0772《中学代数研究》2017秋《数学与应用数学》专业
成人教育《数学与应用数学》专业介绍
成人教育《数学与应用数学》专业建设规划与建设方案第一部分：专业的背景与基础条件分析第二部分：数学与应用数学专业建设规划目标第三部分数学与应用数学专业建设实施方案第四部分：数学与应用数学专业人才培养方案泰山学院继续教育学院泰山学院数学与系统科学系2009年6月16日第一部分数学与应用数学专业（成人教育）专业的背景与基础条件分析一、专业发展概况泰山学院的成人教育始于60年代初原泰安师范专科学校开展的高师函授教育，是山东省承办高师函授教育最早的高校之一。
多年来，泰山学院坚持普教、成教“两条腿走路”的方针,非常重视成人教育工作,始终坚持为经济建设和社会发展服务、为基础教育服务的办学方向，一直把成人教育工作纳入学校的整体规划，与全日制普通教育一起，实行统一领导，同一支师资队伍,统筹安排，分头管理，始终把提高教育教学质量放在第一位。
近50年来，学校的成人教育数学专业为山东尤其是泰安市培养了2000多数学专业专门人才，他们多数已成为山东省特别是泰安市教育战线的领导和骨干教师，为山东省的教育事业做出了重大贡献。
我校数学专业的成人教育，开始于建校初期。
1962年，原泰安师范专科学校开始对中学教师进行轮训，首批数学专业招生40名。
同时开始了函授教育，至文革前，数学专业共培训学员千余名，生源遍及当时泰安、临沂、济宁、菏泽、聊城、德州以及济南、枣庄8个地市。
文革期间，在社会秩序非常混乱的情况下，学校仍举办了多期非学历函授教育和教师培训，其中数学专业学员近千人。
1980年，学校正式恢复函授教育，至2004年，数学专业共招生2000有余，其中近1500名学员毕业。
同时，从1978年至合校前，泰安教育学院数学专业举办了多次教师培训、中学教师学历补偿教育（即“三沟通”）、自学考试辅导等成人教育工作，仅“三沟通”培训就有数千名中学教师参加。
2004年起，我们又开始了本科函授，现已有毕业生200余名。
近50年来，数学专业建设有了长足的发展。
《初等数学研究》教学大纲
《中学数学研究》课程教学大纲课程名称：中学数学研究（代数分册）英文名称：课程代码: ZB1051021-22 课程类别: 专业必修学分: 3 学时: 48开课单位: 数学系适用专业: 数学与应用数学制订人：制订日期: 2011.04审核人：（教研室主任签字）审核日期：2011.05审定人: 审定日期: 2011.06一、课程性质与目的（一）课程的性质初等代数研究是高等师范本科数学与应用数学专业、专科数学教育专业的一门专业方向课。
本课程需要从中学数学的教学需要出发，根据中学数学的内容和知识结构，把初等代数的一些基本问题分别组成若干专题，在内容上适当延伸和充实，在理论、观点和方法上予以提高。
对各个专题的教学，都要着重基本思维方法和基本技能技巧的训练。
要求学生认清具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点。
（二）课程的目的本课程的教学目的是使学生掌握中学数学教学所需的初等代数的基础理论、基础知识和基本技能；了解初等代数的内容和知识结构；在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步训练，为教好中学数学打下较坚实的基础。
二、与相关课程的联系与分工中学数学研究（代数分册）是高等师范院校数学专业的专业方向课。
它是在学生已经掌握了一定的数学专业知识的基础上，继“心理学”、“教育学”之后开设的，是研究初等数学系统理论的一门课程。
本课程的主要特点是高等数学与初等数学相联系，弥补学生学习初等数学与高等数学衔接的不足，为学生用高观点指导中学数学教学、进行教学研究打下基础。
三、教学内容及要求第一章数系【教学要求】了解数系扩展的两种形式及其所遵循的原则。
掌握自然数的序数理论。
