中学代数研究---一元三次方程通解求法1
一元三次方程解法
一元三次方程解法
塔塔利亚发现的一元三次方程的解法
一元三次方程的一般形式是
x3+sx2+tx+u=0
如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消
去。
所以我们只要考虑形如
x3=px+q
的三次方程。
假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。
代入方程，我们就有
a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q
整理得到
a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q
由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，3ab+p=0。
这样上式就成为
a3-b3=q
两边各乘以27a3，就得到
27a6-27a3b3=27qa3
由p=-3ab可知
27a6 + p = 27qa3
这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。
进而可解出b和根x。
费拉里发现的一元四次方程的解法
和三次方程中的做法一样，可以用一个坐标平移来消去四次方程
一般形式中的三次项。
所以只要考虑下面形式的一元四次方程：
x4=px2+qx+r
关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式。
考虑一个参数a，我们有
(x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2
等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0，即
q2 = 4(p+2a)(r+a2)
这是一个关于a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我们可以解出参数a。
这样原方程两边都是完全平方式，开方后就是一个关于x 的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根x。
一元三次方程的解法
一元三次方程的解法邵美悦2018年3月23日修改:2018年4月25日众所周知,一元二次方程的求根公式是中学代数课程必修知识,通常在初中阶段的数学教材中会进行介绍.一元三次方程和一元四次方程同样有求根公式,1而且其推导过程也是初等的.由于一元三次和四次方程的求解比起一元二次方程要困难得多,并且求根公式的具体形式也不是很实用,所以尽管在一些初等数学的书籍中有相关介绍,但大多数中学生对这些解法并不了解.本文将简要介绍一下一元三次方程的求解方法.1配方法一元二次方程ax 2+bx +c =0,(a =0)的解法一般会在在初中教材中进行介绍,通用的解法是配方法(配平方法),即利用a (x +b 2a )2=b 2−4ac 4a解出x =−b 2a ±√b 2−4ac 2a.当然,在初中教材中会要求a ,b ,c 都是实数,并且判别式b 2−4ac 必须非负.在高中教材引进复数之后,上述求根公式对复系数一元二次方程依然有效,开平方运算√b 2−4ac 也不再受到判别式符号的限制,只需要按照复数开方来理解.21值得注意的是,在代数学中可以证明,如果只用系数的有限次加,减,乘,除,以及开k 次方运算(其中k 是正整数),复系数一元五次(或更高次)方程没有求根公式.换句话说,不可能存在仅由系数的有限次加,减,乘,除,以及开k 次方运算构成的公式,使得每一个复系数一元五次方程都可以按该公式求解.这一结论通常称为Abel–Ruffini 定理.不少业余数学爱好者在没有修习过大学近世代数课程的情况下致力于推导高次方程的初等求根公式,这样的努力难免徒劳无功.2这里约定开方运算k √·只需要算出任意一个k 次方根即可.1一元二次方程的这一配方解法可以进行更细致地拆解.首先,我们可以将二次项系数归一化,只需要考虑x2+˜bx+˜c=0,其中˜b=b/a,˜c=c/a.然后引进新的变量y=x+˜b/2可以消去一次项得到二项方程y2=˜b24−˜c.最后开平方解出y=±√˜b2−4˜c2,再代入x=y−˜b/2即可算出x.一元二次方程实在太过简单,所以即使不像这样进行细致地拆解仍然可以很轻易地解出,这里拆解的目的只是为了简化记号,从而更容易看清楚每个步骤所起的作用.