两个变量的线性相关_课件
高一数学必修3课件：2-3-1、2变量之间的相关关系和两个变量的线性相关
人教A版 ·必修3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修3
第二章
统 计
第二章
统计
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第二章
2．3 变量间的相关关系
第二章
统计
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第二章
2．3.1 2．3.2 变量之间的相关关系 两个变量的线性相关
由图可见，具有线性相关关系．
第二章
2.3
2.3.1 2.3.2
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对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，„，10)，得散点 图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，„，10)，得散 点图(2)．由这两个散点图可以判断( )
第二章
2.3
)
D．①④
[答案] D
第二章
2.3
2.3.1 2.3.2
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^ [解析] ^＝bx＋a表示y与x之间的函数关系，而不是y与x y ^ ^ 之间的函数关系．但它所反映的关系最接近y与x之间的真实 关系．故选D.
第二章
2.3
2.3.1 2.3.2
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[答案] ①④
第二章
2.3
2.3.1 2.3.2
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[解析]
①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一
条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的 分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系．
第二章
2.3
2.3.1 2.3.2
高中数学第二章统计23变量间的相关关系课件新人教A版必修3(2)
总费用y/万元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
(1)根据表格数据，画出散点图；
(2)求线性回归方程y^＝b^x＋a^的系数a^，b^； (3)估计使用年限为 10 年时，车的使用总费用是多少？
【解题探究】(1)利用描点法作出散点图； (2)把数据代入公式，可得回归方程的系数； (3)把x＝10代入回归方程得y值，即为总费用的估计 值．
【答案】A 【解析】在A中，若b确定，则a，b，c都是常数，Δ＝ b2－4ac也就唯一确定了，因此，这两者之间是确定性的函数 关系；一般来说，光照时间越长，果树亩产量越高；降雪量越 大，交通事故发生率越高；施肥量越多，粮食亩产量越高，所 以B，C，D是相关关系．故选A．
两个变量x与y相关关系的判断方法 1．散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在 一定规律，直观地判断．如果发现点的分布从整体上看大致在 一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受 个别点的位置的影响． 2．表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断． 3．经验法：借助积累的经验进行分析判断．
变量之间的相关关系的判断
【 例 1】 下 列 变 量 之 间 的 关 系 不 是 相 关 关 系 的 是 ()
A．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a，c是已知常数，取b 为自变量，因变量是判别式Δ＝b2－4ac
B．光照时间和果树亩产量 C．降雪量和交通事故发生率 D．每亩田施肥量和粮食亩产量
【解题探究】判断两个变量之间具有相关关系的关键是 什么？
①反映^y与 x 之间的函数关系；
②反映 y 与 x 之间的函数关系；
③表示^y与 x 之间的不确定关系；
④表示最接近 y 与 x 之间真实关系的一条直线．
A．①②
2020版人教A数学必修3 课件：2.3.1 变量之间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关
x (0.01%)
104
180 190 177
147
134
150
191
204
121
学霸经验分享区 (1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法,两 个变量具有相关关系是回归分析的前提. (2)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的,对于关系不 明确的两组数据,可先作散点图,在图上看它们有无相关关系,然后再 进行相关回归分析. (3)通过对散点图的观察,一般地,若图中数据大致分布在一条直线附 近,那么这两个变量近似成线性相关关系. (4)求线性回归方程,应注意到,只有大部分点分布在某条直线附近, 求出的线性回归方程才有实际意义,否则,求出的线性回归方程毫无 意义.
名师点津 对回归直线方程的几点说明 (1)a,b的上方加“^ ”,表示是由观察值按最小二乘法求得的估计值.
(2)(xi,yi)(i=1,2,…,n)的( x , y )在回归直线上.
(3)由回归直线方程知 x 处的估计值为 yˆ = aˆ + bˆ x.
(4)回归直线使得样本数据中的点到它的距离的平方和最小. (5)求回归直线方程,计算量大,一般应学会使用计算器求解. (6)利用回归直线方程可以对总体进行估计.