理解自然数集扩充到有理数集的有关概念，掌握有理数（实数）大小比较的法则、有理数（实数）的运算法则和有理数（实数）集的性质。
理解无理数、实数和复数概念，掌握复数的两种表示形式、复数的运算和复数集的性质。
【教学重点】序数理论、整数环、实数的运算、实数集的性质、复数的三角形式、复数的运算、复数集的性质。
《初等数学研究》
《初等数学研究》一、课程的性质目标与任务初等数学研究是高等师范院校数学与应用数学专业的一门选修课程，分初等代数和初等几何两部分。
本课程的教学目的是使学生掌握中学数学教学所需的初等数学的基础理论、基础知识和基本技能；了解数学的内容和知识结构；在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步训练，为教好中学数学打下较坚实的基础。
本课程主要讲授初等几何部分，初等代数部分作为自学内容。
二、课程的内容与基本要求本课程的基本要求是：从中学数学的教学需要出发，并根据中学数学的内容和知识结构，把初等数学的一些基本问题分别组成若干专题，在内容上适当延伸和充实，在理论、观点和方法上予以提高；对各专题的教学，都要着重基本思维方法和基本技能技巧的训练；要求学生认清具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点。
初等几何部分第一章绪论1．几何学的历史简介2．初等几何研究的对象和目的了解几何学发展的四个基本阶段以及初等几何研究的对象和方法第二章几何的证明1．几何证明的概述2．证度量关系3．证位置关系掌握常用的证题方法和技巧第三章几何量的计算1．线段度量2．面积计算3．解三角形掌握勾股定理推广和斯蒂瓦尔特定理及其应用，会计算面积和解三角形。
第四章初等变换1．合同变换及其间的关系2．位似变换和相似变换3．初等变换的应用理解合同变换、位似变换和相似变换等概念，能利用初等变换解题。
第五章轨迹1．基本概念（轨迹的概念与证明方法，轨迹命题的类型）2．常用轨迹命题及其证明3．轨迹的探求理解轨迹的概念，并掌握轨迹命题的证明方法。
掌握常用的几个轨迹命题。
第六章立体图形的一些性质1．直线与平面（直线与平面的各种位置关系，空间作图公法，简单作图题）2．三面角（三面角及其性质，三面角的相等）3．多面体（四面体的一些性质，凸多面体的欧拉定理，正多面体，截面图的画法）4．体积计算（体积概念，拟柱体体积公式，体积计算）掌握空间直线与平面的各种位置关系。
中学数学研究
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（二）内容概要
《中学数学研究》主要分《中学代数研究》和《中学 几何研究》两部分。
1. 《中学代数研究》的内容概要 数与数系 ：自然数理论；有理数域及性质；实数 集及性质；复数集及性质； 式、代数式与不等式 ：式的概念及其性质；代数 式及其性质；初等超越式及其性质；不等式的概念及 其性质；不等式的同解变形；不等式（组）的解法； 不等式的证明；中学数学中不等式的教学研究。
度量几何：线段和圆弧的长度；球的体积和表面 积；三角学；定量化的几何；分形几何概观。
平面几何及其证明：命题与证明；平面几何证明 的几种方法（面积法与面积坐标，向量法与复数法）； 几何轨迹与尺规作图。
2020/1/14
立体几何研究与解题；
立体图形、截面图形、投影图形的画法；直线、 平面的平行、垂直关系的对偶性；求解立体几何问题 的向量法与综合法；空间向量的数量积和向量积；立 体几何的教学。
平面解析几何研究与解题： 坐标系和坐标变换；曲线、方程、函数；曲线的 生成与类型的判别；射影几何解析几何与平面；平面 解析几何的教学；二次曲线的实际应用。
球面几何学初步和几何定理的机器证明 ：球面几 何的有关概念；球面三角；球面坐标；球面几何与双 曲几何；吴文俊几何定理证明的机械化方法；张景中 消点算法。
