一元三次方程的解法
考试中一元三次方程的解法
考试中⼀元三次⽅程的解法
第⼀种：⼀般类型⽤配⽅法提取出⼀个因式可以求出⼀个根，其余的就变成⼀元⼆次⽅程求出另两个根。
第⼆种：没有⼀次项：⽤⼗字相乘法把三次项拆分成⼆次项和⼀次项凑齐原⽅程⼆次项的系数，此时拆分成的⼆次项不⼀定符合原⽅程，可在⼗字相乘法中调换⼆次项和⼀次项的位置再次进⾏尝试，先在⼗字相乘法中的每⼀⾏解出可能值（可能值的正负号并不确定，应当分别代⼊原⽅程之后才能确定正负号，）代⼊⽅程，若符合，则继续求解。
第三种：没有⼆次项：与第⼆种类似。
⾄于盛⾦公式等⼀元三次⽅程的解法等，在考试中不太实⽤，⼀般考试不会去考特别复杂的解⽅程，毕竟⼤多时候考的是基本概念是否清晰。
一元三次方程的解法三——三次根式置换法
一元三次方程的解法三——三次根式置换法本方基于MMA,给出了一元三次方程精简式的三次根式置换法的求解过程,其结果与卡丹公式一致。
一.一元三次方程1.一般式：a x 3+b x 2+c x +d =0(a ≠0)2.标准式：x 3+p x +q =0其中,p =3a c -b 23a 2,q =2b 3-9a b c +27a 2d27a 3。
3.精简式：x 3+3r x +2s =0其中,r =3a c -b 29a 2,s =2b 3-9a b c +27a 2d54a 3。
二.三次根式置换法这里,仅对精简方程求解过程进行阐述,标准式和一般式可以套用。
当s ≠0时,令x =u +v,代入x 3+3r x +2s =0,展开得2s +3r u +u 3+3r v +3u 2v +3u v 2+v 3=0整理为,u 3+v 3+2s +3(u v +r )(u +v )=01 我们令u 3+v 3+2s =0并令v 3=-k,则u 3=-v 3-2s =k -2s 。
取u =k -2s 3,v =-k 3。
代入x 3+3r x +2s =0,分解因式,得3 k -2s 3+-k 3 -k k -2s 3+r ⩵0因s ≠0,所以x ≠0。
所以-k k -2s 3+r =0。
得k 2-2s k -r 3=0解得,k 1,2=s ±r 3+s 2。
2 4.2 方程的解法\\附录2 一元三次方程\\一元三次方程的13种解法\\一元三次方程的解法三——三次根式置换法.nb代入后得到结果与卡尔丹公式一致！。
一元多次方程式的解法
一元多次方程式的解法下面将详细介绍一元多次方程式各个次数的解法。
一次方程式解法：一元一次方程式的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，而x为未知数。
解一次方程式的步骤如下：1. 将方程式转化为标准形式，即将常数项移到等式的右边，得到ax = -b。
2.如果a不为0，则可通过除以a，得到x=-b/a。
例如，解方程式3x+4=7：首先将方程式转化为标准形式，得到3x=3、然后通过除以3，得到x=1、因此，方程式的解为x=1二次方程式解法：一元二次方程式的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b和c为已知数，而x为未知数。
解二次方程式的步骤如下：1. 使用二次方程式的求根公式：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a。
2. 计算∆= b² - 4ac，其中∆被称为判别式。
a)如果∆>0，方程式有两个不同的实根。
b)如果∆=0，方程式有一个重根。
c)如果∆<0，方程式没有实根，但可能有两个虚根。
例如，解方程式x²+3x+2=0：根据求根公式，计算∆=3²-4(1)(2)=1、因为∆大于0，方程式有两个不同的实根。
x=(-3±√(3²-4(1)(2)))/2(1)=(-3±√(1))/2化简得到x=(-3±1)/2，即x=-2或x=-1、因此，方程式的解为x=-2和x=-1三次方程式解法：一元三次方程式的一般形式为ax³ + bx² + cx + d = 0，其中a、b、c和d为已知数，而x为未知数。
解三次方程式的步骤如下：1. 使用三次方程式的求根公式或者Horner法则来寻找一个实根。
这个实根可以通过试探的方法找到，然后使用合成除法概念，将原方程除以(x - r)，其中r是找到的实根，然后求得一个二次方程。
2.通过使用已知的二次方程求根公式来找出这个二次方程的解。
一元三次方程分解因式的解法
一元三次方程分解因式的解法
一元三次方程的分解因式的一般解法如下：
1. 将一元三次方程转化为标准形式：将方程移项使得等式的右边为0，得到形如ax³+bx²+cx+d=0的方程。
2. 利用综合除法，找到方程的一个根作为因式的一部分，然后使用综合除法将方程除以这个根。
3. 将步骤2中得到的二次方程再次进行分解因式，直到不再能够继续分解为止。
4. 将分解因式的结果写为一元三次方程的等式形式。
需要注意的是，一元三次方程的分解因式并不总能够找到解，有时方程的根可能是复数。
一元三次方程式解法
一元三次方程式解法
一、一元三次方程的一般形式
一元三次方程的一般形式为（）。
二、卡尔丹公式法（适用于一般形式的一元三次方程）
（一）步骤一：将方程化为缺项三次方程
1. 为了简化计算，我们先通过变量代换将一般的一元三次方程转化为缺二次项的形式。
令，将其代入原方程。
展开并化简后得到的形式，其中，。
（二）步骤二：利用卡尔丹公式求解
1. 设。
对于，将代入可得。
展开，则。
令，即。
把代入，得到。
设，则方程变为。
2. 求解
根据一元二次方程的求根公式。
3. 求出和
因为，所以，。
这里取或，得到两组和的值。
4. 求出
，将求出的和的值代入得到的值。
5. 求出
最后根据求出原方程的解。
三、因式分解法（当方程可以因式分解时）
1. 如果一元三次方程能够通过观察或者一些技巧进行因式分解，例如分解成的形式。
则根据零乘任何数为零的原理，得到或者。
对于，直接解得；对于，可以使用一元二次方程的求根公式来求解。
四、试根法
1. 对于整系数一元三次方程（为整数且
）。
先找出常数项的所有因数。
然后通过试根，将（）代入方程看是否满足方程等于零。
如果是方程的一个根，那么原方程可以分解为
的形式，再进一步求解得到其他根。
一元三次方程的解法
如果一个一元三次方程的二次项系数为0，则该方程可化为
它的解是：
其中
根与系数的关系为
判别式为
当时，有一个实根和两个复根；时，有三个实根，当时，有一个三重零根，时，三个实根中有两个相等；时，有三个不等实根。
三个根的三角函数表达式（仅当时）为
其中
一般的一元三次方程可写成
的形式。
上式除以，并设，则可化为如下形式：
其中，.
可用特殊情况的公式解出，则原方程的三个根为标准型方程中卡尔丹公式的一个实根
三个根与系数的关系为。
完整版)含参一元三次方程解法
完整版)含参一元三次方程解法一元三次方程是指形如 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 的方程，其中a。
b。
c。
d 是已知常数，x 是未知数。
解一元三次方程的一种方法是利用因式分解。
在因式分解之前，我们首先需要找到方程中的根，也就是方程等于零时的解。
然后可以将这些根代入(x - 根)这样的因子中，从而进行因式分解。