解:散点图分别如图(1)(2)所示.
从图中可以看出两图中的点各自分布在一条直线附近,因此两对变量 都具有相关关系. 图(1)中A的值由小变大时,B的值却是由大变小,即A和B成负相关; 图(2)中C的值由小变大时,D的值也是由小变大,即C和D成正相关.
两个变量的线性相关
正相关与负相关
具有相关关系的两个变量中，如果一个变量的值由小 变大时，令一个变量的值也由小变大，这种相关称为正 相关。反之，如果一个变量的值由小到大时，令一个变 量的值由大到小，这种相关称为负相关。
判断下列变量之间的关系：
1. 降雪量与交通事故的发生率之间的 关系。
2. 出租车费与行驶的里程。 3. 人的身高和体重。 4. 房屋面积与房屋价格。 5. 学生的身高与学生的学习成绩； 6.铁球的大小与质量
3.一般情况下两个变量之间的相关关系成正相关或 负相关，类似于函数的单调性.
课堂练习：
1.设一个回归方程为y=3-1.2x，则变量x增加一个单位时
( A)
A.y平均增加1.2个单位 B.y平均增加1.2个单位
C.x+a，x=1.2，y=0.9，b=-0.5 则
保证这条直线与所有点的距离之和 最小，这条直线叫做回归直线
最小二乘法就是基于这种想法。
问题：
用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效？
设直线方程为y=a+bx，样本点A（xi，yi）
y
yi a bxi 2
0
xi , yi
y a bx
xi , a bxi
我们用它来表示二者之间的接近程度
问题：回归直线方程中b的正负与散点图点的 变化趋势有什么关系？
问题：变量间的关系有几种？
函数关系
正相关:b>0
线性相关
相关关系
负相关:b<0
非线性相关
不相关
小结：
1．对于两个变量之间的关系，有函数关系和相关关 系两种，其中函数关系是一种确定性关系，相关关系 是一种非确定性关系.
2．散点图能直观反映两个相关变量之间的大致变化 趋势
两个变量的线性相关 (11)
2.3变量间的相关关系2.3.1变量之间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关1．变量间的相关关系 (1)相关关系的定义变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两个变量之间的关系分为函数关系和相关关系．(2)散点图将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图．(3)正相关与负相关①正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关．②负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．2．回归直线方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)线性回归方程：回归直线对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程． (3)最小二乘法：求线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．其中，b ^是线性回归方程的斜率，a ^是线性回归方程在y 轴上的截距．1．下列两个变量具有相关关系的是( ) A ．角度和它的余弦值 B ．圆的半径和该圆的面积 C ．正n 边形的边数和它的内角和 D ．居民的收入与存款D [A 、B 、C 中两变量是确定的函数关系．]2.已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为( )A ．y ^＝1.5x ＋2 B ．y ^＝－1.5x ＋2 C ．y ^＝1.5x －2 D ．y ^＝－1.5x －2B [由散点图知，变量x ，y 之间负相关，回归直线在y 轴上的截距为正数，故只有B 选项符合．]3．5位学生的数学成绩和物理成绩如下表：A ．是函数关系B ．是相关关系，但相关性很弱C ．具有较好的相关关系，且是正相关D ．具有较好的相关关系，且是负相关C [数学成绩x 和物理成绩y 的散点图如图所示．从图上可以看出数学成绩和物理成绩具有较好的相关关系，且成正相关．] 4．设有一个回归方程为y ^＝2－1.5x ，则变量x 每增加1个单位时，y 平均减少________个单位．1.5 [因为y ^＝2－1.5x ，所以变量x 每增加1个单位时，y 1－y 2＝[2－1.5(x ＋1)]－(2－1.5x )＝－1.5，所以y 平均减少1.5个单位．](2)判断y与x是否具有线性相关关系．[解](1)散点图如图所示．(2)由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x具有线性相关关系．相关关系的判断方法(1)两个变量x和y具有相关关系的判断方法①散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；②表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断；③经验法：借助积累的经验进行分析判断．