中学代数研究(张奠宙版)重要概念考点

《中学代数研究》期末复习资料
第一章数与数系
1.按照与实体分离的程度不同，数系循着以下历史途径扩展：
自然数→正有理数→简单的代数无理数→零与负有理数→复数→严格的实数系
2.数的逻辑扩展
自然数添加负数和零整数系作分式域有理数系作柯西序列等价类实数系作2次代数扩张复数系
3.自然数集是一个无限集，这是人们在数学上第一次遇到的最简单、最直观的无限集.自然数公理系统利用“后继”描述了这种无限性。

4.P8——P10，定理1——6的证明
4.为什么要引入“0”作为自然数？
答：首先，尽早引入0，有利于学生对自然数的理解；
其次，数0对于数的扩展来说十分重要；
最后，从集合论的角度看，把0作为自然数比较合理。

5.数系通常包括：整数系、有理数系、实数系、复数系。

【注意：顺序不可颠倒】
6.数学归纳法是不是公理？
答：是。

数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）。

不是。

它只是一种证明方法。

因为数学归纳法是证明与自然数有关的命题，而不是完全归纳法，它的基础是自然数列的性质而不是逻
辑公理。

7.复数不能规定大小的含义是什么？
答：数学上所谓大小的定义，是在实数轴右边的比左边的大，而复数要引入虚数轴，在平面上表示。

8.证明任何一个有理数的平方都不等于5？
证明：假设存在，设这个有理数是m/n
那么m、n互质
那么5n²=m²显然m是5的倍数
设m=5t即n²=5t²所以n也必然是5的倍数
那么m/n至少有5这个质因数，这与m、n互质矛盾
9.（略看）所有不是整数的有理数集是数环吗？是数域吗？还是既非数环又非数域？为什么？
答：不是整数的有理集不是数环，任何数域都包含有理数域Q，所以不是数域
第二章式、代数式、不等式
1.P59，例11
2.学好数学和掌握好符号的运用有关吗？
答：理性思维的基本品质之一是善于使用符号语言。

我们强调数学学习的重要性，原因之一是在与数学能够培养学生熟练地使用形式符号进行推理的能力，并由此提高理性思维的品质和素养。

3.数学是科学的语言，符号在科学语言中的地位怎么样？
答：①从历史上看，每一个重大的数学进展都和数学符号的创造性运用是分不开的。

②数学符号语言的运用，使复杂的数学推理成为可能。

③学会使用符号语言表述丰富的思维并用以指挥计算机进行操作，是人类理性思维发展的必备基础。

4.文字代表数有那几层含义？
答：文字代表数的真正价值在于文字能够和数字一起进行四则运算和乘方、开方，进行指数、对数、三角等运算，乃至对字母进行微分、积分运算等等。

5.不等式如何分类？解不等式和证明不等式有何异同？
答：不等式分为绝对值不等式和条件不等式{分为超越不等式和代数不等式[分为有理不等式（分为整式不等式和分式不等式）和无理不等式]}
6.证明绝对值不等式的方法？
答：综合法、分析法、放缩法、反证法、数学归纳法等基本数学方法,配凑、拆项、换元、构造、特殊化、等分区间、分类讨论等一些常用的解题技巧与策略。

7.解条件不等式要注意哪些问题？
答：①变形保证是等价变形，即不要丢根也不要产生增根；②对于分式不等式与无理不等式要注意定义域；③注意区间两端的闭与开；④取交集时不可马虎大意，保证准确性；⑤分情况讨论时，保证全而准确，不漏不重。