对于一元三次方程而言,为了避免不必要的麻烦,同样只需要考虑首项系数为1的方程x3+bx2+cx+d=0.类似于一元二次方程的配平方,这里很自然地首先尝试配立方的办法,引进变量y=x+b/3便可以消去二次项得到形如y3+py+q=0(1)的三项方程,3其中p和q的具体表达式留给读者自行推导.这样一来只要能够求解(1)就可以解出一般的一元三次方程.不过与一元二次方程不同的是,当p=0时(1)并不能直接开立方来求解,所以接下来我们需要进一步研究三项方程(1)的一般解法.2三倍角公式在中学教材的三角函数部分,三倍角公式远不如二倍角公式及半角公式重要,4不过三倍角公式和(1)的求解紧密相关.考虑三倍角余弦公式cos3θ=4cos3θ−3cosθ,(2)公式(2)的右端只含有cosθ而不含sinθ.如果令T3(x)=4x3−3x,那么cos3θ=T3(cosθ),也就是说cos3θ是cosθ的三次多项式.53另一种理解方式是,通过平移变换,我们总可以将一元三次方程的三根之和变为零.4通常来讲我们并不鼓励中学生去记忆三倍角公式,只要在需要使用的时候能够临时推导就足够了.5一般地,定义多项式序列T(x)=1,T1(x)=x,T n+2(x)=2xT n+1(x)−T n(x),(n∈N).2注意到在T 3(x )中的二次项系数为零,如果将T 3(x )与(1)的形式进行对比不难发现,当p =−3/4且−1/4≤q ≤1/4时,y 3−34y +q =0可以用代换q =−(cos 3θ)/4,y =cos θ来求解,得到y =cos (13arccos (−4q )+2kπ3),其中k ∈{0,1,2}.顺着这一思路,对于实数p <0,如果设y =r cos θ代入(1)就可以得到r 3cos 3θ+rp cos θ+q =0,当r 3/rp =−4/3时就可以凑成T 3(cos θ)的形式.于是我们取r =2√−p /3,就可以归结为4cos 3θ−3cos θ−4q r 3=0.只要−4q /r 3是绝对值不大于1的实数(等价于(p /3)3+(q /2)2≤0)仍然可以按上述三角解法来解.63Vieta 代换和Cardano 公式上一节中介绍的一元三次方程的三角解法由Vieta 提出,可以在p ,q 是实数并且(p /3)3+(q /2)2≤0的前提下求解(1)的三个实根.当然,在中学知识范围内这个解法对于p 和q 的取值范围有一定的要求,难以应用于一般的复系数一元三次方程.7另外,该方法需要引进三角函数和反三角函数,比起一元二次方程只需要用到四则运算和开方就能求解来讲要复杂一些.不过对这一三角解法进行适当推广很容易得到求解(1)的代数方法.如果z =cos θ+i sin θ,那么cos θ=12(z +1z),利用归纳法及和差化积公式容易验证cos nθ=T n (cos θ),这里的T n (x )称为n 次Chebyshev 多项式,也叫做第一类Cheby-shev 多项式.6如果引进双曲函数sinh θ=12(e θ−e −θ),cosh θ=12(e θ+e −θ),并利用双曲函数的三倍角公式sinh 3θ=4sinh 3θ+3sinh θ,cosh 3θ=4cosh 3θ−3cosh θ,则可解决三角解法中未曾顾及的p ,q 是实数但(p /3)3+(q /2)2>0的情况求出方程(1)的实根.7在大学的复分析课程中,余弦函数的定义域和值域都将会扩大到整个复平面,届时Vieta 的三角解法就可以作为一元三次方程的通用解法,尽管这不能算是纯粹的代数解法.3由此即可将左端的三角函数cos θ用右端关于z 的有理函数来代替,并且右端只需要z =0即有意义,而无需再受到原先|z |=1的约束,这样就可以把由三角函数的值域过小造成的约束放宽.对于代换y =r cos θ=rz 2+r 2z,如果再引进w =rz /2,便可以得到r 2z =r 24w =−p 3w,这里的最后一步用到了上一节中的选择r 2=−4p /3.有了上面的分析,我们就可以“过河拆桥”,在一开始求解(1)时就直接进行换元y =w −p 3w ,(w ∈C \{0}).(3)这一变量代换称为Vieta 代换.注意到对于任何复数y ,总存在两个复数w (有可能相同)使得y 与w 满足关系式(3),所以Vieta 代换总是可行的,并且不会遗漏(1)的解.将(3)代入(1)得到w 3−p 327w 3+q =0,通分得到关于w 3的二次方程w 6+qw 3−p 327=0,于是w 是w =3√−q 2+√(q 2)2+(p 3)3(4)的6个值(考虑重数)之一,这里的3√·和√·都表示复数开方的任何一个结果.