(2)判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．1．下列关系中，属于相关关系的是________(填序号)．①正方形的边长与面积之间的关系；②农作物的产量与施肥量之间的关系；③出租车费与行驶的里程；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．②④[在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；③为确定的函数关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．]1．任意两个统计数据是否均可以作出散点图？ [提示] 任意两个统计数据均可以作出散点图． 2．任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归方程吗？[提示] 用最小二乘法求回归方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系，否则求回归方程是无意义的．3．回归系数b ^的含义是什么？[提示] (1)b ^代表x 每增加一个单位，y 的平均增加单位数，而不是增加单位数．(2)当b ^>0时，两个变量呈正相关关系，含义为：x 每增加一个单位，y 平均增加b ^个单位数；当b ^<0时，两个变量呈负相关关系，含义为：x 每增加一个单位，y 平均减少b ^个单位数．【例2】 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下： 零件数x (个) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间y (分)626875818995102108115122(2)如果y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的回归直线方程．思路点拨：画散点图→确定相关关系→求回归直线系数→写回归直线方程． [解] (1)画散点图如下：由上图可知y与x具有线性相关关系．(2)列表、计算：i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y i62 68 75 81 89 95 102 108 115 122x i y i620 1 360 2 250 3 240 4 450 5 700 7 140 8 6401035012200 a^＝y－b^x＝91.7－0.668×55＝54.96.即所求的回归直线方程为：y^＝0.668x＋54.96.求回归直线方程的步骤(1)收集样本数据，设为(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )(数据一般由题目给出)． (2)作出散点图，确定x ，y 具有线性相关关系． (3)把数据制成表格x i ，y i ，x 2i ，x i y i . (4)(5)代入公式计算b ^，a ^，公式为(6)写出回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^.2.某种产品的广告费支出x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8y30 40 60 50 70(1)画出散点图；(2)求回归方程.[解]（1）散点图如图所示.（2）列出下表，并用科学计算器进行有关计算.i 1 2 3 4 5x i 2 4 5 6 8y i30 40 60 50 70x i y i 60 160 300 300 560 x 2i416253664x ＝5，y ＝50，∑5i ＝1 x 2i ＝145，∑5i ＝1i i y i ＝1 380于是可得，b ^＝＝＝6.5，a ^＝y －b ^x ＝50－6.5×5＝17.5. 于是所求的回归方程是y ^＝6.5x ＋17.5.回归方程的应用学生 A B C D E 总成绩x 428 383 421 364 362 数学成绩y 7865716461(2)求y 对x 的线性回归方程(结果保留到小数点后3位数字)； (3)如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学生的数学成绩． [解] (1)散点图如图所示：(2)由题中数据计算可得 x ＝391.6，y＝67.8，∑5i ＝1x 2i ＝770654，∑5i ＝1x i y i ＝133 548.代入公式得b ^＝133 548－5×391.6×67.8770 654－5×391.62≈0.204，a ^＝67.8－0.204×391.6≈－12.086，所以y 对x 的线性回归方程为y ^＝－12.086＋0.204x .(3)由(2)得当总成绩为450分时，y ^＝－12.086＋0.204×450≈80，即这个学生的数学成绩大约为80分．