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二. 中学数学研究的教学要求 《中学数学研究》主要分《中学代数研究》和《中学 几何研究》两部分。
(一) 中学代数研究的教学要求 数与数系 ：了解：数系历史发展的过程。
掌握：数系的扩充过程。
式、代数式与不等式 ： 掌握：学生学会用符号语言表示数学思想； 掌握：不等式证明的基本方法。
算法： 掌握：算法的基本知识
数学系读博方向
数学系读博方向
在数学系攻读博士学位时，有许多不同的研究方向可供选择。
以下是一些常见的数学博士研究方向：
1.纯数学（Pure Mathematics）：纯数学研究方向涵盖了广泛
的数学领域，如代数学、几何学、拓扑学、数论等。
该领
域的研究强调数学结构、抽象概念和证明方法。
2.应用数学（Applied Mathematics）：应用数学关注数学在实
际问题中的应用。
研究方向包括数学物理学、数值分析、
优化理论、控制论等。
应用数学的研究旨在开发数学模型
和算法以解决科学、工程、经济和社会问题。
3.统计学（Statistics）：统计学着重于数据收集、分析和推断。
研究方向包括统计推断、回归分析、时间序列分析、多元
分析等。
统计学的应用广泛涉及到医学、金融、市场研究
等领域。
4.操作研究（Operations Research）：操作研究利用数学和量
化方法优化决策。
相关研究方向包括线性规划、离散优化、决策分析、排队论等。
操作研究的应用领域包括供应链管
理、交通运输、制造业等。
5.计算数学（Computational Mathematics）：计算数学研究数
学问题的计算方法和算法。
研究领域包括数值分析、科学
计算、高性能计算等。
其应用范围包括仿真模拟、图像处
理、数据分析等。
这是一些常见的数学博士研究方向，实际上还有许多其他的专业领域和交叉学科，如数学生物学、数学教育、数学金融等。
数与代数领域加强与削弱的内容介绍——《课程标准》与《大纲》内容比较之一
数与代数领域加强与削弱的内容介绍——《课程标准》与《大纲》内容比较之一《中学数学课程标准与教材研究》教学大纲一、教学目的1、通过对《义务教育数学课程标准（2011年版）》和《普通高中数学课程标准（实验）》的研究，使学生熟悉并掌握中学数学课程的性质、基本理念、课程目标和课程设计思路和内容安排，准确把握中学数学课程，掌握课程评价基本方法。
能够较为准确理解中学数学课程标准的核心思想，提升学生的数学教师专业素养。
2、帮助学生掌握全面分析中学数学教材的一般方法，掌握分析教材的基本策略，能够分模块对中学数学教材的内容和结构进行研究，确定单元教学目标、课时教学目标以及相应的教学重难点，找到突出重点，突破难点的关键，提高学生对教材的分析、研究和处理能力，达到灵活运用中学数学教材的目的，提高自身的数学教科书素养。
3、培养学生实施课标所倡导的新理念的能力，提高驾驭中学数学教材的能力，从而缩小现行课程体系下中学数学教师的专业素养与课程改革的期望之间的差距，缩短在校师范生的成长周期，为以后参加教育工作打下坚实的基础。
二、教学任务1、《义务教育数学课程标准（2011年版）》解析2、《普通高中数学课程标准（实验）》解析3、基础教育初、高中数学课程标准实验教科书分析（根据内容分模块进行）4、国内外数学课程改革与发展趋势三、教学方式以课堂讲授研讨为主，同时也包括学生自主探索、合作交流、阅读自学等方式。
在教学中，采用理论讲授与案例分析相结合的方式，依据选取典型的案例，讲清基本理念和方法，鼓励学生积极参加到教学活动中。
加强教学实践环节，指导学生课后自主阅读相关的教学参观资料和著作，开阔学生的思维和视野，拓展、深化对课标和教材的理解。