只要得到了w ,再代入(3)便求出了y .记w 0为(4)中的任何一个结果,那么(1)的三个复根为y 1=w 0−p 3w 0,y 2=ζw 0−p 3ζw 0,y 3=ζ2w 0−p 3ζ2w 0,(5)其中ζ=−1+√3i 2.这一结果,即公式(4)和(5),称为Cardano 公式.需要指出的是,尽管w 0可以有6种取法(即w 0可以替换成ζw 0,ζ2w 0,−p /(3w 0),−ζp /(3w 0),−ζ2p /(3w 0)中的任何一个),但不论4哪一种取法,由(5)得到的三个解y 1,y 2,y 3总是相同的,至多仅有次序上的区别.另外,整个推导过程中并不要求p ,q 是实数,所有的运算都是复数运算,因此Cardano 公式对于p ,q 是复数的情况成立.4历史意义在16世纪早期,意大利数学家del Ferro 和Tartaglia 先后独立找到了一元三次方程的求解方法,这是欧洲文艺复兴时期在数学方面首次取得了超过古希腊数学成就的新成果,是数学史上重要的里程碑.Cardano 从Tartaglia 处学习到了一元三次方程的解法,并于1545年将其发表在著作Ars Magna 中,故一元三次方程的求根公式现在通常称为Cardano 公式.8在Cardano 所处的年代,负数的地位尚未得到正式认可,只有正数才可以进行运算(方程中系数小于零的项都需要移到等号的另一侧使系数变为正数).而Cardano 提出如果承认负数,并且允许对负数开平方,将会扩展方程可解的范围.9尽管复数被数学界所理解并广泛接受还经历了相当长的一段时间,但是复数的出现对于代数学和分析学都有着极为深远的影响.在Cardano 之后,法国数学家Vieta 和Lagrange 又相继提出了一元三次方程的其它解法.10其中Lagrange 的方法引进了置换的概念,统一了四次以内的一元多项式方程的解法,并断言一元五次方程不会有根式解.19世纪初,Lagrange 的思想为挪威数学家Abel 和法国数学家Galois 所发展,开创了近世代数(也叫抽象代数)这一新的数学分支,不仅完全解决了一元代数方程根式解的问题,也改变了整个数学科学的面貌.5练习题1.在复数域上解方程x 3−24x −32=0.2.在复数域上解方程x 3+5x 2−8x −28=0.3.在复数域上解方程x 3−3i x 2−(1−12i )x −25i =0.4.求3√39√69+324−3√39√69−324的值,其中√·和3√·表示通常实数的算术根.8Tartaglia 在Cardano 承诺保守秘密的情况下将一元三次方程的解法透漏给Cardano,然而后来Carnado 得知del Ferro 于Tartaglia 之前已经解出一元三次方程,并找到了del Ferro 的手稿,便觉得没有必要再遵守与Tartaglia 之间的约定,遂将一元三次方程的解法发表在其著作中(仍归功于del Ferro 和Tartaglia),一同发表的还有Cardano 的学生Ferrari 发现的一元四次方程的通用解法(称为Ferrari 解法).9可以证明,当p ,q 是实数且(p /3)3+(q /2)2<0时,方程(1)有三个实根.但是对于这种情况Cardano 公式不可避免地需要引进复数才能得到这三个实根.10本文的推导并未按照历史上的次序,而是反过来从Vieta 的三角解法引入Vieta 代换来得到Cardano 公式,以期读者可以更自然地理解其中的变量代换.读者也可以跳过三角解法直接从(3)开始推导Cardano 公式.55.若方程x3−3x+1=0的三个实根从小到大依次为x1,x2,x3,证明:x21−x23=x1−x2.6.若p,q是给定的实数,记∆=(p/3)3+(q/2)2.证明:•若∆>0,则(1)有三个不同的根,其中一个是实根,另外两个是一对共轭复根;•若∆=0,则(1)有三个实根,并且有重根;•若∆<0,则(1)有三个不同的实根.7.分别在实数域和在复数域上分解因式x3+y3+z3−3xyz,并由此推导Cardano公式.8.若p,q,r是给定的复数,在求解关于x的方程x4=px2+qx+r时,可以在两边同时加上2ux2+u2得到(x2+u)2=(p+2u)x2+qx+r+u2.为了使上述等式右端构成完全平方式,应该如何选取u?9.已知实数x,y,z满足x2+y2+z2=1,求xy+yz+3zx的最大值.10.证明:cos20◦是无理数.6。
现在最常用的解一元三次方程公式