利用线性回归方程解题的常见思路及注意点(1)利用回归直线过样本点的中心，可以求参数问题，参数可涉及回归方程或样本点数据．(2)利用回归方程中系数b ^的意义，分析实际问题．(3)利用回归直线进行预测，此时需关注两点；①所得的值只是一个估计值，不是精确值；②变量x 与y 成线性相关关系时，线性回归方程才有意义，否则即使求出线性回归方程也是毫无意义的，用其估计和预测的量也是不可信的．3．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720.(1)求月储蓄y (千元)关于月收入x (千元)的线性回归方程； (2)若该居民区某家庭的月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． [解] (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑10i ＝1x i ＝110×80＝8，y ＝1n ∑n i ＝1y i ＝110×20＝2，又∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80，∑10i ＝1x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b ^＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^y ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)将x ＝7代入线性回归方程，可以得到该家庭的月储蓄约为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．1．判断变量之间有无相关关系，简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可看出两个变量是否具有相关关系，是否线性相关，是正相关还是负相关．2．求回归直线的方程时应注意的问题(1)知道x 与y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．(2)用公式计算a ^，b ^的值时，要先算出b ^，然后才能算出a ^.3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则x＝x 0处的估计值为y ^0＝b ^x 0＋a ^.1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相关关系是两个变量之间的一种确定的关系． ( ) (2)回归直线方程一定过样本中心点．( )(3)选取一组数据的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程一定相同．( )[★答案★] (1)× (2)√ (3)×2．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 中，回归系数b ^( )A ．不能小于0B ．不能大于0C ．不能等于0D ．只能小于0C [当b ^＝0时，不具有相关关系，b ^可以大于0，也可以小于0.]3．若施化肥量x (千克/亩)与水稻产量y (千克/亩)的回归方程为y ^＝5x ＋250，当施化肥量为80千克/亩时，预计水稻产量为亩产________千克左右．650 [当x ＝80时，y ^＝400＋250＝650.]4．2019年元旦前夕，某市统计局统计了该市2018年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：年饮食支出y (万元) 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3如果已知y 与x 是线性相关的，求回归方程．(参考数据：∑10i ＝1x i y i ＝117.7，∑10i ＝1x 2i ＝406）[解] 依题意可计算得：x ＝6，y ＝1.83，x 2＝36，x y ＝10.98， 又∵∑10i ＝1x i y i ＝117.7，∑10i ＝1x 2i ＝406，∴b ^＝≈0.17，a ^＝y －b ^ x ＝0.81，∴y ^＝0.17x ＋0.81. ∴所求的回归方程为y ^＝0.17x ＋0.81.。
《线性相关关系》课件
04
CATALOGUE
多元线性回归分析
多元线性回归模型
定义
多元线性回归模型是用来 描述因变量与两个或两个 以上的自变量之间的线性 关系的模型。
公式
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε
假设
误差项 ε 满足独立同分布 ，且均值为0，方差恒定。
最小二乘法估计参数
线性相关关系强调的是变量之间的关 联程度和变化趋势，而不是确定性的 数学关系；函数关系则强调变量之间 的确定性和规律性。在线性相关关系 中，两个变量的值可以相互影响，而 在函数关系中，一个变量的值是由另 一个变量的值确定的。
