2.3.2两个变量的线性相关

4、当x=2时，Y=143.063 因此，某天的气温 为2摄氏度时，这天大约可以卖出143杯热饮。
4. 回归方程^ y=1.5x－15，则( A )
A. y=1.5 x－15 B. 15是回归系数a
C. 1.5是回归系数a
D. x=10时，y=0
(x, y) 5.线性回归方程^ y=bx+a过定点________. ^=4.4x+838.19，则可估 6.已知回归方程y 5 计x与y的增长速度之比约为________. 22
脂肪 40 30 20 10 0 0 20 40 60 80
脂肪
上述三种方案均有一定的道理，但可靠性不强， 我们回到回归直线的定义。 求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画 “从整体上看，各点与直线的偏差最小”。
计算回归方程的斜率和截距的一般公式： n n ( x i x )( y i y ) x i y i n x y i 1 i 1 b , n n 2 2 2 ( xi x ) xi n x i 1 i 1 a y b x 其中，b是回归方程的斜率，a是截距。
它与实际收集得到的yi之间偏差是 yi-Yi=yi-(bxi+a)（i=1，2，…，n） 这样，用这n个偏差的和来刻画 “各点与此直线的整体偏差” 是比较合适的。
（x2，y2）
x
n Σ（yi-Yi）的最小值
i=1
n Σ|yi-Yi|的最小值
i=1
n Σ（yi-Yi）2的最小值
i=1
n Σ（xi-x¯ ）（yi-y） ¯ b= n Σ（xi-x） ¯
12.1 14.5
25.4 27.5
（1）求回归方程； （2）若市政府下一步再扩大5千煤气用户， 试预测该市煤气消耗量将达到多少.
解：（1）画散点图并求回归方程
^ y=6.0573x+0.0811
（2）当x=5时, y=30.3676≈30.37。
人体脂肪含量与年龄之间的规律，由此 回归直线来反映。
将年龄作为x代入上述回归方程，看看得 出数值与真实值之间有何关系？
年龄 脂肪 回归值 年龄 脂肪 回归值 23 9.5 12.8 53 29.6 30.1 27 17.8 15.1 54 30.2 30.7 39 21.2 22.0 56 31.4 31.8 41 25.9 23.2 57 30.8 32.4 45 49 50
i i
2 2 x nx i i 1
, a y bx
第四步，写出回归方程 y
Ù
= bx + a
2.回归方程被样本数据惟一确定，各 样本点大致分布在回归直线附近.对同一 个总体，不同的样本数据对应不同的回 归直线，所以回归直线也具有随机性.
3.对于任意一组样本数据，利用上述 公式都可求得“回归方程”，如果这组 数据不具有线性相关关系，即不存在回 归直线，那么所得的“回归方程”是没 有实际意义的.因此，对一组样本数据， 应先作散点图，在具有线性相关关系的 前提下再求回归方程.
3、求回归方程；
4、如果某天的气温是2摄氏度，预 测这天卖出的热饮杯数。
1、散点图
200 150 100 50 0 -20 0
图3-1
热饮杯数
20
40
2、从图3-1看到，各点散布在从左上角到由下角的 区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关， 即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。
3、从散点图可以看出，这些点大致分布在一 条直线的附近，因此利用公式1求出回归方程 的系数。 Y= -2.352x+147.767
最小二乘法的公式的探索过程如下：
设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据：
（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
设所求的回归直线方程为Y=bx+a，其中a，b是待定 的系数。当变量x取x1，x2，…，xn时，可以得到 Yi=bxi+a（i=1，2，…，n）
y
（xi ，yi ） yi-Yi （x1，y1）
Q = (y1-bx1-a)2 + (y2-bx2-a)2 +…+ (yn-bxn-a)2 问题归结为:a,b取什么值时Q最小,即总体和最小.