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在解一元三次方程时，我们通常会使用下面介绍的公式。
解一元三次方程专题
解一元三次方程专题---一元三次方程是指次数最高为三次的方程，通常的形式为：$$ax^3+bx^2+cx+d=0$$解一元三次方程的方法有多种，下面将介绍其中的几种常用方法。
---方法一：分离变量法分离变量法是一种常用的解一元三次方程的方法。
它的基本思想是将方程中的$x$和常数项用不同的符号表示，然后将方程化为两个关于不同变量的方程，进而求得解。
具体步骤如下：1. 将方程变形，使得方程右边为0。
2. 令$x=y-\frac{b}{3a}$，将原方程转化为以$y$为变量的形式。
3. 将变量分离，得到两个方程。
4. 解两个方程，得到$y$的值。
5. 将$y$的值代入$x=y-\frac{b}{3a}$，求得$x$的值。
注意：分离变量法只能得到方程的实数根。
---方法二：高斯消元法高斯消元法是解一元三次方程的另一种常用方法。
它的基本思想是通过变量替换和高斯消元的操作，将方程化为一个二次方程和一个一次方程，从而求得解。
具体步骤如下：1. 将方程变形，使得方程右边为0。
2. 令$u=x-\frac{b}{3a}$，将原方程转化为以$u$为变量的形式。
3. 减去方程两边的$d$，得到$u^3+pu+q=0$的形式。
4. 利用高斯消元法求解$u^3+pu+q=0$，得到$u$的值。
5. 将$u$的值代入$x=u-\frac{b}{3a}$，求得$x$的值。
注意：高斯消元法可以得到方程的实数根和复数根。
---方法三：牛顿迭代法牛顿迭代法是一种数值解法，可以用来解一元三次方程。
它的基本思想是通过迭代逼近的方式，不断改进初始值，从而求得解。
具体步骤如下：1. 将方程变形，使得方程右边为0。
2. 选取一个初始值$x_0$。
3. 根据牛顿迭代公式 $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，不断迭代，直到满足精确度要求或达到迭代次数。
4. 得到近似解。
注意：牛顿迭代法可以得到方程的实数根和复数根，但要求初始值选择得当。
一元三次方程及解法简介
一元三次方程一元三次方程的标准型为023=+++d cx bx ax )0,,,(≠∈a R d c b a 且。
一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。
两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。
由于卡尔丹公式解题存在复杂性，对比之下，盛金公式解题更为直观，效率更高。
在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是3次的整式方程叫做一元三次方程。
【盛金公式】 一元三次方程023=+++d cx bx ax )0,,,(≠∈a R d c b a 且重根判别式：bd c C ad bc B ac b A 3:9;322-=-=-=，总判别式：Δ=AC B 22-。
当A=B=0时，盛金公式①： cd b c a b x x x 33321-=-=-===，当Δ=AC B 22->0时，盛金公式②：a y y b x 33123111---=； i ay y a y y b x 63623123113223113,2-±++-=；其中2)4(322,1AC B B a Ab y -±-+=,12-=i .当Δ=AC B 22-=0时，盛金公式③：K a b x +-=1；232K x x -==，其中)0(≠=A ABK .当Δ= AC B 22-<0时，盛金公式④：aCosa b x 3321θ--=，aSin CosA b x 3)333(3,2θθ±+-=； 其中arcCosT =θ，)11,0(),232(<<->-=T A AaB Ab T .【盛金判别法】 ①：当A=B=0时，方程有一个三重实根； ②：当Δ=AC B 22->0时，方程有一个实根和一对共轭虚根； ③：当Δ=AC B 22-=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根； ④：当Δ=AC B 22-<0时，方程有三个不相等的实根。
【盛金定理】 当0,0==c b 时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A ≤0时，盛金公式④无意义；当T ＜-1或T ＞1时，盛金公式④无意义。