第三章方程
1.方程的本质是“关系”，而且是一个等是关系。

2.方程在数学中的地位如何？
答：许多数学的进步是随着方程研究发展而发展的。

3.方程、函数、曲线三者关系如何？
答：方程是曲线的代数表示，曲线是方程的几何表示（图像）。

函数是一种特殊的方程，即一对一方程。

例如：对抛物线来说，它是曲线也是图形，我们可以从函数的角度研究它，也可以从方程的角度研究它．但是两者之间是有区别的。

从函数的角度看，图形体现的是一种数量关系，它只不过是函数的一个直观载体；从方程的角度看，它是从几何特征出发，确定它的代数关系（即方程），用方程研究曲线，即解析几何的思想方法。

它们虽然都体现了数形结合，但是体现的侧面不同．
4.评价韦达定理的价值？
答：韦达定理贯穿于中学数学的始终,它在方程论中有着广泛的应用，是实系数一元二次方程的重要基础知识。

它不仅可以解答方程的问题同样也可以解答几何中的问题，涉及的面很广泛。

下面我们就来看一下他的具体应用。

例如：①用韦达定理来解决方程或方程组的问题，可以起到化繁为简、化难为易的作用，从而使这些问题得到顺利的解决；②韦达定理揭示了一元二次方程的根与系数间的关系，应用十分广泛；③韦达定理在物理学当中也充分的发挥了其本身的价值。

5.中国剩余定理的重要性何在？它与线性组合、特解通解，线性空间的“基”等数学概念有何联系？
答：中国剩余定理非常重要，其数学思想即分类统一思想很值得借鉴，而且还可以推广到其他数学领域，如抽象代数学。

第四章 函数
1.伽利略研究抛物体的运动及自由落体运动，产生了函数S=21gt ²，
他明确宣称，科学的本质是数学。

2.法国数学家笛卡尔最先提出了“变量”的概念，他在《几何学》中不仅引入了坐标，而且实际上也引入了变量，他在指出x,y 是变量的同时，还注意到y 依赖于x 而变化，这就是函数思想的萌芽。

3.函数概念的三种定义：变量说、对应说（映射说）、关系说：（P95）
（1）函数的变量说定义：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果变量y 随着x 的变化而变化，那么就说x 是自变量，y 是因变量，也称y 是x 的函数，x 的取值范围叫做函数的定义域，与x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

（2）函数的对应说定义：设A 为非空实数集，如果存在对应规律f ，对A 中每一个元x 按照对应规律f ，存在R 中唯一的一个事实y 与之对应，则称对应规律f 是定义在A 上的函数，表为：f ：A →R 。

集合A 称为函数f 的定义域，元x 所对应的y 值称为x 的函数值，表为y=f(x)。

函数值的集合成为函数f 的值域，表为f(A)，即f(A)={y|y=f （x ），x ∈A}∈R 。

由于x ∈A 与y ∈R 处于不同的地位，因此称x 是
自变量，y是因变量。

（3）函数的关系说定义：在函数的定义中，对于任给的x∈X，则存在唯一的y∈Y与之对应，而在关系的定义中，对于任给的x∈X，可以有多于一个的元与之对应，所以说函数是一种特殊的关系。

评价：“变量说”是最朴素、最根本，也是最重要的，对于初学者更容易接受。

“对应说”形式化的程度较高，对于研究函数精细性质具有一定作用。

三种不同的定义，都有各自存在的理由，但是“变量说”无论如何总是最基本的。

3.函数的本质是变量之间的关系。

4.许多现实问题可以归因于研究数量的变化过程（函数本质）。

5.函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数
的本质。

6.进入高中阶段，要求用两个数集之间对应的方式来阐述函数的意
义，此时，学生需要抽象地思考，跳出函数的具体表达式的限制，把“对应法则”作为函数概念的核心，这就是要求从变量说过渡到对应说。

7.学习函数的概念，要实现由静到动的转变。

8.初等函数为什么重要？
9.函数单调性定义的教学难点：①单调性是函数的局部性质；②单
调区间不能求并；③单调性变式理解；④数形结合和函数奇偶性联系起来；⑤对差式的因式分解要彻底。

10.用APOS理论分析二次方程概念（P124）——重点。