四、教学内容结构及单元目标与任务第一章绪论（2课时）1.课程内容简介2.课程目标与意义3.课程学习方法4.中学数学教材的研究策略目标与任务：明确本课程的学习目标、基本内容和意义，使学生对整个课程有一定的认识，同时明确在学习过程中将利用到的资源及学习方法，帮助学生在后期的学习过程中更好地学习该课程。
(完整版)中学代数研究(张奠宙版)重要概念考点
《中学代数研究》期末复习资料第一章数与数系1.按照与实体分离的程度不同，数系循着以下历史途径扩展：自然数→正有理数→简单的代数无理数→零与负有理数→复数→严格的实数系2.数的逻辑扩展自然数添加负数和零整数系作分式域有理数系作柯西序列等价类实数系作2次代数扩张复数系3.自然数集是一个无限集，这是人们在数学上第一次遇到的最简单、最直观的无限集.自然数公理系统利用“后继”描述了这种无限性。
4.P8——P10，定理1——6的证明4.为什么要引入“0”作为自然数？答：首先，尽早引入0，有利于学生对自然数的理解；其次，数0对于数的扩展来说十分重要；最后，从集合论的角度看，把0作为自然数比较合理。
5.数系通常包括：整数系、有理数系、实数系、复数系。
【注意：顺序不可颠倒】6.数学归纳法是不是公理？答：是。
数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）。
不是。
它只是一种证明方法。
因为数学归纳法是证明与自然数有关的命题，而不是完全归纳法，它的基础是自然数列的性质而不是逻辑公理。
7.复数不能规定大小的含义是什么？答：数学上所谓大小的定义，是在实数轴右边的比左边的大，而复数要引入虚数轴，在平面上表示。
8.证明任何一个有理数的平方都不等于5？证明：假设存在，设这个有理数是m/n那么m、n互质那么5n²=m²显然m是5的倍数设m=5t即n²=5t²所以n也必然是5的倍数那么m/n至少有5这个质因数，这与m、n互质矛盾9.（略看）所有不是整数的有理数集是数环吗？是数域吗？还是既非数环又非数域？为什么？答：不是整数的有理集不是数环，任何数域都包含有理数域Q，所以不是数域第二章式、代数式、不等式1.P59，例112.学好数学和掌握好符号的运用有关吗？答：理性思维的基本品质之一是善于使用符号语言。
我们强调数学学习的重要性，原因之一是在与数学能够培养学生熟练地使用形式符号进行推理的能力，并由此提高理性思维的品质和素养。
中学代数研究__第1章_数与数系
五.用结构主义方法构造数系
微积分中“无穷小”的不严密→希尔伯特的《几何
基础》→布尔巴基学派的结构主义
我们把具有特定结构的数的全体，称为一种数系。
借助抽象代数的语言，各种数系可以浓缩为一系列
代数结构和序结构的组合。 数系的扩充过程是在原有的数系上添加新的元，规 定新的运算，形成新的结构，最终扩充为新的数系。
课 程 概 论
七、教学方法
•老师讲授，学生讨论提问 •学生讲授，老师补充
•开讨论班，解决学习中的问题
八、学习要求
•认真思考，提出学习中的问题； •每两周做一套中考、高考试题。
9
课 程 概 论
九、考试
•笔试：一套中考题
10
第一章 数与数系
数系的历史发展 自然数系和0 从自然数系到整数 环 有理数系 实数系
添加负数和零
作分数域 有理数系 整数系
15
当人们还普遍怀疑负整数是一种数时，人们 就已经在研究正的有理数和无理数，甚至已 经开始使用复数了。 人们可以接受正有理数和正无理数，因为它 们是在实体测量中产生的抽象物。 不能实际测量，正是一些数学家不愿意承认 负数的理由。
•数系，式、等式与不等式，方程，函数，数列， 算法，排列组合等。
5
课 程 概 论
五、开课目的
•弥补学习初等数学与高等数学衔接的不足，为用 高观点指导中学数学教学、进行教学研究打下基 础。用近代数学的观点与思想方法分析研究一些 重要课题，掌握初中代数教学所需的初等数学的 基础理论、基本知识和基本技能；了解初中代数 的内容和知识结构；在数学思想上得到启发，在 教学方法上得到初步培训，为教好初中代数打下 较好的基础；具有分析和处理中学数学教材，结 合教育规律，采用相应教学法的能力。