高中一元三次方程快速解法
高中一元三次方程快速解法高中一元三次方程是高中数学中的重要内容之一，解法也是需要掌握的基本技能。
本文将介绍一种快速解法，帮助读者更好地理解和解决高中一元三次方程。
一元三次方程是指形如ax^3+bx^2+cx+d=0的方程，其中a、b、c、d为已知系数，x为待求的未知数。
解一元三次方程的常用方法有因式分解、配方法、待定系数法等，但这些方法在解决复杂的一元三次方程时可能会比较繁琐，需要耗费大量的时间和精力。
因此，我们需要一种更快速的解法。
在介绍快速解法之前，我们先来回顾一下一元三次方程的基本性质。
一元三次方程一般有三个根，这些根可以是实数或复数。
如果方程的系数都是实数，但方程没有实数根，那么它一定有两个共轭复数根。
快速解法的关键在于观察方程的特点，通过变量的替换和简化，将一元三次方程转化为二次方程或二次方程组，从而更容易求解。
具体步骤如下：步骤1：观察方程是否有特殊形式。
有些一元三次方程可以通过观察特殊形式来简化。
例如，如果方程中含有因式(x-a)(x-b)(x-c)，那么方程的根就是a、b、c。
步骤2：变量替换。
通过变量的替换，将一元三次方程转化为二次方程或二次方程组。
常用的变量替换方法有令x=y+m，其中m为常数，通过这种替换可以将方程转化为二次方程。
另外，还可以通过令x=y+z，将方程转化为二次方程组。
步骤3：解二次方程或二次方程组。
将转化后的二次方程或二次方程组进行求解，得到解的表达式。
步骤4：反变换。
将步骤2中的变量替换反过来，得到原方程的解。
通过以上步骤，我们可以快速解决一元三次方程的问题。
下面通过一个例子来说明具体的解题方法。
例题：解方程x^3-5x^2+8x-4=0解法：观察方程，发现方程的系数都是实数，但方程没有实数根。
因此，方程一定有两个共轭复数根。
步骤1：由于方程没有特殊形式，我们需要进行变量替换。
令x=y+1，将方程转化为(y+1)^3-5(y+1)^2+8(y+1)-4=0展开并化简得y^3-4y^2+3y=0步骤2：解二次方程。
一元三次方程公式大全
一元三次方程公式大全
一元三次方程是指形式为ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的三次方程。
解一元三次方程的方法有很多种，可以通过因式分解、换元法、牛顿法、Cardano公式等多种方法来求解。
下面我将从不同角度介
绍一元三次方程的求解方法和公式。
1. 因式分解法：
对于一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，如果能够
因式分解为(x r)(ax^2 + bx + c) = 0的形式，其中r为实数根，
那么我们可以先通过因式分解找到一个实数根，然后再使用因式分
解或者配方法求得另外两个根。
2. 换元法：
通过变量代换的方法，将一元三次方程转化为二次方程的形式，然后利用二次方程的求根公式来求解。
3. 牛顿法：
牛顿法是一种迭代逼近的方法，通过不断迭代计算，可以逼近一元三次方程的根。
4. Cardano公式：
对于一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，Cardano公式给出了其解的表达式，但是由于其表达式较为复杂，实际应用中并不常用。
总的来说，一元三次方程的求解方法有很多种，选择合适的方法取决于具体的问题和方程的形式。
在实际应用中，常常需要根据具体情况灵活选择合适的方法来求解一元三次方程。
希望以上介绍对你有所帮助。
怎么解一元三次方程一元三次方程的解法有哪些
怎么解一元三次方程一元三次方程的解法有哪些一元三次方出一直是同学们比较难过的一个坎，很多同学不知道该如何解开它，以下是由编辑为大家整理的“怎么解一元三次方程”，仅供参考，欢迎大家阅读。
怎么解一元三次方程一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。
归纳出来的形如x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。
归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。
