x x x x 7） 02019)(9)(222=----x x x x2. 讨论下列方程根的个数1） 022=-ax2） 022=+-k x x3） 01)1(2=++-x kk x 的根的个数 例3：求方程01282=+-x x 的根 解法1：十字相乘：6211⨯，所以6,221==x x 解法2：求根公式：2482124882±=⨯-±=x ，所以6,221==x x 解法3：由系数关系，2=x 是方程一个根，则821=+x x ，所以62=x3. 求解下列方程1） 0432=-+x x2） 03722=++x x3） 0472=+-x x4） 012732=+-x x 5） 022542=+-x x二、 韦达定理例1：已知方程0)3(22=++-m x m x 的 一个根式1，求m 的值及另外一个根。
解：由题意知022=--m m ，得2=m 或1-=m当2=m 时，521=+x x ，此时另一根为4当1-=m 时，221=+x x ，方程有两个相等的根，都为1例2：已知方程0)12(22=+++m x m x 有两个不等实根，试判断方程根与零的大小关系。
解：410144)12(22->⇒>+=-+=m m m m ∆，所以：⎩⎨⎧≥<+-=+00)12(2121x x m x x 当0=m 时，方程一个根为0，一个根为1-；当0≠m 时，方程两个根都小于0。
例3：已知关于x 的方程0141)1(22=+++-k x k x ，根据下列条件，分别求出k 1） 方程两实根的积为52） 方程两实根满足：21x x =解：一定特别注意，有两实根一定要先验证∆。
1） ⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅≥--+=5141044)1(22122k x x k k ∆，得,23≥k 且4±=k ，所以，当4=k 满足条件。
2） 21x x =分两种情况：21x x =或021=+x x当21x x =时，23=k ；当021=+x x 时，1-=k ，不满足0≥∆，舍去。
所以，当21x x =时，23=k 。
思考：为什么例1不用验证∆？例3：若21,x x 是方程0232=--x x 的两个根，求下列各式的值：1） 2221x x + 2） 2111x x + 3）2112x x x x + 4） 21x x -5） )3)(3(21--x x解法1：易得方程的两根分别为2173±，代入上述各式，分别解值。
解法2：由韦达定理可得：2,32121-=⋅=+x x x x ，则132)(212212221=⋅-+=+x x x x x x 2111x x +=232121-=⋅+x x x x 2112x x x x +=213212221-=⋅+x x x x 21x x -=174)(21221=-+x x x x)3)(3(21--x x =29)(32121-=++-⋅x x x x例4：若a 满足0262=--a a ，b 满足0262=--b b ，且b a ≠，求：2222--+--b a a b ？ 解：由题意可知b a ,是方程0262=--x x 的两个不等的实根，所以2222--+--b a a b =241224164)(22)2()2)(2()2()2(222-=+--+=++---+=---+-b a ab ab b a b a a b 1. 若21,x x 是方程0201932=-+x x 的两个根，求下列各式的值：1） 2221x x + 2） 2111x x + 3）2112x x x x + 4） 21x x -5） )6)(6(21--x x2. 已知21,x x 是方程01442==+-k kx kx 的两个实数根，是否存在实数k 使得 23)2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值。
3. 已知c b a ,,满足4,42-=-=ab c b a ，求c b a ,,的值。
例5：已知实数y x ,满足04923322=+--++y x xy y x ，求y x ,的值。
解法1： 0432324349)2(3249233222222=+-+=+++-+=+--++y y x y y x y x y x xy y x ）（）（，所以，23,0==x y 解法2：04923)3(492332222=+-+-+=+--++y y x y x y x xy y x ，所以 03964)3(222≥-=-+--=y y y y ∆，所以23,0==x y 。
4. 已知实数y x ,满足01222=+-+-+y x xy y x ，求y x ,的值课后练习1. 讨论下列方程根的个数1） 0123112=+-x x 2） 0292322=+-k kx x 3） 01)1(2=-+-aax x a a 4） 0324)2(222=+---x x x x2. 已知02442=-+++b a a ，当m 为何值时，02=++b ax mx 有两个不相等实根。
3. 求下列方程的根1） 02152=-+x x2） 0)3()3(42=-+-x x x 3） 030222=--x x4） 0)12(22=+++-a a x a x5） aa x x 11+=+ 4. 方程012)1(2=---x x k 有两个不等的实根，求k 的取值范围？5. 已知21,x x 是方程0272=+-x x 的两个根，求以32,3221++x x 为两根的，并且二次项系数为1的一元二次方程。
6. 已知方程0)3(222=+-+m x m x 有两个实根，且这两个数的平方和比两个数的积大13，求m 的值。
7. 若01611,0161122=++=++b b a a ，且b a ≠，求ba ab -。
8. 解方程组：⎩⎨⎧=+=+53922y x y x 9. 已知方程016)2(222=-+++m x m x1） 方程有两个正数解，求m 的范围？2） 方程有一正，一负两个解，求m 的范围？10. 已知02=++c bx ax 的两根为3,2，求0)()()(2=--+-++a b c x b c x b c 的根。
11. 已知βα,是方程0522=-+x x 的两根，求ααβα22++的值。
12. 方程0)32(22=+-+k x k x ，是否存在实数k ，满足：1） 321=+x x2） 421=⋅x x13. 已知21,x x 是方程0132=--x x 的两个根，求下列各式的值1） 221221x x x x +2） )12)(12(21++x x 3） 111x x - 4） 2113x x -14. 已知0272322=-+---y x xy y x ，求证：0)1)(2(≥+-x x。