最后，我们可以利用因式分解的结果来求得方程的解。
这里给出一种含参的一元三次方程解法。
首先，我们假设方程的解为 x = t + k，其中 t 是一个参数，k 是一个已知常数。
将这个假设代入方程中，我们可以得到：a(t + k)^3 + b(t + k)^2 + c(t + k) + d = 0将上式展开并合并同类项，可得：at^3 + (3ak + b)t^2 + (3ak^2 + 2bk + c)t + ak^3 + bk^2 + ck + d =我们可以将上式中的每一项系数分别表示为一个函数，形如：f(t) = at^3 + (3ak + b)t^2 + (3ak^2 + 2bk + c)t + ak^3 + bk^2 + ck+ d这样，我们就可以将一元三次方程变为一个一元二次方程 f(t)= 0.对于 f(t) = 0 这个一元二次方程，我们可以使用求解二次方程的方法来求得 t。
一旦求得 t，我们就可以将 t 代入 x = t + k，从而得到方程的根。
需要注意的是，在求解二次方程时可能会得到两个解。
这意味着我们可能会得到两个不同的t 值，进而得到两个不同的根。
因此，在求解一元三次方程时，我们可能会得到多个解。
综上所述，这种含参的一元三次方程解法提供了一种简单且有效的方式来求解一元三次方程。
可以根据需要选择合适的参数和常数，从而得到方程的根。
希望这份文档能对你解决含参一元三次方程提供帮助。
如果需要更多详细的解法和示例，可以进一步查阅相关资料。
一元三次方程快速解法有哪些
本 文 格 式 为 Word 版，下 载 可 任 意 编 辑第 1 页 共 1 页一元三次方程快速解法有哪些一元三次方程快速解法有、因式分解法、一种换元法、卡尔丹公式法等多种方法，下面是我给大家带来的一元三次方程快速解法，希望能够帮助到大家!一元三次方程快速解法有哪些1因式分解法因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用.对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。
当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。
例如：解方程x^3-x=0对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0;x2=1;x3=-1。
2一种换元法对于一般形式的三次方程，先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型。
令x=z-p/3z ，代入并化简，得：z^3-p/27z+q=0。
再令z^3=w ，代入，得：w^2-p/27w+q=0.这实际上是关于w 的二次方程。
解出w ，再顺次解出z ，x 。
3卡尔丹公式法特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0 (p 、qR)。
判别式=(q/2)^2+(p/3)^3。
卡尔丹公式X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3); X2= (Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3)^2; X3=(Y1)^(1/3)^2+(Y2)^(1/3)，其中=(-1+i3^(1/2))/2;Y(1,2)=-(q/2)((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。
标准型一元三次方程aX ^3+bX ^2+cX+d=0，(a ，b ，c ，dR ，且a0)。
令X=Yb/(3a)代入上式。
可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。
通用求根公式当一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0的系数是负数时，使用卡丹公式求解，会出现问题。
可以用一下公式：。
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一元三次方程的解法数教091班王超逸 48号一元三次方程的标准形式为aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，将方程两边同时除以最高项系数a,三次方程变为x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+d/a=0,所以三次方程又可简写为X^3＋bX^2＋cX＋d=0．一元三次方程的韦达定理设方程为ax^3+b^2x+cx+d=0则有x1*x2*x3=-d/a；x1*x2+x2*x3+x3*x1=c/a；x1+x2+x3=-b/a；一元三次方程解法思想一元三次方程解法思想是：通过配方和换元，使三次方程降次为二次方程求解．一元三次方程解法的发现三次方程解法的发现是在16世纪的意大利，那时，数学家常常把自己的发现秘而不宣，而是向同伴提出挑战，让他们解决同样的问题．想必这是一项很砥砺智力，又吸引人的竞赛，三次方程的解法就是这样发现的．最初，有一个叫菲奥尔的人，从别人的秘传中学会了解一些三次方程，便去向另一个大家称为塔尔塔利亚的人挑战．塔尔塔利亚原名丰塔纳，小时因脸部受伤引起口吃，所以被人称为塔尔塔利亚（意为＂口吃者＂）。
他很聪明，又很勤奋，靠自学掌握了拉丁文，希腊文和数学．这次他成功解出了菲奥尔提出的所有三次方程，菲奥尔却不能解答他提出的问题．当时很有名的卡尔丹于是恳求他传授解三次方程的办法，并发誓保守秘密，塔尔塔利亚才把他的方法写成一句晦涩的诗交给卡尔丹．后来卡尔丹却背信弃义，把这个方法发表在1545年出版的书里．在书中他写道：＂波伦亚的费罗差不多在三十年前就发现了这个方法，并把它传给了菲奥尔．菲奥尔在与塔尔塔利亚的竞赛中使后者有机会发现了它．塔尔塔利亚在我的恳求下把方法告诉了我，但保留了证明．我在获得帮助的情况下找出了它各种形式的证明．这是很难做到的．＂卡尔丹的背信弃义使塔尔塔利亚很愤怒，他马上写了一本书，争夺这种方法的优先权．他与卡尔丹的学生费拉里发生了公开冲突．最后，这场争论是以双方的肆意谩骂而告终的．三次方程解法发现的过程虽不愉快，但三次方程的解法被保留了下来，并被错误的命名为＂卡尔丹公式＂沿用至今．以下介绍的解法，就是上文中提到的解法．一元三次方程的解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax+bx+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。
归纳出来的形如 x+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。
归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A 和B。