在某些情况下，线性相关关系可以转 化为函数关系，例如通过最小二乘法 拟合直线。但是，线性相关关系更广 泛，它可以包括非线性的情况，即两 个变量之间存在曲线或其他非线性关 系。
模型检验
在建立回归模型后，需要对模型进行检验，以确保其有效 性。常见的检验包括残差分析、回归系数检验和整体模型 显著性检验等。
预测
使用回归模型可以对未来的数据进行预测。通过将自变量 代入模型中，可以计算出对应的因变量的预测值。
注意事项
在使用回归模型进行预测时，需要考虑模型的适用范围和 局限性，以及数据的变化趋势和异常值对预测结果的影响 。
变量进行变换等。
05
CATALOGUE
线性相关关系的应用实例
经济学中的线性相关关系分析
总结词
在经济学中，线性相关关系被广泛应用于市场分析、经济预测和政策制定等方面。
详细描述
经济学家通过研究不同经济指标之间的线性相关关系，可以深入了解经济运行规律，预测未来经济趋势，为政策 制定提供科学依据。例如，研究国内生产总值（GDP）与失业率之间的关系，可以分析经济周期和政策效果。
两个变量的线性相关课件
新疆 克拉玛依市 第一中学 授课教师：高成纲
发 现 统 计 问 题
同学们： 你们想研究生活中 的什么问题呢？ 它们之间具有怎样 的关系呢？
发 两个变量之间： 现
函数关系【确定性】 统
计 问 题
相关关系【非确定性】
收 集 数 据
同学们：你们 是怎样收集数 据的呢？
数据收集 收
画 散 点 图
研究两个变量之间是否存在某种关系，必 须从散点图入手。
根据散点图，作出如下判断： 1、如果所有样本点都落在某一函数曲线上， 即变量之间具有函数关系。 2、如果所有样本点都落在某一函数曲线附 近，变量之间就有相关关系。 3、如果所有样本点都落在某一直线附近， 变量之间就有线性相关关系。
阅读自修人教版 (A 版）数 课 学教材选修2-3（第三章）， 后 进一步学习统计学的知识！ 延 伸
参考： 1、《概率论与数理统计教程》高等教育出版 社 2、 /p-61268300864.html
谢谢大家！
归 纳 小 结
同学们：请谈 谈你们本节课 的收获吧！
归 1、体验了研究统计案
例的完整过程： 纳 发现统计问题——收集 小 数据——画散点图—— 确定线性回归方程—— 结 做出统计推断
归 2、学习了线性回归的
基本方法。 纳 3、体会了用样本估计 小 总体的思想。 4、体会了统计思维与 结 确定性思维的差异。
线性相关分为：正相关 和 负相关
确 定 线 性 回 归 方 程
观察思考并讨论：
1、回归直线与散点图中 各点之间的关系？它具有 怎样的特征？ 2、我们如何求回归直线 方程呢？
确 定 回归直线通过样本点的中心。 线 性 从整体上看，各点与回归直 回 线的距离最小。 归 方 程
高中数学精品课件 2.3.1 变量之间的相关关系--2.3.2 两个变量的线性相关
①画出数据对应的散点图； ②判断房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系，如果 有相关关系，是正相关还是负相关？
解 ①数据对应的散点图如图所示.
②通过以上数据对应的散点图可以判断，房屋的销售价格和房屋 面积之间具有相关关系，并且是正相关.
x0123 y1357 则 y 与 x 的线性回归方程为y^＝b^ x＋a^ 必过点( )
A.(2,2)
B.(1,2)
C.(1.5,0)
D.(1.5,4)
解析 易得－x＝1.5，－y＝4，由于回归直线过样本点的中心(－x，
－y)，故选 D. 答案 D
4.小学生身高 y 与年龄 x 之间的线性回归直线方程为y^＝8.8x＋65， 预测一名 10 岁的小学生的身高为________. 解析 当 x＝10 时，y^＝8.8×10＋65＝153. 答案 153
题型三 利用回归方程对总体进行估计 【例3】 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数
据：
年份
2008 2010 2012 2014 2016
需求量/万吨 236 246 257 276 286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y^＝b^ x＋ a^ ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2018 年的粮食需求量.
函数关系
变量之间的关系可以用函数表示
相关关系 变量之间有一定的联系，但不能完全用函数表示
2.相关关系与函数关系的区别与联系
类别
区别
联系
函 ①函数关系中两个变量间是一种确定性 ①在一定的条件下可以相
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1.相关关系与函数关系不同,相关关系是一种_不__确___定__性关
系. 2.从散点图上看,点散布在从左下角到右上角的区域内,两个
变量的这种相关关系称为__正__相___关_,点散布在从左上角到右 下角的区域内,两个变量的这种相关关系称为_负__相___关__.
3.从散点图上看,如果这些点从整体上看大致分布在通过散点
(4)写出回归直线方程.
变式训练2:求变式训练1中的回归直线方程.
