西南大学2018年秋季网教作业0772中学代数研究

参考答案：
有理数与循环小数的关系
如果有理数 p/q 不是有限十进位小数，那么通过不断地作除法能
表示为一个无限的十进位小数。在这一过程中，每次必然有一个
非零的余数，否则这十进位小数是有限的。在除的过程中出现的
所有不同余数将是 1 和 q-1 之间的整数，所以最多只能有 q-1 个 不同的余数值，这意味着，最多除 q 次，某个余数 k 将第二次出 现。但由此随后而来的所有余数，将按照余数 k 第一次出现后它 们出现的同样次序重复。这说明任何有理数的十进位小数表示式 是循环的；开始出现有限个数码，随后同样的一个数码或一组数 码将无限次地出现。 例 如 ， 1/6=0.16666666… ； 1/7=0.142857142857… ； 1/11=0.0909 0909… 等 等 。 那 些 能 表 示 为 有 限 小 数 的 有 理 数 ， 也 可 以 认 为 是 一 个 循环小数，它在有限个数码之后，只是无限次地重复着数 0。 反之，所有循环小数都是有理数。例如，取无限循环小数 P=0.3322222… ，
33、有理数集能与自然数集建立一 一对应关系。
.
A.√
.
B.×
34、中学代数教学应强调形式化的计算。
.
A.√
.
B.×
35、实数集是可数的无穷集合。
.
A.√
.
B.×
36、
1、 方程的本质是“关系”，而且是一个等式关系。
.
A.√
.
B.×
37、
1、 在数学学习中，所谓“理解”实际上基本等同于“建立直观形象”。
.
基本不等式
.
平面三角不等式
.
二维排序不等式
15、自然数公理系统是（ ）的逻辑基础
.
数学归纳法
.
反证法
.
定义法
16、下列说法，哪一个是错误的（ ）
.
有理数具有可数性
.
有理数具有完备性
.
有理数具有稠密性
17、复数集按照“字典排序”关系，是一个（ ）
.
数域
.
序域
.
数集
.
序集
判断题
18、给定两个长为 a,b 的线段，用尺规可以作出 a 与 b 的和、差、积、商。
西南大学 网络与继续教育学院
课程代码： 0772 学年学季：20182
单项选择题
1、有理数集可以与自然数集建立一一对应的关系，这说明有理数集具有（ ）
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稠密性
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可数性
.
完备性
2、高中代数课程的基本主线是（ ）
.
方程
.
不等式
.
函数
.
数列
3、下列哪一个数，用尺规是可以做出的（ ）
.
根号 2
.
圆周率
.
欧拉数 e
又 三式相加得，
即
aA bB cC
abc 3
64、试证欧拉数 e 不是一个有理数
参考答案：
证明（反证法）：
假设 当
=
<
< =
即，
，令 n 无限增大，而 m 保持不变，
有
,
在上式两段乘以 但是， 是一个整数，因此整数 而这是不可能的，故 e 不是有理数。
, 将位于两个相继的整数之间，
65、 试证没有一个有理数的平方等于 5。 参考答案：
47、一元 5 次及其以上次代数方程有根式解。
.
A.√
.
B.×
48、给定两个长为 a,b 的线段，用尺规可以作出 a 与 b 的和、差、积、商。
.
A.√
.
B.×
49、实数的有理数区间套定义和戴德金分割定义，两种定义方法在本质上是一致的。 Nhomakorabea.
A.√
.
B.×
50、戴德金分割中对有理数集的分割满足“不空”、“不漏”、“不乱”三个条件。
.
A.√
.
B.×
30、对于有限数列来说，并不一定存在一个多项式函数，来表示它的通项。
.
A.√
.
B.×
31、自然数公理系统直接保证了数学归纳法的合理性，所以，也可以把数学归纳法当作公理来看待。
.
A.√
.
B.×
32、在戴德金分割中，存在下列情形：戴德金分割的下集中有最大数，上集中有最小数。
.
A.√
.