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单选题：1、用复数的棣莫弗公式，可以推导A. 一元二次方程的求根公式B. 点到直线的距离公式C. 三角函数的n 倍角公式2.下列说法，哪一个是错误的：A. 戴德金分割和有理数区间套定义是等价的；B. 戴德金分割中对有理数集的分割满足“不空”“不漏”“不乱”三个条件；C. 戴德金分割的下集存在最大数时，上集存在最小数。
3、“等价关系”和“顺序关系”的区别在于，前者具有：A. 反身性B.对称性C.传递性4、高中代数课程的基本主线是： A. 方程 B. 函数 C. 数列5、在中学代数教学中，应提倡的一个基本原则是：在注意形式化的同时，加强代数知识的----. A. 恒等变换 B. 形式推导 C. 直观理解6、点到直线的距离公式，可以用--------推出：A. 排序不等式B. 均值不等式C. 柯西不等式7、有理数集可以与自然数集建立一一对应的关系，这说明有理数集具有：A. 稠密性B. 连续性C. 可数性D. 完备性8、加权平均不等式和下列哪种不等式有内在联系：A. 均值不等式B. 柯西不等式C. 排序不等式9、代数学是研究数学对象的运算的理论和方法的一门学科，根据数学对象的不同表现代数学可分为：A. 方程和函数；B. 数列和算法C. 古典代数和近代代数；D. 抽象代数和近世代10、下列说法，哪个是正确的；A. 复数集是一个有序域；B. 复数可以排序；C. 复数可以比较大小；11、下列哪个说法是错误的:A. 用尺规作图可以二等分角B. 用尺规作图可以画出根号5的数C. 用尺规作图可以三等分角D. 用尺规作图可以画直线外一点到该直线的垂直线12、任意两个有理数之间，均存在一个有理数，这说明有理数具有：A. 可数性；B. 连续性；C. 完备性D. 稠密性13、用下列哪种方法，对任意有限数列都可以给出该数列的通项表达式。
A. 拉格朗日插值公式B. 数列的母函数C. 高阶数列的求和公式14、加权平均不等式和下列哪种不等式有联系：A. 排序不等式B. 均值不等式C. 柯西不等式15、下列说法，哪一个是错误的：A. 自然数集是可数的；B. 有理数集是可数的；C. 实数集是可数的；16、两个集合A和B的笛卡尔积的子集，被称为A. 结构；B. 关系；C. 序偶；D. 对偶17、不定方程求解的算理依据是：A. 孙子定理B. 单因子构件法C. 辗转相除法D. 拉格朗日插值法18、点到直线的距离公式，可以用--------推出：A. 均值不等式B. 柯西不等式C. 加权平均不等式D. 排序不等式19、复数集按照“字典排序”关系，是一个：A.全序集B.有序域C.复数域20、两个集合A和B的笛卡尔积的子集，被称为A. 序偶B. 结构C. 对偶D. 关系21、一个收敛的有理数列，其极限可以不是有理数，这说明有理数不具有：A. 稠密性B. 可数性C. 连续性判断题：√22、在算法的教学中，应当注意培养学生的数学表达能力。
√23、《孙子算经》、《周髀算经》、《九章算术》并称为我国最古老的数学√25、在数学运算中，善于进行恒等变形是一项基本数学能力。
×26、在讨论函数的复合运算时，使用函数的“变量说”定义比较方便。
×27、在戴德金分割中，存在下列情形：戴德金分割的下集中有最大数，上集中有最小数。
×28、均值不等式和加权平均不等式是两个不同的不等式，二者并没有什么关系。
×29、实数集是可数的无穷集合×30、在戴德金分割中，存在下列情形：戴德金分割的下集中有最大数，上集中有最小数。
√31、“孙子定理”和拉格朗日插值公式在思想方法上是相通的。
×32、自然数的序数理论回答了一个集合含“多少个元”的问题。
√33、代数学一般有古典代数与近代代数之分。
×34、实数集是可数的。