解:列表: i xi yi
xiyi
x
2 i
1 80 70 5600 6400
2 75 66 4950 5625
3 70 68 4760 4900
4 65 64 4160 4225
5
x 70, y 66, x i yi 23190 i 1
3.如下图所示,有5组(x,y)数据,去掉( 数据的线性相关系数最大.( )
2.两个变量的线性相关 (1)回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析. 通俗地讲, 回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性. (2)散点图 将n个数据点(xi,yi),(i=1,2,…,n)描在平面直角坐标系中,以表示 具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图. 散点图形象地反映了各对数据的密切程度.
施化肥 15 20 25 30 35 40 45 量x
水稻产 330 345 365 405 445 450 455 量y
(1)画出散点图; (2)求水稻产量y与施化肥量x之间的回归直线方程; (3)当施化肥50 kg时,对水稻的产量予以估计. 分析:解答本题应先画散点图,判断其是否线性相关,再利用 最小二乘法求其回归方程.
题型二 求回归直线方程 例2:每立方米混凝土的水泥用量(单位:kg)与28天后混凝土 的抗压强度(单位:kg/cm2)之间的关系有如下数据:
x 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 26 0
y 56.9 58.3 61.6 64.6 68.1 71.3 74.1 77.4 80.2 82. 86. 89 6 4 .7
(1)画出散点图; (2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近,求y与x 之间的回归直线方程.
分析:(1)将表中的各对数据在平面直角坐标系中描点,便 得到具有相关关系的两个变量的一组数据的图形,即得散 点图;(2)按照求回归直线方程的步骤和公式,写出回归直 线方程.
解:(1)如下图.
(2)由散点图知,x与y之间具有线性相关关系,下面求回归直 线方程.
制表:
i
1
2
3
4
5
6
xi
150
160
170
180
190
200
yi
56.9 58.3 61.6 64.6 68.1 71.3
xiyi
8535
9328 10472 11628 12939 14260i
i
7
8
9
10
11
12
xi
210
220
230
240
250
260
yi
74.1 77.4 80.2 82.6 86.4 89.7
图中心的一条直线附近,称两个变量之间具有_线__性___相__关__关__ 系 , 这条直线叫__回__归___直线 _.
4.假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数
据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn).且所求回归方程是 yˆ bˆx aˆ,
其中b是回归方程的___斜__率___, aˆ 是___截__距___,则有
a 399.3 4.75 30 257. 即得回归直线方程yˆ 257 4.75x.
(3)施化肥50 kg时,可以估计水稻产量约为495kg.
规律技巧:(1)回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某 种确定性;(2)求回归直线方程,关键在于正确地求出系数a,b, 由于a,b的计算量大,计算时要仔细,避免计算失误.
xiyi 15561 17028 18446 19824 21600 23322
12
x 205, y 72.6, x i2 518600, i 1
12
12
y i2 64572.94, x i yi 182943
i 1
i 1
bˆ 182943 12 205 72.6 4347 0.304. 518600 12 2052 14300
aˆ y bˆx 72.6 0.304 205 10.28, 于是所求的线性回归方程是yˆ 0.304x 10.28.
规律技巧:用公式求回归直线方程的一般步骤:
(1)列表xi,yi,xiyi.
n
n
(2)计算 x, y, x i2, x i yi.
i 1
i 1
(3)代入公式求 bˆ ? aˆ 的值.
(1)画出散点图如图: 由图可见是线性相关的.
(2)借助计算器列表:
i
1
2
3
4
5
6
7
xi
15
20
25
30
35
40
45
yi
330 345 365 405 445 450 455
xiyi 4950 6900 9125 12150 15575 18000 20475
计算得 : b 87175 7 30 399.3 4.75, 7000 7 302
nxBiblioteka yi nx yi 1n
(xi x )( yi y)
bˆ
__i_n1_x_i2 __nx_2__
,
i 1
n
____i1_(_xi__x_)2____,
aˆ _____y___b_x______ .
通过求Q=_(_y_1_-b_x_1_-_a_)_2+__(y_2_-_b_x_2_-a_)_2_+_…_+_(_y_n_-_b_x_n_-a_)_2_的最小 值而得出回归直线的方法,即使得样本数据的点到回归直线 的距离的平方和最小,这一方法叫做最小二乘法.