方法如下：（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到（2）x=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为 x=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得（4）x－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x+px+q=0作比较，可知（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得（6）A+B＝－q，AB＝-(p/3)（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-(p/3)＝c/a(10)由于型为ay+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1＝（－b＋（b－4ac）^(1/2)）/(2a)y2＝（－b－（b－4ac）^(1/2)）/(2a)可化为(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)-(c/a))^(1/2)y2＝－(b/2a)+((b/2a)-(c/a))^(1/2)将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-(p/3)＝c/a代入（11）可得(12)A＝－(q/2)-((q/2)＋(p/3)^(1/2)B＝－(q/2)+((q/2)＋(p/3)）^(1/2)(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得(14)x=（－(q/2)-((q/2)＋(p/3)）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)＋(p/3)）^(1/2)）^(1/3)式 (14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了将其以下图具体显示注意此处的三次方程是实数域的。
但是，如果出现了复数的形式，由于三根不分主次，将会有9个结果，其中6个是错误的。
公式可如下改良：令k=(-q/2+√((q/2)+(p/3)))^(1/3)，则y1=(3k-p)/(3k)y2=(3k^2w-p)/(3kw)y3=(3k^2w^2-p)/(3kw)其他解法除了上文中的卡尔丹公式，三次方程还有其它解法，列举如下：1.因式分解法因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解．当然，因式分解的解法很简便，直接把三次方程降次．例如：解方程x-x=0对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0,得方程的三个根：x1=0,x2=1,x3=-1.2.另一种换元法对于一般形式的三次方程，先用上文中提到的配方和换元，将方程化为x+px+q=0的特殊型．令x=z-p/3z,代入并化简，得：z-p/27z+q=0.再令z=w,代入，得：w+p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程．解出w,再顺次解出z,x.3.盛金公式三次方程应用广泛。
用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法．盛金公式一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，总判别式：Δ=B^2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：X1=(－b－((Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)))/(3a)；X2，3=(－2b＋(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)±3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))i)/(6a)，其中Y1，2=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。
当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：X1=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；X2，3=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1<T<1)。
盛金判别法①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；②：当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；④：当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
盛金定理当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。
当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答：盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。
盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理5：当A＜0时，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。
盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。
盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。
（此时，适用盛金公式④解题）。
盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T 出现的值必定是-1＜T＜1。
显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。
注意：盛金定理逆之不一定成立。
如：当Δ＞0时，不一定有A＜0。
盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。
任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。
当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。
与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。
重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。