√35、复数集是一个全序集。
×36、顺序关系具有反身性、对称性、传递性。
√37、有理数集和自然数集具有相同的“势”。
√38、斐波拉契数列和黄金分割数有密切的关系。
√39、0.999……=1 （正确）√40、形式幂级数的乘法运算定义是多项式乘法运算的推广。
√41、戴德金分割中对有理数集的分割满足“不空”、“不漏”、“不乱”三个条件。
√42、在自然数公理系统中“1”和“′”是两个没有实质意义的形式符号。
×43、代数基本定理所表现出的思想方法原则是“单因子构件法。
×44、对于数轴上的有理数，我们有两个相邻的有理数的说法。
√45、代数学一般有古典代数与近代代数之分。
×46、在实数的定义方法上，“无穷小数定义说”和“有理数区间套定义说”并没有本质区别。
×47、无穷小不是一个理想的数。
×48、顺序关系具有反身性、对称性、传递性。
√49、实数的有理数区间套定义和戴德金分割定义，两种定义方法在本质上是一致的。
√50、柯西不等式与余弦定理有内在的联系。
√51、算术到代数的演进加速了数系的形成。
√52、任何有理数的十进位小数表示式都是循环的。
×53、在讨论函数的复合运算时，使用函数的“变量说”定义比较方便。
×54、自然数的基数理论反映了事物记数的顺序性。
√55、三等分角问题、倍方问题和化圆为方问题被称为古希腊的三大几何作图问题。
×56、有理数对极限运算是封闭的。
×57、对于数轴上的有理数，我们有两个相邻的有理数的说法。
×58、对于有限数列来说，并不一定存在一个多项式函数，来表示它的通项。
×59、群是古典代数研究的对象。
×60、用尺规不能二等分角。
√61、我们可以把复数看成是满足相应运算法则的二元实数(a, b)。
√62、0与空集的基数相对应，所以从集合论的角度看，0应当是自然数。
√63、自然数系公理系统直接地保证了数学归纳法的合理性，所以，也可以把数学归纳法当作公理来看待。
×64、有理数对极限运算是封闭的。
×65、实数集是可数的。
√66、“中学代数教学”的一个基本原则是：在注意形式化的同时，加强代数知识的直观理解。
原不等式得证。
此等号不成立。
为正数且各不相等，因，，，又）（（根据柯西不等式，左端证明：特征不等式化为c b a a c c b b a a c c b c b a ac c b b a 9111)]()())[(11b a 19)(2)111(2=++≥++++++++++=≥++⨯+++++3)())((3,,,π即：π（）三式相加得：又，由排序不等式，得，则解：不妨设≥++++++=++++≥++++=++++≥++++≥++≤≤≤≤c b a cCbB aA c b a C B A c b a cC bB aA cC bB aA cC bB aA bC aB cA cC bB aA aC cB bA cC bB aA C B A c b a 个有理数。
只能是无理数，不是一欧拉数。
从而时右边为非整数，矛盾所以当＜＜子左边为整数，因为为正整数，从而上述式时，＞则当为正整数），，（，倘若”得到：＜＜时，证明：由“当e n n n e n e e n q n q p q pe n e n n n n e n n e n e x 2,1311!1)143!!(!)10(,)!1(!1!21111≥+++=+=++⋯•++-+++⋯+++==θθθθ√67、函数的“关系说”定义比“对应说”定义更形式化。
证明题： 68、试用自然数（皮亚诺）公理系统证明数学归纳法： 设p(n)是关于自然数n 的命题，如果p(n)满足下面的条件：（1）p(1)成立； （2）假定从P(k) 成立可以推出p(k+1)也成立，则命题p(n)对所有的自然数n 都成立。