方法如下：(1)将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到(2)x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))(3)由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以(2)可化为x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得(4)x^3-3(AB)^(1/3)x-(A+B)=0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知(5)-3(AB)^(1/3)=p,-(A+B)=q，化简得(6)A+B=-q，AB=-(p/3)^3(7)这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即(8)y1+y2=-(b/a),y1*y2=c/a(9)对比(6)和(8)，可令A=y1，B=y2，q=b/a，-(p/3)^3=c/a(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1=-(b+(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)y2=-(b-(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)可化为(11)y1=-(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)y2=-(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)将(9)中的A=y1，B=y2，q=b/a，-(p/3)^3=c/a代入(11)可得(12)A=-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)B=-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得(14)x=(-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)式(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。
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关于一元三次方程通解的解法
章君、何敏捷
（福建师范大学数学系福建福州350108）
【摘要】本文主要讲解了针对于一元三次方程通解的解法，由一元二次方程通解解法，我们产生联想，可不可以先将一般的一元三次方程化为缺二次项的特殊一元三次方程，然后进行求解，并由此进一步推出一元三次方程根的判别式方法；
【关键词】一元三次方程、通解、一元二次方程、判别式
我们在中学已经学过对于一般的一元二次方程20
ax bx c
++=（0
a≠）的通解的解法，并且我们知道，针对于这样的一般性的一元二次方程，我们可以用多种解法来求得其解，比如，我们可以用求根公式法、因式分解法、配方法等等各种不同的做法来求得其解；这不禁让我们联想到，针对于一般的一元三次方程320
+++=（0
ax bx cx d
a≠）我们是否也可以通过像求解一元二次方程的那些做法来求得其解呢？显然，事实证明，对于一般性的一元三次方程是不能用因式分解法、配方法来求解的，除非是比较明显的易于观察的一些方程，我们一眼就能发现它存在某一个特根，然后用多项式相除的办法进行将它分解，然而对于一般性的一元三次方程是不能这样做的，也不能直接给它配方，这就要求我们用其它的方法来求得其解集；由一元二次方程的求根公式法中用到的韦达定理，我们联想到，是否可以先把一元三次方程化成一元二次方程，然后也用韦达定理来求解，事实证明这种猜想是行得通的，以下，我将介绍这种做法的具体演算过程。
设有一般一元三次方程320
+++=（0
ax bx cx d
a≠），我们对它先进行化简，目标是将它的二次项系数化为0，这种想法的由来是因为我们通过实践发现无
二次项的一元三次方程比较容易求解，因此，我们想到先除去二次项，然后再求解；具体做法是： 令x y k =+其中k 是一个待定的常数，将其代入原一般一元三次方程320ax bx cx d +++=（0a ≠）中，得到：
32()()()0a y k b y k c y k d ++++++= 展开并整理得到：
