一元三次方程的解法
考试中一元三次方程的解法
考试中⼀元三次⽅程的解法
第⼀种：⼀般类型⽤配⽅法提取出⼀个因式可以求出⼀个根，其余的就变成⼀元⼆次⽅程求出另两个根。
第⼆种：没有⼀次项：⽤⼗字相乘法把三次项拆分成⼆次项和⼀次项凑齐原⽅程⼆次项的系数，此时拆分成的⼆次项不⼀定符合原⽅程，可在⼗字相乘法中调换⼆次项和⼀次项的位置再次进⾏尝试，先在⼗字相乘法中的每⼀⾏解出可能值（可能值的正负号并不确定，应当分别代⼊原⽅程之后才能确定正负号，）代⼊⽅程，若符合，则继续求解。
第三种：没有⼆次项：与第⼆种类似。
⾄于盛⾦公式等⼀元三次⽅程的解法等，在考试中不太实⽤，⼀般考试不会去考特别复杂的解⽅程，毕竟⼤多时候考的是基本概念是否清晰。
一元三次方程的解法三——三次根式置换法
一元三次方程的解法三——三次根式置换法本方基于MMA,给出了一元三次方程精简式的三次根式置换法的求解过程,其结果与卡丹公式一致。
一.一元三次方程1.一般式：a x 3+b x 2+c x +d =0(a ≠0)2.标准式：x 3+p x +q =0其中,p =3a c -b 23a 2,q =2b 3-9a b c +27a 2d27a 3。
3.精简式：x 3+3r x +2s =0其中,r =3a c -b 29a 2,s =2b 3-9a b c +27a 2d54a 3。
二.三次根式置换法这里,仅对精简方程求解过程进行阐述,标准式和一般式可以套用。
当s ≠0时,令x =u +v,代入x 3+3r x +2s =0,展开得2s +3r u +u 3+3r v +3u 2v +3u v 2+v 3=0整理为,u 3+v 3+2s +3(u v +r )(u +v )=01 我们令u 3+v 3+2s =0并令v 3=-k,则u 3=-v 3-2s =k -2s 。
取u =k -2s 3,v =-k 3。
代入x 3+3r x +2s =0,分解因式,得3 k -2s 3+-k 3 -k k -2s 3+r ⩵0因s ≠0,所以x ≠0。
所以-k k -2s 3+r =0。
得k 2-2s k -r 3=0解得,k 1,2=s ±r 3+s 2。
2 4.2 方程的解法\\附录2 一元三次方程\\一元三次方程的13种解法\\一元三次方程的解法三——三次根式置换法.nb代入后得到结果与卡尔丹公式一致！。
一元多次方程式的解法
一元多次方程式的解法下面将详细介绍一元多次方程式各个次数的解法。
一次方程式解法：一元一次方程式的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，而x为未知数。
解一次方程式的步骤如下：1. 将方程式转化为标准形式，即将常数项移到等式的右边，得到ax = -b。
2.如果a不为0，则可通过除以a，得到x=-b/a。
例如，解方程式3x+4=7：首先将方程式转化为标准形式，得到3x=3、然后通过除以3，得到x=1、因此，方程式的解为x=1二次方程式解法：一元二次方程式的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b和c为已知数，而x为未知数。
解二次方程式的步骤如下：1. 使用二次方程式的求根公式：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a。
2. 计算∆= b² - 4ac，其中∆被称为判别式。
a)如果∆>0，方程式有两个不同的实根。
b)如果∆=0，方程式有一个重根。
c)如果∆<0，方程式没有实根，但可能有两个虚根。
例如，解方程式x²+3x+2=0：根据求根公式，计算∆=3²-4(1)(2)=1、因为∆大于0，方程式有两个不同的实根。
x=(-3±√(3²-4(1)(2)))/2(1)=(-3±√(1))/2化简得到x=(-3±1)/2，即x=-2或x=-1、因此，方程式的解为x=-2和x=-1三次方程式解法：一元三次方程式的一般形式为ax³ + bx² + cx + d = 0，其中a、b、c和d为已知数，而x为未知数。
解三次方程式的步骤如下：1. 使用三次方程式的求根公式或者Horner法则来寻找一个实根。
这个实根可以通过试探的方法找到，然后使用合成除法概念，将原方程除以(x - r)，其中r是找到的实根，然后求得一个二次方程。
2.通过使用已知的二次方程求根公式来找出这个二次方程的解。
一元三次方程的解法