69、 a b c 各不相等用柯西不等式证明下列不等式.docx70、试证明三维形式的均指不等式.docx71、在三角形ABC 中排序不等式证明.docx在三角形ABC 中，a,b,c 为角A,B,C 所对的边，求证：72、试证欧拉数e 不是一个有理数cb a ac c b b a c b a ++>+++++9222,求证为正数且各不相等、、设3π≥++++c b a cC bB aA73、试证没有一个有理数的平方等于5。
证明：用反证法证明。
假设有理数q p满足：52=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛q p ，并且1),(,0,=q p q p ＞,于是225q p =。
因为5是素数，所以5|p 。
设)0(5＞k k p =。
则有225)5(q k =，即得：225k q =，这说明5|q 。
于是5是p,q 的一个共因子，与(p,q)=1矛盾故假设不成立。
所以没有一个有理数的平方等于5成立。
74、试证任何一个有理数的平方都不等于5。
证明：用反证法证明。
假设有理数q p满足：52=⎪⎪⎭⎫⎝⎛q p ，并且1),(,0,=q p q p ＞,于是225q p =。
因为5是素数，所以5|p 。
设)0(5＞k k p =。
则有225)5(q k =，即得：225k q =，这说明5|q 。
于是5是p,q 的一个共因子，与(p,q)=1矛盾故假设不成立。
所以任何一个有理数的平方都不等于5成立。
75、证明自然数的加法满足交换律，即对于任意自然数a 和b,有a+b=b+a.答案要点：我们要证交换律a+b=b+a.可以分以下两步证明。
① .我们先证明等式a+1=1+a,因此对a 用归纳法。
设M 是使等式成立的所有a 的集合，显然，1∈M ，如果a ∈M,那么a+1=1+a,于是a ˊ+1=(a+1)+1=(1+a)+1=(1+a)ˊ=1+a ˊ,所以a ˊ ∈M,由归纳公理， a+1=1+a② .我们对b 用归纳法，证明a+b=b+a,设M 是对于给定a 使得等式成立的所有b 的集合，由①已证知，1 ∈M ，如果b ∈M,那么a+b=b+a,利用已证过的结合律，得到a+b ˊ=(a+b)ˊ=(b+a)ˊ=b+a ˊ=b+(a+1)=b+(1+a)=(b+1)+a= b ˊ+a.所以b ˊ ∈M,由归纳公理，故加法的交换律被证明。
的和无理数。
盾，所以π与数。
这与π是无理数矛仍是有理，所以差个域，对减法运算封闭因为全体有理数成为一，，则ππ即的和是一个有理数假设π与反证法证明：31313131,31)(--=+=a a a a 时，等号成立。
，很显然，当。
）（）（）（）（，则很容易得到：，。
又因为）（）（）（）（形式就变成：，则柯西不等式的三角中，我们假设式在柯西不等式的三角形，）（）（的左边可以变形为：）（）（）（）（证明：不等式32132123123123223222122123222323222323123122322322122123232121222222223223221221231231232232221221)()()()()()()()(,,,)()()()()()(y y y x x x y y x x y y x x y y x x y y y y x x x x y y x x y y x x y y x x y y d x x c y y b x x a d b c a d c b a y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x ====-+-≥-+-+-+--=--=--+-≥-+-+-+--=-=-=-=-+-≥+++-+-+-+--+-≥-+-+-+-76、试用柯西不等式证明平面三角不等式.docx试用柯西不等式证明平面三角不等式231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-77、证明 pai 与1/3的和是无理数。