先对a配方
再对b 配方
我们可以用计算机来求回归方程。
回归方程 40 30 20 10 0 0 20 y = 0.5765x - 0.4478
40
60
80
根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间 有怎样的关系？
人体脂肪含量百分比与年龄散点图 40 30 20 10 0 0 10 20 30 年龄 40 50 60 70
脂肪含量
散点图：
两个变量的散点图中点的分布的位置是从左 下角到右上角的区域，即一个变量值由小变大， 另一个变量值也由小变大，我们称这种相关关系 为正相关。
脂肪 40 30 20 10 0 0 20 40 60 80
脂肪
我们应该如何具体的求出这个回归方程呢？
方案二、在图中选取两点画直线，使得直线两 侧的点的个数基本相同。
脂肪 40 30 20 10 0 0 20 40 60 80
脂肪
我们应该如何具体的求出这个回归方程呢？
方案三、在散点图中多取几组点，确定几条直 线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距的 平均数，将这两个平均数作为回归方程的斜率 和截距。
7.下表是某地的年降雨量与年平均气温， 判断两者是相关关系吗？求回归直线方程 有意义吗？
年平均气温 12.51 12.84 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05 (°C) 748 542 507 813 574 701 432 年降雨量 (mm)
由散点图看出， 求回归直线方 程无实际意义。
40 20 0 0 20 40 年龄 60 80
回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在 一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相 关关系，这条直线就叫做回归直线。 这条回归直线的方程，简称为回归方程。
如何具体的求出回归方程？
方案一：采用测量的方法：先画一条直线，测 量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一 个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的 斜率和截距，就得到回归方程。
思考：1、两个变量成负相关关系时，散点图 有什么特点？
两个变量的散点图中点的分布的位置是 从左上角到右下角的区域，即一个变量值由小 变大，而另一个变量值由大变小，我们称这种 相关关系为负相关。 2、你能举出一些生活中的变量成正相关或者 负相关的例子吗？
人体脂肪含量百分比与年龄散点图
散 点 图
脂肪含量
小结 1.求样本数据的线性回归方程，可按 下列步骤进行： 第一步，计算平均数 x , y
第二步，求和
第三步，计算 b i1
x y , x ( x x )( y y ) x y nx y
2
n
n
i 1 n
i
i
i 1
i
n
i
i
2 ( x x ) i i 1
n

i 1 n
例1：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气 温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热 饮杯数与当天气温的对比表：
摄氏温度 热饮杯数 -5 156 0 150 4 132 7 128 12 130 15 116 19 104 23 89 27 93 31 76 36 54
1、画出散点图；
2、从散点图中发现气温与热饮销 售杯数之间关系的一般规律；
i
（1）于是有b=（112.3-5*4*5）/（90-5*4^2）=1.23, a=5-1.23*4=0.08 （2）回归方程为Y=1.23x+0.08，当x =10时，Y=12.38 （万元），即估计使用10年时维护费用是12.38万元。
(2011广东高考理科数学第13题）某数学老师 身高176cm，他爷爷，父亲，儿子的身高分 别是173cm,170cm和182cm，因儿子的身高 与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析 的方法预测他孙子的身高是 185 cm．
i=1 i=1
a=y-bx ¯ ¯
Q=(y1-bx1-a) 2+(y2-bx2-a) 2+…+(yn-bxn-a) 2
当a，b取什么值时，Q的值最小，即总体偏差最小
回归直线的方程 的求法：
设x，Y的一组观察值为 (xi，yi) (i=1，2
ˆ bx a „，n) 且回归直线的方程为 y
当变量x取xi (i=1，2，„，n)时，可以 得到： y ˆi bxi a (i=1，2，„，n)， 它与实际收集到的yi之间的偏差是：
用最小二乘法求回归直线方程中a，b 有下面的公式：
n n ( xi x )( yi y ) xi yi nx y i 1 ˆ i 1 b , n n 2 2 2 ( x x ) x nx i i i 1 i 1 ˆ y bx . a
表示n个点与相应直线在整体上的接近程度. 记
Q ( yi bxi a) (∑为连加符号)
2 i 1
n
上式展开后，是一个关于a，b的二次多 项式，应用配方法，可求使Q取得最小值 时a、b的值.
这样，回归直线就是所有直线中Q取最 小值的那一条。由于平方又叫做二乘方， 所以这种使“离差平方和为最小”的方法， 叫做“最小二乘法”。
在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中， 研究人员获得了一组样本数据：
年龄 23 脂肪 9.5 年龄 53 27 39 41 45 49 50
17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 54 56 57 58 60 61
脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6