年降雨 748 542 507 813 574 701 432 量(mm)
分析:利用散点图进行判别.
解:以x轴为年平均气温,y轴为年降雨量,可得相应的散点图 如下图所示:
因为图中各点并不在一条直线的附近,所以两者不具有相关关系,没必要 用回归直线进行拟合,如果用公式求得回归直线也是没有意义的. 规律技巧:用回归直线进行拟合两变量关系的一般步骤为: (1)作出散点图,判断散点是否在一条直线附近; (2)如果散点在一条直线附近,用公式求出a,b并写出线性回归方程.
(3)最小二乘法 设与n个观测点(xi,yi)(i=1,2,…,n)最接近的直线方程为 yˆ bx a
(注意它与表示一次函数的习惯y=ax+b不同 ; y ˆ表示y的估算值).其中
a,b是待定系数. 用Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2来刻画n个点与回归直线在 整体上的偏差.上式展开后,是一个关于a,b的二次多项式,运用配方法, 可求出使Q取得最小值时a,b的值(即上述公式①中的a,b值).
5 60 62 3720 3600
5
b
xi yi 5x y
i 1
5
xi2
2
5x
9 25
0.36,
i 1
a y bx 40.8.
所求回归直线方程为yˆ 0.36x 40.8.
题型三 利用回归直线方程对总体进行估计 例3:在7块并排､形状大小相同的实验田上进行施化肥量对水
稻产量影响的试验,得数据列表(单位:kg):
②函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系, 也可能是伴随关系.例如,有人发现,对于在校儿童,鞋的大小 与阅读能力有很强的相关关系,然而学会新词并不能使脚变 大,而是涉及到第三个因素——年龄,当儿童长大一些,他的 阅读能力会提高,而且由于长大,脚也变大.
(3)相关关系的分析方向 由于相关关系的不确定性,在寻找变量间相关关系的过程中, 统计发挥非常重要的作用.我们可以通过收集大量的数据,在 对数据进行统计分析的基础上,发现其中的规律,对它们的关 系作出判断.
变量之间的相关关系 两个变量的线性相关
1.掌握两个变量间的相关关系及正相关､负相关､不具相关关 系的判定.
2.通过收集实际生活中两个变量的有关数据作出散点图. 3.利用散点图直观地认识变量间的相关关系. 4.正确理解回归直线方程､最小二乘法的概念. 5.能够根据散点图得到回归直线. 6.掌握利用最小二乘法求回归直线方程的方法.
变式训练1:5个学生的数学和物理成绩如下表:
学生
A
B
C
D
E
学科
数学 80
75
70
65
60
物理 70
66
68
64
62
画出散点图,并判断它们是否有相关关系.
分析:解答本题可以以数学成绩为自变量,考察因变量物理成绩的变化趋 势,从而作出判断. 解:以x轴表示数学成绩,y轴表示物理成绩,可得相应的散点图如图所示: 由散点图可见,图中的点大致在一条直线附近,故两者之间具有相关关系.
n
n
(xi x )( yi y)
xi yi nx y
bˆ i1 n
aˆ
y
( xi
i 1
bˆx
x)2
i 1 n
xi2
2
nx
i 1
其中,b是回归方程的斜率,a是截距. 所得到的方程 yˆ bx a 叫作回归直线方程,相应的直线叫作 回归直线,而对两个变量所进行的统计分析叫作线性回归分 析.
(3)正相关､负相关 如果从散点图看到点散布的位置是左下角到右上角的区域. 这种相关称为正相关.反之,如果两个变量的散点图中,点散布 的位置是从左上角到右下角的区域.即一个变量的值由小变 大时,另一个变量的值由大变小,这种相关称为负相关. 如果关于两个变量统计数据的散点图呈现如图的形状,则这 两个变量之间不具有相关关系.例如,学生的身高与学生的数 学成绩没有相关关系.