一元三次方程的解法数教091班王超逸 48号一元三次方程的标准形式为aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，将方程两边同时除以最高项系数a,三次方程变为x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+d/a=0,所以三次方程又可简写为X^3＋bX^2＋cX＋d=0．一元三次方程的韦达定理设方程为ax^3+b^2x+cx+d=0则有x1*x2*x3=-d/a；x1*x2+x2*x3+x3*x1=c/a；x1+x2+x3=-b/a；一元三次方程解法思想一元三次方程解法思想是：通过配方和换元，使三次方程降次为二次方程求解．一元三次方程解法的发现三次方程解法的发现是在16世纪的意大利，那时，数学家常常把自己的发现秘而不宣，而是向同伴提出挑战，让他们解决同样的问题．想必这是一项很砥砺智力，又吸引人的竞赛，三次方程的解法就是这样发现的．最初，有一个叫菲奥尔的人，从别人的秘传中学会了解一些三次方程，便去向另一个大家称为塔尔塔利亚的人挑战．塔尔塔利亚原名丰塔纳，小时因脸部受伤引起口吃，所以被人称为塔尔塔利亚（意为＂口吃者＂）。
他很聪明，又很勤奋，靠自学掌握了拉丁文，希腊文和数学．这次他成功解出了菲奥尔提出的所有三次方程，菲奥尔却不能解答他提出的问题．当时很有名的卡尔丹于是恳求他传授解三次方程的办法，并发誓保守秘密，塔尔塔利亚才把他的方法写成一句晦涩的诗交给卡尔丹．后来卡尔丹却背信弃义，把这个方法发表在1545年出版的书里．在书中他写道：＂波伦亚的费罗差不多在三十年前就发现了这个方法，并把它传给了菲奥尔．菲奥尔在与塔尔塔利亚的竞赛中使后者有机会发现了它．塔尔塔利亚在我的恳求下把方法告诉了我，但保留了证明．我在获得帮助的情况下找出了它各种形式的证明．这是很难做到的．＂卡尔丹的背信弃义使塔尔塔利亚很愤怒，他马上写了一本书，争夺这种方法的优先权．他与卡尔丹的学生费拉里发生了公开冲突．最后，这场争论是以双方的肆意谩骂而告终的．三次方程解法发现的过程虽不愉快，但三次方程的解法被保留了下来，并被错误的命名为＂卡尔丹公式＂沿用至今．以下介绍的解法，就是上文中提到的解法．一元三次方程的解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax+bx+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x+px+q=0的特殊型。
一元三次方程分解因式的解法
一元三次方程分解因式的解法
一元三次方程的分解因式的一般解法如下：
1. 将一元三次方程转化为标准形式：将方程移项使得等式的右边为0，得到形如ax³+bx²+cx+d=0的方程。
2. 利用综合除法，找到方程的一个根作为因式的一部分，然后使用综合除法将方程除以这个根。
3. 将步骤2中得到的二次方程再次进行分解因式，直到不再能够继续分解为止。
4. 将分解因式的结果写为一元三次方程的等式形式。
需要注意的是，一元三次方程的分解因式并不总能够找到解，有时方程的根可能是复数。
一元三次方程式解法
一元三次方程式解法
一、一元三次方程的一般形式
一元三次方程的一般形式为（）。
二、卡尔丹公式法（适用于一般形式的一元三次方程）
（一）步骤一：将方程化为缺项三次方程
1. 为了简化计算，我们先通过变量代换将一般的一元三次方程转化为缺二次项的形式。
令，将其代入原方程。
展开并化简后得到的形式，其中，。
（二）步骤二：利用卡尔丹公式求解
1. 设。
对于，将代入可得。
展开，则。
令，即。
把代入，得到。
设，则方程变为。
2. 求解
根据一元二次方程的求根公式。
3. 求出和
因为，所以，。
这里取或，得到两组和的值。
4. 求出
，将求出的和的值代入得到的值。
5. 求出
最后根据求出原方程的解。
三、因式分解法（当方程可以因式分解时）
1. 如果一元三次方程能够通过观察或者一些技巧进行因式分解，例如分解成的形式。
则根据零乘任何数为零的原理，得到或者。
对于，直接解得；对于，可以使用一元二次方程的求根公式来求解。
四、试根法
1. 对于整系数一元三次方程（为整数且
）。
先找出常数项的所有因数。
然后通过试根，将（）代入方程看是否满足方程等于零。
如果是方程的一个根，那么原方程可以分解为
的形式，再进一步求解得到其他根。
一元三次方程的解法
如果一个一元三次方程的二次项系数为0，则该方程可化为
它的解是：
其中
根与系数的关系为
判别式为
当时，有一个实根和两个复根；时，有三个实根，当时，有一个三重零根，时，三个实根中有两个相等；时，有三个不等实根。
三个根的三角函数表达式（仅当时）为
其中
一般的一元三次方程可写成
的形式。
上式除以，并设，则可化为如下形式：
其中，.