B.×
67、试述“中学代数研究”的研究方法？
参考答案： 答案要点：
长期以来，对中学代数的研究存在一种单一的“严格化”倾向， 即对中学代数知识用成熟的数学语言系统，逻辑地建立起来，中 学代数研究的一个主要目的就是将中学里“不严格的内容”加以 严格化。我们并不反对要将中学代数知识严格化、系统化，毕竟 这有助于对数学知识有更深入地认识和了解，但是单纯地为严格 化而严格化，就失去了中学代数研究的重要目的。正如 F.克莱因
指出的，我们当然要用较高的观点处理初等数学知识，只有观点
越高，事物越显得简单；另外，还要为中学数学教学服务，数学
知识的讲授应当顾及到学生的心理，不应只讲究系统。为此，我
们认为中学代数研究的基本方法应从如下三方面入手： (一) .从较高的数学观点来研究中学代数知识，加深对相关内容的 本质理解； 例：为什么复数不能比较大小 在中学里，我们知道两复数相等时当且仅当它们的实部等于实部， 虚部等于虚部。如果问：两复数不等时，它们有没有大小关系？ 其实，复数之间能建立一种顺序关系，即前后关系，但不能建立 大小关系。我们可以将平面上的点“排队”，即按照字典方法将 复数排队，两个复数，先比较实部，实部较小的复数排在前面， 如果实部相等，再比较虚部，以虚部小的复数排在前面。通过这 种方式能将复平面上的点进行排序，由此可知复平面上的点是可 以有顺序的。 那么为什么复数不能比较大小呢？要弄清这个问题，必须要弄清 什么是大小关系？什么是有序域？在以后的学习中，我们会知道 大小关系必须满足两种性质，即加法保序性和乘法保序性，复数 集是不能同时满足这两种性质的，从而复数不能比较大小。 在中学代数中，类似以上的例子还有很多，我们只有通过从较高 的数学观点出发，才能清楚地理解或回答类似的问题。
.
A.√
.
B.×
55、在实数的定义方法上，“无穷小数定义说”和“有理数区间套定义说”并没有本质区别。
.
A.√
.
B.×
56、函数的“对应说”定义比“变量说”定义更高级。
.
A.√
.
B.×
57、对于任一有限项的数列，都可以给出通项表达式。
.
A.√
.
B.×
58、三等分角问题、倍方问题和化圆为方问题被称为古希腊的三大几何作图问题。
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A.√
.
B.×
19、有理数对极限运算是封闭的。
.
A.√
.
B.×
20、不定方程求解的算理依据是辗转相除法。
.
A.√
.
B.×
21、函数的“关系说”定义比“对应说”定义更形式化。
.
A.√
.
B.×
22、我们可以把复数看成是满足相应运算法则的二元实数(a, b)。
.
A.√
.
B.×
23、
1、 在高中数学中，算法应作为一种核心观念贯穿于高中数学教学的始终。
.
A.√
.
B.×
51、
1、 算法的合理性是新“数”获得承认的主要原因。
.
A.√
.
B.×
52、数学归纳法具有两个缺一不可的性质：即归纳性、演绎性。
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A.√
.
B.×
53、
1、 每一个重大的数学进展都和数学符号的创造性运用是分不开的。
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A.√
.
B.×
54、“孙子定理”和拉格朗日插值公式在思想方法上是相通的。
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A.√
.
B.×
24、中学代数应当“以方程为纲”。
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A.√
.
B.×
25、一元 5 次及其以上次代数方程有根式解。
.
A.√
.
B.×
26、“三等分角”是可解的。
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A.√
.
B.×
27、
1、 形式化是数学的基本特征之一。
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A.√
.
B.×
28、自然数的基数理论反映了事物记数的顺序性。
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A.√
.
B.×
29、《孙子算经》、《周髀算经》、《九章算术》并称为我国最古老的数学三大名著。
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A.√
.
B.×
38、函数的“对应说”比“变量说”更高级。
.
A.√
.
B.×
39、
1、 在自然数公理系统中“1”和“′”是两个没有实质意义的形式符号。
.
A.√
.
B.×
40、
1、
复数可以排序。
.
A.√
.
B.×
41、在讨论复数的乘法运算时，复数的三角表达式比坐标表达式有更多的好处。
.
A.√
.
B.×
42、
1、 初等代数学，是研究数字和文字的代数运算（加法、减法、乘法、除法、乘
(三 ).适 当 注 意 对 解 题 的 研 究 ， 强 化 对 中 学 代 数 知 识 理 解 的 应 用 性 。 数学学习和教学离不开解题，因此中学代数研究还要注意对解题 方法的研究。当然，我们不主张“题海战术”，只是适当注意对 数学解题方法的研究而已。
68、 为什么有理数一定可以写成循环小数的形式，反之，任何一个循环小数也可写成有理数的形式？
要证 只需证
因为 只需证 因为， 因为
将上三个不等式相加，得 此式与所要证明的不等式
, ，