32232(3)(32)()0ay ka b y k a bk c y ak bk ck d +++++++++= ---------○
1 取3b k a =-
，即 3b x y a =- -------○2 ， 将其代入原一般方程并整理得： 23322()()03273b b bc ay c y d a a a
+-+-+= ， 两边同时除以a 得到： 3
0y py q ++= --------○3 其中 21()3b p c a a =- ， 3212()273b bc q d a a a =-+ 事实上，以上过程也证明了对于任意一个一元三次方程，我们都可以将它
化为上述○
3的这种形式，这样我们就可以直接求不含二次项的一元三次方程的解了；接下来，我们只要将方程○
3的解求出来，就可以自然的求得最原始的一般的一元三次方程的通解了；
我们再次将○3式作变换，令y u v =+（其中u 和v 是未知数），并将其代入
方程○
3得到：3()()0u v p u v q ++++=，化简后得到： 33(3)()0u v q uv p u v +++++= --------○
4 因为我们用两个未知数u 和v 代替了y ，因此为了减少○
4中未知数的个数，我们不妨再要求(3)uv p +=0 -----○5，这样我们就可以得出3
p uv =-------○6，将其代入方程○4我们可以得到：330u v q ++=，从而我们就得到以下方程组：
333p uv u v q
⎧=-⎪⎨
⎪+=-⎩，即 3333327p u v u v q ⎧=-⎪⎨⎪+=-⎩ 这样我们就可以利用韦达定理知道： 3u 和3v 可以看成是一元二次方程3
2027
p z qz +-=的两个根；
从而我们利用一元二次方程的求根公式可以得到：
233
2427q q p u =-++ ， 23
32427q q p v =--+ 从而23
3
12427q q p u =-++ ，21u u ω= ， 231u u ω= ； 23312427
q q p v =--+ ，21v v ω= ， 231v v ω= ； （其中132i ω-+= ， 2132
i ω--= ） 由于y u v =+，所以将上式进行组合得到以下三个解：
111y u v =+ ，2211y u v ωω=+ ，2311y u v ωω=+ 容易发现2y 和3y 是一对共轭的虚根，这与我们已学到的代数基本定理是一致的。
将这三个解再分别减去3b
a ，即为一元三次方程的通解；
通过以上过程我们知道，对于一般的一元三次方程，我们也可以利用韦达定理进行求其通解；关键点在于如何将一元三次方程化为我们熟悉的一元二次方程，这是解题的关键所在，因此我们要想办法去除一些项，然后再进行转化；
类似于一元二次方程的判别式做法，我们也引入一元三次方程的判别式D=23427
q p +；由上述的三次方程根的推导过程，我们知道D 决定了根的性质。
1、 当D>0时，3u 和3v 是两不等的实根，方程○3有一个实根和两个共
轭的虚根 111
y u v =+ 2211y u v ωω=+111113()()22
u v i u v =-++- 3111113()()22
y u v i u v =-+--
2、 当D=0时，这时332q u v ==-
，方程○3有三个实根，并且其中两个实根相等 3122q y =- ，3
232
q y y == 3、 当D<0时，这时u 和v 都是复数，并且是共轭复数，实际上由
n n z z =有：23
23332427
2427q q p q q p u i =-++=-++ 3327p =-3
p =- 现在我们证明u 和v 是共轭的：由方程○
5我们知道3p v u =- 23333()3
p pu pu pu v u p u uu u =-=-=-=-=-∴ 从而u 和v 是共轭的； 设1u s it =+为u 的任意一个值，从而1v s it =-，因此
111y u v =+2s =
2211y u v ωω=+111113()()22
u v i u v =-++-3s t =-- 3111113()()22
y u v i u v =-+--3s t =-+ 为三个互异的实根。
以上就是根据一元三次方程根的判别式来判断根的性质的，从上述整个过程我们不难发现，对于一般的一元三次方程，其判别式也是根据二次根号里面的数只能为正这条性质来进行判定的，先判断其根（u 和v ）是否为实根或是虚根的情况，然后进一步判定1y 、2y 、3y 的虚实情况；这样我们就得出了一元三次方程根的判别式方法。