可用特殊情况的公式解出，则原方程的三个根为标准型方程中卡尔丹公式的一个实根
三个根与系数的关系为。
完整版)含参一元三次方程解法
完整版)含参一元三次方程解法一元三次方程是指形如 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 的方程，其中a。
b。
c。
d 是已知常数，x 是未知数。
解一元三次方程的一种方法是利用因式分解。
在因式分解之前，我们首先需要找到方程中的根，也就是方程等于零时的解。
然后可以将这些根代入(x - 根)这样的因子中，从而进行因式分解。
最后，我们可以利用因式分解的结果来求得方程的解。
这里给出一种含参的一元三次方程解法。
首先，我们假设方程的解为 x = t + k，其中 t 是一个参数，k 是一个已知常数。
将这个假设代入方程中，我们可以得到：a(t + k)^3 + b(t + k)^2 + c(t + k) + d = 0将上式展开并合并同类项，可得：at^3 + (3ak + b)t^2 + (3ak^2 + 2bk + c)t + ak^3 + bk^2 + ck + d =我们可以将上式中的每一项系数分别表示为一个函数，形如：f(t) = at^3 + (3ak + b)t^2 + (3ak^2 + 2bk + c)t + ak^3 + bk^2 + ck+ d这样，我们就可以将一元三次方程变为一个一元二次方程 f(t)= 0.对于 f(t) = 0 这个一元二次方程，我们可以使用求解二次方程的方法来求得 t。
一旦求得 t，我们就可以将 t 代入 x = t + k，从而得到方程的根。
需要注意的是，在求解二次方程时可能会得到两个解。
这意味着我们可能会得到两个不同的t 值，进而得到两个不同的根。
因此，在求解一元三次方程时，我们可能会得到多个解。
综上所述，这种含参的一元三次方程解法提供了一种简单且有效的方式来求解一元三次方程。
可以根据需要选择合适的参数和常数，从而得到方程的根。
希望这份文档能对你解决含参一元三次方程提供帮助。
如果需要更多详细的解法和示例，可以进一步查阅相关资料。
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一元三次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为3的整式方程叫做一元三次方程，一元三次方程的一般形式是ax 3+bx 2+cx+d=0（a ，b ，c ，d∈R 且a ≠0），下面来讨论一下一元三次方程求解的问题。
已知一元三次方程ax 3+bx 2+cx+d=0，求方程的根。
解：令3b x y a =-，得2323
23
329270327ac b b abc a d y y a a --+++=①
令23223
329273,2327ac b b abc a d m n a a
--+==，得3
320y my n ++=② 经过换元，将原方程化为一元三次方程的特殊形式（3
0x px q ++=），现在求方程②
的根，
令y=u+v ，两边立方得=+=+++=++333333
y (u v)u v 3uv (u v)u v 3uvy
333y 3uvy (u )③v 0∴--+=
由②③式可得，⎧=-⎨+=-⎩33333
u v m u v 2n ④
⑤
由④⑤式可知u 3和v 3为方程μ+μ-=232n m 0的两根，
3
32n 2n u ,v 22
-+--∴==
y u v ∴=+=
+
令a =
=
则12223y a b
y a b y a b
⎧=+⎪⎪=α+α⎨⎪=α+α⎪⎩，2,αα为1
的立方根，221cos
i sin i 3322ππα=+=-+
，ππα=+=--2441cos i sin i 3322
则2323
23
329270327ac b b abc a d
y y a a
--+++=的根表示为
⎧
=+⎪⎪
+-⎪
=++=+⎨⎪
⎪+-=++=-⎪⎩12
3y a b 11a b a b y （-i ）a （--i ）b -22222211a b a b
y （--i ）a （-i ）b -222222
⑥ 由⑥可知，
① 当+>23n m 0时，方程有1个实根和2个共轭复根；
② 当+=23n m 0时，a ，b 是相等的两个实数，方程有3个实根，其中有1个二重实根； ③ 当+<23n m 0时，方程有3个不相等实根。
以上解法为在卡尔丹公式基础上进一步研究得出，常用的一元三次方程解法除卡尔丹公式法外，还有盛金公式法。
下面通过几个例题具体的使用卡尔丹公式进行解题。
例题1：解方程x 3-6x 2+10x-8=0 解：令3b
x y a
=-
=y+2，得y 3-2y-4=0 23100
027
n m +=>
a b ∴=
=
⎧=+=⎪⎪
∴=α+α=-+⎨⎪=α+α=--⎪⎩12223y a b 2y a b 1i y a b 1i
∴原方程的解为⎧=+=⎪
=+=+⎨⎪
=+=-⎩112233x y 24
x y 21i x y 21i
例题2：解方程x 3-12x+16=0 解：23=6464=0n m +-
22
∴=-=-a b
⎧=+=-⎪⎪
∴=α+α=⎨⎪=α+α=⎪⎩12223
y a b 4y a b 2y a b 2 ∴原方程的解为⎧==-⎪
==⎨⎪
==⎩112233x y 4
x y 2
x y 2
例题3：解方程x 3-6x-4=0
解：234840n m +=-=-<
∴方程有3个不相等实根
∴=+=
+
=
+
y u v 令=
=θv
r ,
tan u
θ+πθ+π
θ+πθ+π
∴=
+=2k 2k 2k 2k y +isin )-isin ),k 0,1,23333
θ+π
∴==2k y ,k 0,1,23
⎧θ=⎪⎪
θ+π
⎪
∴=⎨⎪⎪θ+π=⎪⎩
1
23y 32y 34y 3
+=2n n 2i
π∴=
+
=θ=θy 1即=
4
∴
原方程的解为⎧θ==+⎪⎪
θ+π
⎪
==-⎨⎪⎪θ+π
==-⎪⎩
1
23x 132x 234x 13
以上三个例题分别为方程根的三种情况，解一元三次方程的通法即先将方程化为特殊形式，再判断23n m +的值属于哪一种情况，根据公式求解即可。